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2025届中考复习专题03:圆的综合训练
【题型1】 圆中利用勾股求线段长 1
【题型2】 求圆中阴影面积 9
【题型3】 圆与三角函数 16
【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型 31
【题型5】 圆与相似 42
【题型6】 圆中的动点问题 57
【题型7】 圆中的探究性问题 70
【题型8】 圆的综合性问题 80
【题型9】 圆中的定值问题 101
【题型1】 圆中利用勾股求线段长
【例题1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：
（1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；
（2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴；
（2）由（1）知四边形为矩形，，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；即：的半径为．
【巩固练习1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析;(2)
【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）解：在中，，
∵，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，∴半径的长为3
【巩固练习2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
(1)求证：平分；
(2)如果，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分；
（2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
【巩固练习3】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，，

(1)求证：是切线；
(2)求；
(3)求的值．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】（1）连接，圆周角定理结合角平分线，推出，直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，根据，得到，即可得证；
（2）先证明，得到，求出的长，进而求出的长，求出的长，再利用正弦的定义进行求解即可；
（3），得到，设，，勾股定理求出的值，推出，进而得到，求出的长，设，，勾股定理求出的值，即可．
【详解】（1）证明：连接，
是的平分线，
．
，
．
．
，
，
．
，
．
在上，
是的切线．
（2）解：，
．
，
又，
．
又，
．
．
，，
，则．
，则=2.5．
，
．
（3）解：，
．
设，，
，
，即．
．
．
．
．
，
．
．
．
在中，设，，
，即
，
∴=
【巩固练习4】（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在中，且点E为的中点，的平分线交于点M，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点M，交于点G，交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)当时，求的半径；
(3)试探究线段和之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为3
(3)
【分析】（1）连接，由是的平分线，得，从而，即可得是的切线；
（2）设的半径为由为中点，得，根据，有，即，即可得；
（3）过作于，先证明四边形是矩形，得，又，有中，，即得．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，如图：
∵为中点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
即圆的半径为3；
（3）解：过作于，如图：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
即．
【题型2】 求圆中阴影面积
【例题1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解．
【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到．
，
，
在菱形中，点O是对角线的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
故选：A．
【例题2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答．
【详解】解：如图：连接，作于点B，
∵，
∴三角形是等边三角形，
∴，
∴
∴,
∴．
【巩固练习1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果．
【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，，
∴，
∴以为直径作半圆时，圆心为点，
设弓形，连接，，即，如图：
∴为等边三角形，
∴，
故阴影部分面积为，
代入数值可得
【巩固练习2】（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．
（1）连接，交于点G，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
，
，
又为的内心，
，
，
∴，
又为的直径，
，
又为的切线且为的半径，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【巩固练习3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵沿直线翻折得到，
∴，，
∵是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于点C，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【巩固练习4】（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)30
(2)与相切，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：弦于，是的直径，
，
，
故答案为：30；
（2）解：与相切，
理由如下：
连接，如图所示：
弦于，是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（3）解：是的直径，
，
，，
，
，
连接，如图所示：
点是的中点，
，
，
是的中位线，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．
【题型3】 圆与三角函数
【例题1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴在中，，
∴，
∴半径的长为6
【例题2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，为直径，平分交于点，交于点，连接交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求和的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
【分析】（1）连接，，根据平分，得出，根据，得出垂直平分，即可得出答案；
（2）根据中位线的性质得出，根据三角函数得出，求出，根据，设，则，得出，，根据，
得出，根据勾股定理求出；即可．
【详解】（1）证明：连接，，如图所示：

∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
即；
（2）解：∵，
∴，，
∵为直径，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∵同理可得：，，
∴，
解得：，经检验符合题意；
∴，，
∴；
∵，，
∴．
【例题3】（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）证明，即可证明是的切线；
（2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可．
本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
【巩固练习1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【巩固练习2】（2024·重庆·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ．
【答案】
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
在中，；
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
【巩固练习3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：是的切线；(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【巩固练习4】（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【巩固练习5】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证；
（）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直径为．
【巩固练习6】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，O为上一点，F是上一点，经过点A，F的交于点E，并且切于点D，连接交于点．

(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由切线的性质判及已知条件得出，根据平行线的性质结合等腰三角形的性质，即可得出；先判断出，再判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论；
（2）连接，在中，根据勾股定理可得的长度用和表示，进而得，设圆的半径为，由的值，利用锐角三角函数定义求出的值，由直径所对的圆周角为直角，得到与平行得到，进而求出的长，再根据（1）的结论可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，，，

∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴，
由（1）知，
∴．
【巩固练习7】（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，问题得证；
（2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解．
【详解】（1）证明：连接．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的切线．
（2）过点C作于点H，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在中，∵，
设半径为r，∴，
∴．
【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型
【例题1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解．
【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，
∵四边形内接于，
∴
∴
∵
∴，
∴是的直径，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴，,
∵
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
【例题2】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时，
【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解；
（2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，则
∵是的外接圆，
∴是的角平分线，则
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴
设交于点，则，
设，则
在中，
∴
∴，
∵是直径，则，
在中，
∴
∴
（2）如图所示，在上截取，
∵
∴
∴是等边三角形，
∴，则
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴；
∵，，
∴是等边三角形，则
∴，
又∵
∴
在中
∴
∴，
∴
即；
（3）解：①如图所示，当在上时，
在上截取，
∵
∴
又∵
∴，则
∴即
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
如图所示，作于点，
在中，，
∴
∴
∴，即
②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴
又∵
∴，则
∴即，
又∵
∴
∴
∴，
∵
同①可得
∴
∴
综上所述，当在上时，；当在上时，．
【巩固练习1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键．
作辅助线如图，先证明，，从而可以得到旋转后的图形，再证明是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果．
【详解】解：如图，连接、，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴绕点逆时针旋转，则三点共线，如图所示
∴，
∵由旋转可知，
∴，
∴在等腰直角三角形中，，
∴．
【巩固练习2】如图，在⊙O中AB=AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC，
∠BAC=120°
（1）若AC=4，求⊙O的半径;（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。
【解析】方法一:如图1,截取DF=DB,作AG⊥DC，易知△黄≌△蓝→CG=FG, ∴DC+DB=2DG=AG=AD
方法二:如图2，作AG⊥DG,AH⊥DB,易知△黄≌△蓝(HL)→GC=BH ∴DC+ DB=2DG=AG=AD
方法三:如图3,DC至点G，使AG=AD,易证△黄≌△蓝(SAS)→GC=BD ∴DC+ DB=DG =AD
【巩固练习3】在的内接四边形中，AB=6,AD=10，∠BAD=60°，点为弧的中点，则的长是　　．
【解答】
解法一、、、、四点共圆，，
，
，平分，
，
如图，将绕点逆时针旋转得，
则，，，
，
、、三点共线，
过作于，
，
，
在中，；
解法二、如图，过作于，于，
则，
点为弧的中点，
，
，，
，，
，
、、、四点共圆，
，
在和中
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，，
，
，
解得：，
即，
，故答案为．
【巩固练习4】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
【答案】初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用：
【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得；
深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证；
启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得．
【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，，
∴，
故答案为：45．
深入探究：延长至点，使，连接，
∵是等边三角形，
∴，
由圆周角定理得：，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴．
启发应用：如图，延长至点，使，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型5】 圆与相似
【例题1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证；
（2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
【例题2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，易得，圆周角定理得到，进而得到，证明，推出，进而得到，即可得证；
（2）等角的三角函数相等，得到，证明，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，则：，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（舍去）或，
∴
【例题3】（2024·重庆·中考真题）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ．
【答案】 8
【分析】连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，根据四边形为平行四边形，得出，，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出．
【详解】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示：
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
【巩固练习1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长，交于，
是的直径，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【巩固练习2】（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；②．
【答案】(1)
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到；
（2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故；
②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明①：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点D作平行线交于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【巩固练习3】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长和的直径．
【答案】(1)见详解；
(2)，．
【分析】（1）先证明，然后利用对应边成比例，即可证明；
（2）利用，知道，从而推出，结合，知道，推出，接下来证明，那么有，即，不妨设，代入求得的长度，不妨设，在和中利用勾股定理求得和的长度，最后利用，求得的长度，然后再利用勾股定理求得的长度．
【详解】（1）是的直径
又
（2）由（1）可知，
不妨设，那么
，
不妨设，那么
在中，，，
在中，，
的直径是．
【巩固练习4】（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F．
(1)求证：；
(2)过点C作于点G，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质推出，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，，据此即可证明；
（2）由勾股定理得，利用等面积法求出，则，同理可得，则，进而得到；如图所示，过点C作于H，则，证明，求出，则；设，则，证明，推出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
如图所示，过点C作于H，则，
由（1）可得，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），∴．
【巩固练习5】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求和的长．
【答案】(1)见解析
(2)，．
【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论；
（2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得．
【详解】（1）证明：延长交于点F，连接，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即是的角平分线，
∵，
∴，且平分线段，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
设，
∴，
∴，
解得，即，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，
∴．
【巩固练习6】（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明；
（2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型6】 圆中的动点问题
【例题1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可；
（2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解∶连接，

∵，，，
∴，
∴，
∵与相切于D，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解∶延长交于P，连接，此时最大，

由（1）知：，，
∴．
【例题2】
【例题3】（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若．则_______．
（2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有，连接．
（3）如图2，当与相切时，求的长度；
（4）求长度的取值范围．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3） （4）
【分析】（1）根据直径性质得到，,根据，，运用勾股定理可得；
（2）根据．，得到．得到，结合， 得到，得到，得到四边形是平行四边形；
（3）连接．根据，得到，，根据切线性质得到，．得到，．得到，得到，运用勾股定理得；
（4）过点A作射线，使，连接．得到，，根据．，可得，根据，得到，得，得到．根据，得到，即得．
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴,
∵，，
∴
故答案为：；
（2）证明：∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图，连接．
∵在中，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
又∵，
∴
∴．
∴，
在中，，
∴在中，；
（4）解：如图，过点A作，使，连接．
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【巩固练习1】（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①与相切，理由见解析；②的取值范围为．
【分析】（1）由的平分线交于点，，可得，结合是上两定点，可得结论；
（2）①如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；
②分情况讨论：如图，当时，可得；如图，连接，当，可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，，
∴，
∴，
∵是上两定点，
∴点为的中点，是一定点；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
②如图，当时，
∴为直径，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
如图，连接，当，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当为锐角三角形，的取值范围为．
【巩固练习2】（2024·云南昆明·一模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求证：；
(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)是定值，为200
【分析】（1）连接，由直径所对圆周角是直角可得，则，由，可知，根据，可得，进而可证得，即可证明结论；
（2）由圆周角定理可知，进而可得，，再证明，结合含的直角三角形即可求解；
（3）证明，得到即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
则，
又∵，
∴，
∴；
（3）是定值，为200，理由如下：
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是定值，为200．
【巩固练习3】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为_________；
②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？
【答案】（1）①；②；（2）
【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可．
（2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案．
【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角，
∴，
∴，
解得，
故答案为：60．
②作圆的直径，连接，
则
∵圆的半径为5，
∴，
∵，
∴.
∴．
（2）如图，延长到点M，使得，连接，
∵四边形是圆美四边形，是美角，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵是的一条弦，
∴当是直径时，取最大值，
即的最大值是．
【巩固练习4】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，．
【初步认识】
（1）①求证：；
②若，求的值．
【特值探究】
（2）若，，，求长；
【逆向思考】
（3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由．
【答案】（1）①详见解析；②；（2）10；（3）是等腰直角三角形，详见解析
【分析】（1）①证明，，从而证明即可；
②运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解；
（2）先利用，求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解；
（3）同（2）法求出，再利用，得到，再根据x、y的任意性，即与x、y无关，得到，从而得到，继而证明，由此得解．
【详解】（1）①证明：为的直径，
，
于点F，
，
②，
中，
（2）中，，，，
∴，，
由（1）可知：，，
，即，
（3）是等腰直角三角形．理由如下：
中，，
由（1）可知：，
，即
，
，
，
由题意知，上式对于任意x、y上式恒成立，
且，
，
锐角
中，，
为的直径，
，
是等腰直角三角形．
【题型7】 圆中的探究性问题
【例题1】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析
【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论；
实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解；
问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：，
得到，根据，易证，得到，即可证明结论．
【详解】操作发现：
解：连接并延长交于点M，连接，
是直径，
，
，
由旋转的性质得，
，
，
，
是的半径，
与相切；
实践探究：
解： 由旋转的性质得：，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
问题解决：
证明：过点E作交于点N，
由旋转的性质知：，
，
，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
，
，
，
，
．
【巩固练习1】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
【答案】初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用：
【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得；
深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证；
启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得．
【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，，
∴，
故答案为：45．
深入探究：延长至点，使，连接，
∵是等边三角形，
∴，
由圆周角定理得：，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴．
启发应用：如图，延长至点，使，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【巩固练习2】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为_________；
②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？
【答案】（1）①；②；（2）
【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可．
（2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案．
【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角，
∴，
∴，
解得，
故答案为：60．
②作圆的直径，连接，
则
∵圆的半径为5，
∴，
∵，
∴.
∴．
（2）如图，延长到点M，使得，连接，
∵四边形是圆美四边形，是美角，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵是的一条弦，
∴当是直径时，取最大值，
即的最大值是．
【巩固练习3】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，．
【初步认识】
（1）①求证：；
②若，求的值．
【特值探究】
（2）若，，，求长；
【逆向思考】
（3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由．
【答案】（1）①详见解析；②；（2）10；（3）是等腰直角三角形，详见解析
【分析】（1）①证明，，从而证明即可；
②运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解；
（2）先利用，求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解；
（3）同（2）法求出，再利用，得到，再根据x、y的任意性，即与x、y无关，得到，从而得到，继而证明，由此得解．
【详解】（1）①证明：为的直径，
，
于点F，
，
②，
中，
（2）中，，，，
∴，，
由（1）可知：，，
，即，
（3）是等腰直角三角形．理由如下：
中，，
由（1）可知：，
，即
，
，
，
由题意知，上式对于任意x、y上式恒成立，
且，
，
锐角
中，，
为的直径，
，
是等腰直角三角形．
【巩固练习4】（2024·山东滨州·模拟预测）【问题探究】
如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积；
【问题解决】
如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由．
【答案】【问题探究】；【问题解决】，当时，有最大值，．
【分析】问题探究：由旋转的性质可得，得到，，，由圆内接四边形的性质得，即得，即得点、点、点三点共线，又由圆周角定理得，即可得，得到为等腰直角三角形，最后根据即可求解；
问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到，同理可得点，点，点三点共线，又由，，可得是等边三角形，进而根据 可得，最后根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：问题探究：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴点、点、点三点共线，
∵是直径，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴点，点，点三点共线，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
当时，有最大值，．
【题型8】 圆的综合性问题
【例题1】（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
(1)写出图中一个与相等的角：______；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】（1）利用等边对等角可得出，即可求解；
（2）连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证；
（3）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：连接，
，
∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
【例题2】（2024·四川广安·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，点D为的中点，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N，且．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当时，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线．
（1）连接交于点，根据垂径定理的推论可得半径，利用平行线的判定定理可得，得出半径，再运用切线的判定定理即可证得结论；
（2）连接，可证得，得出，再由，即可证得结论；
（3）连接交于点，连接，利用解直角三角形可得，利用勾股定理可得，再证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，运用相似三角形的性质和判定即可求得答案．
【详解】（1）证明：连接交于点，如图，

∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又是的半径，
∴是的切线；
（2）证明：连接，如图，
为的直径，
，
∵，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接交于点，连接，如图，

由（1）（2）得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
即，
．
【例题3】（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求的长；
②求的半径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①；②．
【分析】（）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证；
（）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：①∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
【例题3】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析，②的半径为．
【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论；
（2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解，，结合，可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：①∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴是的切线；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
【巩固练习1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）证明，，结合，，再进一步可得结论；
（3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案；
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴，经检验，符合题意
【巩固练习2】（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可；
（2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可；
（3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
在中，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，
解得，（舍去），
故．
【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；(2)求证：；(3)若，．求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证；
（2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【巩固练习4】（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：与相切；
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可；
（2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论；
（3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：如图，连接，
∵，为中点，
∴，
∴过圆心，
∵，
∴，
而为半径，
∴为的切线；
（3）解：如图，过作于，连接，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设半径为，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【巩固练习5】（2024·广东中山·模拟预测）如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，．
(1)求的半径r的长度；
(2)求
(3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值
【答案】(1)5
(2)
(3)16
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）只要证明，求出即可；
（3）由，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，连接，
，
，
在中，
，，
∴
，
．
（2）解：如图1中，连接．
，是直径，
，
，
，
，
．
（3）解：如图2中，连接．
是直径，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
．
【巩固练习6】（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若点P是上的一点，连接．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明；
（2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．
本题考查圆的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
．
，
，
，
，
为的直径，
，
，
是的切线；
（2）解：①如图，连接，
是的中点，
，
，
为的直径，
，
，
，
．
，
设的半径为，则，
解得，
经检验，是方程的解，
，
，
，
，
．
②如图，过点作交于点，
，
，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
．
【巩固练习7】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)30
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，又，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：连接，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心．
∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点，
∴，，，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长为
．
【题型9】 圆中的定值问题
【例题1】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知是的弦，点、是上的两个点，交于点，连结，．
(1)求证：点是的中点．
(2)若，求的值．
(3)若，则的值是否为定值？如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质以及已知条件，得出，即可得证；
（2）过点作交的延长线于点，得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出，进而证明，即可求解；
（3）连接，，C交于，过点作交的延长线于点，根据已知得出，证明得出，由（2）可得，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
又，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
（3）解：结论：，的值不变．
理由：如图，连接，，C交于，过点作交的延长线于点，
∵，，
∴,，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得，
∴．
【例题2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长；
(3)若，点P在劣弧上运动的过程中，
①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．
【答案】(1)
(2)7
(3)①；②的值是定值96．
【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到；
（3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可；
②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形
∴
∵四边形内接于
∴；
（2）如图所示，延长到点F使，
∵
∴
∵
∴是等边三角形
∴，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
∴；
（3）①由（2）可得，
∵点P在劣弧上运动
∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度
∵是等边三角形
∴
∴的最小值为
∴的最小值为；
当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示，
∴此时是的直径
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，负值舍去
∴的最大值为8
∴的最大值为8；
∴的值的取值范围是；
②如图所示，延长到点F使，过点A作
由（2）得，是等边三角形
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
．
∴的值是定值96．
【巩固练习1】（浙江杭州·二模）如图，，是的两条直径，AB⊥CD，点E是上一动点（点E不与B，D重合），，分别交，G，连接．设的半径为r，．

(1) （用含α的代数式表示）；
(2)当时，求证：；
(3)判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)是定值，
【分析】（1）由题意得出，再由三角形的内角和即可解答；
（2）连接，由（1）可得，，再说明，由，可得；
（3）是定值，，由，得出即可求解．
【详解】（1）解：，
，，
，
∴，
，
∴，
,
故答案为：．
（2）解：证明：连接OE，
∵．
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：是定值，，
由题意知，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
【巩固练习2】（2024·广东珠海·模拟预测）如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于两点，交轴于两点，点为劣弧上一个动点，且．
(1)如图1，连结，取中点，连结，则的最大值为________；
(2)如图2，连接．若平分交于点，求的长；
(3)如图3，连接，当点运动时（不与两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【答案】(1)2
(2)
(3)见解析，
【分析】（1）由于直径，根据垂径定理可以得到是的中点，要求最大值即求最大值，当为直径时，有最大值，即可得到答案；
（2）根据垂径定理得到，证明，由（1）得，即可得到答案；
（3）将绕A点顺时针旋转至，得到，证明，过A作于G，则，根据勾股定理证明．
【详解】（1）解：由题可知，为直径，且，
由垂径定理可得，，
连接，
是的中点，
，
当三点共线时，此时取得最大值，
且，
的最大值为；
故答案为：2．
（2）解：连接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：由题可得，直径，
垂直平分，
如图4，连接，，则，
由（1）得，
将绕A点顺时针旋转至，
，
，，
四边形为圆内接四边形，
，
，
、D、P三点共线，
，
过A作于G，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
为定值．
【巩固练习3】已知内接于．
(1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：；
(3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)的值是定值，定值为2．
【分析】（1）利用等角的余角相等求得，即可证明；
（2）过点C作直径，连接，利用等角的余角相等求得，推出，再根据垂径定理证明是的中位线，据此即可证明；
（3）在上截取，证明，推出，由等腰三角形的性质求得，推出，据此即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作直径，连接，

∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，即；
（3）解：的值是定值，定值为2，
在上截取，连接，，，，

∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【巩固练习4】（2024·广东佛山·二模）综合运用
如图，直线与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为，点P是线段上一点且点P与点O不重合．过A、O、P三点的圆与直线交于点D．连接交圆于点E．
(1)求的度数；
(2)当和相似时，求点P的坐标；
(3)设点P的横坐标为m，的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含m的式子表示．
【答案】(1)
(2)
(3)是，
【分析】（1）先求解，，再利用锐角三角函数求解，即可；
（2）分两种情况讨论：①如图，当时，连接，②如图，当时，则，再进一步结合相似三角形的性质与圆周角定理可得答案；
（3）连接，依题意得，，可得则，，，表示，再进一步计算即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴，
．
，
，
，
，
；
（2）①如图，当时，连接，
∴，
．
，
为直径，
，
，
，
设，则，
，
，且
，
，
等腰中，，
，
点坐标为
②如图，当时，则，
．
由（1）可得：
又，
点与点重合．不符合题意，舍去．
综上所述，点坐标为．
（3）的值不变，
理由如下：连接，依题意得，，
，
则，
，
，
，
又，
，
．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025届中考复习专题03:圆的综合训练
【题型1】 圆中利用勾股求线段长 1
【题型2】 求圆中阴影面积 4
【题型3】 圆与三角函数 6
【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型 10
【题型5】 圆与相似 14
【题型6】 圆中的动点问题 18
【题型7】 圆中的探究性问题 23
【题型8】 圆的综合性问题 28
【题型9】 圆中的定值问题 34
【题型1】 圆中利用勾股求线段长
【例题1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；(2)若，，求的半径．
【巩固练习1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；(2)若，，求的半径．
【巩固练习2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
(1)求证：平分；(2)如果，，求的半径．
【巩固练习3】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，，
(1)求证：是切线；(2)求；(3)求的值．
【巩固练习4】（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在中，且点E为的中点，的平分线交于点M，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点M，交于点G，交于点F．
(1)求证：为的切线；(2)当时，求的半径；
(3)试探究线段和之间的数量关系．
【题型2】 求圆中阴影面积
【例题1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【例题2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【巩固练习2】（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【巩固练习3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【巩固练习4】（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【题型3】 圆与三角函数
【例题1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
【例题2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，为直径，平分交于点，交于点，连接交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，，求和的长．
【例题3】（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；(2)若，求的长．
【巩固练习1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．

【巩固练习2】（2024·重庆·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ．
【巩固练习3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：是的切线；(2)求的长．
【巩固练习4】（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，求的长．
【巩固练习5】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的直径．
【巩固练习6】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，O为上一点，F是上一点，经过点A，F的交于点E，并且切于点D，连接交于点．

(1)求证：；(2)若，，求的长．
【巩固练习7】（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
(1)求证：为的切线；(2)若，，求的半径．
【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型
【例题1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
【巩固练习1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】如图，在⊙O中AB=AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC，∠BAC=120°
（1）若AC=4，求⊙O的半径;（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。
【巩固练习3】在的内接四边形中，AB=6,AD=10，∠BAD=60°，点为弧的中点，则的长是　　．
【巩固练习4】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
【题型5】 圆与相似
【例题1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
【例题2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．
【例题3】（2024·重庆·中考真题）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ．
【巩固练习1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ．
【巩固练习2】（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．(2)求证：①；②．
【巩固练习3】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长和的直径．
【巩固练习4】（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F．
(1)求证：；(2)过点C作于点G，若，，求的长．
【巩固练习5】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．
(1)求证：是的切线；(2)若，求和的长．
【巩固练习6】（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
【题型6】 圆中的动点问题
【例题1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
【例题2】2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若．则_______．
（2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有，连接．
（3）如图2，当与相切时，求的长度；
（4）求长度的取值范围．
【巩固练习1】（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
【巩固练习2】（2024·云南昆明·一模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求证：；
(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【巩固练习3】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为_________；
②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？
【巩固练习4】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，．
【初步认识】
（1）①求证：；
②若，求的值．
【特值探究】
（2）若，，，求长；
【逆向思考】
（3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由．
【题型7】 圆中的探究性问题
【例题1】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
【巩固练习1】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
【巩固练习2】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为_________；
②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？
【巩固练习3】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，．
【初步认识】
（1）①求证：；
②若，求的值．
【特值探究】
（2）若，，，求长；
【逆向思考】
（3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由．
【巩固练习4】（2024·山东滨州·模拟预测）【问题探究】
如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积；
【问题解决】
如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由．
【题型8】 圆的综合性问题
【例题1】（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
(1)写出图中一个与相等的角：______；(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【例题2】（2024·四川广安·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，点D为的中点，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N，且．
(1)求证：是的切线；(2)求证：；
(3)当时，求的长．
【例题3】（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求的长；②求的半径．
【例题3】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；②若，，求的半径．
【巩固练习1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．(2)求证：．(3)若，，求的长．
【巩固练习2】（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；(2)求证：；(3)若，．求的值．
【巩固练习4】（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：与相切；
(3)若，，求的半径．
【巩固练习5】（2024·广东中山·模拟预测）如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，．
(1)求的半径r的长度；(2)求
(3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值
【巩固练习6】（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若点P是上的一点，连接．
①求的值；②若为的角平分线，求的长．
【巩固练习7】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
【题型9】 圆中的定值问题
【例题1】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知是的弦，点、是上的两个点，交于点，连结，．
(1)求证：点是的中点．
(2)若，求的值．
(3)若，则的值是否为定值？如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由．
【例题2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)．
(1)求的度数；(2)若，，求的长；
(3)若，点P在劣弧上运动的过程中，
①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．
【巩固练习1】（浙江杭州·二模）如图，，是的两条直径，AB⊥CD，点E是上一动点（点E不与B，D重合），，分别交，G，连接．设的半径为r，．

(1) （用含α的代数式表示）；
(2)当时，求证：；
(3)判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【巩固练习2】（2024·广东珠海·模拟预测）如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于两点，交轴于两点，点为劣弧上一个动点，且．
(1)如图1，连结，取中点，连结，则的最大值为________；
(2)如图2，连接．若平分交于点，求的长；
(3)如图3，连接，当点运动时（不与两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【巩固练习3】已知内接于．
(1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：；
(3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
【巩固练习4】（2024·广东佛山·二模）综合运用
如图，直线与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为，点P是线段上一点且点P与点O不重合．过A、O、P三点的圆与直线交于点D．连接交圆于点E．
(1)求的度数；
(2)当和相似时，求点P的坐标；
(3)设点P的横坐标为m，的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含m的式子表示．
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