资源简介 2025届中考复习专题04:圆的常考模型归纳【题型1】 弦切角定理与切割线定理 26【题型2】 中点弧模型 37【题型3】 内心模型 47【题型4】 线段和差问题（构造手拉手） 54【题型5】 阿基米德折弦定理 69【题型6】 平行弦与相交弦，垂直线，割线模型 82【题型7】 垂径图 90【题型8】 等腰图 98【题型9】 双切图 112【题型10】 射影图 125【题型11】 切割图 135【题型12】 圆与三角函数综合 144【题型13】 圆与相似综合 156圆的基本模型（一）：圆幂定理1.弦切角与切割线弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所夹的弧所对的圆周角∠22.圆幂定理① 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。② 切割线定理：从圆外点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。③ 割线定理（推论）：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。【统一归纳】：过任意不在圆上的一点P引两条直线l1、l2，l1与圆交于A、B（可重合，即切线），l2与圆交于C、D（可重合），则有【模型图解】相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理PA·PB=PC·PD PA·PB=PC·PD PA =PC·PD PA =PC统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点A、B、C、D,则有圆幂定理:过一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值（定值称做点P对的“幂”，等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）【问题】求证（点在圆外）【证明】由切割线定理推论得：PA·PB=PC·PD，又∵PC·PD=(PH―CH)(PH+CH)=PH ―CH =(OP ―OH )―(r ―OH )= OP ―r 【例题】如图，已知PAB是⊙O的割线，PO=14cm，PA=4cm，AB=16cm。求⊙O的半径。【证明】由得，r = OP －PA·PB=132, ∴r=圆的基本模型（二）：中点弧模型点P是优弧AB上一动点，则【简证】∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似【补充】⑥PE PC＝PA PB，注意：⑥不能反推出前五项【例】如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则 ．易知，则，圆的基本模型（三）：内心模型与等腰【模型讲解】外接圆+内心 得等腰如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，则DI＝DC＝BD【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理）1.中点弧与旋转【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.2.常见结构（1）圆内接等边三角形结论：，可构造做角平分线或构造手拉手模型【简析】（2）圆内接等腰直角三角形（正方形）情况一：有角平分线情况二：无角平分线截长补短构造手拉手——旋转相似，一转成双在AP上取一点Q，使BP=BQ,,【旋转六法】补充【托密勒定理】：秒杀！（选填可用）3.阿基米德折弦定理【模型解读】【问题】：已知M为的中点，B为上任意一点，且MD⊥BC于D．求证：AB＋BD＝DC证法一：(补短法)如图：延长DB至F，使BF＝BA ∵M为中点 ∴＝， ∴∠1＝∠2－－－①又∵ ＝， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3－－－② 又∵∠3＋∠MBF＝180°－－－③由圆内接四边形对角互补∴∠2＋∠MBA＝180°－－－④由①②③④可得：∠MBA＝∠MBF在△MBF与△MBA中∴△MBF≌△MBA (SAS) ∴MF＝MA， 又∵MC＝MA ∴MF＝MC又∵MD⊥CF ∴DF＝DC ∴FB＋BD＝DC 又∵BF＝BA ∴AB＋BD＝DC (证毕)证法二：(截长法——两种截取方式)如图1：在CD上截取CG＝AB，则有DC＝CG＋DG，再证出BD＝DG即可∵＝ ∴∠1＝∠2－－－① 又∵M是中点， ∴MA＝MC－－－②由①②可知，在△MBA与△MGC中∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴BD＝GD 又∵MD⊥BG ∴BD＝DG ∴AB＋BD＝DC (证毕)如图2：在CD上截取DB＝DG，再证明AB＝CG即可简证：易知△MBG与△MAC均为等腰三角形，且∠1＝∠2，可知△MBG与△MAC构成手拉手模型，∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴AB＝CG常规证明：∵MD⊥BG ∴MB＝MG ∴∠2＝∠MGD－－－①又∵ ＝， ∴∠1＝∠2－－② ∵M是中点，∴＝ ∴∠1＝∠MCA－－③由①②③可得∠MGD＝∠MC， 而∠MGD＋∠MGC＝180°， ∠MCA＋∠MBA＝180°∴∠MGC ＝∠MBA又∵＝， ∴＝在△MBA与△MGC中， ∴△BMA≌△GMC (AAS) ∴AB＝GC∴AB＋BD＝DC（证毕）证法三：(翻折)——证共线如图3：连接MB，MC，MA，AC，将△BAM沿BM翻折，使点A落至点E，连接ME，BE∵△MBA与△MBE关于BM对称，所以△MBE≌△MBA ∴MA＝ME，∠MBA＝∠MBE－－①又∵MA＝MC，∴ME＝MC， 又∵M，B，A，C四点共圆，∴∠MBA＋∠MCA＝180°－－②又∵MA＝MC（已证）∴∠MAC＝∠MCA又∵＝，∴∠MBC＝∠MAC ∴∠MBC＝∠MCA－－－③由①②③得：∠MBC＋∠MBE＝180°∴E，B，C三点共线。又∵ME＝MC，MD⊥CE∴DE＝DC，∴EB＋BD＝DC，又∵△MBE≌△MBA ∴AB＝EB∴AB＋BD＝DC（证毕）证法四：两次全等如图4，连接MB ， MA ， MC， AC ，延长AB，过点M作MH⊥AB于点H，∵M为的中点 ∴AM＝MC，又∵＝ ∴∠HAM＝∠DCM又∵∠MHA＝∠MDC＝90 ∴在△MHA与△MDC中∴△MHA≌△MDC (AAS) ∴CD＝AH－－① MD＝MH在Rt△MHB与RtT△MDB中∴△MDB≌△MHB (HL) ∴BD＝BH 又∵AH＝AB＋BH，∴ AH＝AB＋BD－－②由①②可得DC＝AB＋BD(证毕)证法五：补短法（2）——两次全等如图4，延长AB至H，使BH＝BD，则AB＋BD＝AH，先证△BHM≌△BDM (HL)，再证△MHA≌△MDC (HL)圆的基本模型（五）：平行弦与垂直相交弦，割线定理一、平行弦：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD，∴二、相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在⊙O中，∵弦AC、BD相交于点G，则AG·CG=BG·DG【模型构造】1.当圆中有相互垂直的弦时（I）经常作直径所对的圆周角，可以得到平行弦（II）还可以构造相似（III）当圆中有和弦垂直的线段时，还可以构造平行弦，可得例题：弦CD⊥弦AB，过圆心O作OF⊥BC于F，证AD=2OF练习：（深圳南山区模拟）如图，PC为圆的切线，弦CD⊥弦AB，AD=2,BC=6，求圆的半径【简证】易知：AE∥CD，AD=EC=2,通过勾股定理可知直径EB2.当圆中有相等的弦、弧时（I）等弧时常作辅助线：（1）构造等弦或等角（2）构造平行（II）等弦时常作辅助线：（1）构造等角（2）作弦心距（3）作平行【小试牛刀】试一试看能写出几种证法【证法1】，，，∴∠B=∠D【证法2】【证法3】【证法4】三、割线定理割线PD、PC相交于点P，则圆的基本模型（六）：垂径图一、弧中点与垂径图二、垂径+相等的三段弧如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。（1）证CO∥BD（2）AD＝CE（3）证：P是线段AQ的中点（4）证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB（5）tan∠DBC＝（6）若AD＝8，BD＝6，求AH的值（7）若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长.【简证】（1）（2）(3) 先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP，∴AP＝PQ＝CP（4）CP＝AP，CE＝AD CP CE＝AP AD，△APH △ABD AP AD＝AH AB（5）（6）法一（6）法二（7）找到对应相似三角形是关键补充拓展：垂径图导子母相似如图弦CD⊥直径AB于点G，E是直线AB上一点（不与其他点重合），DE交圆O于F，CF交直线AB于点P（1）证； （2）当点E在AB延长线上时，（1）的结论还成立吗？圆的基本模型（七）：等腰图（直径在腰上）直径在腰上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有【补充】圆心在三线上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有圆的基本模型（八）：双切图补充：多切图(a＋b＋c)·r＝b·h(h可求)圆的基本模型（九）：射影图圆的基本模型（十）：切割图（切线和割线垂直）【例题1】【例题2】【巩固练习1】【巩固练习2】【巩固练习3】【题型1】 弦切角定理与切割线定理【例题1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．(1)求证：是的切线；(2)当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，是的直径，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，，，，连接，平分，，，，是的直径，，．【例题2】(四川泸州中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．（1）求证：∠ACF＝∠B；（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求ADAE的值．【解析】（1）由切线证弦切角相等；∠E＝∠OCE，∠OCE＋∠COA＝∠FCA＋∠OCA∠ACF＝∠B（2）切割线相似求线段长，再找一组相似转换线段积, AD AE= AB AC【例题3】（湖北·黄石中考）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，，，延长交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，求弦的长．【答案】(1)见解析，(2)【分析】（1）连接，由条件可证得，得到，即可得到结论；（2）先证明，得到，求出，，∴，在中，由勾股定理得到，求出弦的长．【详解】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴,∴是的切线；（2）∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，【例题4】（湖北·十堰中考）如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析，(2)7【详解】（1）如图，连接，，是直径，，，，，，，，，，，又是的半径，是的切线；（2）解：，，，，设，则，，，，，即，，，，的半径为7【巩固练习1】如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且．(1)求证：是的切线；(2)若直径，求的长．【答案】(1)详见解析，(2)【详解】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，即，∴是的切线；（2）解：∵，∴，∵在中，∴∴，∴，∵，∴，∴，设，则，又∵，即，解得（取正值），∴【巩固练习2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，求和的长．【答案】(1)见解析(2)，．【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论；（2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得．【详解】（1）证明：延长交于点F，连接，∵，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，即是的角平分线，∵，∴，且平分线段，∵，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）解：连接，∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∴，由（1）得，，设，∴，∴，解得，即，∴，∴，∴，设，则，∵是的切线，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，即，解得【巩固练习3】（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，求证：；(3)若于D，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可；（2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可；（3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可．【详解】（1）如图所示，连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）证明：∵，∴，∴，由（1）知，∴，∴，∴，∴；（3）设，在中，，∴∴∵∴∴∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得，（舍去），故．【巩固练习4】（成都中考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为，△ABC的面积为，求CD的长；(3)在(2)的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若，求BF的长．【思路】（1）弦切角证切线；（2）勾股+射影；（3）共线比构造平行相似+线段计算【答案】（1）连接OC，导角即可；（2）;（3）（3）简证：作易知GE=1OG=2，由（2）可知，可得HO= OF= FG=1，【巩固练习4】【题型2】 中点弧模型【例题1】(苏州·中考)如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．（1）证明：；（2）设交于点，若，是的中点，求的值．【解答】证明：（1）是的直径，，即，，垂直平分，，，又，；（2）连接，，是的中点，是的直径，，，，是的中点，，，，即．【例题2】(深圳·中考)如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【拓展】（4）在（3）的条件下，当CF∥AB时，求FE·FG的值【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），理由见解析.（4）【详解】试题分析：（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到GE GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．（）连接，∵沿翻折后，与重合，∴，∴，∵，∴．（）∵，，∵，，∴，∵，，∵，∴，∴是⊙的切线．（），为定值，连接，，，∵点为的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵为直径，，∴，∴，∴．（4）简证：因为△FAE∽△FGB，所以【巩固练习1】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长【答案】（1）见解析；（2）2 （3）9【分析】（1）通过证明∠BED=∠DBE得到DB=DE；（2）连接CD，如图，证明△DBC为等腰直角三角形得到BC=BD=4，从而得到△ABC外接圆的半径；（3）证明△DBF∽△ADB，然后利用相似比求AD的长．【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠BED=∠1+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠DBE，∴DB=DE；（2）解：连接CD，如图，∵∠BAC=90°，∴BC为直径，∴∠BDC=90°，∵∠1=∠2，∴DB=BC，∴△DBC为等腰直角三角形，∴BC=BD=4，∴△ABC外接圆的半径为2；（3）解：∵∠5=∠2=∠1，∠FDB=∠BDA，∴△DBF∽△ADB，∴，即，∴AD=9【巩固练习2】（山东枣庄·中考）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E． (1)求证：是切线；(2)若，求的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．【答案】(1)见解析；(2)；(3)【分析】（1）连接OC，证明，即可得到结论；（2）连接AC，证明，从而可得，再代入求值即可；（2）连接，证明，从而可得，，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）证明：连接， ∵点C是的中点，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴半径，∴是切线；（2）连接， ∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）连接， ∵，∴，∵在中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴【巩固练习3】（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线．(2)求证：．(3)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；（2）证明，，结合，，再进一步可得结论；（3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案；【详解】（1）证明：如图，连接，∵点为的中点，∴，∵，∴，且OD是的半径，∴DF是的切线；（2）证明：∵点为的中点，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）解：如图，连接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，而，∴，∵四边形为的内接四边形，∴，∴，∴，∴，而，∴，∴，经检验，符合题意【巩固练习4】(江苏无锡·中考)如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，． (1)求的度数；(2)若，求的半径．【答案】(1)，(2)（2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．【详解】（1）如图，连接． 为的切线，．，．，．，．（2）如图，连接，，，．，，且，，，即，，，即半径为【巩固练习5】（2024·云南昆明·一模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．(1)求证：是的切线；(2)当时，求证：；(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)是定值，为200【分析】（1）连接，由直径所对圆周角是直角可得，则，由，可知，根据，可得，进而可证得，即可证明结论；（2）由圆周角定理可知，进而可得，，再证明，结合含的直角三角形即可求解；（3）证明，得到即可．【详解】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，则，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）解：∵，∴，∵，则，∴，∵，∴，则，又∵，∴，∴；（3）是定值，为200，理由如下：∵，∴，∵为直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴是定值，为200．【题型3】 内心模型【例题1】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．(1)若，求的度数；(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；(3)若，，求的周长．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)30【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解．【详解】（1）解：∵是的直径，∴，又，∴，∵四边形是内接四边形，∴，∴；（2）解：，证明：连接，∵点I为的内心，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∴；（3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心．∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点，∴，，，∵，，，∴，∵，，，∴，∴的周长为．【例题2】(广东省·中考)如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图，连接OA，∵AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝BC BE，∵BC BE＝25，∴AB＝5，如图，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．【巩固练习1】已知：如图，在中，E是内心，延长AE交的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F．求证：；当点A在优弧BC上运动时，若，，，求y与x之间的函数关系．【答案】（1）见解析；（2）与x之间的关系式．【分析】首先连接BE，由E是内心，易证得，，又由同弧所对的圆周角相等，证得，则可得，即可证得；首先根据有两角对应相等的三角形相似，证得∽，则可证得：，将已知线段的长代入即可求得x与y的关系式．【详解】连接BE，为内心，，BE分别为，的角平分线，，，，，，弧弧DC，，，；由得，，，为共公角，∽，，，，，，，与x之间的关系式．【巩固练习2】(湖北·孝感中考)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．【分析】（1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF＝∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断DG∥AC；（2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI得到DA＝DI；（3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到AD＝6，则DI＝6，然后计算BD－DI即可．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD－DI＝9－6＝3．【题型4】 线段和差问题（构造手拉手）【例题1】在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是 ．【解答】解法一、、、、四点共圆，，，，平分，，如图，将绕点逆时针旋转得，则，，，，、、三点共线，过作于，，，在中，；解法二、如图，过作于，于，则，点为弧的中点，，，，，，，、、、四点共圆，，在和中，，，在和中，，，，设，，，，，解得：，即，，故答案为．【例题2】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；【深入探究】如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．【启发应用】如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．【答案】初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用：【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得；深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证；启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得．【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，，∴，故答案为：45．深入探究：延长至点，使，连接，∵是等边三角形，∴，由圆周角定理得：，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，又∵，∴．启发应用：如图，延长至点，使，连接，∵四边形是的内接四边形，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，由圆周角定理得：，∴，∴，设，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【例题3】如图，已知是的弦，点是弧的中点，是弦上一动点，且不与、重合，的延长线交于点，连接、，过点作，垂足为，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长；（3）当点在弦上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．【分析】（1）证切线一般先导角（2）通过弧中点所对应的相似模型可以口算（3）可以考虑通过旋转构造出分母的所对应的线段，再通过相似或三角函数得出比值.当然，（3）还有很多方法，比如利用角平分线作垂线求数量关系的话，截长补短也是常见方法，得到的图形与之前旋转法类似，不过辅助线做法不一样除此之外，构造旋转相似也是一种处理方式，这里就不细讲了可以结合图形自行体会【解答】（1）证明：如图，连接，，，交于，，，是等边三角形，，点是弧的中点，，，，，，，，，，，是的切线；（2）解：，，，，，，，；（3）结论：，的值不变．理由：如图，连接，，交于，作交的延长线于，，，由（1）得，，，，，，，，，，，，，，，，，的值不变．【巩固练习1】如图，在⊙O中AB=AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC，∠BAC=120°（1）若AC=4，求⊙O的半径（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。【解析】方法一:如图1,截取DF=DB,作AG⊥DC，易知△黄≌△蓝→CG=FG, ∴DC+DB=2DG=AG=AD方法二:如图2，作AG⊥DG,AH⊥DB,易知△黄≌△蓝(HL)→GC=BH ∴DC+ DB=2DG=AG=AD方法三:如图3,DC至点G，使AG=AD,易证△黄≌△蓝(SAS)→GC=BD ∴DC+ DB=DG =AD【巩固练习2】（吉林长春·中考）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．【答案】感知：；探究：见解析；应用：．【分析】感知：由圆周角定理即可求解；探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．【详解】感知：由圆周角定理可得，故答案为：；探究：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，，∴，，，是等边三角形，，，即；应用：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．，，∴，，，是等腰直角三角形，，，即，，，，，，，故答案为：．【巩固练习3】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．【特殊化感知】（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时，【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解；（2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论；（3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解．【详解】解：∵，，∴是等边三角形，则∵是的外接圆，∴是的角平分线，则∴∵四边形是圆内接四边形，∴∴设交于点，则，设，则在中，∴∴，∵是直径，则，在中，∴∴（2）如图所示，在上截取，∵∴∴是等边三角形，∴，则∴∵四边形是圆内接四边形，∴∴；∵，，∴是等边三角形，则∴，又∵∴在中∴∴，∴即；（3）解：①如图所示，当在上时，在上截取，∵∴又∵∴，则∴即又∵∴∴∴∵∴如图所示，作于点，在中，，∴∴∴，即②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接，∵四边形是圆内接四边形，∴又∵∴，则∴即，又∵∴∴∴，∵同①可得∴∴综上所述，当在上时，；当在上时，．【题型5】 阿基米德折弦定理【例题1】如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，过点M作MD⊥BC垂足为D，求证：CD=AB+BD.（阿基米德折弦定理）【解析】如图,截取AB=CG,=，∴AM=CM，∠A=∠C，∴△ABM≌△CBM(SAS)∴BM=GM， 又∵MD⊥BG，∴BD=GD【例题2】己知:如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于E,易证得:AE=BE,从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。(1) 如图2，PA、 PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,求证: AE=PE+PB(2)如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,则AE、PE、PB之间存在怎样的数量关系 写出结论，并证明。【解析】(1)连接AC,BC,PC,截取AG=PB,易证△AGC≌△BPC（SAS），∴CG=CP∴GE=PE ∴AE=PB+PE（2）法一：连接AC,BC,PC,截取PG=PB，易证△CGP≌△CBP（SAS）,∴CB=CG=CA ∴AE=AG ∴PE=PB+AE法二：易知CP平分∠EPB，作角两边的垂线得到全等（HL），∴PE=PB+AE【巩固练习1】如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB=2，点D为弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于E，求△BDC的周长。【解析】如图,截取BG=DC【巩固练习2】如图，△ABC内接于⊙O，AC＜BC,点D为的中点，求证AD =AC·BC+CD 【解析】如图1所示，截取BG=AC,DH⊥BC,易证HG=HC，∵CD =CH·BC,AD =BD =BH·BC， ∴AC·BC+CD = AC·BC+CH·BC=BH·BC=BD （证毕）【巩固练习3】已知⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，求证PA+PB≤AC+BC【解析】如图所示，截取BG=PA,CH⊥PB→, ∴PA+PB=BG+PB=2BH BH≤BC【巩固练习4】（山西中考）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1,AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA,MB,MC和MG．∵M是的中点，∴=∴MA=MC．（2）如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2，D为⊙O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD,垂足为E，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长．【解析】（1）∵ 又 ，．．又 ，．． （2） 如图，截取 ，连接 ，， .由题意得 ， .在 和 中，..，，则 .，.的周长是21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)【巩固练习5】（深圳·中考）如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC，点D为上的动点，且cos∠ABC=．（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD﹒AE的值是否变化？若不变，请求出ADAE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD,求证：BH=CD+DH．（4）拓展：求DA,DB,DC之间的数量关系【解析】（1）AB=；（2）如图2,∠1=∠2=∠3→AD·AE=AC =10；（3）如图3，截取BG=DC，易知△ABG≌△ACD→GH=DH，∴BH=BG+GH=DC+HD（4）DB=DC+DA【巩固练习6】已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．【解析】如图，延长DC，使CG=BC，易得∠5=∠4，∠1=∠2=∠3 ∴BM=GM=AM ∴MN⊥AB∴MN是△ABC外接圆直径（逆定理）【巩固练习7】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接AD、CD。作AE⊥BD与点E，若AE=3，DE=1，求△ACD的面积【解析】如图2，截取BG=DC，易证△ACD≌△ABG（SAS） ∴BG=DC=AD= ∴S△ACD=【巩固练习8】如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=3，cos∠ABC=，D是劣弧AC上一点，且AD=2CD，求BD的长为.【解析】如图1,截取BG=DC,作AH⊥BD,易证△ACD≌△ABG（SAS）→GH=HD→∠ADH=∠ACB=∠ABC如图2，设HD=a，则BG=2a,AH=, ∴15a +9a =9→a= ∴BD=【巩固练习9】如图， PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA=6，OB=2,，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．（1）证明：AD=AC（2）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．【解析】【详解】（1）t2-8t+12=0，解得：t=2或6，即OA=6，OB=2，即点A、B的坐标为（-6，0）、（0，2），设点P（-6，），由PA=PB得：36+（2+）2=（）2，解得：k=-60，故点P（-6，10），故答案为：6，2，-60；（2）当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，∵AM2=AO2+OM2，∴AM2=36+（AM-2）2，∴AM=10=BM∴点M坐标为（0，-8）设直线PM的解析式为：y=kx-8∴10=-6k-8∴k=-3∴直线PM的解析式为：y=-3x-8∴设点Q（a，-3a-8）（a＞0）∵MQ=10=∴a=∴点Q坐标为（，-3-8）故答案为：（，-3-8）（3）是定值，理由：连接CD，过点P作PH⊥y轴，∵tan∠PBH===tan∠DBC，则cos∠DBC=，∴BD-BC=2r-2rcos∠DBC=2r（1-）=4【题型6】 平行弦与相交弦，垂直线，割线模型【例题1】如图，半圆O的直径，延长到A，直线AD交半圆于点E，D，且，求的长．【答案】2【详解】解：连接，则：，∵，∴，∴，∴，∵，∴，设，则：，∴，整理得，解得（不合题意，舍去）．∴．【例题2】（2024·广东中山·模拟预测）如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，．(1)求的半径r的长度；(2)求(3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值【答案】(1)5(2)(3)16【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题；（2）只要证明，求出即可；（3）由，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题．【详解】（1）解：如图1中，连接，，，在中，，，∴，．（2）解：如图1中，连接．，是直径，，，，，．（3）解：如图2中，连接．是直径，，，，，，∴，，，∵，∴，∴，，．【巩固练习1】（苏州·中考）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）分别证明，，从而可得结论；（2）求解，，可得，证明，设，则，，证明，可得，可得，，，从而可得答案．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∵，∴．（2）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，，∵，，∴，∴，∴，则，∴，∴，∴【巩固练习2】如图，和是的半径，并且，是上任意一点，的延长线交于点，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）当时，试确定的取值范围；（3）求证：【答案】（1）证明过程见详解；（2）15°≤∠B＜45°；（3）证明过程见详解【分析】（1）连接OQ．欲证明RQ是⊙O的切线，只要证明∠OQR＝90°．（2）分别考虑当AR＝OA时或与A重合时，∠B的度数，从而确定其取值范围．（3）如图2先证明，从而得到，整理即可得到；【详解】解：（1）证明：连接OQ．∵OA⊥OB，∴∠2+∠B＝90°，∵OB＝OQ，∴∠B＝∠4，∵RP＝RQ，∴∠1＝∠3＝∠2，∴∠3+∠4＝90°，∴OQ⊥RQ，∴RQ是⊙O的切线．（2）如图1中，①当点R与A重合时，易知∠B＝45°．②当AR＝OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR＝90°，OR＝2OQ，∴∠R＝30°，∵RQ＝RP，∴∠RPQ＝∠RQP＝75°，∴∠OPB＝75°，∴∠B＝90°﹣∠OPB＝15°，综上所述，15°≤∠B＜45°．（3）如图2中，延长交于点M，连接BM，AQ，，，，，．【巩固练习3】如图，线段是的直径，弦于点H，点是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连结交于点F，则 ， ．【答案】【分析】连接，设，在中，利用勾股定理求出；由，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题．【详解】解：连接．∵，∴，设，则，在中，∵，∴，∴，即；连接．∵是直径，∴，，，，，故答案为：，【巩固练习4】（湖南张家界·中考）如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）连接，根据圆周角推论得，根据点是的中点得，，用ASA证明，即可得；（2）根据题意和全等三角形的性质得，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质得，即可得【详解】（1）证明：如图所示，连接，为直径，，又点是的中点，，在和中，，，；（2）解：，，，又四边形内接于圆，，又，，又，，，即：，解得：，【题型7】 垂径图【例题1】如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【解答】（1）证明：，，，，，；（2）连接，，，，，，，，，即，解得，，是直径，，，的半径为．【例题2】如图，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．【解答】解：（1）为弦的中点，是半径，，即，，又，，又，，，，即，是半径，是的切线；（2）为弦的中点，，是半径，，在中，，又，，，，即，解得，，．【巩固练习1】如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为＝．（1）求证：AF＝CF；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长．【分析】（1）连接BC、AC，先由等弧所对的圆周角相等得出∠B＝∠CAE，再根据同角的余角相等证明∠B＝∠ACD，进而得到∠CAE＝∠ACD，最后利用等角对等边得到结论AF＝CF；（2）连接AC、OE、OC、BC，设CO与AE交点为G，先由垂径定理的推论得出OC⊥AE，EG＝AG＝＝4，再利用AAS证明△EGO≌△CDO，得出OG＝OD，在△OEG中根据勾股定理求出OG＝3，则OD＝3，CG＝AD＝2．设GF＝x，则CF＝AF＝4－x，然后在△CGF中利用勾股定理列出方程＝解方程求出x的值，进而得到EF的长．【解答】(1)证明：如图，连接BC、AC，∵＝∴∠B＝∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACD＋∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴∠CAE＝∠ACD，∴AF＝CF；(2)解：连接AC、OE、OC、BC，设CO与AE交点为G，则OC⊥AE，EG＝AG＝＝4．∵＝∴∠COE＝∠COA，即∠GOE＝∠DOC，又∠OGE＝∠ODC＝90°，OE＝OC，∴△EGO≌△CDO(AAS)，∴OG＝OD．在△OEG中，∵∠OGE＝90°，OE＝5，EG＝4，∴OG＝＝3，∴OD＝OG＝3，CG＝AD＝2．设GF＝x，则CF＝AF＝4－x，在△CGF中，∵∠CGF＝90°，∴＝即＝解得x＝1.5，∴EF＝EG＋GF＝4＋1.5＝5.5．【巩固练习2】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．(1)求证：；(2)延长至点，使，连接．①求证：是的切线；②若，，求的半径．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析，②的半径为．【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论；（2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解，，结合，可得答案．【详解】（1）证明：如图，连接，∵点是的中点，∴，∴，∵，为的直径，∴，∴，∴，∴．（2）证明：①∵为的直径，∴，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，，而，∴，∴，∴，∵为的直径，∴是的切线；②∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的半径为．【巩固练习3】（四川绵阳·中考）如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．（1）求证：；（2）若，求的长．【解答】证明：（1）是的中点，，是的直径，且，，，，在和中，，；（2）解法一：如图，连接，设的半径为，中，，即，中，，即，，，，，即，解得：（舍或3，，；解法二：如图，过作于，连接、，，，，，，，，，，，，，，是的直径，，，，，，，．解法三：如图，连接，交于，是的中点，，，，，，，，，，，．【题型8】 等腰图【例题1】（成都·中考）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． (1)求证：；(2)若，求和的长．【答案】(1)见解析，(2)，【分析】（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答；（2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：过点作的垂线段，交的延长线于点F，证明，求出的长，根据勾股定理即可解出的长；解法二：连接,得到角相等，进而证得，根据对应边成比例即可解出的长．【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：设，是的直径，，，，即，根据（1）中的结论，可得，根据勾股定理，可得，即，解得，（舍去），，,根据勾股定理，可得；解法一：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F， ，，，，即，，，，，，，设，则，，可得方程，解得，，，根据勾股定理，可得．解法二：如图，连接, ，，，，又，，，，．【例题2】（四川宜宾·中考）如图，线段经过的圆心O，交于A、C两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点E，连接交于点M．（1）求证：直线是的切线；（2）求的半径的长；（3）求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）.【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求出，求出，根据切线的判定推出即可；（2）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；（3）连接，根据为直径，得，由（2）得到，，根据三角形等面积求出，根据勾股定理得到，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）∵，，∴，∵，∴，∴的半径的长为1；（3）如图，连接， ∵为直径，，由（2）知的半径，，∴，∵∴，∴．【巩固练习1】（黄冈·中考）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． (1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析，(2)【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明；（2）连接，证明，在中，，求得，根据得出，进而可得，根据，即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵以为直径的交于点，是的切线，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴；（2）解：连接，如图，则， ∴，∴，∴，在中，，∴，∴，又∵是直径，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【巩固练习2】（辽宁营口·中考）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见详解，(2)【分析】（1）连接，，根据圆周角定理证明，再根据“三线合一”证明平分，即有，进而可得，根据，可得，问题得证；（2）先证明，，即有，在中结合勾股定理，可求出，即同理在中，可得，进而有， ，即，证明，即有，即，问题即可得解．【详解】（1）连接，，∵为的直径，∴，∴，∵在中，，∴平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴半径，∴为的切线；（2）∵在中，，∴，在（1）中，，，∴，∵，∴，∵在中，，，∴，∴，解得：（负值舍去），即同理在中，可得，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，即，∴，解得：（经检验，符合题意），即．【巩固练习3】（江苏无锡·校联考一模）如图所示，在中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线．(2)若EB＝6，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段AE的长．【答案】(1)见解析，(2)半径为15，AE=24【详解】（1）解：连接OD，如图所示：∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．（2）解：在Rt△ODF中，sin∠OFD=，设OD=3x，则OF=5x，∴AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中，∵sin∠AFE=，∴AE=，∵BE=AB－AE=，∴BE==6，解得：，∴AE=，OD=3×5=15，∴AE=24，半径为15．【巩固练习4】（广西玉林·中考）如图，在中，，，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．（1）求证：EF是△的中位线；（2）求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）连接AE，根据切线的性质求出OE是的中位线，即可进行证明；（2）根据勾股定理与中位线的性质即可求解.【详解】（1）证明：连接AE，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴，∴，，∵，∴，∵EF是⊙O的切线，∴，∵，∴OE是的中位线，∴，∴，∴，∵，∴，∴EF是的中位线；（2）解：∵，∴，∵的面积，∴，∵EF是的中位线，∴．【巩固练习5】（四川眉山·中考）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析，(2)【详解】（1）证明：如图，连接， ，，平分，，，，,,是的切线；（2）解：设，则，，解得，，，根据勾股定理可得，,，是直径，，，，，，，． 【巩固练习6】（孝感·中考）如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）已知，，求和的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】分析：（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得，由此构建方程即可解决问题；详解：（1）如图，连接OD，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，又∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DG⊥AC，∴OD⊥FG，∴直线FG与⊙O相切，即DF是⊙O的切线；（2）如图，连接BE．∵BD=2，∴CD＝BD＝2，∵CF=2，∴DF==4，∴BE=2DF=8，∵cos∠C=cos∠ABC，∴，∴，∴AB=10，∴AE=，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥GF，∴△AEB∽△AFG，∴，∴，∴BG=．【巩固练习7】（湖南娄底·一模）如图，在中，平分，交于点．是的直径，连接、过点作，交于点，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若的半径为5，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接，为的直径得，由，根据等腰三角形性质得平分，即，则为的中位线，所以，而，则，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）利用两角对应相等的两三角形相似证明，由相似三角形的性质可得出答案；（3）由，根据等角的余角相等得，在中，利用解直角三角形的方法可计算出，在中可计算出，然后由，得，再利用相似比可计算出．【详解】（1）证明：连接，如图，∵为的直径，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴为的中位线，∴，∵，∴，又∵是半径，∴是的切线（2）证明：∵是的切线，∴，∵，，，∵是的直径， ∴，，，，，∴，；（3）解：，，，设在中，∴解得：（舍去），在中，，，∵，，∴，即，．【题型9】 双切图【例题1】（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证；（）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解．【详解】（1）证明：连接，则，，，，，．是的半径，是的切线；（2）解：设的半径为，则，∵，∴，在中，，，解得，，，，，的长为．【例题2】（武汉·中考）如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=，求sinE的值.【答案】（1）证明见解析；（2）sinE=.【分析】（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO=90°即可；（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到，设OC=t，则BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．【详解】(1)连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∵OA＝OB，OP⊥AB于C，∴BC＝CA，PB＝PA，∴△PBO≌△PAO，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴PB为⊙O的切线；（2）连接AD，∵BD为直径，∠BAD=90°，由（1）知∠BCO=90°，∴AD∥OP，∴△ADE∽△POE，∴，由AD∥OC得AD=2OC，∵tan∠ABE=，∴，设OC=t，则BC=2t，AD=2t，∵∠OBC+∠CBP=∠OBP=90°，∠BOC+∠OBC=90°，∴∠BOC=∠PBC，又∵∠BCO=∠PCB=90°，∴△PBC∽△BOC，∴，∴PC=2BC=4t，∴OP=PC+OC=5t，∴，可设EA=2a，EP=5a，则PA=3a，∵PA=PB，∴PB=3a，∴sin∠E==.【例题3】如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长【答案】（1）见解析；（2）BE的长为．【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA= ，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到，求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长．【详解】解：（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：由（1）得CD是的切线，又为的切线，，，，．又，．，，，．，，．在中，设，则，，由勾股定理得，解得．即BE的长为．【巩固练习1】（四川泸州·中考）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，∴AC=AD，∵OC=OD，∴OA⊥CD，∴CD⊥OA，∵CF是直径，∴∠CDF=90°，∴DF⊥CD，∴DF∥AO．（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴BC==8，∴AD=AC=6，∴BD=AB-AD=4，∵BD2=BF BC，∴BF=2，∴CF=BC-BF=6．OC=CF=3，∴OA==3，∵OC2=OE OA，∴OE=，∵EM∥AC，∴，∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，∴，∴CG=EM=2．【巩固练习2】（四川乐山·中考）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，．求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】(1)连接OD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD.∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD，BC＝6，∴CD＝4.∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC，∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝(4＋BE)2，解得BE＝【巩固练习3】（广东省·中考）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【详解】【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；（2）根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB=，证OE为中位线知OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得DE==2a，在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；（3）先证△AFD∽△BAD得DF BD=AD2①，再证△AED∽△OAD得OD DE=AD2②，由①②得DF BD=OD DE，即，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．【详解】（1）如图，连接OC，在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO=∠CDO，又AD=CD，∴DE⊥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；（2）∵tan∠ABC==2，∴设BC=a、则AC=2a，∴AD=AB=，∵OE∥BC，且AO=BO，∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，在△AED中，DE==2a，在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，∴AO2+AD2=OD2，∴∠OAD=90°，则DA与⊙O相切；（3）如图，连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴，即DF BD=AD2①，又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴，即OD DE=AD2②，由①②可得DF BD=OD DE，即，又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∴，∵BC=1，∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，∴，∴EF=.【巩固练习4】（四川·乐山中考）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所对的圆周角是直角得同位角相等。（2）在Rt△OQA中，由勾股定理得QA＝4，在Rt△PBQ中，由勾股定理得PA＝＝PB＝6，因此FD＝3，BF＝AF＝又由中位线定理FD∥AP得，FE：EA＝3：4，因此设AE＝4t,则EF＝3t，BF＝10t，所以AE：BE＝2：5.（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，∴PA＝PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．∵BC是直径，∴∠CAB＝90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；（2）解：连结OA、DF，如图，∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，∴∠OAQ＝∠PBQ＝90°．在Rt△OAQ中，OA＝OC＝3，∴OQ＝5．由QA2＋OA2＝OQ2，得QA＝4．在Rt△PBQ中，PA＝PB，QB＝OQ＋OB＝8，由QB2＋PB2＝PQ2，得82＋PB2＝（PB＋4）2，解得PB＝6，∴PA＝PB＝6．∵OP⊥AB，∴BF＝AF＝AB．又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF＝PA＝3，∴△DFE∽△QEA，∴，设AE＝4t，FE＝3t，则AF＝AE＋FE＝7t，∴BE＝BF＋FE＝AF＋FE＝7t＋3t＝10t，∴【巩固练习5】（四川遂宁·中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）求证：＝．（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45【分析】（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．（2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．（3）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝＝12，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OE，OP，∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，∴AB垂直平分EP，∴PB＝BE，∵OE＝OP，OB＝OB，∴△BEO≌△BPO（SSS），∴∠BEO＝∠BPO，∵BP为⊙O的切线，∴∠BPO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠OEA，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∴．（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，∴EP⊥AB，∵CG⊥AB，∴CG∥EP，∵∠ACB＝∠BEO＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAQ＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AQE（AAS），∴CE＝QE，∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，∴∠CEH＝∠AHG，∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH，∴CH＝CE，∴CH＝EQ，∴四边形CHQE是平行四边形，∵CH＝CE，∴四边形CHQE是菱形，∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，∵AC＝15，∴AG＝9，∴CG＝＝12，∵△ACE≌△AQE，∴AQ＝AC＝15，∴QG＝6，∵HQ2＝HG2+QG2，∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，解得：HQ＝，∴CH＝HQ＝，∴四边形CHQE的面积＝CH GQ＝×6＝45．【巩固练习6】（武汉·中考）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB，（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）如图，连接OP、OB，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°，∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO=∠PBO=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）如图，连接BC，设OP交AB于K，∵AB是直径，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵PA、PB都是切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∵OA=OB，∴OP垂直平分线段AB，∴OK∥BC，∵AO=OC，∴AK=BK，∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，∴BC=PB=PA=2a，∵△PAK∽△POA，∴PA2=PK PO，设PK=x，则有：x2+ax﹣4a2=0，解得x=（负根已经舍弃），∴PK=，∵PK∥BC，∴.【题型10】 射影图【例题1】如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过圆心O作AC的平行线OE，交BC于点E，连接DE并延长交AB的延长线于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若BF＝1，DF＝3，求⊙O的半径；(3)若DC＝DE＝1，求AD的长．【答案】(1)见解析；(2)⊙O的半径为4；(3)【分析】（1）连接OD，BD，由圆周角定理及平行线的性质证出∠ODE＝∠OBE＝90°，则可得出结论；（2）设OB＝OD＝x，则OF＝1+x，由勾股定理得出方程x2+32＝（1+x）2，则可得出答案；（3）求出∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵OE∥AC，OA＝OB，∴BE＝CE，∴DE＝BE＝CE，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线；（2）设OB＝OD＝x，则OF＝1+x，∵OD2+DF2＝OF2，∴x2+32＝（1+x）2，∴x＝4，∴⊙O的半径为4．（3）由（1）知DE＝CE＝BE＝1，∵DC＝1，∴DCBC，∴∠CBD＝30°，∴BD，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BD＝2，∴AD3．【例题2】（安徽·统考一模）如图，中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接．（1）求证：与相切；（2）求证：；（3）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）连接，首先根据圆周角定理的推论得出，然后利用直角三角形斜边中线的性质及等量代换即可得出，进而结论可证；（2）首先证明，得出，则，然后利用三角形中位线的性质得出，进而结论可证；（3）首先根据DE的长度求出BC的长度，然后利用三角函数分别求出CD，AC的长度，最后利用求解即可．【详解】（1）证明：如解图，连接，∵为的直径，∴，∴．在中，E是的中点，∴，∴．∵，∴，∴．∵为的半径，∴与相切；（2）证明：在中，，在中，，∴．又∵，∴．∴．∴．∵O是的中点，E是的中点，∴．∴；（3）解：由（1）知，，又∵，∴，在中，，∴．在中，，∴，∴．【巩固练习1】（成都·一模）如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE. （1）求证：DE是的切线；（2）设的半径为r，证明；（3）若，求AD之长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）由E为BC的中点，O为AB的中点，得到OE是△ABC的中位线，进而得到OE∥AC．再由平行线的性质及等腰三角形的性质可证∠1=∠2，即可得到△ODE≌△OBE，根据全等三角形对应角相等即可得到结论；（2）证明△ADB∽△OBE，由相似三角形对应边成比例即可得到结论；（3）根据切线长定理得到BE=DE=4．由OE∥AC，得到∠4=∠C，则，解直角三角形OBE可得OB，OE的长，代入（2）中结论，即可得出AD的长．【详解】（1）∵AB⊥BC，∴∠OBC=90°．∵E为BC的中点，O为AB的中点，，∴∠1=∠ODA，∠2=∠A．∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠1=∠2．∵OD=OB，∠1=∠2，OE=OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE=∠OBE=90°，∴DE为的切线；（2）∵∠2=∠A，，，，，因此，；（3）∵DE、BE是⊙O的切线，∴BE=DE=4．又∵，，，∴．设OB=3x，则OE=5x，BE=4x．∵BE=4，∴x=1，∴OB=3，OE=5．又由（2）得：，即：，． 【巩固练习2】如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点，连接． (1)求证：是的切线；(2)连接，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，，由为圆的直径，得到为直角，可得出三角形为直角三角形，为斜边的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到，利用等边对等角得到一对角相等，再由，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形中两锐角互余，利用等角的余角相等得到与互余，可得出为直角，即垂直于半径，可得出为圆的切线；（2）连接，由为的中点，为的中点，即为三角形的中位线，可得出等于的一半，接下来求出，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由一对角为公共角，一对直角相等，得到三角形与三角形相似，由相似得比例将，，及的长代入求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即可得出的长．【详解】（1）证明：连接，，为圆的直径，，在中，为斜边的中点，，，∵，，，即，，即，，又为圆的半径，为圆的切线； （2）解：连接，在中，，，根据勾股定理得：，，，，∴,即，解得：，在中，根据勾股定理得：，为的中点，为的中点，为的中位线，则． 【巩固练习3】（湖南永州·中考）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G． (1)求证：是的切线；(2)若，求的长；(3)若，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证；（2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长；（3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切线；（2）∵，，∴，∴，∴，解得或3，当时，，当时，，∵，即，∴；（3）证明：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【巩固练习4】（四川广安·中考）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线．(2)若，求的长．(3)求证：．【答案】(1)见详解(2)(3)见详解【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可；（2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可；（3）证明即可得出结论．【详解】（1）证明：连接， 在中，，是的直径，即，在中，点是的中点，，又，，，在上是的切线．（2）解：由（1）中结论，得，在中，，，，，，，；（3）证明：，，，，，，由（1）中结论，得，，，即．【题型11】 切割图【例题1】（四川凉山州中考倒数第二题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．【解答】（1）等腰+角平分线得平行线；（2）A字相似（1）∠1=∠3=∠2AC∥OE∠OEC=∠C=90°（2）设OB=5k，则AO=3k=3， 易得【例题2】（云南中考倒数第二题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若，BE＝3，求DA的长．【解答】（1）弦切角证切线；（2）A字相似导边【巩固练习1】（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键．（1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得；（2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到．【详解】（1）证明：∵连接，则，∴，∵点是的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切线；（2）解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【巩固练习2】（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明；（2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到．【详解】（1）解：连接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，即，∵是的半径∴是的切线；（2）解：连接，∵，∴在中，，由勾股定理得：∴，∵在中，，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【巩固练习3】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线乖直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)直线BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值.【解析】(1)略；(2)∵cos∠CAD＝＝，设AD＝4，AC＝5，则CD＝3，设OC交BE于点M，易证矩形DCME，设AE＝x，则DE＝4－x＝CM，CD＝3＝EM＝BM，易证OM＝AE＝x，∴OC＝x＋4－x＝4－ x，∴AB＝2CO＝8－x，在△ABE中，(8－x)2＝62＋x2，∴x＝，∵AD∥OC，∴△AEF∽△CMF，∴＝＝.【巩固练习4】如图1，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，点D在⊙O上，过点C的切线CE⊥BD于点E，直径DF交AC于点M.(1)求证： ＝ ；(2)如图2，若＝，求tan∠BAC的值.【解析】(1)连接OC，BF.∵DF是直径，∴∠DBF＝90°＝∠E，∴EC∥BF.∵CE与⊙O相切于点C，∴OC⊥EC，∴OC⊥BF，∴ ＝；(2)连接AF，设OC与BF相交于点H.易证AF∥BD∥OC，∴△AMF∽△CMO，∴＝＝，∴可设AF＝6a，则OC＝OB＝5a，OH＝AF＝3a，∴CH＝OC－OH＝2a，BH＝＝4a.∵ ＝，∴∠BAC＝∠CBF，∴在Rt△BCH 中，tan∠BAC＝tan∠CBH＝＝＝.【巩固练习5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的⊙O经过点D，与AB交于点E.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若cos∠ABC＝，AE＝4，求CD的长.解：(1)连接OD，证OD∥AC；(2)过点O作OG⊥AC于点G，则四边形ODCG是矩形，∠B＝∠AOG，在Rt△AOG中，cos∠AOG＝cosB＝＝，∴OG＝OA＝，∴CD＝OG＝.【巩固练习6】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接BD.(1)求证： ＝；(2)若cos∠CAD＝，求tan∠BDC的值.解：(1)略；(2)连接BE，OC，BE交OC于点M，设AD＝4，AC＝5，则CD＝3＝EM＝BM，设OM＝x，则AE＝2x，∴DE＝CM＝4－2x.∴OC＝OB＝4－x，∴在Rt△OMB中，(4－x)2＝x2＋32，∴x＝OM＝，AE＝2OM＝，∴DE＝AD－AE＝，∴tan∠BDC＝tan∠DBE＝＝.【巩固练习7】如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上的一点，AD垂直于经过点C的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，AC与OD相交于点G.(1)求证：＝；(2)若＝，求tan∠ODE的值.解：(1)连接OC，则OC∥AD，∴△EOC∽△EAD，△GOC∽△GDA，∴＝＝；(2)过点O作OH⊥AD于点H，由(1)知：＝＝.设OC＝OA＝3a，则AD＝4a，∵四边形OCDH是矩形，∴OC＝DH＝3a，OH＝CD，∴AH＝AD－DH＝a，∴OH＝CD＝＝2a，∴在Rt△OCD中，tan∠ODE＝＝＝.【题型12】 圆与三角函数综合【例题1】(四川自贡中考)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD.(1)求证:∠DAE=∠DAC；(2)求证:；(3)若，，求EF的长.【分析】（1）导角；（2）证明△DFA∽△CDA即可；（1）（2）（3） 思路1：三角形三边之比＋相似导比或者垂径定理可知思路2：倍半角模型易知，延长AF至点F使AG＝AB，设AF＝m，，则有，不难算出AE和AB，再进一步算出AF，作差即可．思路3：角平分线作垂直＋射影定理模型导角如图，作DH⊥AB，设OH＝t，连接BF，DO，易知∠PDH＝∠C，且AE＝AH＝5t，AF＝2t，勾股定理可得t＝2，则EF＝6【巩固练习1】(2023·新疆 )如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析。 (2)【分析】（1）连接，根据，得出，由，得出，根据已知条件得出，证明，结合已知条件可得，即可得证；（2）连接，根据已知条件得出，，得出，证明，得出，，进而求得，，根据，求得，进而即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵，∴，∵，∴∵，∴，∴∴∵∴∵是半径，∴是的切线；（2）解：如图所示，连接， ∵，，设，则∴，∴，即解得：，∵，∴∵∴，∴，∵是直径，∴，∴，∴，又，∴，∴,，∴，∴，解得：，∴∴，∵是的直径，∴，∵，∴∴，∴，∴，设，则，∴，∵,,∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴【巩固练习2】(四川遂宁·中考)如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)当，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6【分析】（1）连接，，根据圆心角，弦，弧的关系可得，根据直径所对的圆周角是90度可得，半径相等可得，根据等腰的判定可得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据平行线的判定和性质可得，即可证明；（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，，推得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求证；（3）令与交于点，根据正弦的定义可求得，，根据勾股定理可求得，，根据矩形的判定和性质可得,，根据相似三角形的判定和性质可求得,即可求得．【详解】（1）连接，，如图： ∵，∴，∵四边形内接于，为的直径，∴，∴，∴是等腰三角形，又∵，∴垂直平分，∵，∴，∴，即是的切线；（2）连接，如图： ∵∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∴，即，又∵，∴；（3）令与交于点，如图： ∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，，∵，，，∴四边形为矩形，∴,∴∵，∴，∴即，∴,∴【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，．求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证；（2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；（3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解．【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到，∴，∵为的直径，是切线，∴，∴；（2）解：∵是切线，∴，∵为的直径，∴，∴，∵由折叠可得，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∴，又∵，∴，∴，即；（3）解：∵，设，则，∴，∴，∵由折叠可得，∴，∵在中，，∴，∵，，∴，∴．【巩固练习4】（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：与相切；(3)若，，求的半径．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可；（2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论；（3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点，∴，，又∵，，∴，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形；（2）证明：如图，连接，∵，为中点，∴，∴过圆心，∵，∴，而为半径，∴为的切线；（3）解：如图，过作于，连接，∵，∴，设，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，设半径为，∴，∴，解得：，∴的半径为．【巩固练习5】【题型13】 圆与相似综合【例题1】（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．(1)求证：是的切线；(2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是的切线；（2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】（1）证明：连接，，，，，而是的直径，，，，是的切线；（2）解：设，，，，，在中，，，，又，，，设，，，，，则，解得：经检验是所列方程的解，．【例题2】（山东泰安中考最后1题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．(1)求证：CD＝ED ;(2)AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CF＝CH，如图2，求证：；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3．求AC的值．图1 图2 图3【解析】（1）法1：等腰+圆内接四边形导角；法2：直角三角形+等腰（斜边上的中线逆用）法3：垂径定理得中点+分线段成比例得到D为BE中点（2）等量代换CF＝CH提取△AFO和△AHC，即证（3）思路①：勾股+面积法求垂线段易知AB=AE=4，AD=，,故AC=.思路②：通过倍半角构造求三角函数值如图，在Rt△ABD中，在AD上取一点G，使AG＝BG，向内构造等腰△ABG显然∠BGD＝2∠A，设AG＝BG＝x，由勾股定理可得，可得，则，故．③官方答案：双勾股连接OD交BC于G，设OG＝x，则HD＝2－x，则有，∵AC＝2OG，故AC＝法④：相似【巩固练习1】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．(1)求证：；(2)若，，，求的长和的直径．【答案】(1)见详解；(2)，．【分析】（1）先证明，然后利用对应边成比例，即可证明；（2）利用，知道，从而推出，结合，知道，推出，接下来证明，那么有，即，不妨设，代入求得的长度，不妨设，在和中利用勾股定理求得和的长度，最后利用，求得的长度，然后再利用勾股定理求得的长度．【详解】（1）是的直径又（2）由（1）可知，不妨设，那么，不妨设，那么在中，，，在中，，的直径是．【巩固练习2】（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F．(1)求证：；(2)过点C作于点G，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质推出，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，，据此即可证明；（2）由勾股定理得，利用等面积法求出，则，同理可得，则，进而得到；如图所示，过点C作于H，则，证明，求出，则；设，则，证明，推出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∴，∴；∵是的切线，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，同理可得，∴，∴；如图所示，过点C作于H，则，由（1）可得，∴，∴，即，∴，∴；设，则，∵，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴．【巩固练习3】（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点．(1)求证：是切线；(2)求证：；(3)若是中点，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接，由切线的性质可知．证明得出，即，说明是圆O的切线；（2）证明得出，整理得；（3）设，则．由勾股定理求出x的值，得出．由，可设，则，，即可求出，从而得出，解出y的值，即可求出，即半径为．由直角三角形斜边中线的性质得出，结合等边对等角，得出，进而可证，得出，代入数据，即可求出，最后由求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，与圆相切于点，，即，，，，即，是圆的切线；（2）证明：，．，．又，，，；（3）解：，，设，则．，，解得：舍去负值，．，，设，则，，，解得：，，即半径为．是中点，，．，，，，，即，解得：，．【巩固练习4】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，， (1)求证：是切线；(2)求；(3)求的值．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）连接，圆周角定理结合角平分线，推出，直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，根据，得到，即可得证；（2）先证明，得到，求出的长，进而求出的长，求出的长，再利用正弦的定义进行求解即可；（3），得到，设，，勾股定理求出的值，推出，进而得到，求出的长，设，，勾股定理求出的值，即可．【详解】（1）证明：连接， 是的平分线，．，．． ，， ． ，．在上，是的切线．（2）解：，．，又，． 又，．．，，，则．，则=2.5．，．（3）解：，．设，，，，即．．．．．，．．．在中，设，，，即，∴=【巩固练习5】（2024·四川德阳·二模）如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N．(1)求证：是的切线；(2)求的度数；(3)若点N是的中点，且，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）连接；由E是弧的中点得，再由半径相等得，从而得，则；再由即可证明；（2）由平分及，得；再直径对的圆周角是直角，得的度数，从而求得的度数；（3）由（2）的证明得，由N为中点得；从而可证明，由此求得，进而求得；再证明，求得，进而求得，最后由勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，连接；∵E是弧的中点，，，，，，，，，是的切线；（2）解：∵平分，，又，，，，是的直径，，，；（3）解：，，，∵点N是的中点，，，，∴，∴，，，，，∴，∴，，，．2025届中考复习专题04:圆的常考模型归纳【题型1】 弦切角定理与切割线定理 24【题型2】 中点弧模型 28【题型3】 内心模型 32【题型4】 线段和差问题（构造手拉手） 35【题型5】 阿基米德折弦定理 39【题型6】 平行弦与相交弦，垂直线，割线模型 44【题型7】 垂径图 47【题型8】 等腰图 50【题型9】 双切图 53【题型10】 射影图 57【题型11】 切割图 60【题型12】 圆与三角函数综合 64【题型13】 圆与相似综合 67圆的基本模型（一）：圆幂定理1.弦切角与切割线弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所夹的弧所对的圆周角∠22.圆幂定理① 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。② 切割线定理：从圆外点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。③ 割线定理（推论）：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。【统一归纳】：过任意不在圆上的一点P引两条直线l1、l2，l1与圆交于A、B（可重合，即切线），l2与圆交于C、D（可重合），则有【模型图解】相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理PA·PB=PC·PD PA·PB=PC·PD PA =PC·PD PA =PC统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点A、B、C、D,则有圆幂定理:过一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值（定值称做点P对的“幂”，等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）【问题】求证（点在圆外）【证明】由切割线定理推论得：PA·PB=PC·PD，又∵PC·PD=(PH―CH)(PH+CH)=PH ―CH =(OP ―OH )―(r ―OH )= OP ―r 【例题】如图，已知PAB是⊙O的割线，PO=14cm，PA=4cm，AB=16cm。求⊙O的半径。【证明】由得，r = OP －PA·PB=132, ∴r=圆的基本模型（二）：中点弧模型点P是优弧AB上一动点，则【简证】∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似【补充】⑥PE PC＝PA PB，注意：⑥不能反推出前五项【例】如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则 ．易知，则，圆的基本模型（三）：内心模型与等腰【模型讲解】外接圆+内心 得等腰如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，则DI＝DC＝BD【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理）1.中点弧与旋转【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.2.常见结构（1）圆内接等边三角形结论：，可构造做角平分线或构造手拉手模型【简析】（2）圆内接等腰直角三角形（正方形）情况一：有角平分线情况二：无角平分线截长补短构造手拉手——旋转相似，一转成双在AP上取一点Q，使BP=BQ,,【旋转六法】补充【托密勒定理】：秒杀！（选填可用）3.阿基米德折弦定理【模型解读】【问题】：已知M为的中点，B为上任意一点，且MD⊥BC于D．求证：AB＋BD＝DC证法一：(补短法)如图：延长DB至F，使BF＝BA ∵M为中点 ∴＝， ∴∠1＝∠2－－－①又∵ ＝， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3－－－② 又∵∠3＋∠MBF＝180°－－－③由圆内接四边形对角互补∴∠2＋∠MBA＝180°－－－④由①②③④可得：∠MBA＝∠MBF，在△MBF与△MBA中∴△MBF≌△MBA (SAS) ∴MF＝MA， 又∵MC＝MA ∴MF＝MC又∵MD⊥CF ∴DF＝DC ∴FB＋BD＝DC 又∵BF＝BA ∴AB＋BD＝DC (证毕)证法二：(截长法——两种截取方式)如图1：在CD上截取CG＝AB，则有DC＝CG＋DG，再证出BD＝DG即可∵＝ ∴∠1＝∠2－－－① 又∵M是中点， ∴MA＝MC－－－②由①②可知，在△MBA与△MGC中∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴BD＝GD 又∵MD⊥BG ∴BD＝DG ∴AB＋BD＝DC (证毕)如图2：在CD上截取DB＝DG，再证明AB＝CG即可简证：易知△MBG与△MAC均为等腰三角形，且∠1＝∠2，可知△MBG与△MAC构成手拉手模型，∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴AB＝CG常规证明：∵MD⊥BG ∴MB＝MG ∴∠2＝∠MGD－－－①又∵ ＝， ∴∠1＝∠2－－② ∵M是中点，∴＝ ∴∠1＝∠MCA－－③由①②③可得∠MGD＝∠MC， 而∠MGD＋∠MGC＝180°， ∠MCA＋∠MBA＝180°∴∠MGC ＝∠MBA又∵＝， ∴＝在△MBA与△MGC中， ∴△BMA≌△GMC (AAS) ∴AB＝GC∴AB＋BD＝DC（证毕）证法三：(翻折)——证共线如图3：连接MB，MC，MA，AC，将△BAM沿BM翻折，使点A落至点E，连接ME，BE∵△MBA与△MBE关于BM对称，所以△MBE≌△MBA ∴MA＝ME，∠MBA＝∠MBE－－①又∵MA＝MC，∴ME＝MC， 又∵M，B，A，C四点共圆，∴∠MBA＋∠MCA＝180°－－②又∵MA＝MC（已证）∴∠MAC＝∠MCA又∵＝，∴∠MBC＝∠MAC ∴∠MBC＝∠MCA－－－③由①②③得：∠MBC＋∠MBE＝180°∴E，B，C三点共线。又∵ME＝MC，MD⊥CE∴DE＝DC，∴EB＋BD＝DC，又∵△MBE≌△MBA ∴AB＝EB∴AB＋BD＝DC（证毕）证法四：两次全等如图4，连接MB ， MA ， MC， AC ，延长AB，过点M作MH⊥AB于点H，∵M为的中点 ∴AM＝MC，又∵＝ ∴∠HAM＝∠DCM又∵∠MHA＝∠MDC＝90 ∴在△MHA与△MDC中∴△MHA≌△MDC (AAS) ∴CD＝AH－－① MD＝MH在Rt△MHB与RtT△MDB中∴△MDB≌△MHB (HL) ∴BD＝BH 又∵AH＝AB＋BH，∴ AH＝AB＋BD－－②由①②可得DC＝AB＋BD(证毕)证法五：补短法（2）——两次全等如图4，延长AB至H，使BH＝BD，则AB＋BD＝AH，先证△BHM≌△BDM (HL)，再证△MHA≌△MDC (HL)圆的基本模型（五）：平行弦与垂直相交弦，割线定理一、平行弦：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD，∴二、相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在⊙O中，∵弦AC、BD相交于点G，则AG·CG=BG·DG【模型构造】1.当圆中有相互垂直的弦时（I）经常作直径所对的圆周角，可以得到平行弦（II）还可以构造相似（III）当圆中有和弦垂直的线段时，还可以构造平行弦，可得例题：弦CD⊥弦AB，过圆心O作OF⊥BC于F，证AD=2OF练习：（深圳南山区模拟）如图，PC为圆的切线，弦CD⊥弦AB，AD=2,BC=6，求圆的半径【简证】易知：AE∥CD，AD=EC=2,通过勾股定理可知直径EB2.当圆中有相等的弦、弧时（I）等弧时常作辅助线：（1）构造等弦或等角（2）构造平行（II）等弦时常作辅助线：（1）构造等角（2）作弦心距（3）作平行【小试牛刀】试一试看能写出几种证法【证法1】，，，∴∠B=∠D【证法2】【证法3】【证法4】三、割线定理割线PD、PC相交于点P，则圆的基本模型（六）：垂径图一、弧中点与垂径图二、垂径+相等的三段弧如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。（1）证CO∥BD（2）AD＝CE（3）证：P是线段AQ的中点（4）证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB（5）tan∠DBC＝（6）若AD＝8，BD＝6，求AH的值（7）若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长.【简证】（1）（2）(3) 先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP，∴AP＝PQ＝CP（4）CP＝AP，CE＝AD CP CE＝AP AD，△APH △ABD AP AD＝AH AB（5）（6）法一（6）法二（7）找到对应相似三角形是关键补充拓展：垂径图导子母相似如图弦CD⊥直径AB于点G，E是直线AB上一点（不与其他点重合），DE交圆O于F，CF交直线AB于点P（1）证； （2）当点E在AB延长线上时，（1）的结论还成立吗？圆的基本模型（七）：等腰图（直径在腰上）直径在腰上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有【补充】圆心在三线上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有圆的基本模型（八）：双切图补充：多切图(a＋b＋c)·r＝b·h(h可求)圆的基本模型（九）：射影图圆的基本模型（十）：切割图（切线和割线垂直）【题型1】 弦切角定理与切割线定理【例题1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．(1)求证：是的切线；(2)当时，求的长．【例题2】(四川泸州中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．（1）求证：∠ACF＝∠B；（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求ADAE的值．【例题3】（湖北·黄石中考）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，，，延长交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，求弦的长．【例题4】（湖北·十堰中考）如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．【巩固练习1】如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且．(1)求证：是的切线；(2)若直径，求的长．【巩固练习2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，求和的长．【巩固练习3】（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，求证：；(3)若于D，，，求的长．【巩固练习4】（成都中考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为，△ABC的面积为，求CD的长；(3)在(2)的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若，求BF的长．【题型2】 中点弧模型【例题1】(苏州·中考)如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．（1）证明：；（2）设交于点，若，是的中点，求的值．【例题2】(深圳·中考)如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【拓展】（4）在（3）的条件下，当CF∥AB时，求FE·FG的值【巩固练习1】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长【巩固练习2】（山东枣庄·中考）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E． (1)求证：是切线；(2)若，求的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．【巩固练习3】（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线．(2)求证：．(3)若，，求的长．【巩固练习4】(江苏无锡·中考)如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，． (1)求的度数；(2)若，求的半径．【巩固练习5】（2024·云南昆明·一模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．(1)求证：是的切线；(2)当时，求证：；(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【题型3】 内心模型【例题1】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．(1)若，求的度数；(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；(3)若，，求的周长．【例题2】(广东省·中考)如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．【巩固练习1】已知：如图，在中，E是内心，延长AE交的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F．求证：；当点A在优弧BC上运动时，若，，，求y与x之间的函数关系．【巩固练习2】(湖北·孝感中考)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．【题型4】 线段和差问题（构造手拉手）【例题1】在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是 ．【例题2】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；【深入探究】如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．【启发应用】如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．【例题3】如图，已知是的弦，点是弧的中点，是弦上一动点，且不与、重合，的延长线交于点，连接、，过点作，垂足为，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长；（3）当点在弦上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．【巩固练习1】如图，在⊙O中AB=AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC，∠BAC=120°（1）若AC=4，求⊙O的半径（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。【巩固练习2】（吉林长春·中考）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．【巩固练习3】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．【特殊化感知】（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）【题型5】 阿基米德折弦定理【例题1】如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，过点M作MD⊥BC垂足为D，求证：CD=AB+BD.（阿基米德折弦定理）【例题2】己知:如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于E,易证得:AE=BE,从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。(1) 如图2，PA、 PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,求证: AE=PE+PB(2)如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,则AE、PE、PB之间存在怎样的数量关系 写出结论，并证明。【巩固练习1】如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB=2，点D为弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于E，求△BDC的周长。【巩固练习2】如图，△ABC内接于⊙O，AC＜BC,点D为的中点，求证AD =AC·BC+CD 【巩固练习3】已知⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，求证PA+PB≤AC+BC【巩固练习4】（山西中考）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1,AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA,MB,MC和MG．∵M是的中点，∴=∴MA=MC．（2）如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2，D为⊙O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD,垂足为E，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长．21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)【巩固练习5】（深圳·中考）如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC，点D为上的动点，且cos∠ABC=．（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD﹒AE的值是否变化？若不变，请求出ADAE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD,求证：BH=CD+DH．（4）拓展：求DA,DB,DC之间的数量关系【巩固练习6】已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．【巩固练习7】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接AD、CD。作AE⊥BD与点E，若AE=3，DE=1，求△ACD的面积【巩固练习8】如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=3，cos∠ABC=，D是劣弧AC上一点，且AD=2CD，求BD的长为.【巩固练习9】如图， PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA=6，OB=2,，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．（1）证明：AD=AC（2）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．【题型6】 平行弦与相交弦，垂直线，割线模型【例题1】如图，半圆O的直径，延长到A，直线AD交半圆于点E，D，且，求的长．【例题2】（2024·广东中山·模拟预测）如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，．(1)求的半径r的长度；(2)求(3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值【巩固练习1】（苏州·中考）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．(1)求证：；(2)若，求的长．【巩固练习2】如图，和是的半径，并且，是上任意一点，的延长线交于点，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）当时，试确定的取值范围；（3）求证：【巩固练习3】如图，线段是的直径，弦于点H，点是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连结交于点F，则 ， ．【巩固练习4】（湖南张家界·中考）如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．【题型7】 垂径图【例题1】如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【例题2】如图，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．【巩固练习1】如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为＝．（1）求证：AF＝CF；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长．【巩固练习2】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．(1)求证：；(2)延长至点，使，连接．①求证：是的切线；②若，，求的半径．【巩固练习3】（四川绵阳·中考）如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．（1）求证：；（2）若，求的长．【题型8】 等腰图【例题1】（成都·中考）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． (1)求证：；(2)若，求和的长．【例题2】（四川宜宾·中考）如图，线段经过的圆心O，交于A、C两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点E，连接交于点M．（1）求证：直线是的切线；（2）求的半径的长；（3）求线段的长． 【巩固练习1】（黄冈·中考）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． (1)求证：；(2)若，求的长．【巩固练习2】（辽宁营口·中考）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．【巩固练习3】（江苏无锡·校联考一模）如图所示，在中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线．(2)若EB＝6，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段AE的长．【巩固练习4】（广西玉林·中考）如图，在中，，，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．（1）求证：EF是△的中位线；（2）求EF的长．【巩固练习5】（四川眉山·中考）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线；(2)若，求的长．【巩固练习6】（孝感·中考）如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）已知，，求和的长.【巩固练习7】（湖南娄底·一模）如图，在中，平分，交于点．是的直径，连接、过点作，交于点，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若的半径为5，，求的长．【题型9】 双切图【例题1】（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【例题2】（武汉·中考）如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=，求sinE的值.【例题3】如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长【巩固练习1】（四川泸州·中考）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．【巩固练习2】（四川乐山·中考）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，．求BE的长．【巩固练习3】（广东省·中考）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．【巩固练习4】（四川·乐山中考）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．【巩固练习5】（四川遂宁·中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：＝；（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．【巩固练习6】（武汉·中考）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB，（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．【题型10】 射影图【例题1】如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过圆心O作AC的平行线OE，交BC于点E，连接DE并延长交AB的延长线于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若BF＝1，DF＝3，求⊙O的半径；(3)若DC＝DE＝1，求AD的长．【例题2】（安徽·统考一模）如图，中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接．（1）求证：与相切；（2）求证：；（3）若，求的长．【巩固练习1】（成都·一模）如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE. （1）求证：DE是的切线；（2）设的半径为r，证明；（3）若，求AD之长.【巩固练习2】如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点，连接． (1)求证：是的切线；(2)连接，若，，求的长．【巩固练习3】（湖南永州·中考）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G． (1)求证：是的切线；(2)若，求的长；(3)若，求证：．【巩固练习4】（四川广安·中考）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，求的长；(3)求证：．【题型11】 切割图【例题1】（四川凉山州中考倒数第二题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．【例题2】（云南中考倒数第二题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若，BE＝3，求DA的长．【巩固练习1】（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，，求线段的长．【巩固练习2】（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．【巩固练习3】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线乖直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)直线BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值.【巩固练习4】如图1，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，点D在⊙O上，过点C的切线CE⊥BD于点E，直径DF交AC于点M.(1)求证： ＝ ；(2)如图2，若＝，求tan∠BAC的值.【巩固练习5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的⊙O经过点D，与AB交于点E.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若cos∠ABC＝，AE＝4，求CD的长.【巩固练习6】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接BD.(1)求证： ＝；(2)若cos∠CAD＝，求tan∠BDC的值.【巩固练习7】如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上的一点，AD垂直于经过点C的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，AC与OD相交于点G.(1)求证：＝；(2)若＝，求tan∠ODE的值.【题型12】 圆与三角函数综合【例题1】(四川自贡中考)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD.(1)求证:∠DAE=∠DAC；(2)求证:；(3)若，，求EF的长.【巩固练习1】(2023·新疆 )如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【巩固练习2】(四川遂宁·中考)如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)当，时，求的长．【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，．求的值．【巩固练习4】（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：与相切；(3)若，，求的半径．【题型13】 圆与相似综合【例题1】（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．(1)求证：是的切线；(2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．【例题2】（山东泰安中考最后1题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．(1)求证：CD＝ED ;(2)AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CF＝CH，如图2，求证：；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3．求AC的值．图1 图2 图3【巩固练习1】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．(1)求证：；(2)若，，，求的长和的直径．【巩固练习2】（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F．(1)求证：；(2)过点C作于点G，若，，求的长．【巩固练习3】（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点．(1)求证：是切线；(2)求证：；(3)若是中点，求的长．【巩固练习4】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，， (1)求证：是切线；(2)求；(3)求的值．【巩固练习5】（2024·四川德阳·二模）如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N．(1)求证：是的切线；(2)求的度数；(3)若点N是的中点，且，求的长． 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2025年中考数学压轴题型模型方与技巧（通用版）专题04圆的常考模型汇总（原卷版）.docx 2025年中考数学压轴题型模型方与技巧（通用版）专题04圆的常考模型汇总（解析版）.docx
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