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2025届中考复习专题：反比例函数大题与综合探究性问题
【题型1】 反比例函数与一次函数综合之面积问题 1
【题型2】 反比例函数综合之几何存在性问题 21
【题型3】 反比例函数与一次函数综合之平移问题 31
【题型4】 反比例函数与矩形周长面积探究类问题 39
【题型5】 反比例函数中的基本不等式对勾函数探究 61
【题型6】 反比例函数图像平移后的性质的探究 75
【题型7】 利用反比例函数解决实际问题探究 90
【题型8】 反比例函数与旋转综合压轴题 102
【题型9】 反比例函数几何递进式探究问题 117
【题型10】 反比例函数在跨学科中的应用 143
【题型12】 反比例函数综合之新定义问题 159
【题型13】 反比例函数综合之动点问题 165
【题型14】 反比例函数综合之最值范围问题 179
【题型1】 反比例函数与一次函数综合之面积问题
【例题1】（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
(1)求、的值和一次函数的表达式；(2)连接，求点到线段的距离．
【答案】(1)，，
(2)点到线段的距离为
【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式；
（2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离．
【详解】（1）点、在反比例函数图象上
，
又一次函数过点，
解得：
一次函数表达式为：；
（2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
，
轴，
点，，
点，，
在中，
又
即
∴，即点C到线段的距离为．
【例题2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点．
(1)求和的值；
(2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标．
（1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出；
（2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象过，
，
，
在函数的图象上，
，
在函数图象上，
；
（2）解：当时，，
，
四边形是正方形，
，
当在反比例函数的图象右半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
当在反比例函数的图象左半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
综上的坐标为或．
【例题3】（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点坐标为
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
【巩固练习1】（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，

对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积大于12，
∴，即，
当时，则,
解得：，
当时，则，
解得：；
∴或．
【巩固练习2】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；
(2)利用图像直接写出时的取值范围；
(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)8
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可；
（2）图像法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可．
【详解】（1）点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
【巩固练习3】（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … 1 2 3 4 …
… 8 4 2 1 …
写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
(3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)点的坐标为
【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可；
（3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，则，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得，
则一次函数的解析式．
（2）解：由表格可知，，
画出函数图象如下：
．
（3）解：联立，解得或，
∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧），
∴，
∵点关于坐标原点的对称点为点，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，
如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则，
∴，点到的距离与点到的距离之和为，
∵的面积为15，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
则，
所以点的坐标为．
【巩固练习4（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；
(3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．
【答案】(1)，
(2)点P坐标为或；
(3)Q点坐标为或
【分析】（1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答．
（2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得，解出，即可作答．
（3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答．
【详解】（1）解：依题意把代入，得出
解得
把代入中，得出
∴
则把和分别代入
得出
解得
∴；
（2）解：记直线与直线的交点为
∵
∴当时，则
∴
∵P是直线上的一个动点，
∴设点，
∵的面积为21，
∴
即
∴
解得或
∴点P坐标为或；
（3）解：由（1）得出
∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，
∴设点Q的坐标为
如图：点在点的右边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得（负值已舍去）
经检验是原方程的解，
∴Q点坐标为
如图：点在点的左边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得，符合题意，，不符合题意，
则，故
综上：Q点坐标为或．
【巩固练习5】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
(1)求的值及点的坐标．
(2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标；
（2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可；
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
∴，
∴,
∴，
∴反比例函数为：；
∴，
解得：，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，,
∴，
∴，，
如图，当时，最短；
∴
【巩固练习6】（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习：
项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积
项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E．
活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______．
驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______；
活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______．
驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）．
【答案】（1）；（2）4.5；（3）；（4）
【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键．
（1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点，再把点代入，即可求解；
（2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入求出横坐标，即可得出点，从而可求得，，然后利用，即可求解；
（3）设，则，，则，，根据求解即可；
（4）设，则，，则，，根据求解即可．
【详解】解：（1）∵B的坐标是，，四边形是矩形，
∴，
∵E在上，
∴，
∴；
（2）∵B的坐标是，，D在上，
∴D的纵坐标为4，
∵D在上，
∴D的横坐标，
∴，
∴，，
∵B的坐标是，
∴，
∴
；
（3）∵，，
设，则，，
∴，，
∴；
（4）设，则，，
∴，，
∴；
即．
【巩固练习7】（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
(1)求反比例函数的表达式；(2)求n的值及的面积．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）∵
∴
∴
∴
∵将正比例函数图象向下平移个单位，
∴平移后的解析式为：，
如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
设，则
∴，
∴，
∵，，在上
∴
解得：（负值舍去）
∴，
∴的解析式为，
当时，，则，
∴，，则
∵直线与关于直线成轴对称，轴，
∴，和是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
【题型2】 反比例函数综合之几何存在性问题
【例题1】（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用．
（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；
（2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可．
【详解】（1）解：将代入得
将代入得
将和代入得
解得
故反比例函数和一次函数的解析式分别为和；
（2）如图，过作轴于，过作轴于，
即
设，则，
解得（舍去）或
经检验，是原分式方程的解，
．
【例题2】（2024·四川南充·中考真题）如图，直线经过两点，与双曲线交于点．
(1)求直线和双曲线的解析式．
(2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)直线解析式为，双曲线解析式为
(2)点P坐标为或或或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质：
（1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：直线经过两点，
∴，解得：，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论：
①当，则：，
∴，
∴，
∴或；
②当，则：，
∴，
∴，
∴或；
综上：点P坐标为或或或．
【巩固练习1】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）反比例函数中比例系数的几何意义为：如图，过双曲线上任意一点作轴于点、轴于点，则有，所以．
【问题背景】
如图2，点为反比例函数图象上任意一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交反比例函数于点．
【理解应用】
（1）求证：
（2）连接，若时，求点的坐标．
【拓展迁移】
（3）点与点为反比例函数图象上一点，的坐标为，连接，，若，求点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）或
【分析】（1）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据，即可求解；
（2）设，则，则，根据题意得出，设，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）过点作于点，∵，，设，则，设，根据建立方程，解得或，进而求得直线直线的解析式为或，联立反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴
又
∴
又∵点，分别在与上，则
∴
∴；
（2）∵，
设，则，
∴，
∵，
∴
设
∴
解得：或（正值舍去）
∴或
（3）如图所示，过点作于点，∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
设，
，
解得：或，
∴或，
设直线的解析式为，
∴或，
解得：或，
∴直线的解析式为或，
∴或，
解得：或（负值舍去），
∴或．
【巩固练习2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数的图象经过线段的中点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线向右平移3个单位长度后得到直线，直线交x轴于点D，交反比例函数的图象于点E，F，连接，，求的面积；
(3)请结合图象，直接写出不等式的解集；
(4)在坐标平面内，直接写出点M的坐标，使以M、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)9
(3)
(4)或或
【分析】（1）先根据直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求得，，根据中点坐标公式可得，再根据反比例函数的图象经过线段的中点C，即可得到k的值；
（2）先求出直线的解析式，将反比例函数与直线的解析式联立组成方程组，解方程组得到E、F两点的坐标，过点C作轴交于P，求出P点坐标，根据，即可求解；
（3）结合函数图象直接写出不等式的解集即可；
（4）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可得等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，得，解得，
令，得，
∴，，
∵线段的中点是C，
∴．
将代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵将直线向右平移3单位长度后得到直线，线交x轴于点D，
∴，，
把代入，
解得，
∴直线的解析式为．
联立，
解得或，
∴，．
如图，过点C作轴交于P，则P点的横坐标为6，
将代入，得，
∴，
∴
；
（3）解：由图象可得，不等式的解集为．
（4）解：设点，分以下三种情况：
若和为对角线，
∵四边形是平行四边形，，，，
∴和互相平分，即和中点是同一个点，
∴，，
∴，，
∴点；
若和为对角线，
∵四边形是平行四边形，，，，
∴和互相平分，即和中点是同一个点，
∴，，
∴，，
∴点；
若和为对角线，
∵四边形是平行四边形，，，，
∴和互相平分，即和中点是同一个点，
∴，，
∴，，
∴点；
综上所述：点的坐标为或或．
【巩固练习3】（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可；
（）设点的坐标为，则，由可得与相似，需满足或，据此解答即可求解；
本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设点的坐标为，则，
∵，
∴与相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得或；
综上，点的坐标为或或或．
【题型3】 反比例函数与一次函数综合之平移问题
【例题1】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，
∴，解得，
将代入，
；
（2）解：如图，过点C作轴于点F，
，
，，
，
，
，，
∵直线向上平移m个单位长度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
双曲线过点C，
，
解得或（舍去），
．
【例题2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)点的坐标为
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为；
（3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
【巩固练习1】
【巩固练习2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的纵坐标为3．
∴，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，即，
∵点D在反比例函数图象上，
把代入得，，
解得，
∴，
∴；
（3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：，
∵直线与函数图象交于，两点，
∴联立方程组得，，
即，
设、，
∴，
∵点P为的中点，
∴点P的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
把代入得，，
解得，
∴直线与x、y轴交于点、，
∴，，
∴，
∴，
过点O作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【巩固练习3】（2024·河南漯河·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求，，及的值．
(2)将直线沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数图象交于点，，与轴交于点．若图中阴影部分（即）的面积是9，求的值．
【答案】(1)，，，；
(2)
【分析】（1）先把代入反比例函数求出，再把代入求出，再把，代入，用待定系数法求出，；
（2）先求出点坐标，再根据平移的性质求出，过作轴于，然后根据，求出．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，关键是求出直线和反比例函数解析式．
【详解】（1）解：把代入反比例函数得，，
反比例函数的解析式为，
把代入得，，
，
把，代入得：，
解得，
，，，；
（2）解：由（1）知，
令，则，
，
，
将直线沿轴向上平移个单位长度后直线，
，且，
连接，
，
，
，
过作轴于，
，
，
，
即．
【题型4】 反比例函数与矩形周长面积探究类问题
【例题1】（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；

把代入得：，
解得：，
∴．
【例题2】（2024·山东枣庄·一模）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．
(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得再探究根的情况：小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由．
(3)根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，用图象表达；
(4)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
【答案】(1)不存在
(2)存在，见详解
(3)不存在
(4)存在，
【分析】本题以求矩形的周长和面积为背景，考查了学生对二元方程组的解法掌握情况和一次函数与反比例函数图象的关系．在解方程组的时候选用消元法，借助根的判别式的值可以快速得到结果．
（1）由已知正方形得到周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，两边长不相等，故不存在；
（2）小明同学思路：设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；小慧同学思路：根据图象得出结论；
（3）结合（1）中结果，画出图象表达；
（4）利用求的取值范围．
【详解】（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）小明同学思路：
设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：，
∴
∴此方程有两个不相等的解，
∴存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的2倍．
小慧同学思路：
从图象看来，函数和函数图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
故答案为：存在．
（3）设新矩形长和宽为、，则依题意，
从图象看来，函数和函数图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
（4）设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：
设方程的两根为，
当时，，
解得：或(舍)，
∴时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的倍．
【巩固练习1】（2024·山东济南·二模）【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的两边长为x、y ，则． 即那么满足要求的（x，y）应该是函数 与 的图象在第_____象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图象
①画函数 的图象；
②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则函数的图象可以看成是函数的图象向上平移_____个单位长度得到．
（3）研究函数图象
平移直线，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长m 的值为_____；
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m 的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为8的矩形的周长m的取值范围为_____．
【答案】（1） 一；（2）①图见解析；②图见解析，
（3）①，8；②0个交点时，；2个交点时，
（4）
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键．
（1）根据x、y是边长求解即可；
（2）①利用描点法画函数 的图象即可；②利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可；
（3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； ②由①并结合图象可求解；
（4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可．
【详解】解：（1）∵x、y是边长，∴，，
故满足要求的（x，y）应该是两个函数的图象在第一象限内的公共点坐标，
故答案为：一；
（2）①列表：
x 1 2 4 8
y 4 2 1
描点、连线得函数 的图象如图：
②列表：
x 0 1
y 0
描点、连线得函数的图象如图，
由得，函数的图象可以看成是函数的图象向上平移个单位长度得到，
故答案为：；
（3）由得，
由，得，此时，
解得，
∴当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为，周长m的值为8，
故答案为：，8；
②如图，
由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，；
（4）当面积为8的矩形的周长是m时，相邻两边分别为x、y，则，，
∴，，
由得，
由题意，该方程有实数根，
则，解得，
故答案为：．
【巩固练习2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形的周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍契合矩形”．

【概念辨析】
（1）边长为的正方形 （填“是”或“不是”）“完美矩形”；
矩形的周长是，面积是，它的“倍契合矩形”的周长是 ，面积是 ；
【深入探究】
（2）问题：长为，宽为的矩形是否存在“倍契合矩形”？我们可以从函数的观点来研究“倍契合矩形”的长和宽为，依题意，，则，，在图的平面直角坐标系中做出一次函数：和反比例函数：的图象来研究，有交点就可意味着存在“倍契合矩形”，那么长为，宽为的矩形是否存在“倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；
（3）如果长为，宽为的矩形是一个“完美矩形”，求与的函数关系式，并在图的平面直角坐标系中直接画出函数图象；
观察图象，直接写出周长为的“完美矩形”的长（结果精确到）．
【答案】（）是；，；（）存在，它的长为；（），画出图象见解析；周长为的“完美矩形”的长约为．
【分析】（）根据新定义即可判断；
根据新定义即可判断；
（）由题意得，解出方程并检验即可；
（）根据新定义得出，即，然后画出图象即可；
根据图象或解方程即可求解；
本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，解一元二次方程，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（）解：边长为的正方形，则周长为，面积为，
∴边长为的正方形是“完美矩形”，
故答案为：是；
∵矩形的周长是，面积是，
∴它的“倍契合矩形”的周长是，面积是，
故答案为：，；
（）解：存在，理由，
由题意得，，
∴，
∴，，
解得：，（舍去），
由于长大于宽，
∴它的长为；
（）解：∵长为，宽为的矩形是一个“完美矩形”，
∴，
∴，
画出图象如图，
如图，

由周长为，则，
∴，
∴，解得：，，
由于长大于宽，
∴，
∴周长为的“完美矩形”的长约为．
【巩固练习3】（2024·山东青岛·模拟预测）如图①，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组内有同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块的面积为 ，得 ，满足条件的可看作反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标．由木栏总长为，得 ，满足条件的可看作一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看作两个函数图像交点的坐标．
如图②，反比例函数 的图像与直线 的交点坐标为和 ，因此木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为，或 ， ．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图②中画出一次函数图像，并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数 ，发现直线 可以看作直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线 与反比例函数的图像有唯一交点．
（3）请在图②中画出直线 过点时的图像，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为与 的图像在第一象限内交点的存在问题．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），，
（2）不能围出，理由见详解；
（3）图像见详解，，
（4）
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图像，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点作的平行线，即可作出直线的图像，将点代入，即可求出的值；
（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图像经过点，，则当与图像在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图像，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）反比例函数，直线：，
联立得：，
解得：，，
反比例函数与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；，；
故答案为：，，
（2）不能围出．
木栏总长为，
，则，
画出直线的图像，如图中所示：
与函数图像没有交点；
不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图像，
将点代入，得：，
解得：；
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块，与图像在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理可得：，
，
整理得：，
把代入得：，
解得：，
反比例函数图像经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图像在点右边，点左边存在交点时，满足题意；
把代入，得，
解得：
把代入得：，
解得：，
．
【巩固练习4】我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．
【概念辨析】
（1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；
②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？
我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”．
那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；
（3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；
②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长．
【答案】（1）①是；②24，16；（2）存在，矩形的长为：；（3）①画出函数的图象见解答，函数的表达式为：；②7.2（答案不唯一）．
【分析】（1）由新定义即可求解；
(2)从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，联立两个函数表达式得∶ ，即可求解；
（3)①由新定义求出函数表达式，画出函数图象即可；②在①的图象中，函数的图象，得到两个函数交点即可．
【详解】解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，故该正方形为“完美矩形”，
故答案为∶是；
②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16．
故答案为∶ 24，16；
（2）存在，
理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，
联立两个函数表达式得∶ ，
解得∶ 或 (舍去)，
即矩形的长为：；
（3）①画出函数的图象，
由题意得，矩形的周长为，面积为，则，即，
列表如下：
描点、连线，如下图所示：
②长为x，宽为的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，则，
即，
在①的图象中，函数的图象，两个函数的交点为∶2.9和7.2(答案不唯一)，则周长为20的“完美矩形”的长7.2(答案不唯一)．
【巩固练习5】（24-25九年级上·山西晋中·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ．
【深入探究】：
（2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ；
②在①的条件下，在双曲线上，求的值．
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围
②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①或（）；②是定值
【分析】（1）过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，得到，于是矩形的周长为，面积为，不相等，判断即可；根据点是第一象限内的一个“美好点”，得到，解答即可．
（2）①根据点是“美好点”（），得到，确定m的值，继而得到点，把确定的坐标代入解析式确定k值即可；
②把代入双曲线中，得到，得到，过点F作轴于点H，交的延长线于点G，设，直线的解析式为，确定直线的解析式，点G的坐标，根据解答即可．
（3）①根据定义，得，整理表示y即可．
②根据，变形得即，变形解答即可．
【详解】（1）解：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，根据题意，得，
∴矩形的周长为，面积为，不相等，
∴点不是“美好点”；
∵点是第一象限内的一个“美好点”，
∴，
解得．
故答案为：不是；4．
（2）①解：∵点是“美好点”（），
∴，
解得，
∴点，
把代入解析式中，得，
解得；
②解：∵，
∴双曲线的解析式为，
∵点在上，
解得，
故点，
过点F作轴于点H，交的延长线于点G，
设，直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
（3）①解：∵点是第一象限内的“美好点”．
∴，
∴，
∵点是第一象限内的“美好点”，
∴，
∴，
∴，
∴或．
②解：是定值，且为．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
故是定值，且为．
【题型5】 反比例函数中的基本不等式对勾函数探究
【例题1】【阅读理解】对于任意正实数a、b，（只有当时，）．

【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若为定值p，则，只有当时，有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
(1)若，只有当_______时，有最小值_______．
(2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．
【答案】(1)2，4
(2)40
【分析】（1）根据阅材料可得，当时，取得最大值，据此即可求解；
（2）连接，设，根据四边形的面积的面积的面积，从而利用表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得当时，，此时．
故答案为：2，4；
（2）解：连接，
∵点是双曲线上的点，
∴，即，
设，
．
四边形的面积最小值为40．

【例题2】（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题：
因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……② 即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数．
(1)若，，求、的算术平均数和几何平均数；
(2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值；
(3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标．
【答案】(1)算术平均数为4，几何平均数为
(2)时，代数式有最小值，最小值为0
(3)25，
【分析】（1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解；
（2）将原式变形为，根据求解；
（3）设，则，，四边形面积，根据即可求解．
本题考查新定义运算，反比例函数，坐标与图形，解题的关键是运用．
【详解】（1）解：，时，、的算术平均数为：，
，的几何平均数为：；
（2）解：，
，，
，当时，等号成立，
解得，或（舍去），
，
即时，代数式有最小值，最小值为0；
（3）解：如图，设，则，，
，，
，，，，
四边形面积
，
，当时，等号成立，
解得（负值舍去），
四边形面积的最小值，此时，即．
【巩固练习1】【问题情境】
对于任意正实数，，∵，
∴，
∴，只有当时，等号成立．
结论：在（，均为正实数）中，若为定值，则，当，有最小值．
【深入探究】
（1）根据上述内容，若，求的最小值；
【拓展延伸】
（2）探索应用：如图，已知，，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，轴于点，依次连接、、、，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
【答案】（1）的最小值为6；（2）四边形面积的最小值为32，四边形为正方形
【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可；
（2）设点坐标为，得出，，根据得出，根据提供提供的性质得出四边形面积的最小值为32，此时，点，点，然后根据正方形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：（1）依题意得：即
∴的最小值为6．
（2）设点坐标为，
依题意得，，
，
只有当，等号成立，
解得：， 负值舍去，
即此时，
∴四边形面积的最小值为32，此时，点，点
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴
∴四边形为正方形．
【巩固练习2】（24-25九年级上·河南信阳·期中）【探究发现】探究函数的图象与性质
（1）函数的自变量的取值范围是________；
（2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是________；
A． B． C． D．
（3）对于函数，求当时，的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵
∴
________．
∵，
∴________．
【拓展应用】
（4）若函数，求当时，的取值范围．
【答案】（1）；（2）C；（3）4，4；（4）
【分析】（1）根据分母不能等于零，可以解答本题；
（2）根据函数解析式可以判断函数图象所在的位置，本题得以解决；
（3）根据题目中的解答过程，利用配方法即可作答；
（4）根据（3）的特点可以解答本题．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为；
（2）∵，
∴时，，
当时，，故选项B、D错误，
∵，
∴选项A错误，
故选：C；
（3）∵，
∴
；
∵，
∴，
故答案为：4，4；
（4），
∵，
∴
；
∵，
∴．
【巩固练习3】（2022·宁夏银川·二模）阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．
对于任意正实数、，可作如下变形：
，
又∵，
∴，即．
根据上述内容，回答下列问题：
(1)在（、均为正实数）中，当且仅当、满足______时，等号成立．
(2)思考解答：如图1，中，，，垂足为，为边上中线，，，试根据图形说明成立，并指出等号成立时的条件．
(3)探索应用：如图2，已知为反比例函数的图象上一点，点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在处旋转，保持两直角边始终与轴交于两点、，点为轴上一点，连接、，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)说明见解析，是等腰直角三角形时等号成立
(3)28
【分析】（1）根据题中例子可直接得出结论；
（2）根据直角三角形的性质得出，，再由（1）中结论即可得出等号成立时的条件；
（3）过点A作轴于点，根据可知当时最小，由此可得出结论．
【详解】（1）∵，、均为正实数，
∴当且仅当、满足时，有最小值．
故答案为：；
（2）∵中，，，为边上中线，，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴当时等号成立，
即有，
∴斜边的高线和中线重合，
∴是等腰直角三角形，
∴当是等腰直角三角形时，等号成立；
（3）如图所示，过点A作轴点，
∵A点为反比例函数上的一点，横坐标为1，
∴点A的坐标为，即.
∵点为轴上一点，
∴，
∴，
∴是一定的，要使最小，应最小，
由（2）可知，当是等腰直角三角形时，最小，
即有斜边的高线和中线重合，
∴，
∴，
∴最小为8，
∴．
【巩固练习4】（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下：
(1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题：
①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　；
②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？
(2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案．
【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②；
(2)，
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，
（1）用描点法画出图象即可．
①根据函数图象的平移规律即可解答；
②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答．
（2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值．
灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键．
【详解】（1）解：画出的图象如图所示：
①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为．
故答案为：3，2，．
②当时，有，即．
由图象可得：当时，．
（2）面积扩大两倍后的这块布料周长．
当时，即当，时，取最小值．
【巩固练习5】（22-23九年级上·山东淄博·期末）阅读理解：
配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形：
∵
又∵，
∴，即．
(1)根据上述内容，回答问题：若有正实数m和正实数，则当且仅当______时，这两个正实数的和有最小值为______．
(2)思考验证：如图1，
中，，于点D，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．
(3)探索应用：如图2，
已知C为反比例函数的图象上一点，C点的横坐标为1，点A，B为x轴上的动点（点A在点B的左边），连接，，始终保持，为y轴上一点，连接，，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)验证见解析，当D与O重合时或时，等式成立
(3)
【分析】（1）根据可知，由此可解；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得，通过证明∽，可得，进而得出，根据，可得；
（3）过点C作于M． ，结合（2）中结论，求出的最小值即可．
【详解】（1）解：由题意知，
当且仅当时等号成立，
解得，
m是正实数，
，
即当且仅当时，这两个正实数的和有最小值为．
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴．
在中，∵CO为中线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴∽，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
当D与O重合时或时，等式成立．
（3）解：过点C作于M．
将代入得，
则点C坐标为，
∵点D坐标为，
，
∴，
当AB最小时最小．
∵，，
∴由（2）知：当时，最小，
此时，，
∴AB最小值为10，此时．
【题型6】 反比例函数图像平移后的性质的探究
【例题1】（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
0 1 2 3
4 2 1
描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象．
(2)【探究发现】
①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象．
②上述探究方法运用的数学思想是（　　）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象．
②函数图象的对称中心的坐标为___________．
【答案】(1)图见解析
(2)①左，1；②B
(3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；
②
【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可；
（2）结合图象填空即可；
（3）根据发现的规律填空即可．
【详解】（1）描点、连线画出函数图象如图所示：
（2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度，
②上述探究方法运用的数学思想是类比思想．
故答案为：左，1；B
（3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度；
向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到；
②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为．
故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；
【例题2】（2024·河南商丘·一模）综合与实践：
函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程：
(1)初步感知：函数的自变量取值范围是__________；
(2)作出图象
①列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 4 m 6 0 …
填空：表中__________，__________；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示；
(3)研究性质
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________；
(4)拓展应用
已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________．
【答案】(1)
(2)5，
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键．
（1）由题意知，，求解作答即可；
（2）将，分别代入求解即可；
（3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可；
（4）由题意知，当过时，，可求；当时，，当过时，，可求，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，，
故答案为：；
（2）解：将代入得，，
将，代入得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：5，；
（3）解：由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，
故答案为：；
（4）解：由题意知，当过时，，
解得，；
当时，，
当过时，，
解得，；
∴当时，关于的方程有实数解， k的取值范围是，
故答案为：．
【巩固练习1】（2024·山西晋中·三模）阅读与理解
小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务：
如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系．
根据题意，列表如下：
．．． ．．．
．．． ．．．
在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）．
任务一：
（1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像；
（2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的；
（3）函数的图像关于点　　成中心对称；
任务二：
（1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　；
A．公理化思想 B．类比思想 C． 函数思想 D．转化思想
（2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的．
【答案】任务一：（1），，函数图像见解析；（2）函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的；（3）；任务二：（1）C；（2）函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的．
【分析】本题主要考查了类比的数形思想，反比例函数图像的平移等知识点，掌握平移规律是解题的关键．
任务一：
（1）分别令求出对应的函数值，然后再运用描点法画出另一半图像即可；（2）（3）根据函数图像解答即可；
任务二：（1）根据研究过程归纳即可解答；（2）根据（1）的相关方法即可解答．
【详解】解：任务一：（1）当时，；当时，
根据图表绘制图像如下：
（2）根据函数图像可得：函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的．
（3）∵函数的图像关于原点成中心对称，函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的，
∴函数的图像关于点成中心对称．
任务二：（1）本题通过研究反比例函数图像，再以此类推研究二次函数图像的性质，这中方法属于类比思想，故选B．
（2）根据任务一的探究可知：函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的．
【巩固练习2】（2024·山东济南·二模）综合与实践：
《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程：
(1)初步感知
函数的自变量取值范围是______；
(2)作出图象
①列表：
x … n 0 1 2 3 4 …
y … 2 3 4 m 6 0 …
填空：表中______，______；
②描点，连线：
在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)研究性质
小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为______；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线______
(4)拓展应用
①若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接，则的面积为______
②若直线与函数的图象有且只有一个交点，则k的值为______．
【答案】(1)；
(2)①5，；②图象见解析；
(3)；和；
(4)①5②8．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移．
（1）根据分母不能为0，即可解决问题；
（2）①求出的函数值，求得时的x的值即可；②利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据平移的性质，可得结论；
（4）①联立方程组求出点A，B的坐标，运用分割法可求出的面积；②联立方程，得求解即可．
【详解】（1）解：解：∵
∴
故函数的自变量取值范围是是．
故答案为：．
（2）解：①时，，
∴．
当时，则，解得，
∴，
故答案为5，；
②函数图象如图所示：
（3）解：该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 ；函数的图象的对称轴为直线
故答案为：；
（4）解：①如图，
联立，
解得，，
；
故答案为：5；
②联立方程得
整理得，
∵直线与函数的图象有且只有一个交点，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去）
∴
【巩固练习3】我们研究反比例函数图象平移后的性质．
初步探究
（1）将反比例函数的图象向右平移一个单位，可以得到函数的图象，关于这个函数的性质正确的有： ；
①该函数图象与y轴的交点坐标是；
②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；
③该函数图象关于直线轴时称；
④当时，y随x的增大而减小．
（2）在图中画出函数的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质： ； ．
问题解决
（3）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求k的值；
深入思考
（4）当时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系．
【答案】（1）③④；（2）根据图象可得性质：①图象关于直线对称；②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大．
（3）；（4）没有交点
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、反比例函数的性质、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，根据所给解析式，结合图象逐个判断可以得解；
（2）依据题意，函数的图象可以由函数y＝﹣的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，进而可得函数的图象关于成中心对称，进而作出图象，然后可以得出性质；
（3）依据题意得，函数，再由函数 的图象可以由函数图象通过平移得到，故可得，进而计算可以得解；
（4）依据题意得，，即，又当时，对于任意正数k，方程均无解，故函数与函数没有交点．再结合图象即可判断得解．
【详解】解：（1）由题意，当时，，
∴该函数图象与y轴的交点坐标是，故①错误．
∵图象的对称中心是，
∴图象的对称中心是，故②错误．
∵图象关于直线和对称，
∴图象关于直线和对称，故③正确．
由题意，对应函数图象，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而减小，故④正确．
故答案为：③④．
（2）由题意，函数的图象可以由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，
∴函数的图象关于对称．
作图如下．
根据图象可得性质：
①图象关于直线对称；
②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大．
（3）由题意得，函数，
又∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，
∴．
∴．
（4）由题意得，，
∴．
∵当时，对于任意正数k，方程均无解，
∴函数与函数没有交点．
如图．
结合图象可得，当直线过时符合题意，
∴即．
【巩固练习4】（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质．
(1)刻画图象
①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　；
… …
… …
②描点：如图所示；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接．
(2)认识性质
观察图象，完成下列问题：
①当时，随的增大而　　　；
②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标）
(3)类比探究
①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程；
②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程．
【答案】(1)①，③见详解
(2)①增大，②
(3)①向右平移1个单位;②向右平移个单位
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答．
（2）运用数形结合思想即可作答①②．
（3）运用类比法得出平移规律，即可作答．
【详解】（1）解：①把代入，
得
把代入，
得；
故答案为：，
②描点：如图所示；
③如图所示：
（2）解：①当时，随的增大而减小；
②函数的图象的对称中心是，
故答案为：增大，；
（3）解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的；
②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的，
∵与的分母差值为，
∴函数的图象经平移可以得到函数的图象向右平移个单位得到的
【题型7】 利用反比例函数解决实际问题探究
【例题1】（23-24九年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ；
任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段能通过直角弯道；
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　；
③当时，线段不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移
（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：）
【答案】（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10
【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解；
（2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解；
（3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解；
（4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由图形可知是等腰直角三角形，则，
故答案为：；
（3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H，
∵四边形为矩形，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
（4）如图4，过点A作轴于点，
由勾股定理可得，
∴，
把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
设直线与的交点为P，则，
过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
∴，
∵，
∴的最大整数值为10．
【例题2】（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究；
探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【详解】探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【巩固练习1】（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）
设计货船通过双曲线桥的方案
素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．
素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式．
问题解决
任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意．
任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式）
【答案】任务：，，乙正确；任务：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
【分析】任务：设曲线的解析式为，把点代入，可得曲线的解析式为 ，再由反比例函数图象的对称性可得，点是的中点，，过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于， 可得，是等腰直角三角形，，进而可得，，点在双曲线上，与点在双曲线上矛盾；
任务：设其中则，可得，由 ，，可得，，可得，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线与双曲线的交点 ，即可求得答案；
本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题的关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
【详解】任务：设曲线的解析式为 ，把点代入，得 ：，
解得：，
∴曲线的解析式为，
∵落在第一象限的角平分线上，
∴、关于对称，即、关于第一象限角平分线对称，
∴点是的中点，，
过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，如图，
则，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴点在双曲线上，
∴点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意，
故答案为：，，乙正确；
任务：设，，其中 ，则，如图，
∵点在直线上，
∴，即
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴ ，，
∵，
∴此时货船不能通过该桥洞，
设直线的解析式为，与双曲线的交点为，把代入得，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：(舍去)， ，
∴
∴，即，
∵，
∴
故要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞，
答：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
【巩固练习2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
(1)问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
(2)探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
【答案】(1)①；②
(2)此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞
【分析】本题考查反比例函数的实际应用；
（1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出；
②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可；
（2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度，代入计算即可．
【详解】（1）解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，
∴，，
∵点C为，
∴，
∵落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，，
∴点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
②设双曲线接解析式为，
把，代入得
∴
解得，，
∴点A在双曲线上；
（2）由（1）可求：，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
设和交于点，过作轴于，过作轴于，则，
若能恰好通过，则，在双曲线上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴点，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高载货2.8米
∵，
∴此船不能通过，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
【题型8】 反比例函数与旋转综合压轴题
【例题1】（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【详解】（1）解：将代入得，
，
将代入得，解得，
反比例函数表达式为，
（2）解：如图，设点，那么点，

由可得，
所以，
解得（舍），
;
（3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
点绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
设点，
点，
，
解得，
点或（舍），此时点．
【例题2】（2024·山东济南·一模）【阅读材料】：
解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，．
【模仿练习】
（1）解方程；
【拓展应用】
（2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值；
（3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）是定值，
【分析】本题考查阅读理解，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）根据阅读材料，进行计算，即可；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可；
（3）过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，同理证明，得，；求得，根据点在函数图象上，则∵，在反比例函数图象上，，推出，解得，即可．
【详解】（1）
解：先两边同乘以，得，
解得：，，
经检验无增根，
∴原方程的解为，；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，；
∵，，
∴，
∴，
∵点坐标是，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数图像上，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴．
（3）是定值，理由如下：
过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，在反比例函数图象上，
∴，
∴，
解得，
∴．
【巩固练习1】【探索发现】
如图1，四边形、、都是边长为1的正方形，
在下列角中：①∠DAF，②，③，④，试确定与图中的和为45°的角有______．（填写对应序号）
【问题解决】
如图1，在线段上取点I，使得为，则______．

【拓展应用】
如图2，反比例函数和的图象分别是和．射线交于点A，射线交于点B，且，连接．
（1）如图3，当轴时，
①求点A的坐标；
②在y轴上找一点P，使得时，直接写出点P的坐标______．
（2）在如图，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出的面积为时点A的坐标______．
【答案】【探索发现】①③；【问题解决】；【拓展应用】（1）①点A的坐标为；②或；（2）或
【分析】探索发现：如图，由正方形性质及外角定理得，由勾股定理，，可证，得，于是，得出答案；
问题解决：如图，，则，可证，于是，从而，得出结论；
拓展应用：（1）如图3，当轴时，①设，，则由勾股定理，，所以，求解得；②两种情况，如图，,点P在正半轴,如图与的延长线交于点C,过点C作轴，点B作轴，垂足分别为点,,求证，得,，由,知，，，待定系数法求解析式为，从而求得；如图，,点P在负半轴,延长,交于点C,过点C作轴,垂足为F,则是等腰直角三角形,，同前一种情况,可证，可得,待定系数求解析式为，从而求得；
（2）如图，分别过点B，A作轴, 轴，垂足为C, F，可知 ,，求证，得，于是，，设，得，即，解得或，或，于是A或．
【详解】解：【探索发现】，如图，正方形中，
∴
由勾股定理，，
∵ ，
∴
而
∴
∴
∴即
根据图中角的位置关系，可知其它两角不符合条件，
故选：①③；

【问题解决】如图，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴

【拓展应用】（1）如图，当轴时，
①设，，则，，
，
∵
∴
∴，解得，
∴

②两种情况，如图，,点P在正半轴,
如图与的延长线交于点C,过点C作轴，过点B作轴，垂足分别为点,,
∵
∴
∴
∵，
∴
又
∴
∴,
由,知，
∴，，即
设直线解析式为,则
,解得
∴
时,
∴
,
如图，,点P在负半轴,延长,交于点C,过点C作轴,垂足为F,
则是等腰直角三角形,

同前一种情况,可证，而
∴，
∴,
设直线解析式为，则
解得
∴
时，
∴
综上, 或
（2）如图，分别过点B，A作轴, 轴，垂足为C, F，

∵点A，点B在反比例函数和上
∴,
∵，
∴
又
∴
∴，
∴，
设，则，，，，
∴
而，，
∴
即，解得，或
∴或，或
∴A或
【巩固练习2】（江苏无锡·二模）【发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连接EF．因为AB＝AD，所以把绕A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合．因为，所以，所以F、D、G共线．如果______（填一个条件），可得．经过进一步研究我们可以发现：当BE，EF，FD满足______时，．
【探究】如图2，已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设，．当时，______，______；当时，______，______．
【应用】如图3，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图像上，PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
①求△COD的面积；
②当△AOB面积最大时，请直接写出的值．
【答案】【发现】（答案不唯一）；；【探究】，；，；【应用】①△COD的面积为16；②．
【分析】发现：由旋转的性质可得，又，故只需添加条件使之满足或即可；以为条件，利用旋转的性质证明，利用全等三角形的性质进行推导，可证．
探究：①证明，从而得，借助三角形内角和定理可得，再证，由此可得，借助勾股定理求解；②证明，由此可得，．
应用：①作于，于，于，利用角平分线的性质证明，进而可得的坐标，设，，利用平行线间的成比例线段表示出、，然后计算的面积，参数、可通过约分消除，得到最终答案；②由可推出，同理，，由可得，由此可求得的最大值，此时的面积最大，结合①中结论可求得此时的值，即为所求．
【详解】解：发现：添加条件，证明如下：
由旋转的性质可得，．
在与中，
．
当时，，证明如下：
由旋转的性质可知，，，
，
即．
，
，即．
在与中，
，
．
当时，．
探究：①当时，
四边形是正方形，
，，，
在与中，
，
．
，，
，即．
又，
，
即，
，
，
，
，
，即；
②当时，
，，
是等腰直角三角形，且．
，
又，
．
在与中，
，
．
，，
即，．
应用：①作于，于，于．
平分，平分，
，，
，
又，
四边形是正方形．
在与中，
，，
，同理，，
，．
设点，则，解得，
．
设，，则，，
．
在中，，即，
整理得，
，
，即，
，同理可得，
．
②，，即，
同理，，即．
，且，
，
，
，
，
，
．
的面积的最大值为，此时．
由①得，
，
整理得，
当△AOB面积最大时，．
【题型9】 反比例函数几何递进式探究问题
【例题1】（2023·广东深圳·二模）在四边形中，（E、F分别为边、上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N．
(1)问题证明：如图①，若四边形是正方形，求证：．
(2)拓展应用：如图②所示平面直角坐标系，在中，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图像经过上的点D，且，求k的值．
(3)深入探究：如图③，若四边形是菱形，连接，当时，且，试用关于的式子来表示的值，则__________．（直接写出结果）
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）可证得，，从而证明结论；
（2）过点A分别作轴，轴，垂足分别为E、F，由题意易得是正方形，同理（1）可知，连接，过点D作轴于点G，然后可得，，进而根据k的几何意义可进行求解；
（3）由题意易证，，则有，连接，交于点H，然后可得，进而可得，最后问题可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，，
，，
即：，
是的外角，
，
，
；
（2）解：过点A分别作轴，轴，垂足分别为E、F，如图所示：
∵点A坐标为，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，即，
∴同理（1）可得，
∴，即，
∴，
连接，过点D作轴于点G，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则有，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：四边形是菱形，
，，
，
即：，
，
，
是的外角，
，
，
,
，
，
∵，
，
，
∵，
，
连接，交于点H，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
，
，
故答案为．
【例题2】（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解；
（2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解；
（3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围．
【详解】（1）设，则，
∵轴，
∴D点的纵坐标为，
∴将代入中得：得，
∴，
∴，
∴，
∴将代入中得出，
∴函数的图象必经过点C；
（2）∵点在直线上，
∴，
∴，
∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
∵函数的图象经过点A，C，
∴，，
∴，
∴，
∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，
∴，，
∴，
如图，过点D作轴，过点B作轴，
∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，，
∴，
由图知，，
∴，
∴；
（3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，
∴，
∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形，，
∴，，，
∵轴，
∴直线为一，三象限的夹角平分线，
∴，
当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，
∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心，长为半径作，，
∴，
∴，
∴，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，
∵,
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴,
∴当与的边有交点时，k的取值范围为．
2025届中考复习专题：反比例函数大题与综合探究性问题
【题型1】 反比例函数与一次函数综合之面积问题 1
【题型2】 反比例函数综合之几何存在性问题 7
【题型3】 反比例函数与一次函数综合之平移问题 10
【题型4】 反比例函数与矩形周长面积探究类问题 12
【题型5】 反比例函数中的基本不等式对勾函数探究 21
【题型6】 反比例函数图像平移后的性质的探究 27
【题型7】 利用反比例函数解决实际问题探究 35
【题型8】 反比例函数与旋转综合压轴题 39
【题型9】 反比例函数几何递进式探究问题 43
【题型10】 反比例函数在跨学科中的应用 51
【题型12】 反比例函数综合之新定义问题 61
【题型13】 反比例函数综合之动点问题 62
【题型14】 反比例函数综合之最值范围问题 67
【题型1】 反比例函数与一次函数综合之面积问题
【例题1】（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
(1)求、的值和一次函数的表达式；(2)连接，求点到线段的距离．
【例题2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点．
(1)求和的值；
(2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
【例题3】（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
【巩固练习1】（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围．
【巩固练习2】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；
(2)利用图像直接写出时的取值范围；
(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【巩固练习3】（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … 1 2 3 4 …
… 8 4 2 1 …
写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
(3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标．
【巩固练习4（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；
(3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．
【巩固练习5】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
(1)求的值及点的坐标．
(2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．
【巩固练习6】（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习：
项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积
项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E．
活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______．
驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______；
活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______．
驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）．
【巩固练习7】（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
(1)求反比例函数的表达式；(2)求n的值及的面积．
【题型2】 反比例函数综合之几何存在性问题
【例题1】（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标．
【例题2】（2024·四川南充·中考真题）如图，直线经过两点，与双曲线交于点．
(1)求直线和双曲线的解析式．
(2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
【巩固练习1】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）反比例函数中比例系数的几何意义为：如图，过双曲线上任意一点作轴于点、轴于点，则有，所以．
【问题背景】
如图2，点为反比例函数图象上任意一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交反比例函数于点．
【理解应用】
（1）求证：
（2）连接，若时，求点的坐标．
【拓展迁移】
（3）点与点为反比例函数图象上一点，的坐标为，连接，，若，求点的坐标．
【巩固练习2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数的图象经过线段的中点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线向右平移3个单位长度后得到直线，直线交x轴于点D，交反比例函数的图象于点E，F，连接，，求的面积；
(3)请结合图象，直接写出不等式的解集；
(4)在坐标平面内，直接写出点M的坐标，使以M、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形．
【巩固练习3】（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接．
(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积；
(3)若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标．
【题型3】 反比例函数与一次函数综合之平移问题
【例题1】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
【例题2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【巩固练习1】
【巩固练习2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
【巩固练习3】（2024·河南漯河·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求，，及的值．
(2)将直线沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数图象交于点，，与轴交于点．若图中阴影部分（即）的面积是9，求的值．
【题型4】 反比例函数与矩形周长面积探究类问题
【例题1】（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【例题2】（2024·山东枣庄·一模）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．
(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得再探究根的情况：小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由．
(3)根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，用图象表达；
(4)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
【巩固练习1】（2024·山东济南·二模）【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的两边长为x、y ，则． 即那么满足要求的（x，y）应该是函数 与 的图象在第_____象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图象
①画函数 的图象；
②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则函数的图象可以看成是函数的图象向上平移_____个单位长度得到．
（3）研究函数图象
平移直线，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长m 的值为_____；
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m 的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为8的矩形的周长m的取值范围为_____．
【巩固练习2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形的周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍契合矩形”．

【概念辨析】
（1）边长为的正方形 （填“是”或“不是”）“完美矩形”；
矩形的周长是，面积是，它的“倍契合矩形”的周长是 ，面积是 ；
【深入探究】
（2）问题：长为，宽为的矩形是否存在“倍契合矩形”？我们可以从函数的观点来研究“倍契合矩形”的长和宽为，依题意，，则，，在图的平面直角坐标系中做出一次函数：和反比例函数：的图象来研究，有交点就可意味着存在“倍契合矩形”，那么长为，宽为的矩形是否存在“倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；
（3）如果长为，宽为的矩形是一个“完美矩形”，求与的函数关系式，并在图的平面直角坐标系中直接画出函数图象；
观察图象，直接写出周长为的“完美矩形”的长（结果精确到）．
【巩固练习3】（2024·山东青岛·模拟预测）如图①，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组内有同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块的面积为 ，得 ，满足条件的可看作反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标．由木栏总长为，得 ，满足条件的可看作一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看作两个函数图像交点的坐标．
如图②，反比例函数 的图像与直线 的交点坐标为和 ，因此木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为，或 ， ．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图②中画出一次函数图像，并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数 ，发现直线 可以看作直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线 与反比例函数的图像有唯一交点．
（3）请在图②中画出直线 过点时的图像，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为与 的图像在第一象限内交点的存在问题．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【巩固练习4】我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．
【概念辨析】
（1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；
②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？
我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”．
那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；
（3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；
②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长．
【巩固练习5】（24-25九年级上·山西晋中·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ．
【深入探究】：
（2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ；
②在①的条件下，在双曲线上，求的值．
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围
②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【题型5】 反比例函数中的基本不等式对勾函数探究
【例题1】【阅读理解】对于任意正实数a、b，（只有当时，）．

【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若为定值p，则，只有当时，有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
(1)若，只有当_______时，有最小值_______．
(2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．
【例题2】（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题：
因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……② 即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数．
(1)若，，求、的算术平均数和几何平均数；
(2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值；
(3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标．
【巩固练习1】【问题情境】
对于任意正实数，，∵，
∴，
∴，只有当时，等号成立．
结论：在（，均为正实数）中，若为定值，则，当，有最小值．
【深入探究】
（1）根据上述内容，若，求的最小值；
【拓展延伸】
（2）探索应用：如图，已知，，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，轴于点，依次连接、、、，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
【巩固练习2】（24-25九年级上·河南信阳·期中）【探究发现】探究函数的图象与性质
（1）函数的自变量的取值范围是________；
（2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是________；
A． B． C． D．
（3）对于函数，求当时，的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵
∴
________．
∵，
∴________．
【拓展应用】
（4）若函数，求当时，的取值范围．
【巩固练习3】（2022·宁夏银川·二模）阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．
对于任意正实数、，可作如下变形：
，
又∵，
∴，即．
根据上述内容，回答下列问题：
(1)在（、均为正实数）中，当且仅当、满足______时，等号成立．
(2)思考解答：如图1，中，，，垂足为，为边上中线，，，试根据图形说明成立，并指出等号成立时的条件．
(3)探索应用：如图2，已知为反比例函数的图象上一点，点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在处旋转，保持两直角边始终与轴交于两点、，点为轴上一点，连接、，求四边形面积的最小值．
【巩固练习4】（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下：
(1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题：
①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　；
②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？
(2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案．
【巩固练习5】（22-23九年级上·山东淄博·期末）阅读理解：
配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形：
∵
又∵，
∴，即．
(1)根据上述内容，回答问题：若有正实数m和正实数，则当且仅当______时，这两个正实数的和有最小值为______．
(2)思考验证：如图1，
中，，于点D，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．
(3)探索应用：如图2，
已知C为反比例函数的图象上一点，C点的横坐标为1，点A，B为x轴上的动点（点A在点B的左边），连接，，始终保持，为y轴上一点，连接，，求四边形面积的最小值．
【题型6】 反比例函数图像平移后的性质的探究
【例题1】（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
0 1 2 3
4 2 1
描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象．
(2)【探究发现】
①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象．
②上述探究方法运用的数学思想是（　　）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象．
②函数图象的对称中心的坐标为___________．
【例题2】（2024·河南商丘·一模）综合与实践：
函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程：
(1)初步感知：函数的自变量取值范围是__________；
(2)作出图象
①列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 4 m 6 0 …
填空：表中__________，__________；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示；
(3)研究性质
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________；
(4)拓展应用
已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________．
【巩固练习1】（2024·山西晋中·三模）阅读与理解
小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务：
如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系．
根据题意，列表如下：
．．． ．．．
．．． ．．．
在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）．
任务一：
（1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像；
（2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的；
（3）函数的图像关于点　　成中心对称；
任务二：
（1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　；
A．公理化思想 B．类比思想 C． 函数思想 D．转化思想
（2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的．
【巩固练习2】（2024·山东济南·二模）综合与实践：
《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程：
(1)初步感知
函数的自变量取值范围是______；
(2)作出图象
①列表：
x … n 0 1 2 3 4 …
y … 2 3 4 m 6 0 …
填空：表中______，______；
②描点，连线：
在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)研究性质
小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为______；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线______
(4)拓展应用
①若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接，则的面积为______
②若直线与函数的图象有且只有一个交点，则k的值为______．
【巩固练习3】我们研究反比例函数图象平移后的性质．
初步探究
（1）将反比例函数的图象向右平移一个单位，可以得到函数的图象，关于这个函数的性质正确的有： ；
①该函数图象与y轴的交点坐标是；
②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；
③该函数图象关于直线轴时称；
④当时，y随x的增大而减小．
（2）在图中画出函数的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质： ； ．
问题解决
（3）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求k的值；
深入思考
（4）当时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系．
【巩固练习4】（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质．
(1)刻画图象
①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　；
… …
… …
②描点：如图所示；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接．
(2)认识性质
观察图象，完成下列问题：
①当时，随的增大而　　　；
②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标）
(3)类比探究
①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程；
②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程．
【题型7】 利用反比例函数解决实际问题探究
【例题1】（23-24九年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ；
任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段能通过直角弯道；
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　；
③当时，线段不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移
（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：）
【例题2】（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【巩固练习1】（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）
设计货船通过双曲线桥的方案
素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．
素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式．
问题解决
任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意．
任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式）
【巩固练习2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
(1)问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
(2)探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
【题型8】 反比例函数与旋转综合压轴题
【例题1】（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
【例题2】（2024·山东济南·一模）【阅读材料】：
解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，．
【模仿练习】
（1）解方程；
【拓展应用】
（2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值；
（3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由．
【巩固练习1】【探索发现】
如图1，四边形、、都是边长为1的正方形，
在下列角中：①∠DAF，②，③，④，试确定与图中的和为45°的角有______．（填写对应序号）
【问题解决】
如图1，在线段上取点I，使得为，则______．

【拓展应用】
如图2，反比例函数和的图象分别是和．射线交于点A，射线交于点B，且，连接．
（1）如图3，当轴时，
①求点A的坐标；
②在y轴上找一点P，使得时，直接写出点P的坐标______．
（2）在如图，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出的面积为时点A的坐标______．
【巩固练习2】（江苏无锡·二模）【发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连接EF．因为AB＝AD，所以把绕A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合．因为，所以，所以F、D、G共线．如果______（填一个条件），可得．经过进一步研究我们可以发现：当BE，EF，FD满足______时，．
【探究】如图2，已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设，．当时，______，______；当时，______，______．
【应用】如图3，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图像上，PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
①求△COD的面积；
②当△AOB面积最大时，请直接写出的值．
【题型9】 反比例函数几何递进式探究问题
【例题1】（2023·广东深圳·二模）在四边形中，（E、F分别为边、上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N．
(1)问题证明：如图①，若四边形是正方形，求证：．
(2)拓展应用：如图②所示平面直角坐标系，在中，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图像经过上的点D，且，求k的值．
(3)深入探究：如图③，若四边形是菱形，连接，当时，且，试用关于的式子来表示的值，则__________．（直接写出结果）
【例题2】（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
【巩固练习1】如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点．
【背景问题】（1）如何求点和点的坐标呢!根据之前学习函数的经验，我们可以按以下方法解决：
解：联立两表达式得到方程组
把① 代入② 中得：，
由于，在方程两边同时乘以，得：（请你继续完成解题过程）
【深入探究】（2）若将一次函数的图像l向下平移个单位，当为何值时，直线与双曲线有且只有一个交点：
【知识应用】（3）点是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度．
【拓展延伸】（4）点是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点关于原点对称的点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第四象限． 在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形． 在点的运动过程中等腰直角三角形是否能成为直线的关联三角形？若能，直接写出此时点坐标；若不能，请说明理由．
【巩固练习2】阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
学习了反比例函数的性质后，希望学习小组又进行了深入的探究，发现：如果在双曲线上任取两点，过这两点分别向两坐标轴垂线（垂足不同时在或轴上），那么垂足的连线和这两点的连线平行．如图1，点，是反比例函数在第一象限图象上的两点，作轴于点，轴于点，连接，则；如图2，点，是反比例函数在第一象限图象上的两点，作轴于点，，轴于点，连接，则．在老师指导下希望学习小组进行严格推理，证明这一结论是正确的．
【结论应用】
任务：（1）如图2，若与交于点，．
①的值为______．
②若的面积为，则四边形的面积为______．
（2）智慧学习小组利用上述结论又进行了新的探究，如图3，直线与反比例函数的图象交于，两点，点在点的上方，与，轴分别交于点，，则得到这一结论．
下面是该结论的部分证明：
证明：作轴于点，轴于点，连接，则，．
，四边形是平行四边形．
……
仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你补充完整．
【巩固练习3】请阅读下面的研究材料：
如图①，直线与双曲线交于、，与坐标轴交于、，则．
证明：如图，过，作坐标轴的垂线交于点，连接．
易知轴，轴，且，
故．
，即．
又，，
．
，四边形和都是平行四边形，
．
请根据以上阅读，解答下列问题：
(1)如图②，直线与双曲线交于、两点，与坐标轴交于、两点．请根据上面方法的理解，求证：；
(2)如图②，若一次函数关系式是，且，请用上述研究的结论求的值．
【巩固练习4】（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．

证明：设，∵，∴，
易证
∴，
∴
∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出的值；
(3)求直线的解析式．
【巩固练习5】（1）【探究新知】如图1，已知与的面积相等，试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）【结论应用】如图2，点M，N在反比例函数的图像上，过点M作轴，过点N作轴，垂足分别为E，F．试证明：．
（3）【拓展延伸】若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数图像上的位置，如图3所示，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，请求的长．
【巩固练习6】（23-24九年级上·四川成都·期末）【实践探究】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，正比例函数分别与反比例函数、交于点A、点B，求的值．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，正比例函数分别与反比例函数、交于点A、点B，求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A、点B，连结、，延长、分别与反比例函数交于点D、C，连结，求．
【题型10】 反比例函数在跨学科中的应用
【例题1】（2024·河南洛阳·一模）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/ 30 25 20 15 10
容器与水的总质量/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于x的函数图象．

(1)请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据回答下列问题：
①直接写出关于x的函数表达式；
②当时，随x的增大而_______（填“增大”或“减小”），随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）
③的图象与的图象有什么位置关系？
④求关于x的函数表达式；
(3)若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘B与点C的距离x的取值范围．
【例题2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】
项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ．
【项目任务】根据项目素材解决问题：
任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像．
（1） 根据光路图①可知， 当时， ；
（2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图；
任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式；
任务三：根据任务二的关系式得出表：
物距x/ cm 8 10 12 14 16
像高y/ cm 12 6 4 m 2.4
（1） ；
（2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象；
【巩固练习1】（2023·吉林白城·模拟预测）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为（其中k，b为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压显示的度数为，该度数可以换算为人的质量m．
注：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式．
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求出关于m的函数解析式．
(2)当伏时， 欧．
(3)若电压表量程为伏，直接写出该电子体重秤可称的最大质量．
【巩固练习2】（2024·浙江杭州·一模）根据以下素材，探索完成任务
探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？
素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等．
素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数．
素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为．
问题解决
任务1 求铁块的重力为多少N？
任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式．
任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？
【巩固练习3】（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】
项目主题：学科融合－用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：
物体到凸透镜距离 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒
大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距 缩小 倒立
2倍焦距 2倍焦距 等大 倒立
大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立
小于焦距 与物同侧 放大 正立
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①______，②____；
任务二：凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心的距离是时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出与的关系式：
任务三：
（1）根据任务二的关系式得出下表：
物距 8 10 12 14 16
像高 12 6 4 2.4
其中______；
（2）请在坐标系中画出它的图像：
（3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论：
____________________________________________________．
【巩固练习4】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是年月4日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了人教九年级下册页“活动2”的探究活动． 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点O的距离l（单位：），看弹簧秤的示数F（单位，N）有什么变化． 第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点O的距离L，观察弹簧秤的示数F的值，并做好记录（共记录了7组数据）． 第二步，整理数据． 第三步，描点连线．以L的数值为横坐标，对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
任务：
(1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来：
(2)在平面直角坐标系中，画出F与L的函数图象：

(3)这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出F关于L的函数表达式；
(4)点在这条曲线上吗？说明理由．
【巩固练习5】（2022·山西·模拟预测）阅读与思考
请仔细阅读材料，并完成相应的任务．
利用数学知识求电阻的阻值
数学和物理的关系十分密切，数学是表达物理概念、定律简明而准确的语言，同时，数学为物理提供了计量、计算的工具和方法．
例如：已知两个电阻和串联后的总电阻为，并联后的总电阻为，求这两个电阻的阻值各是多少．
根据串联电路中电阻之间的关系，得①
根据并联电路中电阻之间的关系，得 ②
把①代入②，得③
以上问题也可以通过以下两种数学方法求解．
方法：设的阻值为，则的阻值为根据③可将问题转化为是否有正数解的问题．
方法：设两个电阻的阻值分别为和，则根据③，得根据③，得所以同时满足要求的正数和的值可以看成反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内的交点坐标．
任务：
(1)已知两个电阻和串联后的总电阻为，并联后的总电阻为，请你借助“方法”，求这两个电阻的阻值各是多少．
(2)是否存在两个电阻和，使串联后的总电阻为，并联后的总电阻为？
小明借助“方法”解答如下：
假设存在，设这两个电阻的阻值分别为和，
根据①，得______．
根据③，得______．
在如图所示的直角坐标系中，小明分别画出了满足条件的反比例函数和一次函数的图象．
观察图象可知，______填“存在”或“不存在”满足条件的两个电阻．
【题型12】 反比例函数综合之新定义问题
【例题1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【例题2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ．
①函数是“倍值函数”；
②函数的图象上的“倍值点”是和；
③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；
④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．
【巩固练习1】（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
【巩固练习2】（2023·四川乐山·中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
【巩固练习3】
【题型13】 反比例函数综合之动点问题
【例题1】（2024·江苏泰州·一模）已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点A作轴于点．
(1)过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值；
(2)连结，若，求的面积；
(3)如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由．
【例题2】如图1，的面积为8，M，N分别是，的中点，连接，D是上一动点，过点D作于点H．点D从点M出发，运动到点N停止，连接，．设（），，．
(1)分别直接写出，与x的函数关系式；
(2)下表列出了部分对应的自变量和函数值，请直接写出m的值，并在图2中分别画出函数，的图象；
x … 2 3 4 5 6 7 …
… 4 2 m …
(3)写出的一条性质，并直接写出时，自变量x的取值范围．
【巩固练习1】如图，点在函数的图像上，过点作轴和轴的平行线分别交函数的图像于点，，直线与坐标轴的交点为，．
(1)设点横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______．（用含字母的式子表示）
(2)当点P在函数的图像上运动时，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
(3)请直接写出与满足的数量关系．
【巩固练习2】如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿折线A—B—C运动，当它到达点C时停止运动，过点D作交于点Q．若（），．
图1
(1)求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)补全表格中y的值：
x 1 2 3 4 5
y 4 4 3
以表中的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出y的函数图象；
图2
(3)当点P在边上运动时，若与面积之比为，求出此时y的值．
【巩固练习3】（2024·四川达州·模拟预测）如图1，是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线方向运动，F沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动，设运动的时间为x秒，点E，F的距离为，图2平面直角坐标系画的是的图象．

(1)请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
(2)在如图2坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；当时， _______；
(3)结合所画函数图象如图2所示，当时，请直接写出x的取值范围．
【巩固练习4】（2024·重庆·二模）如图，在矩形中，，对角线交于点O，动点Р以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点F是线段上一点，满足．设点P、Q运动的时间都为，点Р到的距离与点Р到的距离的和为，点F到的距离为．
(1)直接写出，关于x的函数关系式并写出自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)根据图形估计并直接写出当时x的取值范围.（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【题型14】 反比例函数综合之最值范围问题
【例题1】（2024·重庆·模拟预测）如图矩形中，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为．

(1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围
【例题2】（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．
(1)若，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；
(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．
【巩固练习1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．

(1)求m，k的值；
(2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【巩固练习2】（2024·山东临沂·二模）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“Ε”形图都是正方形结构，同一行的“Ε”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“Ε”形图边长，在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳与的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．


素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
【巩固练习3】（2024·河北沧州·二模）要实现知识结构化，必须找到知识间的联系．要想找到知识间的联系，只需思考即可．下面是跟着梁老师进行的一次探究活动．
【常规任务与反思】
（1）求抛物线和直线的交点横坐标．
你的思路是：
①利用两个图象的表达式得一元二次方程：____________；
②把①中方程化为一般形式：____________；
③求得交点横坐标：____________．
反过来想：
④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：____________，
⑤再把④中方程看作是为求抛物线______和直线______的交点横坐标得到的．
这里找到的是二次函数、一次函数综合题与一元二次方程的关系．
【深入思考与探究】
（2）显然不是一元二次方程的解，于是这个可以变形为：；
两边同除以x后得：____________，
于是求方程的解可以看作是求函数______和______的交点横坐标．
这里找到的是______、______综合题与______的关系．
【问题解决】
（3）小聪家有一个长4米，宽3米的矩形鸡圈．他想改建成一个新矩形鸡圈，新鸡圈的邻边长分别为x米、y米，其周长和面积都是原来的k倍．小聪的想法能实现吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出满足条件的k值或k的范围．
小聪是先列了两个函数关系，然后求解的．请你按他的思路完成探索．
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