资源简介 2025届中考复习专题：反比例函数常考二级结论与选填压轴【题型1】 |k|模型 13【题型2】 面积模型 20【题型3】 垂直模型 30【题型4】 反比例函数图像性质与代数运算综合 43【题型5】 反比例函数中的平移问题 52【题型6】 比例端点模型 58【题型7】 反比例函数中的设而不求法 76【题型8】 反比例函数与相似相似三角形结合 86【题型9】 反比例函数的找规律问题 112【题型10】 矩形模型（平行，比例性质） 124【题型11】 等线段模型 134【题型12】 等角模型 149【题型13】 反比例函数与与几何综合 155【模型1】|k|模型结论1：S矩形＝|k|：结论2：S三角形＝|k|【模型2】四类面积模型类型一结论：证明：,,．类型二结论：① AO＝BO，AB关于原点对称，② S△ABC ＝4|k|类型三结论：① ABCD为平行四边形，② S四边形ABCD ＝4S△AOB类型四结论：S四边形ABOC＝k2－k1【模型3】垂直模型结论：证明：作BC⊥x轴，AD⊥x轴，则△BCO∽△ODA，∴【模型4】比例端点模型出现比例端点时可以考虑作垂线构造相似或设点坐标来转化结论：证明：过点D作DE⊥x轴，，【模型5】矩形模型（平行性质和比例性质）一、比例性质如图，A，B是反比例函数图象上任意两点，过A、B作x轴、y轴垂线段线段比（共线的线段之比为定值）证明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴证明二：∵结论：二、平行性质如图1、图2、图3，点A、B是反比例函数 图象上的任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，连接AB、CD，则AB∥CD．下面以图1为例来证明（图2、图3证法类似）：法一：面积法（等积变形）如图，易知S△ACE＝S△ADE，因为两个三角形同底等高，故ED∥CA由平行关系还可以得出其它性质：，(平行线分线段成比例)补充简证证明一：由比例性质可知，，根据相似可知AB∥CD∥GF证明二：∴ ∴， 同理可证CD∥GF方法二：连接OA、OB，延长CA、DB交于点E则OC＝DE，OD＝CE由k的几何意义可知S△AOC ＝S△BOD，又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD方法三：延长CA、DB交于点E设则又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD补充拓展：矩形模型中的翻折如图，矩形OABC顶点A，C分别位于x轴，y轴正半轴，反比例函数在第一象限图象交矩形OABC两边于D，E点，将△BED沿ED翻折，若B点刚好落在x轴上的点F处，则EO＝EF【模型6】等线段模型如图1、图2，点A、B是反比例函数 图象上的任意两点，直线AB交y轴于点C，交x轴于点D，则AC＝BD．证明：作AE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F由平行性质可知AB∥EF∴四边形CEFB和四边形AEFD均为平行四边形∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BD【模型7】等角模型模型一：如图，点A、B是反比例函数 图象上的任意两点，直线OB交反比例函数 的图象于另一点C，直线AC交x轴于点D，交y轴于点E，直线AB交x轴于点F，交y轴于点G，则∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．证明：作CN∥x轴，AN∥y轴，BM⊥AN于M则∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM设A（a，），B（b，），则C（－b，－ ）∴CN＝a＋b，AN＝ ＋ ，BM＝b－a，AM＝ －，∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG∴AE＝AG∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF模型二：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数在第一象限的图象上，C，D分别位于x轴正半轴和y轴正半轴上，则必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F.取AB中点G，连GO交DC于H.由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。∴∠6＝∠5＝∠2，∴H为DC中点，∴GO∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，进而可知∠3＝∠7＝∠4证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。过C点作y轴平行线，交AB于I，构平行四边形EDCI∴EI＝DC＝AB，即EA＝IB，又由基本结论知EA＝BF∴IB＝BF，∴∠2＝∠5＝∠1，同理可证∠3＝∠4模型三：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数在第一象限的图象上，C，D分别位于y轴负半轴和x轴负半轴上，则必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。取AB中点G，连GO并延长交DC于H。由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。∴∠1＝∠5＝∠7＝∠6，∴H为DC中点，∴GH∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，进而可推∠3＝∠4证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。过C作x轴垂线，交直线AB于I，构平行四边形DCIF∴FI ＝DC ＝AB ，又由基本结论知AE＝BF，∴BE＝BI∴∠1＝∠5＝∠2，进而可推∠3＝∠4【反比例函数中的其它八类模型】反比例函数图象其他几何结论一:如图, 、 反比例函数 第一象限图象上任意两点. 射线 、 分别交反比例函数 图象于 两点,则 .反比例函数图象其他几何结论二:如图, 为反比例函数 第一象限图象上任意一点过 做 轴垂线和 轴垂线,两线交反比例函数 图象于 两点,则, 为定值 时结论相同).反比例函数图象其他几何结论三:如图, 是反比例函数 第一象限图象上两点,并满足 ,则 .反比例函数图象其他几何结论四:如图, 是反比例函数 第一象限图象上任意一点,连 ,过 作 轴 (或 轴) 垂线段垂足 ,过 作 平行线交第一象限双曲线于 ,则 .反比例函数图象其他几何结论五:如图, 是反比例函数 第一象限图象上任意一点,连 ,以 为圆心, 为半径画圆交 轴 (或 轴) 于 则直线 与反比例函数图象相切.反比例函数图象其他几何结论六:等腰 中 在 轴正半轴上. 反比例函数 图象分别交 于 、 ,则 .反比例函数图象其他几何结论七:条件同结论七,延长 至 使 ,则 .反比例函数图象其他几何结论八:为反比例函数 第一象限图象上任意一点,连 以 为圆心, 为半径画圆,交 轴 (或 轴) 于 线段 交反比例函数 ,第一象限图象于 ,则 为定值 .【题型1】 |k|模型【例题1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A 在反比例函数上，过点A作轴，交y 轴于点C，交反比例函数于点 B．若，则k 的值为（ ）A．6 B． C． D．3【答案】D【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，根据同高三角形的面积比等底边比，求出的面积，即可得出k 的值．【详解】解：连接，∵轴，∴轴，∵点A 在反比例函数上，点 B在反比例函数上，∴，∵，∴，∴，∴【例题2】如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值是（ ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【详解】解：如图是反比例函数和在第一象限的图象，∵直线轴，设点B（a，b），点A为（m，n），∴，，∵，∴，∴【例题3】（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键．利用反比例函数系数k的几何意义可得，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积公式进而求出答案【详解】解：连接、、，轴，，四边形为平行四边形，，轴，，由反比例函数系数的几何意义得，，， ，【巩固练习1】如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为（ ）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【详解】解：如图，连接OA，OB，∵△AOB与△ACB同底等高，∴S△AOB=S△ACB，∵AB∥x轴，∴AB⊥y轴，∵A、B分别在反比例函数y=-（x＜0）和y=（x＞0）的图象上，∴S△AOP=3，S△BOP=1，∴S△ABC=S△AOB=S△AOP+S△BOP=3+1=4【巩固练习2】（2023年辽宁省丹东市中考）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ．【答案】【详解】解：如图，连结、， ∵轴，∴．∴．∵，∵，∴，∵图象位于第一象限，则，∴．【巩固练习3】（2022年湖南省郴州市中考）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】B【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，∵，∴∵∴【巩固练习4】如图，直线与反比例函数、的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，的面积为3，则k的值为 ．【答案】5【详解】解：由题意得，点C的坐标（t，），点B的坐标（t，），∴，∵的面积为3，∴，解得【巩固练习5】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考）如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 ． 【答案】【详解】解：如图： ∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，∴∵四边形是面积为9的正方形，∴，即，解得：【题型2】 面积模型【例题1】（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F，根据反比例函数性质，得到，用k表示梯形的面积计算即可．本题考查了反比例函数的性质，梯形的面积公式，等积变形，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F，根据题意，得，∴，∴，∴，∴，∵A，B的纵坐标分别是4和2，∴，，∵的面积是6，则k的值是∴，解得，故选B．【例题2】（2025·广西·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，则实数的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，延长交y轴于点，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．【详解】解：如图，延长交y轴于点，∵，∴，∵是平行四边形，∴，∴，∴，∵点A在反比例函数图象上，∴．【例题3】（山东省日照市中考）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）A．3 B．-3 C． D．【答案】B【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，∴，∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，∴S矩形OABC=k2，∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，∴k2-k1=3，∴k1-k2=-3【巩固练习1】如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是 ．【答案】8【详解】解：根据题意可得A(2，3)，B(6，1)，过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，则AC=3，BD=1，OC=2，OD=6，DC=4∴=2×3÷2+(3+1)×4÷2－6×1÷2=3+8－3=8【巩固练习2】（2024·江苏南京·三模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于 ．【答案】【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象，熟练知识点是解题的关键．可求，根据反比例函数k的几何意义得到，则．【详解】解：∵，∴∵，∴，根据反比例函数k的几何意义得到，而反比例函数的图象经过第二象限，∴【巩固练习3】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C， 交于点A，轴于点D， 交于点B，则四边形的面积是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】主要考查了反比例函数主要考查了反比例函数中的几何意义，四边形的面积为矩形的面积减去三角形与三角形的面积，根据反比例函数中的几何意义，其面积为．【详解】解：根据题意可得四边形的面积，由反比例函数中的几何意义，可知其面积为．【巩固练习4】（广西·统考中考）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】设，则，，∵点A在的图象上则，同理∵B，D两点在的图象上，则故，又∵，即，故，∴【巩固练习5】（2023湖北黄石市中考）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ． 【答案】 2【思路点拨】根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，过点B作轴于点D，交于点E，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，则，解得：（舍），，∵，∴，即，∴，故答案为：，2． 【巩固练习6】两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中，正确的结论有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴，∴，，∴，结论①正确；∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴，∴，∴，即四边形的面积不会发生变化，结论②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，，，与的关系无法确定，结论③错误；如图，连接，点是的中点，，，，，即，，∴点一定是的中点，结论④正确；综上，正确的结论有3个【巩固练习7】（2023年湖南省湘西中考）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：延长交轴于点， ∵轴，∴轴，∵点A在函数的图象上，∴，∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，∴，∴四边形的面积等于【巩固练习8】（江苏省南京市中考）如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则 ．【答案】12【详解】解：设A（t，）,∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点，∴B（-t，-）,∵轴，轴，∴C（t，-）,∴【题型3】 垂直模型【例题1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（负值舍去）【例题2】（2024·福建莆田·一模）如图，在矩形中，点是坐标原点，点A在反比例的图象上，点在反比例函数，，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、反比例函数k的几何意义等知识点，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得即可求解．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，如图：过A、B作轴于E，轴于F，∵且，∴，∴，∴，,解得：，∵反比例函数在第二象限，∴，∴．【巩固练习1】已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设点的坐标为，，点的坐标为，，设线段所在的直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：，则，，，整理得：，【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别是，．，，则函数的图像经过点C，则k的值为 ．【答案】4【分析】本题考查了反比例函数的性质和等腰直角三角形，解题关键是恰当构建直角三角形，利用等腰直角三角形求出点C坐标；作于点D，利用等腰直角三角形求出点C坐标，再求出k的值即可．【详解】解：作于点D，∵点A，B的坐标分别是，∴，∵，∴，∴设，则点C坐标为，∴，∵，∴，解得，或（舍去），点C坐标为，∴k的值为4，故答案为：4．【巩固练习3】如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（ ）A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴，设点B为（a，），A为（b，），则OE=-a，EB=，OF=b，AF=，可代入比例式求得，即，根据勾股定理可得：OB=，OA=，∴tan∠OAB===∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变．故选：D【巩固练习4】如图， 已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上， 第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上， 且OA⊥OB， cosA＝， 则k的值为（ ）A．－12 B．－16 C．－6 D．－18【答案】D【详解】解：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M，∵cosA＝，∴，设，，，∴，∵OA⊥OB，∴∠BMO＝∠ANO＝∠AOB＝90°，∴∠MBO+∠BOM＝90°，∠MOB+∠AON＝90°，∴∠MBO＝∠AON，∴△MBO∽△NOA，∴，设A（x，），ON＝x，AN＝，∴OM＝，BM＝3 x，即B的坐标是（﹣，3 x），把B的坐标代入反比例函数y＝得，，解得，k＝﹣18，故选：D．【巩固练习5】如图，已知A是双曲线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B，若，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：点在双曲线上一点，设，，轴，在双曲线上，设，，，，，，，，，【巩固练习6】（2023·福建·统考中考）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ） A． B． C． D．3【答案】A【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上， ∵，，∴．∴．∴．∵点在第二象限，∴【巩固练习7】（2023·四川达州·中考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ． 【答案】【详解】如图所示，过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接， ∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点，∴联立，即，∴解得，∴，，∴，，∴，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得，，∴点C的坐标为【巩固练习8】如图，点A是双曲线y＝上的动点，连结AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y＝上的运动，则k＝ ． 【答案】﹣9．【详解】解：∵双曲线y＝关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴OA＝OB．连接OC，AC，如图所示．∵将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，∴△ABC是等边三角形，OA＝OB，∴OC⊥AB，∠BAC＝60°，∴tan∠OAC＝＝，∴OC＝OA．过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，∴△AEO∽△OFC．∴．∵OC＝OA，∴OF＝AE，FC＝EO．设点A坐标为（a，b），∵点A在第一象限，∴AE＝a，OE＝b．∴OF＝AE＝a，FC＝EO＝b．∵点A在双曲线y＝上，∴ab＝3．∴FC OF＝b a＝3ab＝9，设点C坐标为（x，y），∵点C在第四象限，∴FC＝x，OF＝﹣y．∴FC OF＝x （﹣y）＝﹣xy＝9．∴xy＝﹣9．∵点C在双曲线y＝上，∴k＝xy＝﹣9【巩固练习9】如图，点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一个分支于点B，以AB为底作等腰且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，则 ．【答案】【详解】解：如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，，，则，，，又，，，，点是双曲线 在第二象限分支上的一个动点，，，即，【巩固练习10】如图，的顶点与坐标原点重合，，，当点在反比例函数的图象上移动时，点坐标满足的函数解析式为 ．【答案】【详解】如图，作轴于点C，轴于点D．∵，∴，∵，∴，且相似比为．∴．由反比例函数比例系数的几何意义可知．∴．∴B点坐标满足的函数解析式为反比例函数，设其解析式为．∴，∴．∵点B在第二象限，即，∴．∴B点坐标满足的函数解析式为．故答案为：【题型4】 反比例函数图像性质与代数运算综合【例题1】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】本题考查一次函数与反比例函数，巧用数形结合的思想是解题的关键．利用数形结合的思想即可解决问题．【详解】解：根据所给的函数图象可知，图象在直线右侧，且在轴左侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即，图象在直线右侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即．所以当或时，．【例题2】（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵直线与双曲线交于两点，∴点与点关于原点对称，故正确；∵点与点关于原点对称，∴，∵轴，轴，∴，∴，∴，∴点是的中点，故正确；∵，∴在每一象限内，随的增大而减小，当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误；∵轴，∴，∵点与点关于原点对称，∴，∵点是的中点，∴，故正确；∴正确结论有个【例题3】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ）A．或 B．且C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围．【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为，直线绕点逆时针旋转，所得的直线与直线平行，设这条直线的解析式为：，这条直线经过第一、二、四象限，，在直线上，，，，，；当在原点左侧时，设这条直线的解析式为：，同理：，，，，，．的取值范围是或．【巩固练习1】（2024·贵州遵义·二模）已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是数形结合．先画出函数图象，根据函数的图象即可得．【详解】解：如图所示，根据函数图象得，【巩固练习2】（2024·河北唐山·三模）已知反比例函数．（1）若点在反比例函数的图象上，则的值为 ；（2）若反比例函数与一次函数的图象交于点，且，请写出一个满足条件的值为 ．【答案】 0（答案不唯一）【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，（1）将代入求解即可；（2）首先判断出一次函数经过第二，四象限，然后根据题意得到，进而求解即可．【详解】（1）将代入得，，解得，故答案为：；（2）∵一次函数中∴一次函数经过第二，四象限∵反比例函数与一次函数的图象交于点，且，∴反比例函数图象在第二，四象限∴∴∴满足条件的值可以为0（答案不唯一）【巩固练习3】已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ．【答案】1【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解．【详解】解：设，点与点关于y轴对称，点，P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，解得：【巩固练习4】（2024·浙江杭州·二模）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有 ．【答案】①②④【分析】题目主要考查反比例函数的图象及反比例函数的性质，根据题意描点画出函数大致草图，连线过程需注意图象走势并结合完全平方公式得出其最值，最后根据图象和取点算法大致分析其性质作进一步判断即可．【详解】解：∵，x ．．． 0 1 3 ．．．y ．．． 5 4 5 ．．．．．． ．．．随着描点的数量不断增加，其草图如下，令，当时，即时，，当且仅当，即，，故①正确，符合题意；同理，结合图象得，当时，，即在时，y存在最大值，此时结合草图分析得：当时，随的增大而增大，故②正确，符合题意；由草图可知，当时，或，故③错误，不符合题意；由描点可知，其图形关于对称，即当时，，，则有，．故④正确，符合题意．【巩固练习5】（2024·湖北·模拟预测）反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ）①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且 A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，可得①符合题意，②不符合题意；求解，，设，，再结合勾股定理与一元二次方程根与系数的关系可判断③符合题意；由均在反比例函数上且，可得，可得④不符合题意．【详解】解：由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，∴，故①符合题意，②不符合题意；∵直线，当，，则，当，则，则，设，，∴，，联立，∴整理得：，∴，，∴，即，，，∴，，∴，∴，故③符合题意；∵均在反比例函数上且，∴，解得：，故④不符合题意【巩固练习6】（2024·湖北·二模）平移是初中学习过的重要初等变换，如：抛物线向右平移两个单位可以得到抛物线．依据这个规律，则方程的根的个数共有（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】C【分析】本题考查函数图像法解方程，反比例函数、二次函数的性质与平移，画函数图像，掌握函数图像法解方程，反比例函数、二次函数的性质与平移，画函数图像是解题关键．先将方程变形整理，得出函数与函数都向右平移两个单位，可得交点个数与的交点个数相同，，反比例函数位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，画出的图像，二次函数顶点为，对称轴y轴，函数图像经过一、二象限，在第一象限，随x的增大而增大，画出函数图像，得出两函数只有一个交点即可．【详解】解：∵∴∴∴函数与函数，都向右平移两个单位，∴交点个数与的交点个数相同，∵，反比例函数位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，列表x … 1 2 3… 3 1.5 1描点，连线如图二次函数顶点为，对称轴y轴，函数图像经过一、二象限，在第一象限，随x的增大而增大，列表x … 0 1 2 …… 4 1 0 1 1 …描点连线∴两函数只有一个交点，∴只有一个交点，∴方程的只有一个根．【题型5】 反比例函数中的平移问题【例题1】（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ．【答案】2或3【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可．【详解】解：∵，∴，设平移后点A、B的对应点分别为，∴，∵两点恰好都落在函数的图象上，∴把代入得：，解得：或．【例题2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ．【答案】9【分析】作轴于点，与，证明，求出的长度，进而求出点的坐标，设向上平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出的值．【详解】解：作直线轴于点，直线与，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，，∵，∴四边形为矩形，∴，，，，设向上平移个单位，则，则，又点和在该比例函数图象上，，解得，【巩固练习1】（2024·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．过作轴于点，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出的坐标后，代入反比例函数解析式求出的值，利用平移的性质得到点的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可．【详解】解：过作轴于点，如图所示：∴，∵点的坐标为，∴，，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∵点A在反比例函数的图象上，∴把代入可得：，∴，又∵点向右平移个单位后的坐标为：，∴把，代入可得：，解得：【巩固练习2】（2024·福建厦门·二模）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（ ） A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定与性质、反比例函数的性质、平移的性质，由题意得，，作轴于，证明得出，设将沿轴正方向平移个单位后得到，得出，，结合反比例函数的性质求出的值即可得解．【详解】解：∵点，，∴，，如图：作轴于， 则，∴，∵为等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，设将沿轴正方向平移个单位后得到，∴，，∵点的对应点恰好落在双曲线上，∴，解得：，∴平移的距离为【巩固练习3】（2024·四川达州·二模）如图，已知，以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在反比例函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移d个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，d的值为 ．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握各个性质是解本题的关键．根据三角形全等得出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定点的坐标和点的坐标，即可确定出的值．【详解】如图，过点作轴,交轴于点,过作轴, 过点作于点,∵,，∵四边形为正方形，，，，，在与中，，，，，∴，把坐标代入反比例函数解析式得：∴反比例函数解析式为同理可证，∴,把代入反比例函数解析式，解得：即的坐标为，则将正方形沿轴负方向平移个单位长度，使点恰好落在函数的图象上的点处,∴【题型6】 比例端点模型【例题1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【答案】A【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解．【详解】如图，过点A作，垂足为F，设，，∵轴，，∴轴，，∴，∴，∵E为的中点，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴【例题2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．过点E作，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值．【详解】过点E作，则，∴，∴设，∵∴，∴∴即，解得：【例题3】（浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，边AB在轴上，边AC交轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若，，，则$$= ．【答案】【思路点拨】过点作轴于点，过点作轴于点，设点的坐标为，则，先根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，又根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，，再根据反比例函数的解析式可得，从而可得，然后根据即可得出答案．【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点的坐标为，则，，，，，轴，轴，，，，即，，又轴，轴，，，，即，解得，，将代入反比例函数得：，，，由得：，，，，解得，即【例题4】（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ． 【答案】4【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点C的坐标是解题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，证明，得出点E的坐标，再根据点C和点E都在反比例函数的图象上，根据正方形面积结合勾股定理即可求解．【详解】解：设点C的坐标为，过点C作轴， ∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，则点A的坐标为，∵点E为正方形对角线的交点，∴点E为的中点，∴点E的坐标为，即，∵点C和点E都在反比例函数的图象上，，∴，∴，∵正方形的面积为10，∴，在中，∵，∴，∴，∴点C的坐标为，∴．【巩固练习1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点．若点、，则反比例函数的解析式为 ．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，过点作轴于，则，可证明，得到，即得，即可得到，进而得到，再代入函数解析式即可求解，求出点坐标是解题的关键．【详解】解：过点作轴于，则，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵、，∴，，∵轴，∴，点的纵坐标为，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，把代入得，，∴反比例函数的解析式为，故答案为：．【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点D，交线段于点C．若点C为线段的中点，的面积为，则k的值为（ ）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】作轴，根据k的几何意义得出，进而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出，，然后根据中点定义得，进而求出答案．【详解】如图，过点A作轴，于点E，连接．可知，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．∵点C是的中点，∴，即，解得．【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点C，且，反比例函数（）的图象经过点A，若，则 ．【答案】【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，作轴，垂足为，证明，得到，继而，再根据，，得到，则，最后由即可得解．解题的关键是熟练掌握反比例函数值的几何意义：反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为．【详解】解：作轴，垂足为，∵轴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵反比例函数图象在第二象限，∴．【巩固练习3】如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为 ．【答案】【分析】本题考查反比例函数的k的几何意义的应用，相似三角形的性质与判定．关键是正确作出辅助线构造相似三角形．过点作轴于轴于，可证，由线段关系求得的面积，再根据反比例函数的的几何意义即得结果．【详解】解：如图，过点作轴于轴于，，，，，∵的面积为，则，，，，，由图可知，【巩固练习4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点．若的面积为7，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解．【详解】过点、，分别作轴于点，轴于点，，∴，，，，，，点、在反比例函数上，，即，∴，，即，，，反比例函数经过第一象限，，【巩固练习5】如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】过的中点作轴交轴于，交于，作轴于，如图，在和中，，（），，，，，，而，.【巩固练习6】（广东深圳·统考中考真题）如图，双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k= ．【答案】8【详解】试题思路点拨：解：过A作AE⊥x轴于点E．因为S△OAE=S△OCD，所以S四边形AECB=S△BOD=21，因为AE∥BC，所以△OAE∽△OBC，所以==（）2=，所以S△OAE=4，则k=8．【巩固练习7】如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是 ．【答案】4【详解】解：设点C的坐标为，则，，，解得，，点是OB的中点，，即，又点在双曲线上，，【巩固练习8】如图，双曲线 经过斜边上的点，且满足，与交于点，的面积为，则 ．【答案】/0.5【详解】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO＝∠BCO＝90°，∵，∴，∵∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴，∵点A，D分别在双曲线上，∴，∴，∵，∴，∴k＝，故答案为：．【巩固练习9】如图，已知三角形的顶点在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数位于第四象限的图象上，边与轴交于点，，边与轴交于点，，若面积为，则 ． 【答案】【详解】过作于，过作于点，如图示： 设，则，，，，，，，，，，，，，解得：【巩固练习10】如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点，且，若矩形的面积为，则的值是 ．【答案】【详解】解：如图所示，过点作轴于点，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴∵矩形的面积为，∴∴∵函数过点，则又∵在第一象限，∴【巩固练习11】如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是 ．【答案】4【详解】解：设点C的坐标为，则，，，解得，，点是OB的中点，，即，又点在双曲线上，，【巩固练习12】（2023·辽宁锦州·统考一模）如图，矩形的顶点A，C分别在轴，轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交矩形的对角线于点，分别交，于点E，F，连接，．若，，则 ． 【答案】【详解】解：作于，连接、， ∵，∴，∴，∴，∵，∴，设，则：，∴，，∵点，E，F，在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，∴，即：，∵，∴，∴，∴，∴【巩固练习13】如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于点D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于6，则k的值为 ．【答案】【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC//AO，AB⊥AO，∴四边形OABE是矩形，∴S△OBE=S△OAB，∵过点C的双曲线交OB于点D，∴S△OCE=S△ODF，∴S四边形ABDF=S△OBC=6，∵DF//AB，∴△ODF∽△OBA，∵OD：DB=1：2，∴OD：OB=1：3，∴S△ODF：S△OAB=1：9，∴S△ODF：S四边形ABDF=1：8，∴S△ODF=S四边形ABDF=×6=，∴k=【题型7】 反比例函数中的设而不求法【例题1】如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ．【答案】【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论．【详解】解：设点，，D为的中点，，轴，的面积为3，【例题2】（深圳市一模）如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作轴，轴．若，则S△ABP＝（ ）A．3.6 B．4.8 C．5.4 D．6【答案】C【思路点拨】延长BP，交x轴于点C，由题意可设点，则有，然后由S△BOP＝3.6可进行求解问题．【详解】解：延长BP，交x轴于点C，如图所示：∵PB∥y轴，PA∥x轴，∴，轴，由题意可设点，则有，∵S△BOP＝3.6，∴，即，解得：，∴；【例题3】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，在等腰三角形ABC中，，是中点，设，，由中点为，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中点为M，∴，即，由在反比例函数上得，∴，解得：，由题可知，，∴．故选：B．【巩固练习1】（湖北武汉·中考真题）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．【答案】.【详解】如图，连接DC，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.∴△ADC的面积为4.∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，∴设A点坐标为 (x,).∵OC＝2AB，∴OC=2x.∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.∴梯形BOCA的面积=，解得.【巩固练习2】如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，若，的面积为8，则的值为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，如图所示，由经过原点，则与关于原点对称，再由，为的平分线，可得，进而可得；设点，由已知条件，，可得，则点，证明，得到，所以，即可求解．【详解】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，如图所示：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，与关于原点对称，是的中点，，，，为的平分线，，，，，，，设点，，，，，，，，，，，解得【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ）A． B． C．2 D．3【答案】D【详解】解：设D点坐标为，∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，∴E点坐标为，同理可得C点坐标为，∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，∵点E为AC的中点，的面积为1，∴，即，可得，，解得，故选：D．【巩固练习4】（2022·辽宁鞍山·真题）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图象经过点交于点，连接．若，则的值为 ．【答案】1【详解】解：∵反比例函数的图象经过点D，∠OAB＝90°，∴D（m，），∵OD：DB＝1：2，∴B（3m，），∴AB＝3m，OA＝，∴反比例函数的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°，∴，∵，∴，即，解得k＝1，故答案为：1．【巩固练习5】（2022·浙江温州·统考一模）如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为 ．【答案】2【详解】如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，四边形是平行四边形，即轴，在上，，即设，则是的中点，在上，即得故答案为：2【巩固练习6】（四川成都·九年级统考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为 ．【答案】6【详解】∵轴，∴，点M，N的纵坐标相同，设M点的坐标为，N点的坐标为，∴，如图，过点M作轴，点A作轴，∴，根据反比例函数与三角形的面积关系可得：，，∴，∵相似三角形中面积比等于相似比的平方，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵M点的坐标为，∴，∴，∴【题型8】 反比例函数与相似相似三角形结合【例题1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：∴，∴，∵点A在双曲线上，点B在，∴∴，∴，∴，∴，∵，轴，∴，∵，∴，∴∴∴【例题2】（2024·广东深圳·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．【答案】4【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知．【详解】过点A作于点E，于点F，，，轴，，，设，则，，，，，，，，，，，点A在反比例函数的图象上，，．【例题3】（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ．【答案】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，轴对称图形，求得点的坐标是解题的关键．作轴点，则，通过证得，求得，，证得是轴对称图形，得到，即可证得，，再证得，求得，则，得到，然后利用待定系数法即可求得的值．【详解】解：作轴点，则，，，，，，，，，，，，轴平分，是轴对称图形，，，，，，，，，∴，，，，，，点在反比例函数图象上，【例题4】（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）A．5 B．1 C．3 D．2【答案】C【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论．【详解】解：设，由题意得：．∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．∴．∴，∴．【巩固练习1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ．【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】如图，作轴于，作轴于，则，∵点，的坐标分别为，，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴点坐标为，代入得，，∴反比例函数解析式为，∵轴，∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上，∴，∴，∴【巩固练习2】（江苏宿迁·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为 ．【答案】6【思路点拨】过点作轴于，则，由线段的比例关系求得和的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．【详解】解：过点作轴于，则，，，的面积为6，，，的面积，根据反比例函数的几何意义得，，，，．故答案为：6．【巩固练习3】（2024·广东深圳·三模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ， ．【答案】 4【分析】本题考查反比例函数、角平分线定理、勾股定理和相似三角形的判定和性质，先根据角平分线定理得到，再通过反比例函数的解析式即可求出点P的坐标；设，根据角平分线定理推算出，再结合勾股定理建立等式进行换算，最后证明，，根据相似比分别求出和的表达式，最后根据面积公式进行求解即可．【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、H，∵是的角平分线，是的角平分线，∴，，∴，设，则点P的坐标为：，∴，解得或（舍去），∴点P的坐标为：，设，则，∵,，∴，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴,，∴，，∴【巩固练习4】(深圳统考真题)如图，已知点A在反比例函数上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为7，则k的值为 ．【答案】14【思路点拨】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA BO的值，从而求出△AOB的面积．【详解】解：连接OA．∵△BCE的面积为7，∴BC OE＝7，∴BC OE＝14，∵点D为斜边AC的中点，∴BD＝DC＝AD，∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，又∠EOB＝∠ABC＝90°，∴△EOB∽△ABC，∴，∴AB OB ＝BC OE，∵ OB AB＝，∴k＝AB BO＝BC OE＝14，故答案为14．【巩固练习5】（徐州·统考真题）如图，平面直角坐标系中，为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图像上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．若，则k的值为 ．【答案】7.5【思路点拨】作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP，利用角平分线的性质得到PM=PN，设点P（m，m），则k=m2，通过证明△COP∽△POD，得到OP2=OC·OD=15，即可得到k值.【详解】过P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP，∵PA，PB分别平分△OAB的两个外角，∴PM=PH，PH=PN，∴PM=PN，设点P（m,m），则有k=m2，∴∠POA=∠POB=∠CPD=45°，∴∠COP=∠POD=135°，∵∠POB=∠PCO+∠OPC=45°，∠APO+∠OPD=45° ，∴∠PCO=∠OPD，∴△COP∽△POD，∴OP2=OC·OD=15,∴OP=，根据勾股定理，得m2+m2=15,解得k=m2=7.5【巩固练习6】（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ．【答案】【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数与几何图形的关系，相似三角形的判定和性质是解题的关键．作于点，作轴于点，根据直角三角形的性质，角平分线的性质可得，可求出的值，从而求出的值，根据相似三角形的判定和性质可证，可求出点的坐标，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，∵，平分，平分，∴，∴，∵，，∴，，在中，，，∴，∵，∴，∴，且，，，∴，解得，，，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴【巩固练习7】如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝，与y轴分别交于点，与双曲线y＝交于点，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为 ．【答案】﹣3．【思路点拨】如图连接OB、OC，作 于点E， 于点F．根据OA//BC，得到 ，根据已知条件得到 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图连接OB，OC，CF⊥y轴于F，过作轴于∵OA∥BC，∴S△OBC＝S△ABC＝6，∵，∴S△OPB＝4，S△OPC＝2，∵S△OBE＝∴轴，轴，∵△BEP∽△CFP，∴∴S△OCF＝，∴．【巩固练习8】（2023·江苏盐城·统考中考）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 . 【答案】6【思路点拨】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值.【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，∵，∴， ∵轴于点，∴，∴，∴，∴，∴，∵，的面积是，∴，∴，∴，则，即，解得【巩固练习9】（2023·江苏泰州·一模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ．【答案】【思路点拨】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为，求出，在中根据特殊锐角三角函数值可求出、，在中，根据勾股定理求出，再根据，得出，进而求出，最后根据反比例函数系数的几何意义求出结果即可．【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，平分，平分，，，在中，，，，在中，，，，在和中，，，，，，，，，，，又，，负值舍去【巩固练习10】诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点A1（1，－1），我们从A1点出发构造无穷点列A2（x2，y2），A3（x3，y3）…构造规则为：若点An（xn，yn）在直线上，那么下一个点An＋1（xn＋1，yn＋1）就在双曲线上，且xn＋1＝xn；若点An（xn，yn）在双曲线上，那么下一个点An＋1（xn＋1，yn＋1）就在直线上，且yn＋1＝yn，根据规则，点A3的坐标为 ．无限进行下去，无限接近的点的坐标 ．【答案】 （5，3） （3，1）【思路点拨】先根据题意求出从而可以求出的坐标，从而求出，， ，的坐标，可以发现结合函数图象可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，则无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，由此求解即可．【详解】解：∵点A1（1，－1）满足一次函数解析式，即点A1在直线上，∴点的横坐标为1且点在反比例函数上，∴点的纵坐标为，∴点的纵坐标为3，且点在直线上，∴点的横坐标为5，∴点的坐标为（5，3），同理点的坐标为，， ，，结合函数图象可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，∴无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，联立，解得或（舍去），故答案为：（5，3），（3，1）．【巩固练习11】（江苏镇江·中考）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．(1)_________，_________；(2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．【答案】(1)4，2(2)点的坐标为、【思路点拨】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案；对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可．【详解】（1）将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得，解得，一次函数的关系式为；将点A（1，4）代入反比例函数，得，反比例函数的关系式为．故答案为：4，2；（2）点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）．当x=0时，y=2，∴点B（0，2），∴OB=2．根据勾股定理可知．当点落在轴的正半轴上，则，∴与不可能相似．当点落在轴的负半轴上，若，则.∵，∴，∴；若，则．∵，，∴，∴．综上所述：点的坐标为、．【巩固练习12】（2023·江苏镇江·中考）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． (1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．【答案】(1)，，(2)点P的坐标为或【思路点拨】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标．【详解】（1）（1）将代入，得，∴．将代入，得，∴．如图，过点A作轴于点D，则． ∵点A，B关于原点O对称，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．故答案为：，，；（2）由（1）可知，，．当点P在x轴的负半轴上时，，∴．又∵，∴与不可能相似．当点P在x轴的正半轴上时，．若，则，∵，∴，∴；②若，则，又∵，，∴，∴．综上所述，点P的坐标为或．【巩固练习13】（2023·山东泰安·中考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数的表达式；（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．【答案】(1)；(2)；(3)．【思路点拨】（1）求出点坐标，即可求出反比例函数解析式；（2）观察图象特点，即可得出取值范围；（3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段长，最后由线段和差即可求出的长．【详解】（1）∵，轴，∴，点的纵坐标为，∵点在图象上，∴当时，，解得：，∴点坐标为，∵反比例函数的图象过点，∴，∴反比例函数的表达式为：；（2）如图，在第二象限内，当时，， （3）如图，过作轴于点， ∵轴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，即：，∵，∴，∴，∴，∴，由得：时，，解得：，∴点，∴，，∴，∴，∴点【巩固练习14】（2023·四川成都·中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；(2)点C的坐标为或(3)点P的坐标为；m的值为3【思路点拨】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．【详解】（1）解：令，则∴点A的坐标为，将点代入得：解得：∴将点代入得：解得：∴反比例函数的表达式为；（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N， 令解得：∴，∴，又∵，∴∵，∴又∵直线l是的垂线即，，∴，∴设直线l的解析式是：，将点，点代入得：解得：∴直线l的解析式是：，设点C的坐标是∵，(分别代表点B与点C的横坐标)解得： 或6，当时，；当时，，∴点C的坐标为或（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，将直线l与双曲线的解析式联立得：解得：或∴画出图形如下： 又∵∴∴∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：将点代入得：解得：∴直线的解析式是：∵点D也在双曲线上，∴点D是直线与双曲线的另一个交点，将直线与双曲线的解析式联立得：解得：或∴设直线的解析式是：将点，代入得：解得：∴直线的解析式是：，又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：解得：∴点P的坐标为∴∴【题型9】 反比例函数的找规律问题【例题1】（2024·四川达州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为【答案】【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提．由一次函数与反比例函数的图象交于点,可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为 ,则是等腰直角三角形，设则则 在反比例函数上，可得的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论.【详解】解：如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为. ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，∴联立 ，解得 ，∴点的坐标为.，，∴是等腰直角三角形.，，，设 则∴点 的坐标为，∵点在反比例函数上,，解得或(负值舍去).∴点的坐标为 ；，，，，，设 则∴点的坐标为∵点在反比例函数 上,，解得 (负值舍去).∴点的坐标为；同理点的坐标为；以此类推，可得点的纵坐标为【例题2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为．(1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）；(2)当时，______（用含n的代数式表示）．【答案】(1)；；；(2)【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索：（1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可；（2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可．【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为，在中，当时，；当时，；当时，，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴；同理可得，，，∴，，，∴，，……以此类推可得，；故答案为：；；；；（2）解：当时，反比例函数解析式为，在中，当时，；当时，；当时，，∴，∵轴，∴，∵，∴，同理可得，，，∴，，，以此类推可得，．【巩固练习1】（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】【详解】当时，的纵坐标为8，当时，的纵坐标为4，当时，的纵坐标为，当时，的纵坐标为，当时，的纵坐标为，…则；；；；…；，∴．【巩固练习2】如图，点加在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：根据题意可知，∵轴，设图中阴影部分的面积从左向右依次为……则，∵，∴，，∴ ，∴第n个阴影部分的面积是：，∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为：，故B正确【巩固练习3】如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为（ ）A． B．900 C． D．【答案】A【详解】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…则∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，∴∠A1OB1=45°，∴∠OC1D1=45°，∴OD1=C1D1，其斜边的中点C1在反比例函数上，∴C（2，2），即y1=2，∴OD1=D1A1=2，∴OA1=2OD1=4，设A1D2=a，则C2D2=a 此时C2（4+a，a），代入得：a（4+a）=4，解得：a=，即：y2=，同理：y3=，y4=，......，y2021=，∴y1+y2+…+y2021=2+++...+=，故选A．【巩固练习4】滑草是同学们喜欢的一项运动，滑道两边形如两条双曲线．如图，点、、……在反比例函数的图象上，点、、，一反比例函数的图象上，……轴，已知点、……的横坐标分别为1、2……，令四边形、…的面积分别为、……，若，则k的值为 ．【答案】221【详解】解：∵……轴，∴和的横坐标相等，和的横坐标相等，…，和的横坐标相等，∵点，…的横坐标分别为1，2，…，∴点，…的横坐标分别为1，2，…，∵点，，…在反比例函数的图象上，点，，…反比例函数的图象上，∴，，∴，同理得：，，…，∴，，…，∴，∵，∴，解得：【巩固练习5】如图，已知等边的顶点在双曲线上，点的坐标为；在的右侧作等边，顶点在双曲线上，点在轴上；在的右侧作等边，顶点在双曲线上，点在轴上；…以此类推，点的横坐标为 ．【答案】`【详解】解：如图所示，过点作于C，设，∵是等边三角形，，∴，∴，∵点的坐标为，∴，∴，∵顶点在双曲线上，∴，解得或（舍去）；∴，∴，同理可得，∴，……，∴以此类推可知，∴∴点的横坐标为，故答案为：． 【巩固练习6】如图，线段端点、端点，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标是．由点开始，不断重复曲线“”，形成一组波浪线．已知点，均在该组波浪线上，分别过点、向轴作垂线段，垂足分别为和，则四边形的面积为 ．【答案】【详解】解：∵线段端点、端点，设线段所在直线函数解析式为，∴，解得：，∴线段所在直线函数解析式为，∵曲线是双曲线的一部分，点的坐标为，∴，∴双曲线，∵点在该双曲线上，点的横坐标是，∴，即点的坐标为，∵点，均在该组波浪线上，又∵，，∴，，∵分别过点、向轴作垂线段，垂足分别为和，∴，，，∴四边形是梯形，∴四边形的面积是：．故答案为：．【巩固练习7】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 ． 【答案】【详解】如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为. ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，∴联立 ，解得 ，∴点的坐标为.，，∴是等腰直角三角形.，，，设 则∴点 的坐标为，∵点在反比例函数上,，解得或(负值舍去).∴点的坐标为 ；，，，，，设 则∴点的坐标为∵点在反比例函数 上,，解得 (负值舍去).∴点的坐标为；同理点的坐标为；以此类推，可得点的纵坐标为【题型10】 矩形模型（平行，比例性质）【例题1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ． 【答案】5【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案．【详解】解：四边形是矩形，，，设点的坐标为，，，点，在反比例函数的图象上，，，，，【例题2】如图，已知双曲线经过矩形边的中点F，交于点E，且四边形的面积为3，则 ．【答案】【详解】解：设点，∵F是的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∵四边形的面积为3，∴，∴，故答案为【巩固练习1】（2023年黑龙江省绥化市中考）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【详解】设，∵点B，C的横坐标都是3，，平行于x轴，点D在上，且其横坐标为1，∴，∴，解得，∴，∴【巩固练习2】（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ． 【答案】6【详解】解：延长交x轴于点F，如图，由点D在反比例函数的图象上，则设，∵矩形的边平行于轴，，，∴轴，，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，即，∴，故答案为：6． 【巩固练习3】（2023年浙江省绍兴市中考）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．【答案】2【思路点拨】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点， 【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴正半轴上，OA＝6，OC＝4，点P是BC边上一个动点，过点P的反比例函数y＝ 图象与AB边交于点Q，若将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点D恰好落在对角线AC上，则k的值是___________．【答案】12提示：由题意可得B（6，4），P（，4），Q（6，）则BP＝6－ ，BQ＝4－∴ ＝ ＝ ，∴△BPQ∽△BCA∴∠BPQ＝∠BCA，∴PQ∥CA连接BD交PQ于点E则BE＝DE，∴BP＝CP，BQ＝AQ∴P（3，4），∴k＝12【巩固练习5】如图，直线y＝－3x＋4与双曲线y＝ 交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，连接CD，若四边形ACDB的面积为10，则k的值为___________．【答案】－4提示：令－3x＋4＝ ，即3x 2－4x＋k＝0设A（a，－3a＋4），点B的横坐标为b，则a＋b＝ ，∴b＝ －a设AB交y轴于点E，则AC∥ED，AE∥CD∴四边形ACDB是平行四边形∴S四边形ACDB ＝S□ACDE ＋ S△BDE ＝－a( －3a＋4 )＋ ( －a＋ )( －3a＋4 )＝10解得a＝ （舍去）或a＝－∴k＝a( －3a＋4 )＝－4【巩固练习6】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），反比例函数y＝ 的图象分别与边AB、BC交于点E、F，将△BEF沿EF翻折，点B恰好落在x轴上点D处，则△BEF的面积为___________．【答案】提示：连接AC、BD由性质知EF∥AC，BD⊥EF∴BD⊥AC，∴△ABD∽△BCA由B（8，4）可得AB＝4，BC＝8，AB＝ BC∴AD＝ AB＝2设BE＝DE＝a，则AE＝4－a在Rt△ADE中，2 2＋( 4－a )2＝a 2解得a＝ ，∴S△BEF ＝ S△BAC ＝【巩固练习7】如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为 ．【答案】【详解】如图，过点作轴于点，∵四边形AOBC为矩形，OA=3，OB=4，∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．∴，，，．∵点F在边BC上，点E在边AC上，∴，．又∵点E，F在反比例函数的图象上，∴，．∴，．∴，．∴，．∵沿EF对折后得到，∴，，．∴．∵轴，∴∴，．∴．∴．∴．∵四边形AOBC是矩形，∴．又∵轴，∴．∴四边形EAOM是矩形，∴．在中，满足，即，解得【巩固练习8】如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形两边，交于点，，沿直线将翻折得到，且点恰好落在直线上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 ．（仅填代号即可）【答案】②③④【详解】解：设，，点的纵坐标为，的横坐标为，分别代入，得，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，故②正确；，，，，故①错误；过点作于点，，且，，，，，，，四边形是矩形，，，，在中，，，故③正确；，，且，，，，，，垂直平分，，故④正确【题型11】 等线段模型【例题1】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ） A． B． C． D．【答案】C解：设直线与轴交于点，作轴于，轴于．【法一简析】易知AB=CD，故AE=FO，设，，，【法二详解】，当时，，即点的坐标为，当时，，即点坐标为，，．在中，，．直线与双曲线在第一象限交于点、两点，，整理得，，由韦达定理得：，即，，，同理可得：，，解得：．【例题2】（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ．【答案】【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，则，由此得，设，，则，从而得点，点，证和相似从而得，证得，则，从而得，再证和全等得，则，然后根据的面积为6可求出的值．【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，如图所示：∴，，可设，，则，点，在反比例函数的图象上，点，点，，，，即：，，轴，，，，轴，，，，，，即，，，轴，轴，，四边形为矩形，，在和中，，，，，的面积为6，，即，解得：．【巩固练习1】如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点、，若，则的值为 ．【答案】【详解】解：已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，把x=0代入，y=2；y=0代入，x=2；∴B、C的坐标分别是、，则，设点A的坐标是，过点A作轴于E点，∵AE∥OB，∴，∴，函数的图象与函数的图象都关于直线对称，由对称性可知，又∵，∴，即，解得，∴点A的坐标是，∵点A在双曲线上，∴，故答案为：-3．【巩固练习2】（2023年辽宁省锦州市中考）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ． 【答案】4【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E， ∴，∴，∴，设B点坐标为，则，∵点B为的中点，∴，∴，∴C点坐标为，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，当时，，∴A点坐标为，根据题意得，解得【巩固练习3】如图，直线y＝2x与双曲线y＝ 交于A、B两点，AC⊥AB交双曲线于点C，连接BC，则sin∠ABC的值是___________．【答案】提示：设AC分别交y轴、x轴于点D、E由直线y＝2x可得OE＝2OD设AD＝CE＝a，则OA＝OB＝2a，AB＝AE＝4a，AC＝3aBC＝5a，sin∠ABC＝ ＝ ＝【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x与双曲线y＝ 相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是20，则点C的坐标为___________．【答案】（，）提示：连接OC，延长PC交x轴于点D由对称性可知OA＝OB，∴S△POC ＝ S△PBC ＝10由等线段性质可知AP＝CD，∴PC＝AD，∴S△AOD ＝S△POC ＝10令 x＝ ，解得x＝±2，∴A（2，3）∴ OD·yA ＝10，∴OD＝ ，即xD ＝由xD －xC ＝xA －xP得：－xC ＝2－0解得xC ＝ ，∴C（，）【巩固练习5】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝ （k＞0）相交于A、B两点，直线y＝ mx＋n经过点B，与双曲线交于另一点C，若△ABC的面积为6，则k的值为___________．【答案】4提示：设直线BC交x轴于点D，交y轴于点E，则CD＝BE作BF⊥y轴于点F，CG⊥x轴于点G设A（a，b），则B（－a，－b），BF＝a，OF＝bma＝b，－ ma＋n＝－b∴－ b＋n＝－b，∴OE＝－n＝ b＝ OF，∴EF＝ OF∵BE＝CD，∴CG＝EF＝ OF＝ yA， OG＝2a连接OC，延长AC交x轴于点H则AC＝CH，OG＝2GH，∴OH＝3a∵S△ABC ＝6，∴S△COH ＝S△AOC ＝3∴ OH·CG＝3，∴3a·CG＝6∴a·CG＝2，∴k＝OG·CG＝2a·CG＝4【巩固练习6】如图，直线l与反比例函数y＝ 的图象在第二象限交于B，C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，△COD的面积为6，则k的值为_________．【答案】－7.5提示：由AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，可设C（5a，3c），则B（15a，c），A（20a，0）由CD平分∠ACO可得： ＝ ＝ （可通过作DE∥AC交OC于E转化角平分线定理）∴D（8a，0）∵S△COD ＝6，∴×( －8a )×3c＝6，∴ac＝－∴k＝15ac＝－7.5【巩固练习7】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C（－，0），连接BO并延长交反比例函数y＝ 的图象于点D，若∠BAD＝120°，△ABD的面积为2，则点A的坐标为___________．【答案】（，）提示：设AB交y轴于点E，取CE中点F，连接OA、OF则OF＝CF＝EF由等线段性质可知BC＝AE，∴BF＝AF由对称性可知BO＝OD，∴OF是△ABD的中位线∴OF∥AD，∴∠CFO＝∠BAD＝120°∴∠FCO＝∠FOC＝30°∵C（－，0），∴OC＝，OE＝1∴S△OCE ＝OC·OE＝，∴S△OCF ＝S△OCE＝∵S△ABD＝2，∴S△ABO＝，S△FBO＝∴S△FBO＝2S△OCF，∴BC＝CF＝CE，∴AE＝CE∵C（－，0），∴xA＝，yA＝1＋＝∴A（，）【巩固练习8】（湖北随州·中考）如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为3，则的值为 ．【答案】2【思路点拨】设A点坐标为，C点坐标为，求出B点坐标为，根据B点在上可得，整理得，再根据三角形面积公式得可得k的值．【详解】解：设A点坐标为，C点坐标为，恰为的中点，点的坐标为，点在的图象上，【巩固练习9】（贵州毕节·中考）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为 ．【答案】8.【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC∴EF=FC，AE=2BF（中位线定理）设A点坐标为（，），则B点坐标为（，）∵OC=OE+EF+FC∴OC=OE+EF+FC=3a∴解得故答案为：8.【巩固练习10】如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为 ．【答案】【详解】解：由已知得OA＝2，OB＝4，根据勾股定理得出，AB＝2，如图，过点C作CE⊥x轴于E，作CG⊥y轴G，过点D作DH⊥x轴于H，作DF⊥y轴于F，连接GH，GD，CH，∵点C，D是反比例图象上的点，∴S矩形FDHO＝S矩形GCEO，∴S矩形FDHO＝S矩形GDEO．∴S△DGH＝S△GHC．∴点C，D到GH的距离相等．∴CD∥GH．∴四边形BDHG和四边形GHAC都是平行四边形．∴BD＝GH，GH＝CA．即BD＝AC；设AC＝BD＝m，∵∠AOC＝∠ADO，CAO＝∠DAO，∴△AOC∽△ADO，∴，∴AO2＝AC AD，∴22＝m（2﹣m），∴m＝±1（舍去+1），过点C作CE⊥x轴于点E，∴△ACE∽△ABO，∴，∴，∴AE＝，CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣＝ OE＝＝，故答案为：．【巩固练习11】（宿迁市中考数学真题）如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 = ．【答案】8【详解】解：作，设，的面积为12B点是AC中点B点坐标B点在反比例图像上又故答案是：8．【巩固练习12】如图，A，B是反比例函数(k≠0)图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE，BE．若S△ABE＝7，则k的值为 ．【答案】-12【详解】解：设A(m，)，C(0，n)，则D(m，0)，E(m，0)，∵B为AC的中点，∴AB＝BC，∴B(，)，∵点B在反比例函数 (k≠0)2025届中考复习专题：反比例函数常考二级结论与选填压轴【题型1】 |k|模型 13【题型2】 面积模型 16【题型3】 垂直模型 21【题型4】 反比例函数图像性质与代数运算综合 25【题型5】 反比例函数中的平移问题 28【题型6】 比例端点模型 30【题型7】 反比例函数中的设而不求法 35【题型8】 反比例函数与相似相似三角形结合 39【题型9】 反比例函数的找规律问题 46【题型10】 矩形模型（平行，比例性质） 50【题型11】 等线段模型 53【题型12】 等角模型 58【题型13】 反比例函数与与几何综合 60【模型1】|k|模型结论1：S矩形＝|k|：结论2：S三角形＝|k|【模型2】四类面积模型类型一结论：证明：,,类型二结论：① AO＝BO，AB关于原点对称，② S△ABC ＝4|k|类型三结论：① ABCD为平行四边形，② S四边形ABCD ＝4S△AOB类型四结论：S四边形ABOC＝k2－k1【模型3】垂直模型结论：证明：作BC⊥x轴，AD⊥x轴，则△BCO∽△ODA，∴【模型4】比例端点模型出现比例端点时可以考虑作垂线构造相似或设点坐标来转化结论：证明：过点D作DE⊥x轴，，【模型5】矩形模型（平行性质和比例性质）一、比例性质如图，A，B是反比例函数图象上任意两点，过A、B作x轴、y轴垂线段线段比（共线的线段之比为定值）证明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴证明二：∵结论：二、平行性质如图1、图2、图3，点A、B是反比例函数 图象上的任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，连接AB、CD，则AB∥CD．下面以图1为例来证明（图2、图3证法类似）：法一：面积法（等积变形）如图，易知S△ACE＝S△ADE，因为两个三角形同底等高，故ED∥CA由平行关系还可以得出其它性质：，(平行线分线段成比例)补充简证证明一：由比例性质可知，，根据相似可知AB∥CD∥GF证明二：∴ ∴， 同理可证CD∥GF方法二：连接OA、OB，延长CA、DB交于点E则OC＝DE，OD＝CE由k的几何意义可知S△AOC ＝S△BOD，又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD方法三：延长CA、DB交于点E设则又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD补充拓展：矩形模型中的翻折如图，矩形OABC顶点A，C分别位于x轴，y轴正半轴，反比例函数在第一象限图象交矩形OABC两边于D，E点，将△BED沿ED翻折，若B点刚好落在x轴上的点F处，则EO＝EF【模型6】等线段模型如图1、图2，点A、B是反比例函数 图象上的任意两点，直线AB交y轴于点C，交x轴于点D，则AC＝BD．证明：作AE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F由平行性质可知AB∥EF∴四边形CEFB和四边形AEFD均为平行四边形∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BD【模型7】等角模型模型一：如图，点A、B是反比例函数 图象上的任意两点，直线OB交反比例函数 的图象于另一点C，直线AC交x轴于点D，交y轴于点E，直线AB交x轴于点F，交y轴于点G，则∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．证明：作CN∥x轴，AN∥y轴，BM⊥AN于M则∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM设A（a，），B（b，），则C（－b，－ ）∴CN＝a＋b，AN＝ ＋ ，BM＝b－a，AM＝ －，∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG∴AE＝AG∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF模型二：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数在第一象限的图象上，C，D分别位于x轴正半轴和y轴正半轴上，则必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F.取AB中点G，连GO交DC于H.由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。∴∠6＝∠5＝∠2，∴H为DC中点，∴GO∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，进而可知∠3＝∠7＝∠4证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。过C点作y轴平行线，交AB于I，构平行四边形EDCI∴EI＝DC＝AB，即EA＝IB，又由基本结论知EA＝BF∴IB＝BF，∴∠2＝∠5＝∠1，同理可证∠3＝∠4模型三：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数在第一象限的图象上，C，D分别位于y轴负半轴和x轴负半轴上，则必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。取AB中点G，连GO并延长交DC于H。由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。∴∠1＝∠5＝∠7＝∠6，∴H为DC中点，∴GH∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，进而可推∠3＝∠4证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。过C作x轴垂线，交直线AB于I，构平行四边形DCIF∴FI ＝DC ＝AB ，又由基本结论知AE＝BF，∴BE＝BI∴∠1＝∠5＝∠2，进而可推∠3＝∠4【反比例函数中的其它八类模型】反比例函数图象其他几何结论一:如图, 、 反比例函数 第一象限图象上任意两点. 射线 、 分别交反比例函数 图象于 两点,则 .反比例函数图象其他几何结论二:如图, 为反比例函数 第一象限图象上任意一点过 做 轴垂线和 轴垂线,两线交反比例函数 图象于 两点,则, 为定值 时结论相同).反比例函数图象其他几何结论三:如图, 是反比例函数 第一象限图象上两点,并满足 ,则 .反比例函数图象其他几何结论四:如图, 是反比例函数 第一象限图象上任意一点,连 ,过 作 轴 (或 轴) 垂线段垂足 ,过 作 平行线交第一象限双曲线于 ,则 .反比例函数图象其他几何结论五:如图, 是反比例函数 第一象限图象上任意一点,连 ,以 为圆心, 为半径画圆交 轴 (或 轴) 于 则直线 与反比例函数图象相切.反比例函数图象其他几何结论六:等腰 中 在 轴正半轴上. 反比例函数 图象分别交 于 、 ,则 .反比例函数图象其他几何结论七:条件同结论七,延长 至 使 ,则 .反比例函数图象其他几何结论八:为反比例函数 第一象限图象上任意一点,连 以 为圆心, 为半径画圆,交 轴 (或 轴) 于 线段 交反比例函数 ,第一象限图象于 ,则 为定值 .【题型1】 |k|模型【例题1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A 在反比例函数上，过点A作轴，交y 轴于点C，交反比例函数于点 B．若，则k 的值为（ ）A．6 B． C． D．3【例题2】如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值是（ ）A．1 B．2 C．4 D．8【例题3】（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（ ）A． B． C． D．【巩固练习1】如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为（ ）A．2 B．3 C．4 D．8【巩固练习2】（2023年辽宁省丹东市中考）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ．【巩固练习3】（2022年湖南省郴州市中考）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）A．3 B．5 C．6 D．10【巩固练习4】如图，直线与反比例函数、的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，的面积为3，则k的值为 ．【巩固练习5】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考）如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 ． 【题型2】 面积模型【例题1】（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12【例题2】（2025·广西·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，则实数的值为（ ）A． B． C． D．【例题3】（山东省日照市中考）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）A．3 B．-3 C． D．【巩固练习1】如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是 ．【巩固练习2】（2024·江苏南京·三模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于 ．【巩固练习3】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C， 交于点A，轴于点D， 交于点B，则四边形的面积是（ ）A． B． C． D．【巩固练习4】（广西·统考中考）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1【巩固练习5】（2023湖北黄石市中考）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ． 【巩固练习6】两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中，正确的结论有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4【巩固练习7】（2023年湖南省湘西中考）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【巩固练习8】（江苏省南京市中考）如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则 ．【题型3】 垂直模型【例题1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）A． B． C． D．【例题2】（2024·福建莆田·一模）如图，在矩形中，点是坐标原点，点A在反比例的图象上，点在反比例函数，，则（ ）A． B． C． D．【巩固练习1】已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（ ）A． B． C． D．【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别是，．，，则函数的图像经过点C，则k的值为 ．【巩固练习3】如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（ ）A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【巩固练习4】如图， 已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上， 第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上， 且OA⊥OB， cosA＝， 则k的值为（ ）A．－12 B．－16 C．－6 D．－18【巩固练习5】如图，已知A是双曲线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B，若，则的值为（ ）A． B． C． D．【巩固练习6】（2023·福建·统考中考）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ） A． B． C． D．3【巩固练习7】（2023·四川达州·中考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ． 【巩固练习8】如图，点A是双曲线y＝上的动点，连结AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y＝上的运动，则k＝ ． 【巩固练习9】如图，点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一个分支于点B，以AB为底作等腰且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，则 ．【巩固练习10】如图，的顶点与坐标原点重合，，，当点在反比例函数的图象上移动时，点坐标满足的函数解析式为 ．【题型4】 反比例函数图像性质与代数运算综合【例题1】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或C．或 D．【例题2】（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）A． B． C． D．【例题3】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ）A．或 B．且C．或 D．或【巩固练习1】（2024·贵州遵义·二模）已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（ ）A． B．C． D．【巩固练习2】（2024·河北唐山·三模）已知反比例函数．（1）若点在反比例函数的图象上，则的值为 ；（2）若反比例函数与一次函数的图象交于点，且，请写出一个满足条件的值为 ．【巩固练习3】已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ．【巩固练习4】（2024·浙江杭州·二模）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有 ．【巩固练习5】（2024·湖北·模拟预测）反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ）①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且 A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④【巩固练习6】（2024·湖北·二模）平移是初中学习过的重要初等变换，如：抛物线向右平移两个单位可以得到抛物线．依据这个规律，则方程的根的个数共有（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【题型5】 反比例函数中的平移问题【例题1】（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ．【例题2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ．【巩固练习1】（2024·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）A． B． C． D．【巩固练习2】（2024·福建厦门·二模）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（ ） A．4 B．6 C．8 D．10【巩固练习3】（2024·四川达州·二模）如图，已知，以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在反比例函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移d个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，d的值为 ．【题型6】 比例端点模型【例题1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【例题2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（ ）A． B． C． D．【例题3】（浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，边AB在轴上，边AC交轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若，，，则$$= ．【例题4】（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ． 【巩固练习1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点．若点、，则反比例函数的解析式为 ．【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点D，交线段于点C．若点C为线段的中点，的面积为，则k的值为（ ）A．2 B． C． D．4【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点C，且，反比例函数（）的图象经过点A，若，则 ．【巩固练习3】如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为 ．【巩固练习4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点．若的面积为7，则的值为 ．【巩固练习5】如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【巩固练习6】（广东深圳·统考中考真题）如图，双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k= ．【巩固练习7】如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是 ．【巩固练习8】如图，双曲线 经过斜边上的点，且满足，与交于点，的面积为，则 ．【巩固练习9】如图，已知三角形的顶点在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数位于第四象限的图象上，边与轴交于点，，边与轴交于点，，若面积为，则 ． 【巩固练习10】如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点，且，若矩形的面积为，则的值是 ．【巩固练习11】如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是 ．【巩固练习12】（2023·辽宁锦州·统考一模）如图，矩形的顶点A，C分别在轴，轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交矩形的对角线于点，分别交，于点E，F，连接，．若，，则 ． 【巩固练习13】如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于点D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于6，则k的值为 ．【题型7】 反比例函数中的设而不求法【例题1】如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ．【例题2】（深圳市一模）如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作轴，轴．若，则S△ABP＝（ ）A．3.6 B．4.8 C．5.4 D．6【例题3】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）A． B． C． D．【巩固练习1】（湖北武汉·中考真题）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．【巩固练习2】如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，若，的面积为8，则的值为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ）A． B． C．2 D．3【巩固练习4】（2022·辽宁鞍山·真题）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图象经过点交于点，连接．若，则的值为 ．【巩固练习5】（2022·浙江温州·统考一模）如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为 ．【巩固练习6】（四川成都·九年级统考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为 ．【题型8】 反比例函数与相似相似三角形结合【例题1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【例题2】（2024·广东深圳·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．【例题3】（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ．【例题4】（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）A．5 B．1 C．3 D．2【巩固练习1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ．【巩固练习2】（江苏宿迁·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为 ．【巩固练习3】（2024·广东深圳·三模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ， ．【巩固练习4】(深圳统考真题)如图，已知点A在反比例函数上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为7，则k的值为 ．【巩固练习5】（徐州·统考真题）如图，平面直角坐标系中，为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图像上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．若，则k的值为 ．【巩固练习6】（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ．【巩固练习7】如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝，与y轴分别交于点，与双曲线y＝交于点，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为 ．【巩固练习8】（2023·江苏盐城·统考中考）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 . 【巩固练习9】（2023·江苏泰州·一模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ．【巩固练习10】诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点A1（1，－1），我们从A1点出发构造无穷点列A2（x2，y2），A3（x3，y3）…构造规则为：若点An（xn，yn）在直线上，那么下一个点An＋1（xn＋1，yn＋1）就在双曲线上，且xn＋1＝xn；若点An（xn，yn）在双曲线上，那么下一个点An＋1（xn＋1，yn＋1）就在直线上，且yn＋1＝yn，根据规则，点A3的坐标为 ．无限进行下去，无限接近的点的坐标 ．【巩固练习11】（江苏镇江·中考）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．(1)_________，_________；(2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．【巩固练习12】（2023·江苏镇江·中考）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． (1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．【巩固练习13】（2023·山东泰安·中考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数的表达式；（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．【巩固练习14】（2023·四川成都·中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．【题型9】 反比例函数的找规律问题【例题1】（2024·四川达州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为【例题2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为．(1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）；(2)当时，______（用含n的代数式表示）．【巩固练习1】（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【巩固练习2】如图，点加在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．【巩固练习3】如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为（ ）A． B．900 C． D．【巩固练习4】滑草是同学们喜欢的一项运动，滑道两边形如两条双曲线．如图，点、、……在反比例函数的图象上，点、、，一反比例函数的图象上，……轴，已知点、……的横坐标分别为1、2……，令四边形、…的面积分别为、……，若，则k的值为 ．【巩固练习5】如图，已知等边的顶点在双曲线上，点的坐标为；在的右侧作等边，顶点在双曲线上，点在轴上；在的右侧作等边，顶点在双曲线上，点在轴上；…以此类推，点的横坐标为 ．【巩固练习6】如图，线段端点、端点，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标是．由点开始，不断重复曲线“”，形成一组波浪线．已知点，均在该组波浪线上，分别过点、向轴作垂线段，垂足分别为和，则四边形的面积为 ．【巩固练习7】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 ． 【题型10】 矩形模型（平行，比例性质）【例题1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ． 【例题2】如图，已知双曲线经过矩形边的中点F，交于点E，且四边形的面积为3，则 ．【巩固练习1】（2023年黑龙江省绥化市中考）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．【巩固练习2】（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ． 【巩固练习3】（2023年浙江省绍兴市中考）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴正半轴上，OA＝6，OC＝4，点P是BC边上一个动点，过点P的反比例函数y＝ 图象与AB边交于点Q，若将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点D恰好落在对角线AC上，则k的值是___________．【答案】12【巩固练习5】如图，直线y＝－3x＋4与双曲线y＝ 交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，连接CD，若四边形ACDB的面积为10，则k的值为___________．【巩固练习6】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），反比例函数y＝ 的图象分别与边AB、BC交于点E、F，将△BEF沿EF翻折，点B恰好落在x轴上点D处，则△BEF的面积为___________．【巩固练习7】如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为 ．【巩固练习8】如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形两边，交于点，，沿直线将翻折得到，且点恰好落在直线上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 ．（仅填代号即可）【题型11】 等线段模型【例题1】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ） A． B． C． D．【例题2】（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ．【巩固练习1】如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点、，若，则的值为 ．【巩固练习2】（2023年辽宁省锦州市中考）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ． 【巩固练习3】如图，直线y＝2x与双曲线y＝ 交于A、B两点，AC⊥AB交双曲线于点C，连接BC，则sin∠ABC的值是___________．【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x与双曲线y＝ 相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是20，则点C的坐标为___________．【巩固练习5】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝ （k＞0）相交于A、B两点，直线y＝ mx＋n经过点B，与双曲线交于另一点C，若△ABC的面积为6，则k的值为___________．【巩固练习6】如图，直线l与反比例函数y＝ 的图象在第二象限交于B，C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，△COD的面积为6，则k的值为_________．【巩固练习7】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C（－，0），连接BO并延长交反比例函数y＝ 的图象于点D，若∠BAD＝120°，△ABD的面积为2，则点A的坐标为___________．【巩固练习8】（湖北随州·中考）如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为3，则的值为 ．【巩固练习9】（贵州毕节·中考）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为 ．【巩固练习10】如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为 ．【巩固练习11】（宿迁市中考数学真题）如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 = ．【巩固练习12】如图，A，B是反比例函数(k≠0)图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE，BE．若S△ABE＝7，则k的值为 ．【题型12】 等角模型【例题1】如图，直线y＝kx与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，过点A作AD∥x轴，交y轴于点D，直线BD交反比例函数y＝ 的图象于另一点C，则 的值为___________．【例题2】如图，直线y＝2x与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，连接BC并延长交双曲线于点D，连接AD，则 的值为__________．【例题3】如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点C、D在反比例函数y＝ 的图象上，若AB＝2AD，OA＝2，□ABCD的面积为8，则点D的坐标为___________．【巩固练习1】（湖北武汉·中考真题）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C，D两点在反比例函数的图象上，则k的值等于 ．【巩固练习2】如图，在直角坐标系中，平行四边形的顶点、在y轴、x轴上，另两个顶点C、D在第一象限内，且；若反比例函数的图象经过C，D两点，则k的值是 ．【巩固练习3】如图，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，顶点，在双曲线上，边交轴于点，且四边形的面积是面积的5倍，则 ．【题型13】 反比例函数与与几何综合【例题1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则【例题2】（2024·四川广元·三模）在平面直角坐标系中， 对于点，，若 则称点A和点B互为 “等距点”. 已知点M是以O为圆心，为半径的圆上一点，若反比例函数图象上存在点M的等距点N，则k的取值范围是 ．【例题3】（2024·四川达州·一模）如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ．【巩固练习1】（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③的最小值是；④．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）【巩固练习2】（2024·山东日照·模拟预测）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ；【巩固练习3】（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A、点B，将直线向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D，M是第二象限内一点，连接、，若以M为位似中心的与位似，位似比为，则b的值为 ． 【巩固练习4】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．当平分时，正方形的面积为 ．【巩固练习5】如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴负半轴上，边与轴交于点，连接，轴，反比例函数的图象经过点，及边上一点，，若，则的值为 ． 【巩固练习6】（2024·广东深圳·三模）如图，双曲线与直线相交于两点， C 为y轴上一点，与双曲线相交于点D， 若的面积为30，，则k的值为 【巩固练习7】（浙江湖州·统考中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是 ．【巩固练习8】（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ． 【巩固练习9】（2023·四川内江·统考中考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为 ． 【巩固练习10】（2023·浙江宁波·统考中考）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ． 【巩固练习11】（2023·陕西·统考中考）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．【巩固练习12】（2023·辽宁鞍山·统考中考）如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ． 21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2025年中考数学压轴题型模型方与技巧（通用版）专题06反比例函数模型与选填压轴（原卷版）.docx 2025年中考数学压轴题型模型方与技巧（通用版）专题06反比例函数模型与选填压轴（解析版）.docx
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