资源简介 2025届中考复习专题11：二次函数中的定点、定值，焦点与准线模块一 定值问题 6【题型1】 面积定值 6【题型2】 线段长为定值 14【题型3】 线段和定值 21【题型4】 加权线段和定值 31【题型5】 线段乘积为定值 34【题型6】 比值为定值 44【题型7】 横（纵）坐标定值 53【题型8】 角度为定值 61【题型9】 线段倒数平方和为定值 67【题型10】 其它定值问题 73模块二 定点问题 78【题型11】 直线过定点问题 78【题型12】 已知定值求定点 91模块三 抛物线的焦点准线及新定义问题 103【题型13】 焦点与准线基本性质证明 103【题型14】 利用焦点与准线性质求最值 106【题型15】 焦点准线的其它性质（倒数和为定值，焦点弦为直径的圆与准线相切） 114【题型16】 焦点准线的新定义问题 119一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。2.韦达定理法：当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。简单的引例1如下：若线段AB＝x＋2，线段PQ＝－x＋7，那么AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即线段AB与线段PQ的和等于9，是一个定值． 简单的引例2如下：求证不论m取任何实数，二次函数y＝x －2（m＋1）x＋m（m＋2）的图象与x轴的两个交点之间的距离d为定值。通过令y＝0，可以求得方程的两个实数根分别为x1＝m，x2＝m＋2，则两个交点之间的距离d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一个定值二、定点问题函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。方法：使待定的系数k失去影响力【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点.第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了令，此时在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了!【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值．【详解】证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是【例3】已知二次函数，其中．求证：二次函数的顶点在第三象限【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函数的顶点在第三象限．三、 二次函数的焦点与准线我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线结论1：对于抛物线焦点坐标为，准线为直线焦点一般用字母F表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是只是为了焦点坐标便于计算．至于形如的抛物线可化为顶点式然后通过由平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM⊥FN．证明：设，，则，∴，∴FM⊥FN．结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN与y轴交于点，．模块一 定值问题【题型1】 面积定值【例题1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长；(3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)的面积是定值，的面积为【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）求出 ， 即可求解；（3）设点的坐标分别为： ，由点Q的坐标得，直线的表达式中的值为：则 再求出直线的表达式为：的表达式为：，求出 即可求解.【详解】（1）解：由题意得： ，解得： ，则抛物线的表达式为：；（2）由抛物线的表达式知，点，设直线的表达式为，代入得：，解得则直线的表达式为：设点 则点 ，则 ，由题意知，为等腰直角三角形，∴，则，由直线的表达式知，其和轴的夹角为，则 ，同理可得：，，则解得： (舍去)或，当 时，则 ；（3）的面积是定值， 理由：设点的坐标分别为： ，由点的坐标得，直线的表达式中的值为：则由点的坐标得，直线的表达式为：，同理可得，的表达式为：，联立上述两式得：，解得： ，，则，则的面积为定值．【巩固练习1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上． (1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．【答案】(1)y =x +2x+3(2)定值16【思路点拨】（1）利用顶点式可得结论；（2）如图，设，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），∴根据顶点式，抛物线的解析式为；（2）解：四边形AFBG的面积不变．理由：如图，设， ∵，，∴直线AP的解析式为，∴，∵E，G关于x轴对称，∴，∴直线PB的解析式为，∴，∴，∴四边形AFBG的面积，∴四边形AFBG的面积是定值．【巩固练习2】已知抛物线经过点．(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．(2)将点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点，若点为抛物线上的一个动点，则以线段为直径的圆与直线交于点，，的面积是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，；(2)是，．【思路点拨】（1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，求出点的坐标；（2）平移得到点的坐标，设，两点间的坐标公式得到，中点坐标公式，得到的中点的坐标为，进而求出点到直线的距离，利用垂径定理，得到，求出的长，再求出点到直线的距离，然后利用面积公式进行求解即可．【详解】（1）解：将点代入得，，∴，∴，∵，∴函数的顶点的坐标为．（2）由题意得，，设，则，∴，的中点坐标为，记为点，∴点到直线的距离为，由垂径定理得，，∴，∴，∴，∵点到直线的距离为，∴，∴的面积为定值．【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的表达式；(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．【答案】(1)(2)(3)①见解析；②的面积为定值【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解；（3）①根据题意得出，得出直线的解析式为，联立得出，在直线上；②设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解．【详解】（1）解：将，代入得，解得：∴抛物线解析式为（2）解：对于，令，解得：∴∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴∴是等腰直角三角形，∴，设，则∴，∴解得：（舍去）或∴（3）①点与点重合，则，∵点为中点，，∴,设直线的解析式为，代入,∴解得：∴联立解得：或∴，在直线上即，，三点共线；②设，∵，，三点共线；∴设的解析式，联立消去得，∴∵，设直线解析式为，直线的解析式为联立解得：∴∵，∴，∴而不为定值，∴在直线上运动，∴到轴的距离为定值，∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的，∴的面积为是定值．【题型2】 线段长为定值【例题1】在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）P(3，﹣)；（3）没有变化，2【思路点拨】（1）由二次函数的图象与轴交于，两点，可得二次函数的解析式为，由此即可解决问题．（2）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．根据，根据方程求出，再利用中点坐标公式，求出点的纵坐标即可解决问题．【详解】解：（1）二次函数的图象与轴交于，两点，二次函数的解析式为，即．（2）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．理由：如图乙中，连接，，，设，，，．由题意，，，解得，，，，，，点在运动过程中线段的长是定值，【巩固练习1】如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点． (1)求顶点A的坐标；(2)如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)，过程见解析【思路点拨】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．【详解】（1）解：把代入得：，解得，∴，∴顶点A的坐标是；（2）在抛物线平移的过程中，线段的长度是定值，设直线的解析式为，把点A的坐标代入得，，∴直线的解析式为，∴可设新的抛物线解析式为，联立，∴，∴，∴，∴，∴，即C、D两点的横坐标的差是1，C、D两点间的纵坐标的差为1，∴，∴在抛物线平移的过程中，线段的长度是定值．【巩固练习2】已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为． (1)求抛物线的解析式；(2)如图，设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值．【答案】(1)(2)点为定点，为定值2【思路点拨】（1）根据题意利用待定系数法求解即可；（2）根据题意联立两个函数得出，再由题意确定直线的解析式，即可求解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，过原点，可得，；解得；即解析式为：．（2）为与抛物线的交点，；解得：或；，与关于直线对称，得：，设直线的解析式为：，；解得：； 即直线的解析式为：，当时，．点为定点，为定值2．【巩固练习3】（2024·山东济宁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于，两点，与轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：… 0 1 2 30 3 4 3 0(1)求出这条抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)是抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值；(3)如图2，点是第四象限内抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，的外接圆与相交于点．试问：线段的长是否为定值 如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)该抛物线解析式为，顶点坐标为(2)周长最小为(3)线段的长为定值1【分析】（1）由表格可得：，，，利用待定系数法即可得出抛物线解析式，将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标；（2）由（1）可得，，，抛物线的对称轴为直线，由勾股定理得出，，连接交对称轴于，连接，则、关于对称轴对称，由轴对称的性质可得：，当、、在同一直线上时，的周长最小，为；（3）连接，设，且，得出，证明，得出，即可得解．【详解】（1）解：由表格可得：，，，将，，代入抛物线得：，解得：，抛物线的解析式为，，抛物线的顶点坐标为；（2）解：由（1）可得：，，，抛物线的对称轴为直线，，，如图，连接交对称轴于，连接，由、的坐标可得，、关于对称轴对称，由轴对称的性质可得：，，的周长，当、、在同一直线上时，的周长最小，为；（3）解：线段的长为定值1，理由如下：如图，连接，设，且，轴，，，，，四边形为圆内接四边形，，，，，，，，，线段的长为定值1．【题型3】 线段和定值【例题1】（2024·重庆·模拟预测）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交直线于点D，P为x轴下方抛物线上一点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线下方的抛物线上时，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；(3)直线分别交对称轴于点M，N，当点M，N均在点D的下方时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)是定值，为【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出的解析式，将直线向下平移，直至平移后的直线与抛物线只有一个交点时，此时的面积最大，求出点坐标，再利用分割法求出此时的面积即可；（3）设，分别求出直线的解析式，进而求出点M，N的坐标，进而求出的值即可．【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，∴，解得：，∴；（2）∵，∴对称轴为直线：，当时，，∴，设直线的解析式为，把代入，得：，∴，∴当时，，∴，将直线向下平移，直至平移后的直线与抛物线只有一个交点时，此时的面积最大，设平移后的直线的解析式为：，令，整理，得：，则：，∴，∴，∴，∴当时，，∴当点坐标为时，的面积最大，过点作轴交于点E，则：，∴，∴的面积的最大值为：．（3）是定值：设，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴，当时，，∴，同法可得，直线的解析式为：，当时，，∴，∵，且均在点的下方，∴，，∴；∴是定值，为．【例题2】如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与 轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴于，交直线于．(1)求二次函数表达式及顶点的坐标；(2)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值．【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点D的坐标为；(2)见解析，这个定值为9【思路点拨】（1）将A，B点代入二次函数表达式中求得a、b的值即可确定函数解析式，然后再化成顶点式即可确定顶点D坐标；（2）如图，过点P作轴于点G，设点P的坐标为，再说明可得、，即，；进而得到，；然后分当点G在上和上两种情况，分别的值即可解答．【详解】（1）解：∵，在二次函数的图像上，∴将A，B点代入二次函数表达式中，得，解得∴二次函数的表达式为，将其化为顶点式为，∴顶点D的坐标为．（2）解：如图，过点P作轴于点G，设点P的坐标为∵轴于点H，∴，∴，，∴，，∴，，当点G在上时，∵，，，，∴=9；同理：当点G在上，由抛物线对称性可知，结果相同．综上可知，的结果为定值，且这个定值为9．【例题2】如图1，抛物线交x轴于点和点，交于y轴点C，F为抛抛物线顶点，点在抛物线上． (1)求该抛物线所对应的函数解析式(2)直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接DA、DQ,如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是为定值，定值为8【思路点拨】分或两种情况结合一次函数图象的性质分析求解；【详解】（1）∵抛物线经过点，，∴，解得∴该抛物线的函数表达式为：；（2）设，由A、D的坐标得，直线的表达式为：，当时，；由点B、D的坐标得，直线的表达式为：，当时，则是为定值，定值为8．【巩固练习1】已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动． 如图，直线，分别与y轴交于点E，F，当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】当点P运动时，为定值，定值为8．【思路点拨】当点P运动时，为定值．如图，过点P作，交 于点I，同（1），令，则，可证，得，同理，，得，于是．【详解】解：当点P运动时，为定值．如图，过点P作，交 于点I，同（1），令，则∵，∴∴∴同理，，得∴∴． 【巩固练习2】如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点，如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②是，定值为，理由见解析【思路点拨】（1）由当时，，可知，是的两根，代入方程可得从而得解；（2）①把代入抛物线解析式可得D点坐标，再代入抛物线解析式可得C点坐标，从而得知线段轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；②设，用待定系数法求出直线与直线的解析式，再令得，，从而得出，的长，从而得到是定值8．【详解】（1）解：∵当时，，∴，是的两根，，∴，解得：，抛物线的表达式为：；（2）①把代入得：，．又当，，，线段轴．，，；②设，直线，，因此可得：或，解得：或，直线，．令得，，，，．【巩固练习3】如图，抛物线过点，点，点，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式；(2)若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值，值为8【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可；（2）设，直线的解析式为，将代入得，，解得，，则的解析式为，当时，，则，即，同理可得，，然后求解作答即可．【详解】（1）解：将，点，点代入得，，解得，，∴；（2）解：由题意知，抛物线对称轴直线，如图1，连接交于，由翻折的性质可知，，为的中点，设，则，，，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），∴，则，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，，∴；（3）解：设，直线的解析式为， 将代入得，，解得，，∴的解析式为，当时，，则，即，同理可得，直线的解析式为，当时，，则，即，∴，∴的值为定值，定值为8．【题型4】 加权线段和定值【例题1】如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）是，3NE+NF为定值4【思路点拨】（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．【详解】（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面积为2，即，∴OC=1，∴C（0，1），将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，∵A（﹣1，0），设AD的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．【巩固练习1】如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；【详解】（1）解：将点，，代入得，解得：，∴抛物线解析式为；（2）设，直线的解析式为，的解析式为，∵点，，，∴，解得：，∴直线的解析式为，的解析式为，对于，当时，，即，对于，当时，，即，∵在抛物线上，则∴∴为定值．【题型5】 线段乘积为定值【例题1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点． (1)求点的坐标；(2)如图，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于两点，连接，分别交轴于两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)与的积是定值2【思路点拨】（1）由题意即可求解；（2）设直线的解析式为：，，联立抛物线解析式可得，作轴，轴，可得即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），∴点的坐标为；（2）解：∵，当，解得或，∴，∵过点作任意一条直线交抛物线于两点，设直线的解析式为：，，，则，∴直线的解析式为：，联立，整理得：，，作轴，轴，如图， ∴，，即，，同理，，为定值【例题2】如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)定值，理由见详解【思路点拨】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；（2）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，，解得，故抛物线的解析式为．（2）解：是定值，理由：如图，直线经过，可设直线的解析式为，、在抛物线上，可设，，，整理得：，，，，当时，，，设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为，当时，，解得：，，，同理可求：，；当与对调位置后，同理可求；故的定值为．【巩固练习1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)点P的坐标为或或(3)是定值，定值为【分析】（1）根据题意可得点B的坐标为，进而得抛物线的表达式为：，即可求解；（2）设点P的坐标为：，点，分类讨论当或或为对角线三种情况即可求解；（3）设直线的表达式为：，点G、H的坐标分别为，；联立和可得；由点G、D的坐标得，直线的表达式为：，据此即可求解；【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线点B的横坐标为点B的坐标为，抛物线的表达式为：，即∴，则抛物线的表达式为：；（2）解：由题意得：设点P的坐标为：，点，当或为对角线时，由中点坐标公式得解得（舍去）或2，则点；当为对角线时，同理可得：解得：则点P的坐标为：或综上所述，点P的坐标为或或（3）解：是定值，理由：直线过点，故设直线的表达式为：设点G、H的坐标分别为，联立和并整理得：则由点G、D的坐标得，直线的表达式为：令，则，即点，则,同理可得，则【巩固练习2】（2024·四川泸州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，，交y轴于点C，对称轴是直线．点D是抛物线的顶点，点E是对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)连接，P是第一象限抛物线上的点，若，求点P的坐标；(3)如图2，点在对称轴上，过点K的直线（直线除外）与抛物线分别交于点G，H，直线，分别交x轴于点M，N．试探究的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．【答案】(1)(2)(3)，是定值【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）在中 得到点， 即可求解；（3）求出同理可得，即可求解.【详解】（1）解：∵对称轴是直线∴点的坐标分别为：∴ ；（2）解：由抛物线的表达式知，当时，，即点，由点的坐标得，，∴延长交轴于点，过点作交的延长线于点，在中， ， ，∵∴，设，则 ，∴，解得，∴，∴点，设直线的表达式为：，则，解得∴直线的表达式为，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：(舍去)或 ，即点；（3）解：是定值，理由：由抛物线的表达式知，当时，，即点，∵直线过点，∴设直线的表达式为： ，设点的坐标分别为： 点联立 和并整理得：则由点的坐标得，直线的表达式为：，令 ，则 ，即点，则，同理可得，，则．【巩固练习3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标；(3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，中点坐标公式，二次函数一次函数结合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可；（2）根据题意设，，分两种情况进行讨论，当为平行四边形对角线时；以及为平行四边形对角线时，即可得到答案．（3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案．【详解】（1）解：，将代入，，解得，该抛物线的函数表达式为；（2）解：点为抛物线上一点，设，点为轴上一点，设，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，①为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式，，解得，，②为平行四边形对角线时，，解得，，此时点和点重合，故该情况不成立，综上所述，点的坐标；（3）解：设的值为定值，为抛物线上两点，设，，为直线与抛物线的交点，联立得：，得：，，为抛物线的顶点，，，表示为：，得，直线交轴于点，令，得，解得，，，表示为：，得，令，得，解得，，为线段的中点，，，，【题型6】 比值为定值【例题1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式．(2)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)点D的横坐标是定值，【思路点拨】（1）根据二次函数的对称性求出点B的坐标，从而用两点式求出函数解析式；（2）设点E的坐标为，则点F的坐标为，求出，，由平分，列出式子求出答案．【详解】（1）解：点A的坐标为，对称轴为直线，点B的坐标为，；（2）解：点D的横坐标是定值，，设点E的坐标为，则点F的坐标为，点A的坐标为，点C的坐标为，，，，平分，，，，，，，即D点的横坐标是定值．【例题2】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；【答案】(1)(2)为定值3，证明见解析【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解；【详解】（1）∵二次函数的图像经过点，∴，∴，∴；（2）当时，，∴，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴，设，则，，∴，．∴，∴的值为定值【巩固练习1】抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0），求该抛物线的解析式；（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2-；（2）是定值，等于2.【详解】（1）将P（1，－3）、B（4，0）代入y＝ax2＋c得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）设B（b，0），则A（-b，0）有ab2＋c＝0，∴b2＝，过点P（x0，y0）作PH⊥AB，有，易证：△PAH∽△EAO，则即，∴，同理得∴，∴，则OE＋OF＝∴，又OC＝－c，∴.∴是定值，等于2．【巩固练习2】（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，其中，．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；(3)如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于，两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法，用参数表示一次函数的解析式和线段长是解题的关键．（1）根据待定系数法求解即可；（2）过点作轴于，过点作轴于，设点，由，得，列出关于的方程即可求解；（3）设，直线的解析式为：，表示出，，结合是一个定值，求出的值，即可求解．【详解】（1）解：抛物线的顶点为，且经过点，解得，该抛物线的解析式为；（2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则，，，，，把代入，得，，，设点，则，，，，，，即，整理得：，解得：或（舍去）（3）解：设，设直线的解析式为：，设，，由，得，即，，，线段的中点是，，，，，当，即时，是定值，【巩固练习3】（2024·福建厦门·模拟预测）如图1和图2，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；(3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)，，(2)点的坐标为(3)＝1，为定值【分析】（1）令，求出点，，再令求出点；（2）根据已知条件得，可得，再求出直线的关系式，进而得出直线的关系式，然后联立关系式得出答案；（3）结合已知条件设直线和的关系式，可得点，的坐标，联立关系式求出，进而得出，及，再将关系式联立可得，即可得出，然后根据点的坐标表示出，，进而得出答案．【详解】（1）解：令，得或3，、．令，得，得；（2）解：连接、，如图，，若，即，．设直线为，由、得：，解得：，∴直线为，∵设直线为，代入，得，解得：，直线为．由，解得：（不合题意的值已舍去），点的坐标为；（3）解：，设直线的关系式为,∴，解得，直线的关系式为，．同理，设直线的关系式为，．由得，，得或，，同理可得，由得，，，即，．，，，，，，为定值．【题型7】 横（纵）坐标定值【例题1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式．(2)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)点D的横坐标是定值，【思路点拨】（1）根据二次函数的对称性求出点B的坐标，从而用两点式求出函数解析式；（2）设点E的坐标为，则点F的坐标为，求出，，由平分，列出式子求出答案．【详解】（1）解：点A的坐标为，对称轴为直线，点B的坐标为，；（2）解：点D的横坐标是定值，，设点E的坐标为，则点F的坐标为，点A的坐标为，点C的坐标为，，，，平分，，，，，，，即D点的横坐标是定值．【例题2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，．【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式；（2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案；（3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，∴，解得，∴，∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，∴即（2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，则解得，∴直线的解析式为，联立与得到，解得，则（3）解：由（1）可得，，与联立得到，，解得，此时∴点C的坐标为，∵点M的横坐标为m，且在上，∴即点M的坐标为设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，则解得，∴直线的解析式为，与联立得到，，整理得到，则，即，即，即为定值．【巩固练习1】（2024·海南海口·模拟预测）如图，已知拋物线与x轴交于点，B，与y轴交于点，P点是抛物线上一动点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，P点是直线上方抛物线上一点，当点P到直线的距离为最大时，求此时P点坐标；(3)如图2，点K是抛物线对称轴直线上一动点，点M，N在直线左侧的抛物线上，点N在M的左侧，若为等腰直角三角形，，设点M，N的横坐标分别为m，n，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由；【答案】(1)(2)(3)的值是定值，定值为1【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）连接，过点P作轴交于点S，过P作于点T，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点S的坐标为，可得，再由，可得，即可求解；（3）根据题意可得点，，设直线l交x轴于点Q，分别过点M，N作，，垂足分别为H，G，则，证明，可得，再由，即可求解；（4）分两种情况讨论：当点P在第二象限时；当点P在第三象限时，即可求解．【详解】（1）解：把，代入拋物线得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，连接，过点P作轴交于点S，过P作于点T，设直线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，设点P的坐标为，则点S的坐标为，∴，∵点，，∴，∵，∴，∴，∴当时，得值最小，即点P到得距离最小，此时点P的坐标为；（3）解：∵抛物线的解析式为∴对称轴为直线，∴点，，如图，设直线l交x轴于点Q，分别过点M，N作，，垂足分别为H，G，则，∴，∵为等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，即的值是定值，定值为1【巩固练习2】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． (1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式为：．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值3．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）设点的坐标为，点的坐标为．∵直线与不重合，∴且且．如图3，由点，点， 可得到直线的解析式为：．∵，∴可设直线的解析式为：．将代入，得．∴．∴点的坐标可以表示为．设直线的解析式为：，由点，点，得，解得．∴直线的解析式为：．同上，由点，点，可得到直线的解析式为：．∴．∴．∴．∴点的横坐标为定值3．【题型8】 角度为定值【例题1】如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；【答案】（1）y＝x2＋x﹣6；（2）①；②∠EPF的大小不会改变，理由见解析．【思路点拨】（1）由与轴分别交于A、B两点，且一元二次方程的两根为－8、2，可得点A、点B的坐标，即可得到OB的长，又由tan∠ABC＝3，得到点C（0，－6），将 A、B、C的坐标代入二次函数中，即可得到二次函数解析式；（2）∠EPF的大小不会改变．由于，P为Rt△AED斜边AD的中点，故PE＝AD＝PA，从而∠PAE＝∠PEA＝∠EPD，同理有∠PAF＝∠PFA＝∠DPF，即可得到∠EPF＝2∠EAF，故∠EPF的大小不会改变．【详解】解：（1）∵函数的图象与轴分别交于A、B两点，且一元二次方程的两根为－8、2，∴A（－8，0）、B（2，0），即OB＝2，又∵tan∠ABC＝3，∴OC＝6，即C（0，－6），将 A（－8，0）、B（2，0）代入中，，解得：，∴二次函数解析式为：；（2）∠EPF的大小不会改变．理由如下：∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE＝AD＝PA，∴∠PAE＝∠PEA＝∠EPD，同理可得：∠PAF＝∠PFA＝∠DPF，∴∠EPF＝∠EPD＋∠FPD＝2（∠PAE＋∠PAF），即∠EPF＝2∠EAF，又∵∠EAF大小不变，∴∠EPF的大小不会改变【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；(2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值；(3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，(2)或(3)定值，，理由见详解【思路点拨】（1）将、代入解析式即可求解；（2）可求直线过定点，设，则有，，可求或，①当时，过作交于，过作交于，可求，从而可求，求得，接可求解；②当时，由①同理可求，即可求解；（3）分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、，可求，从而可得，从而可求，可得，由和可证，从而可得，即可求证．【详解】（1）解：由题意得，解得：，，当时，，，故抛物线的函数表达式为，的坐标为．（2）解：由得，当时，，直线过定点，设，，则有，，线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分，或，①当时，如图，过作交于，过作交于， ，，，或，或，，整理得：，解得：或，此时，（舍去），故，当时，，，当时，解得：；②当时，如图， 由①同理可求，当时，，，当时，，解得：；综上所述：的值为或．（3）解：定值，；理由：如图，分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、， ，，由（2）得：，整理得：，，，，，，在中，，在中，，，，，，．【题型9】 线段倒数平方和为定值【例题1】（2024·黑龙江大庆·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值；(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，为定值4．【分析】（1）把点，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得解；（2）根据抛物线解析式求出点，利用待定系数法求出直线解析式为，根据轴，，以及，，得到为等腰直角三角形，继而得到，设，则，，根据动点P在直线下方的抛物线上得，求得，进而得到周长为，利用二次函数的性质求出最大值即可；（3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设直线的解析式为，点，点，则，联立新抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合两点间的距离公式，进而得到，根据为定值，求出值及定值即可．【详解】（1）解： 抛物线与x轴交于点和点，，解得，该抛物线的函数表达式为．（2）解：抛物线的函数表达式为，当，，，，又，，轴，，又，为等腰直角三角形，，设直线解析式为，将，代入，则，解得，直线解析式为，设，由于动点P在直线下方的抛物线上，，轴，，在直线上，，，周长为，当时，周长最大值为．（3）解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线为，即，设直线的解析式为，点，点，则，联立新抛物线与直线的解析式得：，，，，，同理可得，，，为定值，，解得，当时，，存在点，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值4．【巩固练习1】（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为，，(4)存在，定点，的值为【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案；（2）根据抛物线解析式求出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，设，则，根据，及、两点坐标得出是等腰直角三角形，利用表示出的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案；（3）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案；（4）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可．【详解】（1）解：∵，在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的表达式为：．（2）∵抛物线的表达式为：，∴当时，，∴，设直线的解析式为，∵，，∴，解得：∴直线的解析式为，设其中，则，∴∵，，∴∵轴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，，∴的周长，∴当时，的周长有最大值，．（3）由题意知，抛物线的对称轴为直线，，，设点坐标为，点Q坐标为，①当为对角线时，，解得：，∴，②当为对角线时，，解得：，∴，③当为对角线时，，解得：，解得：，综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为，，．（4）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即，设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则，联立新抛物线与直线的解析式得：∴，∴，，，同理，，，∵为定值，∴，解得：，当时，，∴定点的值为4．【题型10】 其它定值问题【例题1】抛物线与轴相交于两点，且，点为抛物线在第一象限上的点，顶点为为坐标原点．(1)若点时，求的值；(2)直线：交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值．【答案】(1)6(2)见解析【思路点拨】（1）把代入，得，即可求出的值；（2）设直线：与抛物线交于、两点， 联立得出，设直线为：，联立，得出，再由得出，最后再根据即可得到答案．【详解】（1）解：把代入，得，解得：；（2）解：设直线：与抛物线交于、两点，联立，解得：，①， ，设直线为：，联立，解得：，②，为抛物线与轴的交点，抛物线的对称轴为，，得：，解得：，，直线：交轴于点，直线：交轴于点，，， ，为抛物线在第一象限上的点，在轴上方，在轴下方，，，，即为定值．【巩固练习1】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；(2)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．【答案】(1)点；(2)【思路点拨】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据函数的性质和函数图象以及函数的最大值与最小值的差是一个定值得出结论；【详解】（1）∵对称轴为直线 ，∴，，∵抛物线 与y轴交于C点，代入得：，∴抛物线的解析式为，由抛物线的表达式知，点；（2）当和在对称轴两侧时，此时，抛物线在时，取得最小值，当和关于对称时，最大值相等且为定值，即时，y的值为最大值，此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，此时，即，函数的最大值与最小值的差是一个定值．【巩固练习2】（2024·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；(3)当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将 ，代入解析式，利用待定系数法求解；（2）由可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，由此可解；（3）分，，三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断是否为定值即可．【详解】（1）解：将 ，代入，得：，解得，二次函数的解析式为；（2）解：由（1）知，当时，，，，，，；，二次函数图象的顶点坐标为；，当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，此时点P的坐标为；（3）解：由（2）得，二次函数图象的对称轴为直线，当时，，y有最大值0，，y有最小值，最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；当时，，y有最小值，，y有最大值0，最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意；当时，，y有最小值，，y有最大值，最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．【巩固练习3】已知抛物线与轴交于、两点点在左侧． (1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行【思路点拨】（1）令，得，可得，，设交轴于点，交轴于点，可证得，得出，由一次函数图象与轴的交点坐标为，，即可求得答案；（2）联立方程组得，则，同理可得：，结合（1）的结论可得，进而可得，设的解析式为，可得，再由，可求得，即直线与直线平行．【详解】（1）解：，令，得，解得：，，，，，设交轴于点，交轴于点，如图， ，，又，，，的解析式为点在第一象限，的解析式为点在第三象限，，，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，；（2）证明：的解析式为，与抛物线的解析式联立得：，，则，同理可得：，，由（1）知：，，，，，，设的解析式为，则，，，，即，，，解得：，又，，即直线与直线平行，一定与定直线平行模块二 定点问题【题型11】 直线过定点问题【例题1】已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．【答案】(1)，点，点；(2)直线恒过定点．【思路点拨】（1）令和，解方程可求解；（2）设点，直线，直线，直线，将点C、B的坐标代入可得：，联立直线与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线恒过定点．【详解】（1）对于，令，则，∴，∴点，点，令，则，∴点；（2）证明：如图2，设点，直线，直线，直线，整理得：，则，，同理：，， ∵， ∴，∴，，联立直线与直线的解析式得：，解得：，∵直线与直线的交点始终在直线上，∴，化简得：，∴，∴直线，∴不论为何值，均有时，，即：直线恒过定点．【例题2】（2024·福建三明·二模）已知抛物线（为常数，且）(1)请直接写出该抛物线的对称轴：直线______．(2)若对于任意实数x，抛物线始终在x轴下方，求a的取值范围；(3)若，设抛物线的顶点为．若直线l与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴相交于点E，且点E在点M的上方，过点A作直线的垂线，垂足为D．若点D、M、B三点共线，那么直线是否经过一个定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)是；【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，以及解不等式组，（1）根据二次函数对称轴的表达式求解即可；（2）结合题意列出不等式，且求解即可；（3）根据题意得抛物线的表达式为：，顶点，设点A、B的横坐标为m，n，直线的表达式为：，则点，联立抛物线和直线的表达式得，则，，直线的表达式为：，将点D的坐标代入直线的表达式得，即，则直线的表达式为：，即可求得定点．【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：；（2）解：由题意得：，且，即，解得：；（3）解：时，抛物线的表达式为：，顶点，设点A、B的横坐标为m，n，直线的表达式为：，则点，联立抛物线和直线的表达式得：，即则，，设直线的表达式为：，则，解得，直线的表达式为：，将点D的坐标代入直线的表达式得：，整理得：，即，则直线的表达式为：，当时，，即直线过定点．【例题3】抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点． (1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，将抛物线平移使其顶点为（0，1），点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．【答案】(1)，，(2)直线一定结果定点，理由见解析【思路点拨】（1）把代入函数解析式，令，求出x的值，可求A、B的坐标，把解析式化为顶点式可求C的坐标；（2）由题意知，设过点P的直线为，与抛物线解析式联立方程组，利用过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，得出a与p的关系式，则直线解析式为，直线解析式为，分别与抛物线解析式联立，设点E的横坐标为，则是的根，利用根与系数的关系可求，同理可求，则，是方程的两个实数根，方程变形为，于是得到，点E、F是抛物线与直线的交点，则结论可得．【详解】（1）解：当时，函数解析式为，当时，，解得，，∴，，∵，∴，（2）解：由题意知：平移后抛物线解析式为，∵点P为直线上的一点，∴设，设过点P的直线为，∴，∴，∴，联立方程组，∴，∵过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，∴，即，∴，，则直线解析式为，直线解析式为，联立方程组，∴，设点E的横坐标为，则是的根，∵过点P的直线与抛物线只有一个公共点，∴有两个相等的实根，∴，∴，同理设点F的横坐标为，，∴，，∴，是方程的两个实数根，∴，∴，即点E，F的坐标满足方程组，∴点E、F是抛物线与直线的交点，∵，∴直线一定结果定点．【巩固练习1】已知过点的直线：与抛物线：的图象交于点，，点在轴上，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)(2)直线过定点，且定点的坐标为．【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由平移得：．利用二次函数与一元二次方程的关系求得，，据此进一步计算即可求解．【详解】（1）解：由得，为，将为，代入得：，解得，抛物线的解析式为；（2）解：平移得：．设，设直线为，将代入，，，直线为，由得，，是两根，则①②，②①得，，解得，设直线为，将代入，，，直线为，由得，，是两根，则③，④，④③得，，解得．，设直线为，由得，是的两根，，，直线为，直线过定点，且定点的坐标为．【巩固练习2】已知抛物线关于直线对称，且过点．(1)求抛物线的解析式；(2)过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．①求的值；②平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为，的中点，证明直线经过定点【答案】(1)(2)①；②见解析【思路点拨】（1）根据抛物线的对称轴得出，求出b的值，再将点代入求出c的值，即可得出抛物线解析式；（2）①把分别代入两个解析式，得出，则直线和直线，根据直线和直线均与抛物线有且只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，求出，，即可推出是方程的两根，根据一元二次方程根于系数的关系即可求解；②根据，且都经过，可以设直线的解析式为，直线的解析式为，结合，推出直线的解析式为，联立方程，得出P、Q、G、H的横坐标，再根据中点坐标公式得出点M和点N的横坐标，进而得出点M和点N的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式，即可求证．【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，∴，∴，将点代入得：∴，∴抛物线的解析式为；（2）①解：∵直线和直线过，∴，∴，∴直线和直线，∵直线和直线均与抛物线有且只有一个交点，∴，∴，∴，，∴是方程的两根，∴；②证明：∵，且都经过，∴设直线的解析式为，直线的解析式为，∵，则∴直线的解析式为，联立方程组，整理得，，设点G横坐标为，点H横坐标为，∴，∵点M为中点，∴点M横坐标为，则点M纵坐标为，∴，同理可求，即，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，当时，，∴直线经过定点．【巩固练习3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点，为抛物线上不与重合的相异两点，设直线的交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若四点构成的四边形是轴对称图形，且，求四边形的面积；(3)若直线的交点在直线上，则直线必过定点，直接写出该定点的坐标．【答案】(1)(2)(3)直线过定点【分析】（1）用待定系数法求抛物线的函数表达式即可．（2）由图形的轴对称，可知四点构成的四边形是等腰梯形．再根据，即可求出点D的坐标，再利用梯形的面积公式计算即可．（3）设，设直线解析式为可得出，设设直线解析式为，可得出，设设直线解析式为，可得出，由直线的交点在直线上可得出，整理可得出，进而求出b值为0．即可得出直线过定点．【详解】（1）解：两点在抛物线上∴，解得抛物线的函数表达式为．（2）如图，由图形的轴对称，可知四点构成的四边形是等腰梯形．又，且∴设点，则点，则，则点（3）直线过定点．如图，设，设直线解析式为．依题意，得则有设直线解析式为．在直线上，即又，设直线解析式为在直线上即又，直线的交点在直线上，即，整理得故，解得直线解析式为故直线过定点．【巩固练习4】抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)如图，将抛物线平移得到抛物线，使其顶点为原点，过点的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线的平行线交抛物线于另一点M，连接，求证：直线必过一定点．【答案】(1)点A，B，C的坐标分别是，；(2)见解析．【思路点拨】（1）令和，分别解方程即可求解；（2）由平移得：，求得直线和的解析式，据此求解即可．【详解】（1）解：令得，解得，，令得，∴点A，B，C的坐标分别是，，；（2）解：由平移得：，设点，，，的解析式为，联立，得，∴，，∴．①∵与直线平行，∴设直线的解析式为，联立，得，∴，②联立①②得．设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，当时，，故直线经过定点．【题型12】 已知定值求定点【例题1】经过点、、的抛物线与x轴只有一个公共点，其中且．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，作，交抛物线于点B，求证直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)(2)②【思路点拨】（1）由抛物线过点M、N知，抛物线的对称轴为y轴，再抛物线与x轴只有一个公共点，则抛物线的顶点为原点，从而可得抛物线的解析式；（2）设直线的解析式为，设，联立直线解析式与抛物线解析式得：，由根与系数的关系得；另一方面由勾股定理得：，即可求得，即，从而可确定直线过定点．【详解】（1）解：∵、两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，且抛物线过这两点，∴抛物线的对称轴为y轴，∴；∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴抛物线的顶点必为原点，即；∴抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为，设，联立直线解析式与抛物线解析式，整理得：，则p、m是上述一元二次方程的两个实数根，且；由勾股定理有：，即，又，∴，∵，∴，即，∴直线的解析式为，上式中，当时，，∴直线过定点．【例题2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)点或(3)为定点【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）分为①若时，和时，根据相似三角形的性质可解；（3）设点的坐标分别为：，求出直线的解析式，和直线的解析式，直线的解析式，从而表示出，，根据即可得出，即可求解；【详解】（1）解：由题意得，函数经过两点，故抛物线的表达式为：，即，，则抛物线的表达式为：；（2）令得，即点，∴把坐标代入中得直线解析式是、且，∵，∴直线的解析式为，联立抛物线解析式得，解得，∴点，∴，若时，，∴，即点，若时，，∴，即点，综上，点或．（3）是定点，理由如下：由题意，的坐标为，设点的坐标分别为：(假设点在点左侧)，∴把的坐标代入中得，直线的解析式为：，同理：直线的解析式为：，直线的解析式为：，∴，则，同理可得，，∴，∴，即，∴直线的解析式为：与无关，∴，即为定点．【巩固练习1】如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出A，B，C点的坐标；(2)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由．【答案】(1)点、、的坐标分别为：、、(2)直线PQ过点【思路点拨】（1）对于，当时，，当时，或3，即可求解；（2）求出，同理可得：，进而求解．【详解】（1）对于，当时，，当时，或3，即点、、的坐标分别为：、、；（2）经过定点，理由：设点、的坐标分别为：、，由点、坐标得，直线的表达式为：，当时，，同理可得：，则，即，设直线的表达式为：，联立和二次函数表达式并整理得：，则，，则，即，则的表达式为：，则直线过点．【巩固练习2】（2024·江苏泰州·三模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一个动点．(1)求抛物线解析式．(2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接、、，求面积．(3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，交y轴于H点，交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)1(3)经过定点，见解析【分析】（1）由待定系数法求解即可．（2）先求出A，B，P点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，然后求出与y轴的交点，最后根据三角形面积公式求出结果即可；（3）设直线的解析式为，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为：．（2）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，即点P的坐标为，令，解得：，，∴，，设的解析式为：，∴，解得：∴的解析式为：，把代入得：，∴，∴，∴；（3）解：直线过定点，理由如下∶设直线的解析式为，，，当时，整理得：，∴，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，整理得：，，∴，当时，整理得∶ ，，，∴，∵，∴，∴，∴，，整理得，，∴直线经过点．【巩固练习3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标；(3)如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由．【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)直线经过定点【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设, 过点作轴于点, 设抛物线的对称轴交轴于点， 则, , 设则, 可证得, 得出, , 建立方程组求解即可求得答案；(3)设 运用待定系数法可得：直线的解析式为, 直线的解析式为,直线的解析式为, 令, 则 可得,, 根据题意推出, 代入直线的解析式得, 当时, , 即直线经过定点.【详解】（1）∵抛物线与轴交于点两点,，解得：，∴抛物线的解析式为 ；（2）设, 过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，如图，则，∴顶点, ,，设则,，由旋转得：，，，，，，，解得：，∴点的坐标为或 ；（3）直线经过定点，理由如下：设，设直线的解析式为则，解得：，∴直线的解析式为，同理可得：直线的解析式为直线的解析式为令则，，，，，代入直线的解析式得∵当 时, ，∴直线经过定点．【巩固练习4】（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线与x轴交于两点，与轴交于点．(1)若点的坐标为，求抛物线的解析式；(2)如图1，设抛物线的顶点为M，判断的形状，并求出的值；(3)如图2，在（1）条件下，点P为抛物线上一点，将绕点顺时针旋转到，记点Q为．含b的式子表示a；②若抛物线上有两点、，按（3）的变换方式得到点、且，连恰好过定点F，直接写出的值．【答案】(1)(2)为等腰直角三角形，(3)①；②【分析】（1）将点的坐标为代入，即可求得；（2）将进行配方，可得到顶点M为，过点M作，则，再设坐标，根据距离公式即可求得；（3）①由设点P为，分别过点P、点Q作垂直于直线，垂足分别为，可得，得到，，最后化简可得.②由①可知、必满足方程：，设直线为：，联立 可化简，由为此方程的两个不等根，得到.【详解】（1）解：由题： ∴ ∴∵∴∴（2）解∵∴顶点M为，过点M作，则设坐标为、，当时，∵点关于过点所在直线对称，∴点为的中点，∴，即点在以为圆心为直径的圆上，∴∴为等腰直角三角形∴（3）解①∵，由（1）得：，∴对称轴为：直线，设点P为分别过点P、点Q作垂直于直线，垂足分别为∵绕点顺时针旋转到，∴=，∵，∴，∴∴∴，∴，∴①∴，∴，∴或，∴②将②代入①得：②由①可知、必满足方程：∵直线恰好过定点F∴可设直线为：∴联立 可化简为：∴∴∴∵ 为此方程的两个不等根∴∴即模块三 抛物线的焦点准线及新定义问题【题型13】 焦点与准线基本性质证明【例题1】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝－1．(1)求抛物线的解析式；(2)知为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【分析】(1)抛物线：(2)不难猜测直线1是抛物线的准线，所求F点为抛物线焦点．当M点在顶点位置时，M点到直线l的距离为1，故此时F点应为(2，1)．下证明M在抛物线任意位置，均有点M到直线l的距离与点M到点F的距离相等．【详解】∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．∵M（m，n）为抛物线上一动点，∴n=m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴，∴，∴定点F的坐标为（2，1）．【巩固练习1】如图，已知直线AB与抛物线相交于点A(－1，0)和点B(2，3)两点(1)求抛物线C函数表达式；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离 若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴；⑵存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.【分析】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，，解得a=-1，c=3，∴此抛物线C函数表达式为：；（2）问题已经很明显了，是抛物线准线，我们要求的F是焦点．易求抛物线对称轴为直线x=1，不妨取特殊位置得到结果，再证明．当点P在抛物线顶点时，P点坐标为(1，4)，此时点P到直线的距离为故此时点P到点F的距离也为满足条件的F点坐标有考虑到在直线上，故需舍去，F点可能的坐标只有【常规法】：∴对称轴为直线x=1， 当y=0时，x1=-1，x2=3，∴抛物线与x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=-3=，CF=CH=，由题意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【题型14】 利用焦点与准线性质求最值【例题1】图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【答案】（1）；（2）见解析；（3），【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，－1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2－1，把点B坐标代入求出a即可．（2）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为由题意，抛物线的顶点为又抛物线与轴交于点抛物线的函数解析式为（2）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF＝QH，∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，－）．【例题2】已知抛物线经过点(0，1)、(4，1)，直线与抛物线交于A、B两点，直线h为．(1)求抛物线的解析式；(2)在h上是否存在一点P，使取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线h的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)存在，点P的坐标为（，-1）；(3)定点F的坐标为（2，1）．【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式组成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线h的对称点E，连接AE交直线h于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点E的坐标，根据点A、E的坐标利用待定系数法可求出直线AE的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线h的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出，由m的任意性可得出关于、的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．【详解】（1）解：根据题意，得：，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）解：联立直线AB与抛物线解析式组成方程组，得：，∴，，∴A（1，），B（4，1）．作点B关于直线h的对称点E，连接AE交直线h于点P，此时PA+PB取得最小值（如图所示）．∵B（4，1），直线h为y=-1，∴E（4，-3）．设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（1，）、E（4，-3）代入y=kx+b，得：，∴，∴直线AE的解析式为：．当y=-1时，有，∴x=，∴P（，-1）；（3）解：∵点M到直线h的距离与点M到点F的距离总是相等，∴，∴．∵M（m，n）为抛物线上一动点，∴，∴，整理得：．∵m为任意值，∴，∴，∴定点F的坐标为（2，1）．【巩固练习1】我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线(1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y＝－4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．(2)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA＋PD最短 若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)由题意得：，过点M作MB⊥直线y＝4，垂足记为B点，则MB＝|y－(－4)|＝|y＋4|，两边平方，化简得：故M点形成的抛物线的解析式为（2）过P点做⊥直线故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．过点D作直线的垂线，与抛物线交点即为P点，垂足为Q，此时PQ+PD最短，为最小值，此时P点坐标为．【巩固练习2】已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等．如图，点的坐标为，是抛物线上的一个动点，求周长的最小值． 【答案】【分析】过点作轴于点，交抛物线于点，由点在抛物线上可得出，结合点到直线之间垂线段最短以及为定值，即可求得周长的最小值．【详解】解：如图，过点作轴于点，交抛物线于点，此时的周长最小． ∵点的坐标为，点的坐标为，∴，；由题意，得，所以周长的最小值．【巩固练习3】如图，点P为抛物线上一动点(1)若抛物线是由抛物线通过图像平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作于M．①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立 若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP+PF的最小值．【答案】（1）向上平移1个单位，再向右2个单位；（2）①（0，1），②6【详解】分析：（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．详解：（1）∵抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线 的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．法一：先考虑特殊位置找出F点，再证明一般情况成立考虑特殊位置，当P点在顶点B时，可得F点坐标为(0，1)或(0，-1)(舍掉)，以下证明P在抛物线任意位置，均满足PF=PM：没P点坐标为，则，，，∴当F点坐标为(0，1)时，恒成立.法二：如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为,∴,∵∴ 中∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PF，的最小值为 的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标与M纵坐标绝对值的和6．∴QP+PF的最小值为6．【题型15】 焦点准线的其它性质（倒数和为定值，焦点弦为直径的圆与准线相切）【例题1】如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证．【详解】（1）解：将代入，得，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）解：设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，∴，∴，∴，∴，设点到的距离为，则，∵、，∴，∴∴，∴ ∴，∴点总在上，为直径，且与相切，∴为直角．∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．【巩固练习1】如图，已知二次函数a为实数)的图像过点A(－2，2)，一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为实数)的图像1经过点B(0，2)．(1)求a值并写出二次函数表达式；(2)求b值；(3)设直线1与二次函数图像交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB＝MC；(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【详解】证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，x2+1），则MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1-2|=|x2-1|，∴MB=x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．【巩固练习2】如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO＝AM；（3）探究：①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【答案】解：（1）y＝x2﹣1（2）详见解析（3）详见解析【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解．（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证．（3）①k＝0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1 2，并求出x12+x22，x12 x22，然后代入进行计算即可得解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1．（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则．∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2．∴AM＝m2﹣1﹣（﹣2）＝m2+1．∴AO＝AM．（3）①k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM＝BN＝0﹣（﹣2）＝2，∴．②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则．联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4＝0，由根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1 x2＝﹣4，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝16k2+8，x12 x22＝16．∴．∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1．【题型16】 焦点准线的新定义问题【例题1】（2024·河北邯郸·三模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．【基础训练】（1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ；②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ．【技能训练】（2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围．【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积．【答案】（1）①，②1（2）（3）（4）【分析】（1）①根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；②根据点到焦点的距离等于点到定直线的距离，得到动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长度；（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；（3）由题意得，设直线交准线l于点N，则可分别得点Q与N的坐标，从而得关于x的表达式，利用则可求得x的范围．（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．【详解】解：（1）①∵抛物线中，∴，，∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，故答案为：，；②∵点到焦点的距离等于点到定直线的距离，∴动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长，∵，∴；故答案为：1；（2）由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，∴，整理得：，又∵，∴解得：或（舍去），∴，∴点P的坐标为；（3）∵点P的横坐标为x，且点P在抛物线上，∴，如图，连接，设直线交准线l于点N，则；由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为；∵轴，∴，，∴，∵，∴，解，得：；对于，化简得：，考虑二次函数，令，解得：，即二次函数图象与x轴交于，∵二次函数的图象开口向上，∴的解集为：或；综上，不等式的解集为：，即x的范围为．（4）∵抛物线中，∴，，∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图： ∵点的坐标为，准线，∴，点的横坐标为，代入解得，即，，的最小值为，则的面积为．【例题2】（23-24九年级下·江西吉安）阅读下列材料并完成问题．抛物线（）的图象如图（1）所示，我们把点称为该抛物线的焦点，把抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径，把直线称为该抛物线的准线，抛物线上任意一点到准线的距离称为准距．[知识感悟]（1）抛物线的焦点的坐标是______，若抛物线上点的坐标为，则焦半径______，准距______．[问题探究]（2）对于抛物线（）上点，试猜想焦半径与准距的数量关系，并说明理由．[知识应用]（3）如图（2），已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，当时，求点的坐标．【答案】（1），4，4（2），理由见解析；（3）或【分析】本题主要考查二次函数图象与性质的应用：（1）根据示例中的定义求解即可；（2）设点，根据两点间距离公式求出的长即可判断；（3）连接，证明是等边三角形，求出，设，得，求出方程的解即可得出点P的坐标【详解】解：（1）∵，∴焦点A的坐标为∴点与焦点的距离，点到准线的距离为：故答案为：，4，4（2），理由如下：由题意知，焦点为，准线为直线，2025届中考复习专题11：二次函数中的定点、定值，焦点与准线21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)模块一 定值问题【题型1】 面积定值【题型2】 线段长为定值【题型3】 线段和定值【题型4】 加权线段和定值【题型5】 线段乘积为定值【题型6】 比值为定值【题型7】 横（纵）坐标定值【题型8】 角度为定值【题型9】 线段倒数平方和为定值【题型10】 其它定值问题模块二 定点问题【题型11】 直线过定点问题【题型12】 已知定值求定点模块三 抛物线的焦点准线及新定义问题【题型13】 焦点与准线基本性质证明【题型14】 利用焦点与准线性质求最值【题型15】 焦点准线的其它性质（倒数和为定值，焦点弦为直径的圆与准线相切）【题型16】 焦点准线的新定义问题一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。2.韦达定理法：当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。简单的引例1如下：若线段AB＝x＋2，线段PQ＝－x＋7，那么AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即线段AB与线段PQ的和等于9，是一个定值． 简单的引例2如下：求证不论m取任何实数，二次函数y＝x －2（m＋1）x＋m（m＋2）的图象与x轴的两个交点之间的距离d为定值。通过令y＝0，可以求得方程的两个实数根分别为x1＝m，x2＝m＋2，则两个交点之间的距离d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一个定值二、定点问题函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。方法：使待定的系数k失去影响力【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点.第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了令，此时在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了!【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值．【详解】证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是【例3】已知二次函数，其中．求证：二次函数的顶点在第三象限【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函数的顶点在第三象限．三、 二次函数的焦点与准线我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线结论1：对于抛物线焦点坐标为，准线为直线焦点一般用字母F表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是只是为了焦点坐标便于计算．至于形如的抛物线可化为顶点式然后通过由平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM⊥FN．证明：设，，则，∴，∴FM⊥FN．结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN与y轴交于点，．模块一 定值问题【题型1】 面积定值【例题1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长；(3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【巩固练习1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上． (1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．【巩固练习2】已知抛物线经过点．(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．(2)将点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点，若点为抛物线上的一个动点，则以线段为直径的圆与直线交于点，，的面积是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的表达式；(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．【题型2】 线段长为定值【例题1】在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．【巩固练习1】如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点． (1)求顶点A的坐标；(2)如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【巩固练习2】已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为． (1)求抛物线的解析式；(2)如图，设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值．【巩固练习3】（2024·山东济宁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于，两点，与轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：… 0 1 2 30 3 4 3 0(1)求出这条抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)是抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值；(3)如图2，点是第四象限内抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，的外接圆与相交于点．试问：线段的长是否为定值 如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【题型3】 线段和定值【例题1】（2024·重庆·模拟预测）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交直线于点D，P为x轴下方抛物线上一点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线下方的抛物线上时，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；(3)直线分别交对称轴于点M，N，当点M，N均在点D的下方时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【例题2】如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与 轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴于，交直线于．(1)求二次函数表达式及顶点的坐标；(2)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值．【巩固练习1】已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动． 如图，直线，分别与y轴交于点E，F，当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【巩固练习2】如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点，如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【巩固练习3】如图，抛物线过点，点，点，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式；(2)若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【题型4】 加权线段和定值【例题1】如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【巩固练习1】如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【题型5】 线段乘积为定值【例题1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点． (1)求点的坐标；(2)如图，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于两点，连接，分别交轴于两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【例题2】如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【巩固练习1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【巩固练习2】（2024·四川泸州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，，交y轴于点C，对称轴是直线．点D是抛物线的顶点，点E是对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)连接，P是第一象限抛物线上的点，若，求点P的坐标；(3)如图2，点在对称轴上，过点K的直线（直线除外）与抛物线分别交于点G，H，直线，分别交x轴于点M，N．试探究的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．【巩固练习3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标；(3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由．【题型6】 比值为定值【例题1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式．(2)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由．【例题2】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；【巩固练习1】抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0），求该抛物线的解析式；（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【巩固练习2】（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，其中，．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；(3)如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于，两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标．【巩固练习3】（2024·福建厦门·模拟预测）如图1和图2，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；(3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【题型7】 横（纵）坐标定值【例题1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式．(2)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由．【例题2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．【巩固练习1】（2024·海南海口·模拟预测）如图，已知拋物线与x轴交于点，B，与y轴交于点，P点是抛物线上一动点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，P点是直线上方抛物线上一点，当点P到直线的距离为最大时，求此时P点坐标；(3)如图2，点K是抛物线对称轴直线上一动点，点M，N在直线左侧的抛物线上，点N在M的左侧，若为等腰直角三角形，，设点M，N的横坐标分别为m，n，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由；【巩固练习2】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． (1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．【题型8】 角度为定值【例题1】如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；(2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值；(3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【题型9】 线段倒数平方和为定值【例题1】（2024·黑龙江大庆·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值；(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由．【巩固练习1】（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．【题型10】 其它定值问题【例题1】抛物线与轴相交于两点，且，点为抛物线在第一象限上的点，顶点为为坐标原点．(1)若点时，求的值；(2)直线：交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值．【巩固练习1】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；(2)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．【巩固练习2】（2024·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；(3)当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．【巩固练习3】已知抛物线与轴交于、两点点在左侧． (1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行模块二 定点问题【题型11】 直线过定点问题【例题1】已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．【例题2】（2024·福建三明·二模）已知抛物线（为常数，且）(1)请直接写出该抛物线的对称轴：直线______．(2)若对于任意实数x，抛物线始终在x轴下方，求a的取值范围；(3)若，设抛物线的顶点为．若直线l与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴相交于点E，且点E在点M的上方，过点A作直线的垂线，垂足为D．若点D、M、B三点共线，那么直线是否经过一个定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【例题3】抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点． (1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，将抛物线平移使其顶点为（0，1），点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．【巩固练习1】已知过点的直线：与抛物线：的图象交于点，，点在轴上，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．【巩固练习2】已知抛物线关于直线对称，且过点．(1)求抛物线的解析式；(2)过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．①求的值；②平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为，的中点，证明直线经过定点【巩固练习3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点，为抛物线上不与重合的相异两点，设直线的交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若四点构成的四边形是轴对称图形，且，求四边形的面积；(3)若直线的交点在直线上，则直线必过定点，直接写出该定点的坐标．【巩固练习4】抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)如图，将抛物线平移得到抛物线，使其顶点为原点，过点的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线的平行线交抛物线于另一点M，连接，求证：直线必过一定点．【题型12】 已知定值求定点【例题1】经过点、、的抛物线与x轴只有一个公共点，其中且．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，作，交抛物线于点B，求证直线过定点，并求出该定点的坐标．【例题2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由．【巩固练习1】如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出A，B，C点的坐标；(2)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由．【巩固练习2】（2024·江苏泰州·三模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一个动点．(1)求抛物线解析式．(2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接、、，求面积．(3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，交y轴于H点，交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【巩固练习3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标；(3)如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由．【巩固练习4】（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线与x轴交于两点，与轴交于点．(1)若点的坐标为，求抛物线的解析式；(2)如图1，设抛物线的顶点为M，判断的形状，并求出的值；(3)如图2，在（1）条件下，点P为抛物线上一点，将绕点顺时针旋转到，记点Q为．含b的式子表示a；②若抛物线上有两点、，按（3）的变换方式得到点、且，连恰好过定点F，直接写出的值．模块三 抛物线的焦点准线及新定义问题【题型13】 焦点与准线基本性质证明【例题1】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝－1．(1)求抛物线的解析式；(2)知为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【巩固练习1】如图，已知直线AB与抛物线相交于点A(－1，0)和点B(2，3)两点(1)求抛物线C函数表达式；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离 若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【题型14】 利用焦点与准线性质求最值【例题1】图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【例题2】已知抛物线经过点(0，1)、(4，1)，直线与抛物线交于A、B两点，直线h为．(1)求抛物线的解析式；(2)在h上是否存在一点P，使取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线h的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【巩固练习1】我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线(1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y＝－4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．(2)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA＋PD最短 若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【巩固练习2】已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等．如图，点的坐标为，是抛物线上的一个动点，求周长的最小值． 【巩固练习3】如图，点P为抛物线上一动点(1)若抛物线是由抛物线通过图像平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作于M．①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立 若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP+PF的最小值．【题型15】 焦点准线的其它性质（倒数和为定值，焦点弦为直径的圆与准线相切）【例题1】如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．【巩固练习1】如图，已知二次函数a为实数)的图像过点A(－2，2)，一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为实数)的图像1经过点B(0，2)．(1)求a值并写出二次函数表达式；(2)求b值；(3)设直线1与二次函数图像交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB＝MC；(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【巩固练习2】如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO＝AM；（3）探究：①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【题型16】 焦点准线的新定义问题【例题1】（2024·河北邯郸·三模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．【基础训练】（1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ；②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ．【技能训练】（2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围．【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积．【例题2】（23-24九年级下·江西吉安）阅读下列材料并完成问题．抛物线（）的图象如图（1）所示，我们把点称为该抛物线的焦点，把抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径，把直线称为该抛物线的准线，抛物线上任意一点到准线的距离称为准距．[知识感悟]（1）抛物线的焦点的坐标是______，若抛物线上点的坐标为，则焦半径______，准距______．[问题探究]（2）对于抛物线（）上点，试猜想焦半径与准距的数量关系，并说明理由．[知识应用]（3）如图（2），已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，当时，求点的坐标．【巩固练习1】（山东滨州·三模）二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹．其中定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准线．①抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点为，准线为y，例如，抛物线y的焦点是；准线是y；抛物线y＝﹣3x2的焦点是______，准线是______；②将抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移h个单位、再向上平移k个单位（h＞0，k＞0），可得抛物线y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）；因此抛物线y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的焦点是，准线为yk．例如，抛物线y1的焦点是，准线是y；抛物线y的焦点是______，准线为______．根据以上材料解决下列问题：(1)完成题中的填空；(2)已知二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣1．①求其图象的焦点F的坐标以及准线解析式；②求过点F且与x轴平行的直线与二次函数y＝x2+2x﹣1图象交点的坐标．③抛物线上一点P，点P与坐标原点O、F点构成三角形，求△POF周长的最小值，以及P点的坐标．【巩固练习2】（23-24九年级·湖北襄阳·期末）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：__________，__________；【技能训练】（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，求点坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线，过抛物线上点作轴垂线，交直线于点，，，当时，请直接写出点横坐标的取值范围．【巩固练习3】（2024·湖南长沙·二模）对于抛物线，我们发现其图像上任意一点到点的距离和到直线的距离总是相等，于是规定点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线．例如：如图，，其焦点为，准线为直线，抛物线上任意一点到准线的距离为，则，，即；同理可得时，也成立．利用焦点和准线的性质解决下列问题： (1)请直接写出抛物线的焦点和准线；(2)如图，已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过焦点的直线与抛物线交于两点，求证：；(3)已知抛物线，焦点为，点为对称轴右侧的抛物线上一点，且，①求的值；②过焦点的直线与该抛物线交于两点，为抛物线准线上一点，当为等边三角形时，求直线的解析式． 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2025年中考数学压轴题型模型方与技巧（通用版）专题11二次函数中的定点、定值，焦点与准线问题（原卷版）.docx 2025年中考数学压轴题型模型方与技巧（通用版）专题11二次函数中的定点、定值，焦点与准线问题（解析版）.docx
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