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2025届中考复习专题08：含参不等式与方程问题及其应用
模块一 不等式（组）含参问题 3
【题型1】 已知解集求参数的值或取值范围 3
【题型2】 含参不等式与函数结合 4
【题型3】 由不等式整数解求参数范围 6
【题型4】 已知不等式有/无解求参数的取值范围 6
【题型5】 不等式与方程综合求参数的取值范围 7
【题型6】 与含参不等式（组）有关的新定义问题 8
模块二 方程方程含参问题 8
【题型1】 已知方程的解求参数 8
【题型2】 由方程求代数式的值 9
【题型3】 两个方程的解相同 10
【题型4】 含参二元一次方程组与不等式 10
【题型5】 已知分式方程的增根求参数 11
【题型6】 方程有解、无解问题 12
【题型7】 由方程解的正负求参数的取值范围 12
【题型8】 方程的整数解问题 14
【题型9】 分式方程与含参不等式综合 14
【题型10】 由一元二次方程根的个数求参数的值或范围 15
【题型11】 一元二次方程韦达定理的应用 16
【题型12】 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 17
【题型13】 与含参方程有关的新定义问题 18
一、不等式（组）含参问题
【题型解读】不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式(组)有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围，已知不等式(组)的解售情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式(组)解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
【题型梳理】
1.已知解集求参数的值或取值范围：根据不等式（组）的解集，反推参数的取值。
2.已知整数解的情况求参数的值或取值范围：依据整数解的个数、范围等条件，确定参数的取值。
3.含参不等式与函数结合:含参不等式与函数结合
4.已知不等式有、无解求参数的取值范围：根据不等式的性质和求解方法，确定使不等式有解或无解的参数范围。
5.不等式与方程综合求参数的取值范围：结合方程的解和不等式的解集，列出关于参数的不等式组求解。
6.与含参不等式（组）有关的新定义问题：按照新定义的运算或规则，结合不等式知识求解。
二、方程含参问题
【题型梳理】
1.已知方程的解求参数：将方程的解代入原方程，得到关于参数的等式，进而求解参数。
2.已知方程的解求代数式的值：先根据方程的解求出参数，再将参数代入所求代数式求值。
3.同解方程：两个方程的解相同，先求出一个方程的解，再代入另一个方程求参数。
4.根据方程解满足的情况求解：如解满足某种大小关系等条件，据此列出关于参数的不等式或等式求解。
5.方程整数解问题：在方程的解集中找出整数解，结合条件确定参数的取值。
6.方程有解、无解问题：对于一元一次方程、一元二次方程等，根据其性质判断有解或无解的条件，进而确定参数范围。
7.已知分式方程的增根求参数：先确定增根（使分母为0的值），将分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求参数。
8.利用方程解的范围求参数的取值范围：根据已知解的范围，列出关于参数的不等式组求解。
9.根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围：利用判别式判断根的情况（两个不同实根、两个相同实根、无实根等），进而确定参数。
10.不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值：常利用韦达定理（ 在一元二次方程中，两根、有，）求解。
11.根的判别式与韦达定理综合：结合判别式判断根的情况和韦达定理中两根关系，求解参数或与方程相关的问题。
12.与含参方程有关的新定义问题：根据新定义的规则，结合方程知识进行求解。
【题型解读】
1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题;二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决
2).分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的解.
3).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程有两个根分别为x1、x2，则注意运用根与系数关系的前提条件是，知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解.
模块一 不等式（组）含参问题
【题型1】 已知解集求参数的值或取值范围
【例题1】（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
【巩固练习1】（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2023
【巩固练习2】（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ．
【巩固练习3】（2024·宁夏银川·三模）不等式的正整数解为1和2，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习4】（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
【题型2】 含参不等式与函数结合
【例题1】（2024·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论x取何值，始终有，则m的取值范围是 ．
【例题2】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为
【例题3】（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
【巩固练习1】（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
【巩固练习3】（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3】 由不等式整数解求参数范围
【例题1】（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·黑龙江·中考真题）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是 ．
【巩固练习1】（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
【巩固练习2】（2022·湖南邵阳·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【巩固练习3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【题型4】 已知不等式有/无解求参数的取值范围
【例题1】（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）若不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【巩固练习1】已知关于x的不等式组有解，实数a的取值范围为 ．
【巩固练习2】若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【巩固练习3】（2024·江苏南通·一模）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
【题型5】 不等式与方程综合求参数的取值范围
【例题1】若整数使关于的方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
【巩固练习1】若关于的不等式组的解集为，且关于的方程有非负整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
【巩固练习2】若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A．33 B．28 C．27 D．22
【巩固练习3】（2024·山东日照·二模）关于的不等式组有解，同时关于的方程有正数解，则所有满足条件的整数的和是 ．
【题型6】 与含参不等式（组）有关的新定义问题
【例题1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
【例题2】对于任意实数p，q，定义一种运算：，如：．请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则的取值范围为是 ．
【巩固练习1】定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·山东德州·二模）对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】（2023·广东深圳·模拟预测）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
模块二 方程方程含参问题
【题型1】 已知方程的解求参数
【例题1】（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【巩固练习1】（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是，则a的值为 ．
【巩固练习2】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【巩固练习3】（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．
【题型2】 由方程求代数式的值
【例题1】（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值．
【例题3】（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于 ．
【巩固练习1】（2024·云南怒江·一模）已知m是方程的根，求代数式的值（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
【巩固练习2】（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【巩固练习3】（2024·湖北十堰·三模）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
【巩固练习4】（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为 ．
【题型3】 两个方程的解相同
【例题1】（2024凉州区三模）已知关于x的方程与的解相同，则 ．
【巩固练习1】（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．无法计算
【巩固练习2】（2024安顺市模拟）关于x的两个方程与有一个解相同，则m= ．
【题型4】 含参二元一次方程组与不等式
【例题1】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【例题2】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【例题3】（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ．
【巩固练习1】（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ．
【巩固练习2】（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 .
【巩固练习3】（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【巩固练习4】如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5】 已知分式方程的增根求参数
【例题1】（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程有增根，则 ．
【巩固练习1】（2024·湖南·模拟预测）若关于x 的分式方程有增根，则k 的值为 ．
【巩固练习2】（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，则k的值为
【巩固练习3】（2023·山东德州·模拟预测）已知关于x的分式方程 时出现增根，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】 方程有解、无解问题
【例题1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【例题2】（2023·山东聊城·模拟预测）若关于和的方程组无解，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
【巩固练习2】（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ．
【巩固练习3】（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【题型7】 由方程解的正负求参数的取值范围
【例题1】（2024·黑龙江佳木斯·三模）若关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．且
【例题2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【巩固练习1】（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
【巩固练习2】（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【巩固练习3】（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【巩固练习4】（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【巩固练习5】（2024·四川成都·二模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ．
【题型8】 方程的整数解问题
【例题1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
【例题2】（2024·山东菏泽·一模）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
【巩固练习2】（2021·四川达州·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数 ．
【巩固练习3】如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【巩固练习4】若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（ ）
A．3或5 B．或5 C．或3 D．或
【题型9】 分式方程与含参不等式综合
【例题1】（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【例题2】（2024·重庆·一模）若数 a既使得关于x的不等式组 无解，又使得关于y的分式方程 的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【巩固练习1】（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【题型10】 由一元二次方程根的个数求参数的值或范围
【例题1】（24-25九年级·广东深圳·阶段练习）关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是 ．
【例题2】（2024·云南昆明·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【巩固练习1】（2023·宁夏银川·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为 ．
【巩固练习2】（2025·广东广州·一模）点既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上，则以为根的一元二次方程为 ．
【巩固练习3】（2024·上海宝山·一模）若二次函数图像与一次函数（）只有一交点，则的取值范围为 ．
【题型11】 一元二次方程韦达定理的应用
【例题1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A． B． C． D．6
【例题2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A． B．
C． D．
【例题3】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
【例题3】（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【巩固练习1】（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
【巩固练习2】（2024·山东日照·一模）已知关于的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为 ．
【巩固练习3】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为 ．
【巩固练习4】（24-25九年级上·广东深圳·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型12】 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合
【例题1】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，是抛物线与轴交点的横坐标．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【例题2】（2024·浙江温州·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ．
【巩固练习1】（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围．
【巩固练习2】（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解．
【巩固练习3】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；(2)若方程的两个根为，，且，求的值．
【巩固练习4】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
【题型13】 与含参方程有关的新定义问题
【例题1】已知关于的方程的解与方程的解相同，则 ；若表示不大于的最大整数，那么 ．
【例题2】（2024·湖南·模拟预测）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为 ．
【巩固练习1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ．
【巩固练习2】（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号）
【巩固练习3】（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025届中考复习专题08：含参不等式与方程问题及其应用
模块一 不等式（组）含参问题 3
【题型1】 已知解集求参数的值或取值范围 3
【题型2】 含参不等式与函数结合 6
【题型3】 由不等式整数解求参数范围 10
【题型4】 已知不等式有/无解求参数的取值范围 13
【题型5】 不等式与方程综合求参数的取值范围 15
【题型6】 与含参不等式（组）有关的新定义问题 17
模块二 方程方程含参问题 19
【题型1】 已知方程的解求参数 19
【题型2】 由方程求代数式的值 20
【题型3】 两个方程的解相同 23
【题型4】 含参二元一次方程组与不等式 24
【题型5】 已知分式方程的增根求参数 28
【题型6】 方程有解、无解问题 29
【题型7】 由方程解的正负求参数的取值范围 31
【题型8】 方程的整数解问题 35
【题型9】 分式方程与含参不等式综合 38
【题型10】 由一元二次方程根的个数求参数的值或范围 42
【题型11】 一元二次方程韦达定理的应用 45
【题型12】 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 48
【题型13】 与含参方程有关的新定义问题 53
一、不等式（组）含参问题
【题型解读】不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式(组)有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围，已知不等式(组)的解售情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式(组)解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
【题型梳理】
1.已知解集求参数的值或取值范围：根据不等式（组）的解集，反推参数的取值。
2.已知整数解的情况求参数的值或取值范围：依据整数解的个数、范围等条件，确定参数的取值。
3.含参不等式与函数结合:含参不等式与函数结合
4.已知不等式有、无解求参数的取值范围：根据不等式的性质和求解方法，确定使不等式有解或无解的参数范围。
5.不等式与方程综合求参数的取值范围：结合方程的解和不等式的解集，列出关于参数的不等式组求解。
6.与含参不等式（组）有关的新定义问题：按照新定义的运算或规则，结合不等式知识求解。
二、方程含参问题
【题型梳理】
1.已知方程的解求参数：将方程的解代入原方程，得到关于参数的等式，进而求解参数。
2.已知方程的解求代数式的值：先根据方程的解求出参数，再将参数代入所求代数式求值。
3.同解方程：两个方程的解相同，先求出一个方程的解，再代入另一个方程求参数。
4.根据方程解满足的情况求解：如解满足某种大小关系等条件，据此列出关于参数的不等式或等式求解。
5.方程整数解问题：在方程的解集中找出整数解，结合条件确定参数的取值。
6.方程有解、无解问题：对于一元一次方程、一元二次方程等，根据其性质判断有解或无解的条件，进而确定参数范围。
7.已知分式方程的增根求参数：先确定增根（使分母为0的值），将分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求参数。
8.利用方程解的范围求参数的取值范围：根据已知解的范围，列出关于参数的不等式组求解。
9.根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围：利用判别式判断根的情况（两个不同实根、两个相同实根、无实根等），进而确定参数。
10.不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值：常利用韦达定理（ 在一元二次方程中，两根、有，）求解。
11.根的判别式与韦达定理综合：结合判别式判断根的情况和韦达定理中两根关系，求解参数或与方程相关的问题。
12.与含参方程有关的新定义问题：根据新定义的规则，结合方程知识进行求解。
【题型解读】
1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题;二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决
2).分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的解.
3).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程有两个根分别为x1、x2，则注意运用根与系数关系的前提条件是，知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解.
模块一 不等式（组）含参问题
【题型1】 已知解集求参数的值或取值范围
【例题1】（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定的范围．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∵解集是，
∴，
解得
【例题2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，依据不等式组的解集为列出关于的不等式是解题的关键．先求得不等式的解集，然后依据不等式组的解集为可判断出的取值范围．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得：．
不等式组的解集为，
．
解得：．
【例题3】（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得．
【详解】解：，
，
，
．
解不等式得：，
∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大，
∴，
解得，
故答案为：；．
【巩固练习1】（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集是，
∴，，
∴，，
∴
【巩固练习2】（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可．
【详解】解：一次函数，
随的增大而增大，
对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，
，
解得．
故答案为：．
【巩固练习3】（2024·宁夏银川·三模）不等式的正整数解为1和2，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
∵不等式组整数解为1和2，
则，∴
【巩固练习4】（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
【答案】或
【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
所有整数解的和为，
①整数解为：、、、，
，
解得：，
为整数，
．
②整数解为：，，，、、、，
，
解得：，
为整数，
．
【题型2】 含参不等式与函数结合
【例题1】（2024·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论x取何值，始终有，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、解不等式，根据题意可得直线与直线平行，且直线在直线的上方，进而得出，根据列不等式，解不等式即可．
【详解】解： ∵无论x取何值，始终有，
∴直线与直线平行，且直线在直线的上方，
∴，
∴，
∴
【例题2】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键．
可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ．
【详解】解：可知过原点，
∵中，时，，
∴当过点时，，
得；
当与平行时，
得．
由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：．
故答案为： ．
【例题3】（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
【答案】C
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确；
C、由图象可知：当时，，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；
故选项D正确；
故选C．
【巩固练习1】（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化．
【详解】解：点在直线上，
，
将上式代入中，
得：，
解得：，
由，得：，
（两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变），
故选：D．
【巩固练习2】（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题．
【详解】解：①的图象过第二、三、四象限，
观察图象可知，，．
所以．
故①正确．
②将分别代入和得，
，．
观察图象不难发现点在点的上方，
所以．
故②不正确．
③观察图象发现，与交点的横坐标为．
当时，两者的函数值相等．
，
故③正确．
④，是直线上不重合的两点，
由的图象可知，当时，，则．
当时，，则．
故④不正确．
【巩固练习3】（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确；
②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确；
③．由图象可知：当时，，故选项③错误；
④．由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；故选项④正确；
故正确的有①②④共三个
【题型3】 由不等式整数解求参数范围
【例题1】（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【详解】解：，
由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【例题2】（2023·黑龙江·中考真题）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得的取值范围．
【详解】解：解不等式组得：，
∵关于的不等式组有3个整数解，
∴这3个整数解为，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【巩固练习1】（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有三个整数解，
不等式组的整数解为，0、1，
则，
解得．
故答案为：．
【巩固练习2】（2022·湖南邵阳·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值．
【详解】解不等式，
，
∴，
∴，
解不等式，
得，
∴，
∴的解集为，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴,
∴的最大值应为5
【巩固练习3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
不等式组恰有3个整数解，
这3个整数解是0，1，2，
，
解得
【题型4】 已知不等式有/无解求参数的取值范围
【例题1】（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）若不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键．求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得m的取值范围．
【详解】解：解不等式，得，
不等式组无解，
把两个不等式的解集在数轴上表示出来如下：

观察图象知，
当时，满足不等式组无解
【例题2】（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解∶ ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，解得：，
∴．
【巩固练习1】已知关于x的不等式组有解，实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组有解，建立起新的不等式组，解之即可，本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组有解建立新不等式组是解题的关键．
【详解】∵，
∴解①得，，解②得，，
∵不等式组有解，
∴，
∴
【巩固练习2】若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】解不等式组得，，根据不等式组有解可得，即，即可求解．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∵关于y的不等式组有解，
∴，即，
∴满足条件的整数m的最大值为7
【巩固练习3】（2024·江苏南通·一模）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到结合不等式组的解集可得答案，
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：，解得：，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
【题型5】 不等式与方程综合求参数的取值范围
【例题1】若整数使关于的方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【分析】先求出方程的解和不等式的解，得出a的范围，再求出整数解，最后求出答案即可．
【详解】解：解方程x+2a=1得：x=12a，
∵方程的解为负数，
∴12a＜0，
解得：a＞0.5，
∵解不等式①得：x＜a，
解不等式②得：x≥4，
又∵不等式组无解，
∴a≤4，
∴a的取值范围是0.5＜a≤4，
∴整数和为1+2+3+4=10
【巩固练习1】若关于的不等式组的解集为，且关于的方程有非负整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，关键是能准确求解，并根据题意确定字母参数的取值．
先解该不等式组并求得符合题意的的取值范围，再解关于的方程并求得符合题意的的取值范围，然后确定的所有取值，最后计算出此题结果．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
由题意得，
解方程得，，
关于的方程有非负整数解，
且为奇数，
解得，，
的取值范围为：，
为奇数，
整数的取值为，，，，1，3，
符合条件的所有整数的和为：．
【巩固练习2】若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A．33 B．28 C．27 D．22
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程．首先解不等式组，根据不等式组有且只有2个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数，求和即可得到答案．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴，
∵关于的不等式组有且只有2个整数解，
∴，
∴，
解方程得：，
∵关于的方程的解是负整数，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
∴符合条件的所有整数为和，
∵，
∴符合条件的所有整数的和是
【巩固练习3】（2024·山东日照·二模）关于的不等式组有解，同时关于的方程有正数解，则所有满足条件的整数的和是 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、分式方程的解等知识，理解分式方程有整数解的条件与解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先分别求出不等式组的解和分式方程有正数解的的范围，再确定所有满足条件的整数，即可获得答案．
【详解】解：解不等式组，
可得，
∵该不等式组有解，
∴
∴，
解分式方程，
可得，
∵该方程有正数解，
∴且，
解得且，
∴且，
∴所有满足条件的整数包括，0，2，
∴所有满足条件的整数的和为．
【题型6】 与含参不等式（组）有关的新定义问题
【例题1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，
解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
【例题2】对于任意实数p，q，定义一种运算：，如：．请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则的取值范围为是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出的范围即可．
【详解】解： ，
中，
解①得：，
，
；
解②得：，
，
；
不等式组有且仅有2个整数解，
，
，
，
．
故答案为：．
【巩固练习1】定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据所给的定义可知，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得
【巩固练习2】（2024·山东德州·二模）对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数解，确定出的范围即可．
【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为：
，解得：，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3
【巩固练习3】（2023·广东深圳·模拟预测）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可．
【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：
解不等式①可得：
解不等式①可得：
因为该不等式组的解集为
∴，解得：
模块二 方程方程含参问题
【题型1】 已知方程的解求参数
【例题1】（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入方程，得，解得：
【巩固练习1】（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．
【详解】解：根据题意，知
，
解得a=3．
故答案是：3．
【巩固练习2】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得
【巩固练习3】（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．
【答案】，方程的另一个根是
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定义．将代入方程求得到b的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：∵是的一个根，
∴
解得，
将代入原方程得，
∴
解得，，
∴，方程的另一个根是．
【题型2】 由方程求代数式的值
【例题1】（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键．
由题意得，，即，根据，代值求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
【例题2】（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值．
【答案】8
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解， 以及解二元一次方程组，以及代数式求值， 先根据二元一次方程组的解得出新的二元一次方程组， 再根据加减消元法求出a，b的值，然后代入求值即可．
【详解】解：依题意得方程组，
①②得，
∴，
把代入①得；
则．
【例题3】（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于 ．
【答案】2023
【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可．
【详解】解：由得：，，
【巩固练习1】（2024·云南怒江·一模）已知m是方程的根，求代数式的值（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由题意得出，再整体代入计算即可得解．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴
【巩固练习2】（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，
∴，
∴
．
【巩固练习3】（2024·湖北十堰·三模）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
【答案】11
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得：，，，
∴，
∴
【巩固练习4】（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为 ．
【答案】
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得，再将变形，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故原式的值为，
故答案为：．
【题型3】 两个方程的解相同
【例题1】（2024凉州区三模）已知关于x的方程与的解相同，则 ．
【答案】
【分析】先解求出x的值，然后代入，解关于m的方程即可求出m的值．
【详解】∵
∴
∴
∴，
把代入，得
，
去分母，得
，
解得．
【巩固练习1】（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．无法计算
【答案】C
【分析】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把k看作已知数求出x与y，代入已知方程计算即可求出k的值．
【详解】解：
由①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把，代入，
得：，
解得：
【巩固练习2】（2024安顺市模拟）关于x的两个方程与有一个解相同，则m= ．
【答案】﹣8．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；先解方程x2-x-6=0，将它的根分别代入方程，去掉不符合题意的根，求出m的值．
【详解】解：解方程得：x=﹣2或3；
把x=﹣2或3分别代入方程，当x=﹣2时，得到，解得m=﹣8．
【题型4】 含参二元一次方程组与不等式
【例题1】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整数k值为2024
【例题2】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵、是二元一次方程组的解，
∴，
∵关于、的二元一次方程组的解满足，
∴，
∴解得：，
故答案为．
【例题3】（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式是解题的关键．
加减消元法解二元一次方程组，进而可得，计算求解即可．
【详解】解：，
得，，
解得，，
将代入②得，，
解得，，
∴，
解得，．
故答案为：．
【巩固练习1】（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，掌握整体求未知数的方法是解本题的关键．得，根据得出关于n的不等式求解．
【详解】解：，
，得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【巩固练习2】（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，把两个方程相减，可得，与的和不小于，即可求出答案．
【详解】把两个方程相减，可得
与的和不小于
解得：
k的取值范围为．
【巩固练习3】（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数、解一元一次不等式，把两个方程相减，可得，进而可得，再求解即可．
【详解】解：，
由得，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【巩固练习4】如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，∴方程组的解为，
∵方程组的解为正数，∴，∴
【题型5】 已知分式方程的增根求参数
【例题1】（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程有增根，则 ．
【答案】
【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．
【详解】，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴
【巩固练习1】（2024·湖南·模拟预测）若关于x 的分式方程有增根，则k 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程有增根的情况是分母为0得到，则，据此可得答案．
【详解】解：
去分母得：，
解得，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解
【巩固练习2】（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，则k的值为
【答案】3
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
【详解】解：去分母得：，
分式方程有增根，，解得：，
把代入整式方程得：
【巩固练习3】（2023·山东德州·模拟预测）已知关于x的分式方程 时出现增根，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式方程有增根的情况．先将分式方程去分母后化为整式方程，根据原分式方程有增根得到，，进而当时，，求解即可解答
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理，得，
∵分式方程有增根，
∴，即
∴，
∵分式方程有增根
∴当时，，
即，
解得：或，
经检验，或都是方程的解．
∴m的值为或．
【题型6】 方程有解、无解问题
【例题1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
当时，方程无解，
当时，令，
解得，
所以关于x的分式方程无解时，或．
【例题2】（2023·山东聊城·模拟预测）若关于和的方程组无解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组无解时，即可得出与得关系式，解题的关键是掌握二元一次方程组，当时方程组无解．
【详解】∵关于和的方程组无解，
∴，∴
【巩固练习1】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【巩固练习2】（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ．
【答案】或2
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵关于的方程无解，
∴当或时，分式方程无解，
解得：或（经检验是原方程的解），
即或，无解．
【巩固练习3】（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，
整理得，
原方程无解，
当时，；
当时，或，此时，，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4
【题型7】 由方程解的正负求参数的取值范围
【例题1】（2024·黑龙江佳木斯·三模）若关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程的解法、分式方程的解以及不等式组的解法，首先解此分式方程，可得，由关于的方程的解是非负数，即可得，且，解不等式组即可求得答案，此题难度适中，注意不要漏掉分式方程无解的情况：．
【详解】解：方程两边同乘以，得：，
解得：，
关于的方程的解是非负数，
，且，
解得：且．
【例题2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且
【巩固练习1】（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且
【巩固练习2】（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围．
【详解】解：
∵方程的解为正数，且分母不等于0
∴，
∴，且
【巩固练习3】（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是非负数，
∴，且，
∴且，
故选：C．
【巩固练习4】（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
∴，，即，
解得：且，
故选：D．
【巩固练习5】（2024·四川成都·二模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数．先利用表示出的值，再由为负数求出的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
为负数，且，
，且，
解得，且，
的取值范围是，
故答案为：
【题型8】 方程的整数解问题
【例题1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．
【详解】解：，
化简得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，
解得：或（舍去，会使得分式无意义）．
【例题2】（2024·山东菏泽·一模）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含a的代数式表示x，根据方程有整数解求出a的所有值，再去掉产生增根的a的值，再求出满足条件的所有整数a的和即可
【详解】解：
去分母得，，
解得，，
∵分式方程有整数解，且
∴
∴，
∴满足条件的所有整数a的和为
【巩固练习1】（黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
【答案】D
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
【详解】解：，
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；
当时，是原分式方程的解
【巩固练习2】（2021·四川达州·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数 ．
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，
当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:
【巩固练习3】如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】先将看作已知量，解二元一次方程组，用表示出，再结合，为整数，得出的整数解，然后把的整数解代入，得出的解，再把方程组的整数解代入，即可得出的值．
【详解】解：，
由，可得：，
∵，为整数，
∴当为时，为整数，
∴把的值代入，可得：，，，，，，，，
∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，，
∴方程组的整数解为，，，，
把方程组的整数解代入，可得：，，，．
【巩固练习4】若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（ ）
A．3或5 B．或5 C．或3 D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值．解题的关键是将分式方程转化为整式方程，求出方程的解．
【详解】解：
去分母得：
化简得：
当时，
方程有整数根，的值是整数，
当时，，方程的根；
当时，，方程的根（增根，舍去）；
当时，，方程的根；
当时，，方程的根（增根，舍去）．
【题型9】 分式方程与含参不等式综合
【例题1】（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是
【例题2】（2024·重庆·一模）若数 a既使得关于x的不等式组 无解，又使得关于y的分式方程 的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意对方程方程的增根进行讨论是解题的关键．先解不等式组，根据题意得到，解得，再解分式方程得到，再由题意可得且，最后求整数的和即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组无解，
，
解得，
，
，
，
方程的解不小于1，
，
，
，
，
满足条件的所有整数为4，3，2，1，0，，，，，
，
满足条件的所有整数的和是
【巩固练习1】（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据不等式组“有且只有两个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到、，综合后即可得到所有满足条件的整数的和．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
原不等式有且只有两个偶数解，
，
，
解分式方程得：，
原分式方程有解，
，
是原分式方程的增根，
，
综上，，且，，为整数，
或，
所有满足条件的整数的和是．
【巩固练习2】（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
【答案】10
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握以上运算法则．不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
解得：．
∵不等式组有解且至多4个整数解，
，
解得：，
分式方程，
去分母得：，
解得：，
∵，，
∵分式方程的解为整数，，，
或4或6，
则满足题意整数之和为．
【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是
【题型10】 由一元二次方程根的个数求参数的值或范围
【例题1】（24-25九年级·广东深圳·阶段练习）关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到，即可求出答案．
【详解】解：由于关于的一元二次方程有实数根，
且原方程是一个一元二次方程，则的系数不为0；
，
即，
解得．
故答案为：且．
【例题2】（2024·云南昆明·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式的意义得到，所以，然后利用降次的方法和整体代入的方法进行计算．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得，
∴，，即，
∴
，
【巩固练习1】（2023·宁夏银川·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式的知识，掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．
根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，可得：，解得，
∵方程有实数根，
∴，解得：，
∴实数a的取值范围是且．
故答案为：且．
【巩固练习2】（2025·广东广州·一模）点既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上，则以为根的一元二次方程为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征．将P点代入反比例函数解析式中，可得出m、n的乘积；将P点坐标代入一次函数的解析式中，可得出m、n的和；根据韦达定理即可求出以为根的一元二次方程．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
；
点在一次函数的图象上，
，
，
以为根的一元二次方程可以为：．
【巩固练习3】（2024·上海宝山·一模）若二次函数图像与一次函数（）只有一交点，则的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．分三种情况讨论：首先令，整理并结合一元二次方程的根的判别式确定；再确定一次函数的图像经过点、，结合二次函数图像与一次函数图像只有一交点，可得关于的不等式组并求解；当时，抛物线经过点，计算的值，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，令，
整理可得 ，
则，
解得，
将代入，可得，
将代入，可得，
即一次函数的图像经过点、，
对于二次函数，
当时，，
当时，，
∵当时，二次函数图像与一次函数图像只有一交点，
∴应满足
或，
解得，
当时，抛物线经过点，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，的取值范围为或．
故答案为：或．
【题型11】 一元二次方程韦达定理的应用
【例题1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解：，
，
而，
，
【例题2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；
∴，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项符合题意；
C. 中，，，故该选项不符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意
【例题3】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
【例题3】（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
【巩固练习1】（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解的定义可得出，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后整体代入计算即可．
【详解】解∶∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
【巩固练习2】（2024·山东日照·一模）已知关于的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．先利用根与系数的关系得到，再根据，求出的值即可得到答案．
【详解】解：由根与系数的关系得到，
，
，
，
【巩固练习3】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根于系数的关系，根据，列式结合求解即可得到答案；
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，，
当时，，，故不符合题意舍去，
当时，，，符合题意
【巩固练习4】（24-25九年级上·广东深圳·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1；
∴，
又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项不符合题意；
C. 中，，，故该选项符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意
【题型12】 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合
【例题1】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，是抛物线与轴交点的横坐标．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为
【分析】本题考查的是一元二次方程中根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是明确二次函数与x轴的交点是对应一元二次方程的解即可求解本题．
（1）根据意义得到，代入题目中的数据求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式将转化为，将代数式代入求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
解得：；
（2）解：∵，是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，，
∴，
解得：（舍去），
【例题2】（2024·浙江温州·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系，根据有两个实数根可得，再根据根与系数关系得到，，将化简再代入，即可求解．
【详解】解：的两个实数根，
，
解得：，
由题可得：，，
，即，
将，，代入得，即，
解得，，
，
【巩固练习1】（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围．
【答案】(1)m的取值范围是；
(2)m的取值范围．
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式等知识点，
（1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可；
（2）求出，，再代入计算即可解答；
熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键．
【详解】（1）方程 整理得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
即m的取值范围是；
（2）∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故m的取值范围．
【巩固练习2】（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解．
【答案】或
【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程．
由于关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】解：设方程的两个根为，
则，
由条件知，即且，
故．
则方程为．
当，即时，关于x的方程为有实数根，
不等式即为，
则，
或．
当时，，
．
又是正整数，且，
，但使不等式的分母无意义．
综上，不等式的解为：或．
【巩固练习3】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；(2)若方程的两个根为，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；
（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值．
【详解】（1）解：，
∵有两个不相等的实数，
∴，
解得：；
（2）∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
即：．
【巩固练习4】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（）利用根和系数的关系即可求解；
（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；
（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
【题型13】 与含参方程有关的新定义问题
【例题1】已知关于的方程的解与方程的解相同，则 ；若表示不大于的最大整数，那么 ．
【答案】 7 2
【分析】求出第一个方程的解，因为两个方程的解释相同的，则把第一个方程的解代入第二个方程即可求出；将代入得到，根据定义即可求出答案．
【详解】解：
将代入，
．
【例题2】（2024·湖南·模拟预测）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为 ．
【答案】或3
【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元二次方程的方法和步骤．根据题目所给新定义，列出方程求解即可．
【详解】解：， ，
∴，即，
解得：
【巩固练习1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得，即得，再根据即可求解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，，
∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得
【巩固练习2】（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】①②/②①
【分析】本题考查方程解，根的判别式，根据倒方程的定义，结合方程的解以及根的判别式逐一进行判断即可．
【详解】解：的倒方程为：，
把代入，得：
，解得：；故①正确；
∵无解，
∴，
∴，
∵的倒方程为，也是一元二次方程，
∴，
∴没有实数根，故②正确；
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
当，时，满足要求，
此时的倒方程为一元一次方程，故③错误
【巩固练习3】（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ．
【答案】3
【分析】根据新定义，分类计算即可．
本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键．
【详解】当时，
变形得，
整理，得，
解得（舍去）．
当时，
变形得，
解得（舍去）．
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