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2025年上海市高考模拟测试卷02
一、填空题
1．集合，则 .
【答案】
【分析】根据集合的交集运算和补集运算即可解出.
【解析】∵，
∴，
∴.
故答案为：
2．已知，则 ．
【答案】
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解析】∵tanα=3，∴sinα cosα .
故答案为.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
3．已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】12
【分析】利用基本不等式求解即可.
【解析】因为，所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为12.
故答案为：12.
4．直线与直线的夹角大小等于 . (结果用反三角函数值表示).
【答案】
【分析】先分别求出两条直线的斜率，再套用夹角公式即可求出答案.
【解析】直线与直线的斜率分别为0和2，设它们的夹角为，
所以，则.
故答案为：.
5．在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则 .
【答案】/
【分析】由正态分布曲线对称性和可知，再利用正态分布曲线的性质可求得.
【解析】由知：；
，.
故答案为：.
6．已知为偶函数，若，则 ．
【答案】或
【分析】由导数判断出的单调性，当，求解方程，结合偶函数的性质，即可求得的值．
【解析】因为为偶函数，所以，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
若，，解得，
由为偶函数得，当时，，
故的值为或，
故答案为：或．
7．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 .
【答案】/
【分析】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座，根据条件，利用古典概率公式求得，，再由条件概率公式，即可求解.
【解析】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座，
因为，，所以，
故答案为：.
8．如图，在△中，，，与交于点，，，，则的值为 .
【答案】2
【分析】令，，利用平面向量的基本定理知：，，将其转化为的线性关系，可求，再由已知条件，应用数量积的运算律求即可.
【解析】令，，
而，
，
∴，得，
∴，又，
∴，，，
∴.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：设，，应用平面向量基本定理求的线性关系求参数，利用向量数量积的运算律求.
9．对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是
【答案】.
【分析】利用椭圆的定义，判断出在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出的取值范围.
【解析】由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆，
则，即复数在复平面内对应的点到点的距离小于，
所以，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆的内部，
的取值范围是，故答案为.
【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理解，考查数形结合思想，属于中等题.
10．已知A、、、是半径为1的球面上的四点，且这四点中任意两点间的距离都相等，则点A到平面的距离为 .
【答案】
【分析】根据题意可以补成正方体来研究，再用等体积法计算距离即可.
【解析】由于A、B、C、D这四点中任意两点间距离相等，
所以这四点构成一个正四面体，可以补成正方体，如图所示，

设正四面体的棱长为，则正方体棱长，
根据正四面体的外接球与正方体外接球是一样的，直径，
则，已知球半径，则，解得，
先求正四面体的体积，可以看做长方体体积减去4个全等的直三棱锥体积，
即，
又可把正四面体底面看作是由四个全等的等边三角形三棱锥，
每个底面积，
由等体积法得，，解得.
故答案为：.
11．某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图），则水池面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，，则，在中由正弦定理得到，即可得到，再利用辅助角公式及面积公式计算可得；
【解析】解：如图，设，，因为，，
所以，，所以，
因为，
，
所以，在中，由正弦定理，，即，
所以，因为，所以，所以，所以，其中，所以，，所以面积的最小值为．
故答案为：
12．已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为 .
【答案】21
【分析】不妨设数列的公差大于零，不妨取，则，设，再分和两种情况讨论，可得出的值，再讨论，即可求出，即可得解.
【解析】不妨设数列的公差大于零，
由于，得，
且时，，时，，
不妨取，则，
设，
若，则，此时式子取不了最大值；
若，则，
又时，，
因为，此时式子取不了最大值；
因此这就说明必成立.
若，则，
这也就说明不成立，因此，
所以.
故答案为：.
二、单选题
13．已知为正数，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，当时，利用指数函数的单调性即可判断，当时，分类讨论，最后利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【解析】当时，所以为增函数，所以，
当时，当时，则，当时，则，此时；
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
14．两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为（ ）
第一跳 第二跳 第三跳 第四跳 第五跳
甲 85.5 96 86.4 75.9 94.4
乙 79.5 80 95.7 94.05 86.4
A．甲和乙的中位数相等，甲的平均分小于乙
B．甲的平均分大于乙，甲的方差大于乙
C．甲的平均分大于乙，甲的方差等于乙
D．甲的平均分大于乙，甲的方差小于乙
【答案】B
【分析】计算出两者的中位数，平均分和方差，比较后得到结论.
【解析】甲的比赛得分从小到大排序为，
选择第三个数作为中位数，
甲的平均分为，
甲的方差为，
乙的比赛得分从小到大排序为，
选择第三个数作为中位数，
乙的平均分为，
乙的方差为，
甲和乙的中位数相等，因为，故甲的平均分大于乙的平均数，
因为，所以甲的方差大于乙的方差.
故选：B
15．为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案.
【解析】设平面上两条直线分别满足，
则相交，设交点为，且夹角为，
如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为，
则直线与直线所成角均为，
当时，不存在这样的直线，
当时，这样的直线只有一条，
当时，这样的直线有两条，
当时，这样的直线有三条，
当时，这样的直线有四条，
当时，这样的直线只有一条.
所以的范围为.
故选：A.
16．设定义域为的函数，函数的导函数是. 对于，函数在上存在极值点. 记. 则中的函数一定不具有的性质是 （ ）
A．
B．
C．函数在上为严格增函数
D．函数是偶函数
【答案】D
【分析】分别给出选项ABC的例子，证明满足题意条件且具备选择支的性质，再假设函数是偶函数，推出矛盾，说明D不成立，即可得到答案.
【解析】A项，定义域为，且满足.
存在极值点，
则，且，
且对，
有
；
且；
满足，
故，故选项A有可能成立；
B项，定义域为，且存在极值点，
又，，
且对，
有
；
且；
满足，
故，可知选项B，C均有可能成立.
假设选项D成立，即是偶函数，
则是奇函数，所以.
设，，则.
从而对任意有，
故，但这对不成立，所以选项D不可能成立.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对相应选项给出恰当的函数例子.
三、解答题
17．如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线，且．
(1)求圆锥的体积；
(2)求二面角的大小（结果用反三角表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圆锥的高，进而利用锥体体积公式得到答案；
（2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，求出各边长，得到，得到答案.
【解析】（1）圆锥的高，
则圆锥的体积为；
（2）取的中点，连接，
因为，所以⊥，⊥，
由图可知，二面角为锐角，
故为二面角的平面角，
因为，所以，
故，
则，
故，
故.
18．已知.
(1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；
(2)已知，，求函数，的值域.
【答案】(1)，或；
(2).
【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得.
（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可.
【解析】（1）依题意，，解得，则，由，得，
解得或，即或
所以的解集为或.
（2）依题意，，
，
当时，，则有，，
所以函数，的值域为.
19．某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

12.5 222 3.5 157.5 16800 4.5 1254 270
表中，.
(1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.
【答案】(1)；
(2)；
(3)30万元.
【分析】（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型；
（2）令，建立y关于的线性回归方程，再利用最小二乘法求出 y关于μ的线性回归方程即得解；
（3）求出，再利用导数求函数的最值得解.
【解析】（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型.
（2）令，所以.
，，
所以y关于μ的线性回归方程，因此，关于x的回归方程为.
（3）由（2）可知，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以当研发费为30万元时，年利润z的预报值最大.
20．已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
(3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
【答案】(1)
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据离心率求出，即可求出渐近线方程；
（2）方法1、设，，则利用基本不等式求出的最大值；方法2、设，其中，则，求得，当且仅当时，取得最大值；方法3、设直线为，联立方程组得到，从而化简得到，得到取得最大值，此时可得，则轴且，求出，即可求出，再利用二倍角公式求出；
（3）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，即可求出，从而求出，再根据双曲线的定义得到，即可得证.
【解析】（1）解：设双曲线方程为，焦距为，
由离心率，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
（2）解：由（1）可得，，所以双曲线的方程为，
方法1、设，，因为点都在双曲线的右支上，所以，
所以，当且仅当时取等号，即；
当时，所以，
所以轴且 ，
又由双曲线的方程为，即，
由，解得，可知，
因为，所以，
所以.
方法2、因为点都在双曲线的右支上，
设，其中，则，
则，
当且仅当时，取得最大值，即；
当时，所以，
所以轴且 ，
又由双曲线的方程为，即，
由，解得，可知，
因为，所以，
所以.
方法3、设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，，可得且，，
可得，
因为点都在双曲线的右支上，可得异号，
所以，解得，
可得，
整理得，
当且仅当时，取得最大值，最大值为；
当时，所以，
所以轴且 ，
又由双曲线的方程为，即，
由，解得，可知，
因为，所以，
所以.
（3）解：设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，，可得且，，
由，可得，故，
又因为同号，所以，即，
所以，解得，
此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交，
因为，所以，
则，它等于双曲线实轴长的倍，
此时，
所以是等腰三角形.
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算判别式；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系，列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为和（或和）的形式；
（5）代入韦达定理，列出方程进行求解.
21．若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.
(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；
(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.
【答案】(1)是上的“弱增函数”，理由见解析
(2)1
(3)所有可能的值为和
【分析】（1）根据“弱增函数”的定义，分析和在上的单调性即可；
（2）由函数与函数的图像关于坐标原点对称，求出函数，因为是上的“弱增函数”，根据二次函数和对勾函数的图像性质分别求出的增区间和的减区间，得到，即可求出的最大值；
（3）由等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数，解得，即可求出，通过分析的单调性，可得，从而赋值别求得符合题意的的值.
【解析】（1）函数是上的“弱增函数”，理由如下：
显然，是上的严格增函数，
对于函数，，
当时，恒成立，
故是上的严格减函数，
从而是上的“弱增函数”.
（2）记，
由题意得，
，
由是上的“弱增函数”可得函数是上的严格增函数，而是上的严格减函数，
函数图像的对称轴为，且是区间上的严格增函数，
令，则，
当，即时，解得或，
当时，，则函数在上单调递减，
即函数是区间上的严格减函数，
由是上的“弱增函数”，得，
所以，
所以的最大值为1.
（3），
由是“弱增数列”得，即.
又因为d是偶数，所以，
从而.
故，
由得，所以当时，，即，
故若，则不存在和，使得.
从而.
若，解得，满足；
若，解得，满足；
若，解得，不满足.
当时，，故不存在大于5的正整数，使得.
综上，所有可能的值为和.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法
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一、填空题
1．集合，则 .
2．已知，则 ．
3．已知正数满足，则的最小值为 .
4．直线与直线的夹角大小等于 . (结果用反三角函数值表示).
5．在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则 .
6．已知为偶函数，若，则 ．
7．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 .
8．如图，在△中，，，与交于点，，，，则的值为 .
9．对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是
10．已知A、、、是半径为1的球面上的四点，且这四点中任意两点间的距离都相等，则点A到平面的距离为 .
11．某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图），则水池面积的最小值为 ．
12．已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为 .
二、单选题
13．已知为正数，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为（ ）
第一跳 第二跳 第三跳 第四跳 第五跳
甲 85.5 96 86.4 75.9 94.4
乙 79.5 80 95.7 94.05 86.4
A．甲和乙的中位数相等，甲的平均分小于乙
B．甲的平均分大于乙，甲的方差大于乙
C．甲的平均分大于乙，甲的方差等于乙
D．甲的平均分大于乙，甲的方差小于乙
15．为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．设定义域为的函数，函数的导函数是. 对于，函数在上存在极值点. 记. 则中的函数一定不具有的性质是 （ ）
A．
B．
C．函数在上为严格增函数
D．函数是偶函数
三、解答题
17．如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线，且．
(1)求圆锥的体积；
(2)求二面角的大小（结果用反三角表示）．
18．已知.
(1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；
(2)已知，，求函数，的值域.
19．某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

12.5 222 3.5 157.5 16800 4.5 1254 270
表中，.
(1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.
20．已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
(3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
21．若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.
(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；
(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.
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