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小题限时卷01（A组+B组+C组）
（模式：12+4 满分：72分 限时：50分钟）
一、填空题
1．已知全集，，则 .
2．若复数，则其共轭复数的虚部为 .
3．不等式的解集为 .
4．已知向量，，则在方向上的数量投影是 .
5．函数的定义域是 .
6．班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有 种．（结果用具体数字表示）
7．某次数学练习中，学生成绩X服从正态分布,若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是 ．
8．已知，且，则 ．
9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为 ．
10．对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：
0~10 10~25 25~50 50~100
①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨
小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级 ．（只填入雨水等级所对应的序号）
11．已知函数在区间上是严格减函数，则的取值范围是 ．
12．已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是 .
二、单选题
13．在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．充要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
14．下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设，若，，则
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且
15．若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．平面
16．考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（ ）
A．命题①正确；命题②错误. B．命题①错误；命题②正确.
C．命题①，②均正确. D．命题①，②均错误.
一、填空题
1．已知集合，，则 ．
2．在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 .
3．已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为
4．设等比数列的前项和为，若，，则 ．
5．函数的值域为 .
6．已知 ，则 的最大值为 ．
7．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是 .
8．已知一个圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是 ．
9．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ．
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为 ．
11．已知函数，若函数在区间上恰有个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合为 .
12．若曲线的图象上任意不同的两点，，坐标都满足关系，则在①；②；③；④中，不可能是曲线的方程的序号为 （填上所有正确答案的序号）.
二、单选题
13．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（ ）
A．若∥，，，则∥
B．若，，，则
C．若，，则∥
D．若，，∥，则∥
15．抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（ ）
A．事件A、B和C两两互斥 B．
C．事件A与事件是对立事件 D．事件与相互独立
16．设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（ ）
A．数列与均是严格增数列
B．数列与均是严格减数列
C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列
D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列
一、填空题
1．若集合，则 .
2．椭圆的焦点坐标为 .
3．已知点是角终边上一点，则 ．
4．已知函数，若，则 .
5．不等式的解集是 ．
6．在的二项展开式中，常数项为
7．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
8．已知为虚数单位，设.若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 .
9．已知随机变量的方差，则随机变量的方差
10．二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 .
11．如图，探测机器人从点出发，准备探测道路和所围的三角危险区域.已知机器人在道路和上探测速度可达每分钟2米，，在内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为 .
12．已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ．
二、单选题
13．已知直线平面，则“直线”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
14．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ）
A．估计数学成绩的众数为75 B．
C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
15．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0 B．1 C．2 D．3
16．已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都是假命题 B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
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（模式：12+4 满分：72分 限时：50分钟）
一、填空题
1．已知全集，，则 .
【答案】
【分析】根据补集的定义求解即可.
【解析】全集，则，
故.
故答案为：
2．若复数，则其共轭复数的虚部为 .
【答案】
【分析】写出共轭复数，再根据复数定义求解．
【解析】由已知，虚部为，
故答案为：．
3．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】将原不等式转化为，结合一元二次不等式的解法计算即可求解.
【解析】原不等式可变为，
整理得，解得，
即原不等式的解集为.
故答案为：
4．已知向量，，则在方向上的数量投影是 .
【答案】
【分析】根据平面向量数量投影的定义计算即可.
【解析】由向量，，
则，，
又在方向上的数量投影为，
故答案为：.
5．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】由真数大于零得不等式，转化为一元二次不等式求解即可得到结果.
【解析】由得，，不等式解集为，
即函数定义域为.
故答案为：.
6．班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有 种．（结果用具体数字表示）
【答案】
【分析】由分类计数原理、分步计数原理即可求解.
【解析】每名学生可报一项或两项，所以有,
所以4名学生共有种.
故答案为：
7．某次数学练习中，学生成绩X服从正态分布,若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，求得，设选中的学生的成绩高于125分的人数为，结论重复试验的概率计算公式，即可求解.
【解析】由题意，学生成绩X服从正态分布，若，
则，
所以，
从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，设选中的学生的成绩高于125分的人数为，
可得变量，
所以至少有2名学生的成绩高于125分的概率为.
故答案为：.
8．已知，且，则 ．
【答案】
【分析】由倍角公式化简方程，解出，得的值.
【解析】已知，由倍角公式得，
由，，解得，则.
故答案为：.
9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，由抛物线定义以及三角函数可用含的横坐标的式子表示，注意到，由此即可列方程求解.
【解析】如图所示：
过点作于点，
显然抛物线的焦点为，准线为，
由抛物线定义有，结合得，
而，
所以.
故答案为：.
10．对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：
0~10 10~25 25~50 50~100
①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨
小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级 ．（只填入雨水等级所对应的序号）
【答案】中雨
【分析】由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解.
【解析】设圆锥形容器中积水水面半径为，则，解得，
所以积水厚度为，所以.
所以一天的雨水属于中雨.
故答案为：中雨.
11．已知函数在区间上是严格减函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，将问题转化为在恒成立，且不恒为0，求解即可．
【解析】因为函数在区间上是严格减函数，
所以在上恒成立，且不恒为0，
所以在恒成立，
设，，则，
令，解得或（舍去），
因为时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，，
所以当时，，
所以，
故答案为：．
12．已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是 .
【答案】
【分析】构造函数，则的图像与直线至少有个公共点，确定，，得到，得到答案.
【解析】设等差数列的公差为，构造函数，
则的图像与直线至少有个公共点，
横坐标分别为，，，，，
根据绝对值函数的性质知：
当为奇数时，函数图像关于对称，时有最小值，
此时最多有个交点，不满足题意，
当为偶数时，函数图像在上是一条水平的线段，可以有个交点，
故，
且，
故，即，
，故，故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列，数列的绝对值求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数，再根据其性质得到是解题的关键.
二、单选题
13．在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．充要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】利用正弦定理，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【解析】在中，令角所对边分别为，
由正弦定理得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：B
14．下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设，若，，则
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且
【答案】D
【分析】根据相关系数的表示意义、二项分布的有关性质、线性回归方程和超几何分布的定义依次判断选项即可.
【解析】A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；
B：由，得，解得，故B正确；
C：线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确；
D：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，
所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，得，故D错误；
故选：D
15．若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．平面
【答案】A
【分析】根据条件，利用线面垂直的性质定理和判定定理，对各选项分析判断，即可求解.
【解析】因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面，
又面，所以，故选项C正确，
又，，面，所以平面，
又面，所以，故选项B和D正确，
对于选项A，若，又，面，
则面，又面，所以，与相矛盾
故选：A.
16．考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（ ）
A．命题①正确；命题②错误. B．命题①错误；命题②正确.
C．命题①，②均正确. D．命题①，②均错误.
【答案】C
【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案.
【解析】不妨设，
如图1，连接，
当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于两点，
连接，则为等腰三角形，满足题意，
同理当为等腰三角形的底时，
也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；
如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆，
则圆的方程为，
联立，消得，
解得或，
当时，，则交点有，
当，即时，
则圆与椭圆相交于点，连接，
其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，不合题意，
同理当为等腰三角形的腰时，
也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；
当，即时，
则圆与椭圆相交于点三点，
当，即时，则圆与椭圆相交于点两点，
综上，当为等腰三角形的腰时，符合题意的三角形的个数可能是个或个；
如图3，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点，
连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个，
如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点，
连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个，
由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰，
而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求，
综上所述，满足要求的等腰三角形个数为或，
所以满足条件的三角形至少有12个，最多有个，
所以命题①，②均正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去.
一、填空题
1．已知集合，，则 ．
【答案】
【分析】找出集合A与集合B的公共元素，即可确定出交集．
【解析】因为集合，，
所以.
故答案为：.
2．在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由可得，进而可得，再结合即可得即可.
【解析】因为，所以，
即，
又因为，
所以，
所以，解得，
故的最大值为4.
故答案为：4.
3．已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为
【答案】
【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解.
【解析】直线1的一个法向量，则该直线的斜率为，直线过，
由点斜式得到直线方程为,化简得到一般方程：.
故答案为：.
4．设等比数列的前项和为，若，，则 ．
【答案】
【分析】利用等比数列的性质得，再利用等比数列的定义求得公比，进而求得，即可求解.
【解析】等比数列的前项和为，，，
，，
，
．
故答案为：．
5．函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据函数的解析式求得函数的值域.
【解析】当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：
6．已知 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案.
【解析】因为，
故，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值是.
故答案为：.
7．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是 .
【答案】50
【分析】分析可知这组数据的第75百分位数是第23位数，结合茎叶图即可得结果.
【解析】因为，可知这组数据的第75百分位数是第23位数，
结合茎叶图可知第23位数是50，所以这组数据的第75百分位数是50.
故答案为：50.
8．已知一个圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是 ．
【答案】/
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据侧面展开图是半圆解得，再由求出可得答案.
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，解得，
又由，可得，，
所以圆锥的侧面积是.
故答案为：.
9．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】0.35/
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【解析】由题意可知，则，
故图中阴影部分的面积为．
故答案为：0.35.
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为 ．
【答案】3
【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【解析】在中，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的面积为.
故答案为：3
11．已知函数，若函数在区间上恰有个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合为 .
【答案】
【分析】化简函数得，令，换元得，根据二次函数零点可得：原题意等价于在区间上恰有2024个零点，结合正弦函数的图象性质分析求解.
【解析】，
令，，可得，，
记的两零点为、，
则，不妨设，
且，则，，，
可知（舍去），，
原题意等价于在区间上恰有2024个零点，
可知在和（为正整数）内不同根的个数均为，
所以.
故答案为：.
12．若曲线的图象上任意不同的两点，，坐标都满足关系，则在①；②；③；④中，不可能是曲线的方程的序号为 （填上所有正确答案的序号）.
【答案】①②
【分析】由将两边平方可得，即可得到恒成立，利用特殊值判断①②，根据双曲线的性质判断③④.
【解析】因为，，
所以，，则，
由，
所以，
即，
所以
所以，
所以，
依题意可得恒成立，
对于①：，取，不为时，此时恒有，故①错误；
对于②：，取，不为时，此时恒有，故②错误；
对于③：，由对勾函数的性质可知，函数在，上单调递减，
在，上单调递增，
且当时，当时，
函数图象如下所示：
当、在同一支时，显然，所以；
当、在不同支时，显然，所以；
综上可得恒成立，故③正确；
对于④：，双曲线的渐近线方程为，设直线的倾斜角为，
则，所以，所以，
即两渐近线的夹角小于，
所以当、在双曲线的同一支时，，所以；
当、在双曲线的不同支时，显然，所以；
综上可得恒成立，故④正确；
故不可能是曲线的方程的序号为①②.
故答案为：①②
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，从而得到.
二、单选题
13．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可．
【解析】选项A，令，定义域为，
且，即为奇函数，
选项B，令，定义域为，，
即为奇函数；
选项C，令，，，
故不是偶函数；
选项D，，定义域为，且，则为偶函数，
故选：D．
14．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（ ）
A．若∥，，，则∥
B．若，，，则
C．若，，则∥
D．若，，∥，则∥
【答案】D
【分析】对于A，由题意可得m，n可能平行，也可能异面，即可判断；对于B，由题意可得能有，也可能有∥，也可能平面，相交，即可判断；对于C，由题意可得有可能是∥，也可能，即可判断；对于D，根据线面平行的性质定理即可判断.
【解析】解：对于A，若∥，，，则m，n可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若，，，则可能有，也可能有∥，也可能平面，相交，故B错误；
对于C，若，，则有可能是∥，也可能，故C错误，
对于D，根据线面平行的性质定理可知若，，∥，则∥，故D正确，
故选：D.
15．抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（ ）
A．事件A、B和C两两互斥 B．
C．事件A与事件是对立事件 D．事件与相互独立
【答案】C
【分析】利用互斥事件的定义判断A，；利用互斥事件概率加法公式求解判断B；利用对立事件的定义判断C；利用相互独立事件判断D.
【解析】抛掷三枚硬币，样本空间(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),
(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)，共8个样本点，
事件(正,正,正)，(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)，(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)，
对于A，事件中任何两个事件都不能同时发生，事件两两互斥，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，事件与可以同时不发生，事件A与事件不是对立事件，C错误；
对于D，，，
，则事件，相互独立，D正确.
故选：C
16．设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（ ）
A．数列与均是严格增数列
B．数列与均是严格减数列
C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列
D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列
【答案】C
【分析】由条件易知函数在I上严格递减，构造，因数列的各项均不相同，由的大小比较，利用函数单调性可得的大小关系，即得结论.
【解析】依题意，因在区间I上恒成立，则函数在I上严格递减，
由，，因数列的各项均不相同，且，
若，则，即，即此时数列严格递增，数列严格递减；
若，则，即，即此时数列严格递减，数列严格递增.
综上所述，数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题主要考查利用函数单调性判断数列的单调性的应用，属于难题.
解题思路在于根据选项信息，考虑数列中连续偶数项的差，通过对应的连续奇数项的大小比较，借助于函数单调性得出偶数项的大小关系.
一、填空题
1．若集合，则 .
【答案】
【分析】解对数不等式得出集合，然后再根据交集的定义即可得出答案.
【解析】，所以.
故答案为：
2．椭圆的焦点坐标为 .
【答案】
【分析】由椭圆的性质求出即可；
【解析】由题意可得，所以，且焦点在y轴上，
所以焦点坐标为，
故答案为：.
3．已知点是角终边上一点，则 ．
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可.
【解析】因为点是角终边上一点，，
所以，
则.
故答案为：.
4．已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】根据导数的定义计算可得.
【解析】因为，所以.
故答案为：
5．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】设，判断其单调性，根据函数的单调性即可求得不等式.的解集.
【解析】由题意可设，定义域为，
由于在都单调递增，
故在上单调递增，且，
故不等式的解集是，
故答案为：
6．在的二项展开式中，常数项为
【答案】405
【分析】由二项式展开式的通项中令，再求出即可；
【解析】展开式的通项为，
令，解得，
所以常数项为，
故答案为：405.
7．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据对勾函数的知识求得正确答案.
【解析】由对勾函数性质可知，在上是严格增函数，
所以
所以.
故答案为：
8．已知为虚数单位，设.若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 .
【答案】
【分析】将代入方程计算即可求解出的值.
【解析】因为是的一个虚根，所以，
化简可得，所以，即，
故答案为：.
9．已知随机变量的方差，则随机变量的方差
【答案】
【分析】利用方差的性质直接计算求解即可.
【解析】因为随机变量的方差，随机变量，
所以
故答案为：
10．二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 .
【答案】或
【分析】作出图像，根据二面角定义求解即可.
【解析】①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是
，，则，∴，
①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是的补角
，，则，∴，二面角为
∴二面角的大小是：或.
故答案为：或.
11．如图，探测机器人从点出发，准备探测道路和所围的三角危险区域.已知机器人在道路和上探测速度可达每分钟2米，，在内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为 .
【答案】
【分析】讨论机器人探测的路线，结合直线与圆的关系计算三角形面积即可.
【解析】如图所示，机器人只在道路上前进可到达AB点，则OA=OB=10米，
作的角平分线OC，过A作AD⊥OB，垂足为D点，交OC于C点，
设机器人先在道路OA上前进分钟到达P点,
此时，AP=，后进入危险区域，
其能探测到达的点组成以P为圆心，以为半径的圆弧，
由题意可知：，即AD与该圆弧相切，设切点为E，
故随P点从O移动到A，机器人可探测的区域为，
结合对称性，机器人5分钟能到达的点围成区域有与，即图中阴影部分，
其面积为，
易知为含120°的等腰三角形，所以区域面积为：.
故答案为：
【点睛】本题关键在于对题意的理解，然后结合直线与圆的位置关系，利用角的对称性得出区域形状，再解三角形求区域面积，极容易出错，需要仔细审题.
12．已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ．
【答案】60
【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数．
【解析】由已知,，
设，则，显然，
若，则，因此有，
由得或，对应，
同理对应，
集合中已经含有点，
因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个，
所以的个数为，
若，则，
，或，，或，
对应点，
产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个，
中至少有一个，中至少有一个，的个数为，
综上，集合的个数为．
故答案为：60.
【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数．
二、单选题
13．已知直线平面，则“直线”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义可判断．
【解析】若直线平面， ，则直线平面或；
若直线平面，直线，则，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
14．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ）
A．估计数学成绩的众数为75 B．
C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
【答案】B
【分析】根据众数的概念可得选项A正确；利用长方形面积之和为1可得选项B错误；根据百分位数的概念可得选项C正确；根据加权平均数的计算方法可得选项D正确.
【解析】估计数学成绩的众数为（分），A选项正确.
根据题意可得，∴， B选项错误.
∵前四组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，
∴估计数学成绩的75百分位数约为（分），C选项正确.
∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为，
∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为，D选项正确．
故选：B．
15．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可.
【解析】由题可设双曲线C的方程为（），
将点代入上式得：，
故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为，
当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意，
当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意，
综上，这样的直线共有3条.
故选：D.
16．已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都是假命题 B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
【答案】B
【分析】对于①，根据不等式，构造函数，然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调性，结合不等式求解即可.
【解析】，故在上递增，
对于①，设，，
设，
，，
单调递减，单调递增，
，即，
，即，
故，故①是真命题.
对于②，由①知，，
即，
，故.
且在上递增，故，
，
故的值域为
所以，
即，故，
②是真命题.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到在上递增，再构造函数，利用导数得到其单调性，最后得到，则可判断①.
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