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压轴题03 函数核心性质应用
总论： 函数核心性质是：在定义域内单调性，奇偶性，周期性综合应用。 函数核心技巧是：利用函数左加右减，上加下减，分离常熟等技巧，寻找函数的单调性、奇偶型与周期性，以用于解题。 函数性质： 中心对称性： 若，则函数关于中心对称， 2.轴对称性： 若，则函数关于对称， 3.函数周期性： 函数的周期性：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
压轴题型一：广义奇函数“中心对称”
√满分技法 中心对称常见关系式子：
1．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．设，为等差数列，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
压轴题型二：广义偶函数“轴对称”
√满分技法 轴对称常见关系式子：
1．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．定义域为的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（ 　 ）
A． B．
C． D．
5．设，函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
压轴题型三：周期型
√满分技法 周期函数特征，简称为“差定为期”。
1．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．
2．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则 （ ）
A．2025 B． C．4050 D．
压轴题型四：双函数型
√满分技法 “双函数” 双函数常规思维：是依赖单调性、中心对称性、周期性来推导函数。 双函数实战思维： 1.双函数各自自身对称性 2.形如。借助数形结合，f（x）的性质，可以传递给g（x）。 3.形如，与，可以借助函数方程消去一个，剩余另一个函数，再借助函数性质得到图像特征。
1．已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
2．已知定义在上的函数，满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有（a为常数），，则（ ）
A． B．
C．为周期函数 D．
4．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．3是函数的周期 D．
5．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．
C．， D．若的值域为，则
压轴题型五：添加导数的双函数型
√满分技法 利用函数与导函数的相关构造函数，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造.
1．设定义在R上的可导函数和满足，，为奇函数，且．则下列选项中正确的有（ ）
A．为偶函数 B．为周期函数
C．存在最小值且最小值为1 D．
2．已知函数及其导函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设定义在R上的可导函数和满足， ， 为奇函数，且. 则下列选项中正确的有（ ）
A．为偶函数
B．为周期函数
C．存在最大值且最大值为
D．
4．已知函数及其导函数的定义域为R，若，函数和均为偶函数，则（ ）
A．函数是周期为5的周期函数
B．函数的图象关于点对称
C．
D．函数的图象关于直线对称
5．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
压轴题型六：指数-反比例复合型
√满分技法 反比例与指数复合型性质：
1．已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值
4．已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
压轴题型七：对数-反比例复合型
√满分技法 对数-反比例复合型：
1．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数关于点中心对称，则曲线在点，处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，有成立，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（ ）
A．6 B． C．4 D．2
5．设函数（a，，且），则函数的奇偶性（ ）
A．与a无关，且与b无关 B．与a有关，且与b有关
C．与a有关，且与b无关 D．与a无关，且与b有关
压轴题型八：对数无理型
√满分技法
1．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数有唯一零点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称
C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则
D．令，若，则实数的取值范围是
压轴题型九：对-指复合反比例型
√满分技法 对数-指数复合反比例型： 对数-指数复合反比例型原理：
1．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，现有如下说法：①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递减；③函数有两个零点．则其中正确说法的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知函数，设，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
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总论： 函数核心性质是：在定义域内单调性，奇偶性，周期性综合应用。 函数核心技巧是：利用函数左加右减，上加下减，分离常熟等技巧，寻找函数的单调性、奇偶型与周期性，以用于解题。 函数性质： 中心对称性： 若，则函数关于中心对称， 2.轴对称性： 若，则函数关于对称， 3.函数周期性： 函数的周期性：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
压轴题型一：广义奇函数“中心对称”
√满分技法 中心对称常见关系式子：
1．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用直线过定点以及函数的中心对称性质计算可得.
【详解】由题意可得直线恒过点，且关于对称．
函数满足，则函数的对称中心为，
所以，，
所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数对称性得出的对称中心为，再结合直线过定点即可求得结果.
2．设，为等差数列，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分析函数的单调性与对称性，得函数在上单调递增，且图象关于点中心对称.再利用等差数列的性质可得，然后从充分性与必要性两个方面论证，用反证法进行必要性的证明.
【详解】已知，
则，故在上单调递增.
又由，得，
故，则函数的图象关于点中心对称.
已知数列是等差数列，则.
①先证明充分性：
若，由数列是等差数列，
可得，
则，
所以由函数的对称性可知，
，，，，
，即“”得证.
因此，“”是“”的充分条件；
②再证明必要性：
下面用反证法证明：假设，
已知数列是等差数列，则，
即，由等差数列性质可得，
所以，
由函数在上单调递增，可得，
，
，
各式累加得，，
所以，即，
这与已知矛盾，故假设错误；
同理，假设，可证得，也与已知矛盾，故假设也错误；
所以“”得证.
即“”是“”的必要条件.
综上所述，“”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于应用反证法进行必要条件的证明，基于自变量不等（大小）关系的假设，借助函数单调递增等价转化为函数值的不等关系，进而结合函数对称性推出与等量关系矛盾.
3．已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图象关于点对称和找到图象的对称轴和周期，再由确定单调性，分别求出，画出大致图象，最后数形结合求出取值范围.
【详解】由的图象关于点对称可得．
由，可得，
故函数的图象关于直线对称，
且，得的周期为2．
当时，，
单调递增，且，则，，
画出在一个周期内的大致图象如图所示：
当时，结合图象可得，即．
故实数m的取值范围为．故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据函数的图象关于点对称，确定函数的周期和对称轴.
4．已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由韦达定理可得出，可得出，且，分析函数的对称性和单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】因为、为关于的方程的两个解，
则，解得，由韦达定理可得，
因为函数是定义域为的函数，，即，
所以，函数的图象关于点对称，则且，
因为对任意、，均有，即，
所以，函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，
从而可知，函数在上为增函数，
由可得，解得，所以，，
因此，关于的不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用函数的对称性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数对称性的区别.
5．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和.
【详解】根据，以代换得：，所以，可知函数的周期为4，
因为是上的奇函数，所以，即关于点对称，
于是，，
由，取得，即，
则，因此，取，得，
于是，
因此，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性.
压轴题型二：广义偶函数“轴对称”
√满分技法 轴对称常见关系式子：
1．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数满足，得到函数是以6为周期的周期函数，由时，，用导数法结合偶函数，作出数在上的图象，将不等式在上有且只有150个整数解，转化为在一个周期上有3个整数解分别为-2，2，3求解.
【详解】因为偶函数满足，所以，即，
所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，所以，
当时，，函数递增；当时，，函数递减；
当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：

因为不等式在上有且只有150个整数解，
所以不等式在上有且只有3个整数解，当时，不符合题意，
故不等式在上有且只有3个整数解，因为，
所以，即，故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，
所以，，即，故选：B
【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
2．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.
【详解】构造函数，对任意实数，都有，
则，
所以，函数为偶函数，.
当时，，则函数在上单调递减，
由偶函数的性质得出函数在上单调递增，
，即，
即，则有，
由于函数在上单调递增，，即，解得，
因此，实数的最小值为，故选A.
【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
3．定义域为的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，问题转化为.由得，即为偶函数；结合可知在上单调递增，在上单调递减.根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．
【详解】设.
，，∴为上的偶函数.
∵当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
由得，
即，所以，即，解得，即不等式的解集为.
故选：B.
【点睛】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法构造目标函数，通过研究函数的单调性、最值等问题，进而解决不等式、方程及最值之类问题.准确构造出符合题意的函数是解题的关键.本题解题关键为构造函数，研究函数的奇偶性和单调性，从而求解不等式.
4．已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（ 　 ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断函数的对称性和单调性，由此化简不等式并求得不等式的解集.
【详解】依题意，函数对任意满足，
所以关于直线对称.
由于任意，且，都有，
所以在上单调递增，则在上单调递减，
所以由可得，
即，两边平方并化简得，
解得，所以不等式的解集.
故选：D
【点睛】易错点睛：
对称性理解不清：如果没有准确理解函数的对称性，可能会导致错误地推导不等式的解集.
不等式求解过程中的符号错误：在化简过程中，可能会忽略符号导致最终解答不正确.
求解不等式时的步骤遗漏：在求解二次不等式时，遗漏了符号分析，导致错误的结果.
5．设，函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的解析式，根据题意，由零点，可以得方程，然后常变量分离，构造函数，利用新构造函数的对称性，得到之间的关系，再根据对数的运算性质，得到之间的关系，这样可以把化简成关于的代数式，最后利用换元法，基本不等式以及函数的单调性求出值域即可.
【详解】当时，有，因此有，
所以函数的解析式为，
由题意有四个不同的实数解，因此有四个不同根，
设函数，
可知函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，
函数的图象如下图所示：
要想函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，必须有，
此时有，
再由，结合图象可知：函数是关于直线对称，
因此有，
由可知，即，故，
，所以，
令，令，函数在上单调递增，
又，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用换元法转化为对勾函数后，根据对勾函数的单调性求取值范围，是解题的关键所在，另外需注意其中数形结合的应用.
压轴题型三：周期型
√满分技法 周期函数特征，简称为“差定为期”。
1．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．
【答案】D
【分析】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D．
【详解】A选项，因为奇函数，则，
令，得，可得，故A正确；
B选项，因为偶函数，则，
即为函数图象的一条对称轴，故B正确；
C选项，由，得为图象的一个对称中心，
又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增，
所以在当单调递增，
又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确；
D选项，由B选项，，令，可得，故D错误．
故选：D．
2．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和.
【详解】根据题意，定义在上的函数满足
则，故函数为周期函数，4是函数的一个周期.
因是上的奇函数，则，的图象关于点对称，
于是，，
在，取，得，因，
则
，
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题.
3．已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由为奇函数，结合导数运算，由为奇函数，得到，通过整理可得，进而分析得到,,从而得出结果.
【详解】为奇函数，.
即，两边求导得，
则，可知关于直线对称，
又为奇函数，所以，
即，可知关于直线对称，
令，可得，即，
由，可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；令，可得；
且，可知为的周期.
可知,,
所以.
故选：B.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
4．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据求出的一个周期为4，由为奇函数求出函数的图象关于点对称，然后求解即可.
【详解】由，则，
所以，所以的一个周期为4.
由，令，则有，所以.
因为为奇函数，所以，所以，
所以函数的图象关于点对称，
所以，所以，
令，则，即，
令，则，
令，则，而，
又因为的一个周期为4，所以
，
故选：B.
5．已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则 （ ）
A．2025 B． C．4050 D．
【答案】A
【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为奇函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果.
【详解】因为①，所以，
所以，所以的周期为4，
因为为奇函数，所以②
令，由②得，所以，
①中令，得，所以，
令，得，所以，
综上，，
，，
所以
，
由函数的周期性得，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题求出特殊值的函数值及周期后，关键在于发现为常数，据此4个相邻项和为一组，利用周期即可得解.
压轴题型四：双函数型
√满分技法 “双函数” 双函数常规思维：是依赖单调性、中心对称性、周期性来推导函数。 双函数实战思维： 1.双函数各自自身对称性 2.形如。借助数形结合，f（x）的性质，可以传递给g（x）。 3.形如，与，可以借助函数方程消去一个，剩余另一个函数，再借助函数性质得到图像特征。
1．已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】A选项，根据的图象关于对称，所以关于轴对称，故，A正确；B选项，由奇函数性质得到，故，B错误；CD选项，由题目条件得到，结合得到，故，推出，得到周期，赋值法得到，，并利用周期求出.
【详解】A选项，因为的图象关于对称，所以关于轴对称，
故是偶函数，则，故A正确；
B选项，因为是奇函数，所以，即，故B错误；
CD选项，由得，
又，所以，又，
即，即，则，
所以，所以①，
即②，
②-①得，所以函数的周期为4，
令，由，得，
再令，则，所以，
又，由，
所以
，故C，D正确.
故选：ACD.
2．已知定义在上的函数，满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题意将全部转为，可得，再结合题意分析可得，进而可得，，，即可判断AC；结合周期性分析可得，即可判断B；根据题意分析可得，，结合周期性判断D.
【详解】因为，即，
又因为，则，
可得，即，则，
又因为，则，
可得，则，
可知4为的周期，
由，可得，则，故A正确；
由，可得，
且，可得，
则，即，故C正确；
因为，则，
且，则，
所以，可知2为的周期，故B正确；
由，可得，，即，
由，可得，即，
则，结合周期可得，
又因为，
可得，结合周期可得，
所以，故D错误；
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
3．设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有（a为常数），，则（ ）
A． B．
C．为周期函数 D．
【答案】BC
【分析】对于A，在中，令得，为单调函数，所以；对于B，由，得，对于C，设，则由，可得，对于D，由，得，为等差数列，且，所以.
【详解】在中，令得，
所以，又为单调函数，
所以，即，所以，
所以，所以A错误；
由，得，所以B正确；
设，则由，
可得，所以，
所以，即为周期函数，所以C正确；
由，得，即，
所以为等差数列，且，即，
所以，所以，
所以D错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于D选项，由，得，为等差数列，且，所以.
4．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．3是函数的周期 D．
【答案】BCD
【分析】令求，再令可求得，可判断A；令可判断B；令求，分别令，，整理化简可得周期，可判断C；利用周期性求解即可判断D.
【详解】令，则，解得．
令，则，即．
又，所以，所以A错误．
令，则，
即，所以，
所以为奇函数，B正确．
令，则．
又，
所以，所以．
又，所以．
由，得，
则．
由，得．
又因为，所以．
又因为，
所以，
即．
用代替上式中的，得．
又，
所以，即，
所以3是函数的周期，所以C正确．
由，函数为奇函数，得，
所以．
又，所以，
所以，所以D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：本题的两个关键点：（1）根据函数方程合理赋值，找出；（2）建立与的相等关系，从而挖掘出函数的周期性．
5．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．
C．， D．若的值域为，则
【答案】BCD
【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.
【详解】，，
，，
关于对称，，
，，，
，故C正确；
关于对称，，，为偶函数，
，，，，，为偶函数，故A错误；
，图象关于点中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，
，故D正确；
由得，又，所以，
由得，所以，故B正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
压轴题型五：添加导数的双函数型
√满分技法 利用函数与导函数的相关构造函数，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造.
1．设定义在R上的可导函数和满足，，为奇函数，且．则下列选项中正确的有（ ）
A．为偶函数 B．为周期函数
C．存在最小值且最小值为1 D．
【答案】ACD
【分析】A选项，两边求导得到，故；B选项，从已知条件的特殊性构造，求导得到，从而构造，求导得到，从而待定常数c，利用函数奇偶性和构造方程组解得解析式，结合函数单调性与周期定义可判断周期性；C选项，利用基本不等式求最小值；D选项，运算证明.
【详解】A选项，由为奇函数，，则，
两边同时求导，得，即，从而为偶函数，所以A正确；
B选项，由题意知，构造函数，
根据求导法则，得，
于是，构造函数，根据求导法则，
得.
从而，即，其中为待定常数.
由为奇函数，得，再由，得，
又， 所以，
从而①.
又由为奇函数，为偶函数知，
②，
联立①②， 解得，，
由，故在是增函数，
故不存在常数，使，所以不是周期函数，故B错误；
C选项，由基本不等式知，，
其中当且仅当时等号成立，即存在最小值且最小值为，故C正确；
D选项，
，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：
1.关于可导函数与其导函数的奇偶性：当为偶函数，则其导函数为奇函数；当为奇函数，则其导函数为偶函数；
2.双曲正弦函数与双曲余弦函数互为导函数.
2．已知函数及其导函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】从题设等式判断函数和的对称性，可判断A，推导出函数的周期为4，分别求出，和的值，利用函数的以上性质即可判断B,C.
【详解】由取，即得，故A正确；
又由，可得，即，则有，
将其两边求导得，，把代入可得，（*），
即，从而，即函数为周期函数，周期为4.
又由可得，关于直线对称，由（*）可得，，即得，
又，即得，，于是，即B错误；
因，故，即C正确；
对于D，由无从求得的具体函数值，故得不到，即D错误.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：本题解题思路为，通过题设等式，考虑函数的轴对称性或中心对称性，考虑函数的有无周期性，有时还需要将函数等式两边求导配合条件推导结论.
3．设定义在R上的可导函数和满足， ， 为奇函数，且. 则下列选项中正确的有（ ）
A．为偶函数
B．为周期函数
C．存在最大值且最大值为
D．
【答案】AD
【分析】A选项，两边求导得到，故，故A正确；B选项，构造，求导得到，从而构造，求导得到，求出，，结合函数奇偶性和方程思想得到，，，，从而，B错误；C选项，利用基本不等式求出最小值为，D选项，计算出.
【详解】A选项，由为奇函数， 即， 对方程两边同时求导，
根据求导法则， 得， 即，
从而为偶函数， 所以A正确.
B选项，由题意知， 构造函数，，
根据求导法则，得，
即，
于是， 构造函数，，根据求导法则，
得.
从而，， 即，，其中为待定常数.
由为奇函数，得. 再由，得，
又， 即，
从而，.
另由为奇函数，为偶函数知，
，
与联立， 解得，，
，.
由于当时，，
故不是周期函数，所以B不正确；
C选项，由基本不等式知，，
其中当且仅当时等号成立，即存在最小值且最小值为，所以C不正确；
D选项，
，
D正确.
故选：AD
4．已知函数及其导函数的定义域为R，若，函数和均为偶函数，则（ ）
A．函数是周期为5的周期函数
B．函数的图象关于点对称
C．
D．函数的图象关于直线对称
【答案】BCD
【分析】根据函数奇偶性的定义，由周期函数的定义即可求解判断A，结合函数的对称性即可求解判断B，根据函数周期性的性质即可求解C，根据原函数与导数的对称性关系即可求解D.
【详解】因为为偶函数，所以，
两边求导得，所以，
得，所以函数的图象关于点对称，故选项B正确；
由，令，得，即，
因为函数为偶函数，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
所以函数，则，
所以的周期为4，所以选项A错误；
因为，令，得，又，
令，得，所以，故C正确；
因为，，所以，即函数关于点对称.
下面证明：若函数连续可导，且导函数图象关于点对称，则函数图象关于直线对称.若导函数图象关于点对称，则，
即，令，
则，所以，（为常数），
又因为，所以.
所以，即，
所以函数得图象关于直线对称.
所以函数关于点对称，可得关于对称，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：对于D选项，解题关键是根据条件得到函数关于点对称，再研究原函数与导函数的对称性关系即可求解判断.
5．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
先根据条件分析出的周期性对称性，再得到的周期性的对称性，最后由求导得到和的周期性和对称性，代入求解即可.
【详解】由题意得，所以，
两式相减可得①，所以关于点中心对称，
又因为为奇函数，所以②，
即，所以关于点中心对称，
而定义域为，所以，A正确；
②式两边对求导可得，所以是偶函数，
以替换①中的可得，
所以，所以是最小正周期为4的周期函数，
因为，所以也是最小正周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，
所以也是最小正周期为4的周期函数，所以不恒成立，B错误；
由①得，令，解得，
所以③，即关于直线对称，
以替换③中的可得，
由②可知，所以④，
所以，所以C正确；
由上可知关于点中心对称，所以
又因为是偶函数，所以
又因为是最小正周期为4的周期函数，所以，
由条件可得，
所以，
由④知，所以，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
压轴题型六：指数-反比例复合型
√满分技法 反比例与指数复合型性质：
1．已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由为偶函数，故只需为奇函数，由此利用奇偶性求出，又由为偶函数得的图象关于直线对称．再由导数判断出的单调性，利用单调性、奇偶性解题可得答案.
【详解】依题意，，令，
由于为偶函数，故只需为奇函数，
由，得，
因为，定义域关于原点对称，
，
由此可以验证为奇函数．所以满足题意，
又由为偶函数，得，
故的图象关于直线对称．
，
当时，，
可知，当时，单调递增，则时，单调递减．
原不等式即为，
等价于，即，解得．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数判断出的单调性.
2．已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分别求出集合，然后利用集合的交集运算从而求解.
【详解】由题意得，所以，
因为，所以，所以，所以，，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
当时，，此时，
综上：，所以，故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对分情况讨论具体的取值求出集合，从而求解.
3．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值
【答案】D
【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，，从而由复合函数单调性可知在上单调递增，
且注意到是定义在上的奇函数，
所以不等式等价于，
即等价于，亦即，
该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值．
因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增，
所以当时，的最小值为
所以，等号成立当且仅当．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在上单调递增，从而将不等式等价变形为对任意恒成立，进而即可求解.
4．已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解.
【详解】一方面由题意有，
另一方面若有成立，
结合以上两方面有，
且注意到，
所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，
若，则只能，
因此当且仅当；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现当且仅当，从而得出，从而由基本不等式即可顺利求解.
5．已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.
【详解】记
因为，所以，所以
当时，，所以，
取，
则对任意正整数，总有成立，故舍.
当时，，所以
要使正整数的最大值为6，则，解得；
当时，，所以
显然存在任意正整数，使得成立；
当时，，所以
要使正整数的最大值为6，则，解得
综上，的取值范围为
故选：C
压轴题型七：对数-反比例复合型
√满分技法 对数-反比例复合型：
1．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由函数定义域的对称性解得，再由特值法得的方程求解验证即可.
【详解】由题意知，且，
因为函数的图象关于直线对称，
则是方程的根，
故，解得，则.
又由得，,解得.
故，即，
验证：函数的定义域为，且，
且，
故函数的图象关于直线对称，满足题意.
则.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是由题意得，从而利用对称轴得到，进而得到是方程的根，由此得解.
2．已知函数关于点中心对称，则曲线在点，处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合函数图象变换整理新函数，利用对称性可得其奇偶性，根据导数与切线斜率的关系，可得答案.
【详解】因为关于点中心对称，
所以函数为奇函数，
则，即，且为奇函数，所以，解得，
故，且，故切线斜率为.
故选：D.
3．已知函数，有成立，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用对数型函数的单调性求出的值域，令，根据值域关系建立不等式求解，解指数不等式即可求解.
【详解】令，则该函数在上单调递减，
又在定义域上单调递增，所以函数在上单调递减，
所以，即函数在上的值域为，
令，则，令，，
因为，，有成立，
所以值域为值域的子集，即为函数值域的子集，
当时，，显然不满足题意；
当时，的对称轴，且开口向上，
所以在上单调递增，且，
所以，，即，所以，所以，
所以或（与矛盾舍去），所以，
所以，即实数的取值集合为.
故选：B
4．已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（ ）
A．6 B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】将图象与两坐标轴围成的图形面积，转化为图象与所围成的图象面积.利用的单调性、对称性等知识求得围成图形的面积.
【详解】由题可知函数图象为图象向左平移一个单位得到，
图象与两坐标轴围成的图形面积即为图象与所围成的图形面积，
，由得，解得，
所以的定义域为，
则有，函数的图象关于点成中心对称，
又，且点与点也关于点成中心对称，
，
由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减，
如图，根据对称性可知图象与所围成的图形面积是，
也即图象与两坐标轴围成的图形面积为.
故选：C
【点睛】本题涉及到多个函数的性质，如函数定义域的求法、函数图象变换（左加右减）、函数图象的对称性的判断方法、复合函数单调性的判断，还有对称图形面积的求法，需要利用数形结合的数学思想方法来求解.
5．设函数（a，，且），则函数的奇偶性（ ）
A．与a无关，且与b无关 B．与a有关，且与b有关
C．与a有关，且与b无关 D．与a无关，且与b有关
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义域关于原点对称，及奇偶性定义判断参数满足的条件.
【详解】由函数，
令，即，
方程的一个根为，要保证函数定义域关于原点对称，
需另一个根为，即，解得
，即函数的定义域为
当时，，为奇函数；
当时，函数为非奇非偶函数
所以函数的奇偶性与无关，但与有关
故选：D
压轴题型八：对数无理型
√满分技法
1．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案.
【详解】因为的定义域为R，
，
所以函数是奇函数，
由，
可知在上单调递增，
所以函数为R上单调递增的奇函数，
所以不等式对任意均成立等价于
，
即，即对任意均成立，
又，当且仅当时取等号，
所以的取值范围为.
故选：A.
2．已知函数有唯一零点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可知函数为奇函数且单调递增，进而可得函数的对称中心为，且在R上单调递增，进而即得.
【详解】因为
，
对于函数定义域为R，
且，，
所以函数为奇函数，
又时，单调递增，
所以时，单调递增，
所以函数在R上单调递增，
所以的对称中心为，且在R上单调递增，
因为，故，，
因为，，所以，
所以，
所以，，
故.
故选：D.
3．已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围.
【详解】由于，所以的定义域为，
所以，
，
，
所以是奇函数，
由于在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
由得，
即，
所以，
解得，所以的取值范围是.
故选：C
【点睛】判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再根据或来确定函数的奇偶性.求解含有函数符号的不等式时，可以考虑利用函数的单调性、奇偶性等知识去掉函数符号，由此来对问题进行求解.
4．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义，结合对数运算公式得到，又知对数底数且，可得；利用复合函数的单调性判断和奇函数的性质可得在上单调递减，再将恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立，联立二次函数图像的性质得恒成立，求解即可.
【详解】是奇函数，恒成立，
即恒成立，
化简得，，即，
则，解得，又且，，
则，所以，
由复合函数的单调性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，
所以在上单调递减；由恒成立得，
恒成立，
则恒成立，
所以恒成立，解得.
故选：B.
5．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称
C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则
D．令，若，则实数的取值范围是
【答案】A
【分析】求出函数的定义域为R，又可判定A错误；将向下平移两个单位，再向左平移一个单位后得到的解析式关于原点对称，从而得到B正确；求出关于对称，从而得到，求出，C正确；利用导函数及复合函数单调性得到函数为单调递减函数，分类常数后得到为减函数，从而得到为减函数，结合关于点对称，得到，即，由单调性解不等式，可判定D正确.
【详解】由题意函数，
因为恒成立，即函数的定义域为R，
又因为，所以不是奇函数，所以A错误；
将的图象向下平移两个单位得到，
再向左平移一个单位得到，
此时，所以图象关于点对称，
所以的图象关于对称，所以B正确；
将函数的图象向左平移一个单位得，
因为，
即，所以函数为奇函数，所以函数关于点对称，
所以若在处取得最大值，则在处取得最小值，
则，所以C正确；
由，可得，
由，设，，
可得，所以为减函数，可得函数为减函数，
所以函数为单调递减函数，
又由为减函数，所以为减函数，
因为关于点对称，所以，即，
即，解得，所以D正确.
故选：A.
压轴题型九：对-指复合反比例型
√满分技法 对数-指数复合反比例型： 对数-指数复合反比例型原理：
1．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.
【详解】因为函数是偶函数，所以，即，所以，
其中，所以，解得，所以，所以，故函数的最小值为．令，则，故函数的最小值为等价于的最小值为，等价于或，解得．故A，C，D错误.
故选：B．
2．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数得在上为减函数，在上为增函数，由可得，利用恒成立，得，再根据可得.
【详解】的定义域为，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
因为，所以，所以，即.
因为
，
所以，所以，因为，所以，
又因为在上为增函数，所以，即，
所以，
综上所述：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：推出恒成立，得是解题关键.
3．已知函数，现有如下说法：①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递减；③函数有两个零点．则其中正确说法的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题可得，又为偶函数，且在上单调递增，再结合零点存在定理即可判断.
【详解】由题意得，，
令，定义域为R，可知，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，则函数的图象关于直线对称，故①正确；
∵，函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，
∴在上单调递增，
∴函数在上单调递增，故②错误；
由①②可知，函数在上单调递减，在上单调递增，∴，
又，，
函数有两个零点，故③正确．
综上，正确说法的个数为2.
故选：C．
4．已知函数，设，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】借助函数奇偶性定义得到该函数为偶函数，则可得，再借助中间值从而去比较与的大小关系，则可得，最后借助对勾函数单调性与复合函数性质判断函数在上的单调性即可得解.
【详解】由恒成立，故的定义域为，
，
由，故为偶函数，则，
又，，
，故，当时，，令，
令，，由对勾函数性质可得该函数在上单调递增，
故在上单调递增，故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点有三个，一是借助函数奇偶性定义得到该函数为偶函数，二是借助中间值从而去比较与的大小关系，三是借助对勾函数单调性与复合函数性质判断函数在对应区间内的单调性.
5．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由的解析式推得，再由复合函数的单调性推得在上单调递增，从而利用对数的性质与基本不等式推得，由此得解.
【详解】因为
，
所以，，
所以，则，
又因为，定义域为，
因为对勾函数在上单调递增，在上单调递减，
指数函数在上单调递增，且恒成立，在取得函数值，
对数函数在上单调递增，
所以由复合函数单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减.
又，
所以，所以，
又，，
而，，则，即，
所以，则，
故，所以.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用的解析式推得的性质，从而利用对数函数的性质推得，由此得解.
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