资源简介

2025届中考复习专题：全等三角形模型综合
模块一 常考几何模型
【题型1】手拉手模型
【题型2】一线三等角模型
【题型3】平行线夹中点
【题型4】构造一线三垂直
【题型5】倍长中线法
【题型6】截长补短法
模块二 角平分线模型
【题型1】角平分线+垂一边
【题型2】作角平分线的垂线
【题型3】角平分线的截长补短
【题型4】角平分线+平行线得等腰
【题型5】角平分线分线段成比例
模块三 旋转模型
【题型1】半角模型
【题型2】邻边相等+对角互补
【题型3】鸡爪模型
模块四 辅助线构造综合
【题型1】作平行线
【题型2】以手拉手模型为背景的综合题
【题型3】婆罗摩及多模型
【题型4】脚蹬脚
【题型5】绝配角模型
模型1 倍长中线模型
（一）基本模型
已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线， 方法：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．
结论1：△ACD≌△EBD．
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点， 方法：连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．
结论2：△BDE≌△CDF．
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点， 方法：作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，
结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）
（二）结论推导
结论1：△ACD≌△EBD．
证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．
结论2：△BDE≌△CDF．
证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．
（三）解题技巧
遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．
模型2 一线三等角模型
（一）基本模型
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．
同 侧 型 结论1：△CAP≌△PBD．
异 侧 型 结论2：△APC≌△BDP
（二）结论推导
图1图2证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD
∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．
结论2：△APC≌△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，
∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．
特殊的：一线三垂直模型
已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE
图示
结论
模型3 半角模型
（一）基本模型
半角模型
等边三角形含半角 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点， ∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°．
结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
正方形含半角 已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．
结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
等腰直角三角形含半角 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 点D，E在BC上，∠DAE＝45°．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
（二）结论推导
结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，
∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．
∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，
∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．
∴∠DEB＝∠DEF．∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．
结论2：EF＝BE＋DF，
∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．
∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．
∴∠AFD＝∠AFE．∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝90°，∴EF 2＝CF 2＋CE 2＝BD 2＋CE 2，
∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，
∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∴DE 2＝BD 2＋CE 2．
（三）解题技巧
对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．
模型4 手拉手模型
（一）基本模型
已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE．
（二）结论推导
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．
证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
结论2：∠BOC＝∠BAC．
证明：设OB与AC相交于点F．
∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．
结论3：OA平分∠BOE．
证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．
∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE，
∴＝．
∵BD＝CE，∴AG＝AH，
∴OA平分∠BOE．
（三）解题技巧
如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．
模型5 对角互补+邻边相等模型
模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
已知：，，利用旋转构造全等
结论：OC平分∠AOB 作垂线 旋转
拓展
模型6 平行线夹中点模型
已知：AB//CD，点E是BC的中点
【模型分析】口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行
如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。
如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）
模型7 角平分线相关模型
一、模型介绍
（1）角平分线基本性质
已知：OP平分∠MON，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B．
结论：PA＝PB，OA＝OB．
（2）结论推导
结论：PA＝PB，OA＝OB．
证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP．
∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB．
二、解题技巧
如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形．
1、尺规作角平分线（SSS）
第一步：在纸上画一个角，作为要被平分的角∠AOB。
第二步：以角的顶点O为圆心，任意长度为半径画圆弧，交角的两边OA、OB于C、D两点。
第三步：以C为圆心，大于OC且小于OD（或反之）长度为半径画圆弧。
第四步：以D为圆心，与第三步相同的半径画圆弧。
第五步：两圆弧交于E点，连接顶点O和E，OE即为∠AOB的平分线。
2、角平分线常见模型及辅助线作法
（1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形
（2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形)
（3）角平分线+平行线得等腰三角形
（4）截取构造对称全等(截长补短)
（5）角平分线分线段成比例:(常用二级结论)
简证：∵， ∴,∴
（6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
结论：AD平分∠CAD 简证
模型8 截长补短模型
方法 截长法 补短法
条件 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD
图示
方法 在AB上截取AE=AC,连接DE 延长AC到点E，使CD=CE,连接DE
结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形
【总结】
（1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.
（2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.
模型9 鸡爪模型（构造手拉手）
半角模型
等 边 三 角 形 点在内部 做法：将△ABD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE
结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD．
点在外部 ∠BDC=120° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE．
结论：．
等 腰 直 角 三 角 形 点D在△ABC内部 做法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°， 得到等腰直角△AEC，连接DE．
结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD．
点D在外部 ∠BDC=90° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE．
结论：
模型10 绝配角模型
（一）基本模型
已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．
结论：AC＝EC．
（二）结论推导
结论：AC＝EC．
证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．
∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．
（三）解题技巧
如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．
模型11 婆罗摩笈模型
题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点.
条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,CH⊥BE 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,点I为DG中点
图示
作法 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 延长IC到点P，使PI＝IC，连接PG
结论 ① DI＝IG(知垂直得中点) BE＝2IC ①CH⊥BE(知中点得垂直) ②BE＝2IC ③
如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B
【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN．
【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．
【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）
证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN，
易证：△PAD≌BDA,∴BC＝PD，BE=PA
∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，
又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，
易证：△CBE≌△PAB，
∴∠BCM＝∠ABN，∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°∴∠BMC＝90°
模型12 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）
模型成立条件：等腰三角形顶角互补
已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，
则△BFD是等腰直角三角形．
【证明】法一：倍长中线
延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；
所以CG=ED=AD，∠2=∠7；
又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），
∠4=∠6=90°；
所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG≌△BAD（SAS），
所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF.
法二：构造手拉手模型
将△ABC沿AB 对称，将△ADE 沿AD对称
连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD
模块一 常考几何模型
【题型1】手拉手模型
【例题1】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为 ．
【例题2】（青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；

图1 图2
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
【例题3】（山东烟台·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【巩固练习1】（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【巩固练习2】（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．

(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
【巩固练习3】（山东潍坊·中考真题）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．
（1）当时，求证：；
（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
【巩固练习4】（广西贵港·中考真题）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【题型2】一线三等角模型
【例题1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

(1)求证：；
(2)若，时，求的面积．
【例题2】（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
(1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．
①确定的形状，并说明理由；
②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）．
【巩固练习1】（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ．
【巩固练习2】（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．

(1)求证：；
(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
【巩固练习4】（湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
【题型3】平行线夹中点
【例题1】如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________．
【巩固练习1】（四川泸州·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是 ．
【巩固练习2】（深圳中考）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（　　）
A．1 B．3﹣ C．﹣1 D．4﹣2
【题型4】构造一线三垂直
【例题1】（广西河池·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
【巩固练习1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ．
【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________．
【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．

(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
【巩固练习5】（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．

(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
【巩固练习6】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
【题型5】倍长中线法
【例题】（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在中，，求边上的中线的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得，再连接，把集中在中．
(1)利用上述方法求出的取值范围是_________；
(2)[探究]如图2，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且，与相交于点O，若四边形的面积为20，求的面积；
(3)[拓展]如图3，在四边形中，，E为的中点，G、F分别为边上的点，若，，，求的长．
【巩固练习1】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 在中，， 若，为的中线， 点E在边上(不与端点重合)，与交于点 F， 若， 则 ．
【巩固练习2】（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】
如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．
（1）上述证明过程中：
①证明的依据是（_____）
A． B． C． D．
②证明四边形是平行四边形的依据是_______；
【类比迁移】
（2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】
（3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明）
【巩固练习3】（山东泰安·中考真题）若和均为等腰三角形，且．
（1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②．
【题型6】截长补短法
【例题1】课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【例题2】如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【例题3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：　　
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【巩固练习1】如图，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接，点、分别在、CA延长线上，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．
【巩固练习2】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．
【巩固练习3】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
模块二 角平分线模型
【题型1】角平分线+垂一边
【例题1】如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．8
【例题2】如图，在中，，，点为上任意一点，连接，，，则线段，，之间的数量关系为　　．
【例题3】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则　　
A． B． C． D．
【例题4】（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状．
【巩固练习1】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ．
【巩固练习2】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，则下列结论中正确的个数　　
①平分；
②；
③；
④若，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【巩固练习3】（2023·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ．

【巩固练习4】如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为　　．
【题型2】作角平分线的垂线
【例题1】如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为 ．

【巩固练习1】如图，中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F,平分，，求的值．

【巩固练习2】
【巩固练习3】
【题型3】角平分线的截长补短
【例题1】如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则 ．

【例题2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
【巩固练习1】已知：如图，四边形中，，平分，且．求证：．
【巩固练习2】（2024·河南信阳·一模）数学兴趣小组利用角平分线构造全等模型开展探究活动，请仔细阅读完成相应的任务．
活动1：用尺规作已知角的平分线、如图1所示，则由，可得．
活动2：如图2，在中，，是的平分线，在上截取，则．
完成以下任务：
(1)在活动1和2中，判定三角形全等的依据分别是________（填序号）；
① ② ③ ④ ⑤
(2)如图3，在中，，是的两条角平分线，且交于点P，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在四边形中，，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点P，若，，当有一个内角是时，请直接写出的长：________．
【题型4】角平分线+平行线得等腰
【例题1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【例题2】（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【巩固练习1】（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，连接，已知，，，，则（ ）
A． B．5 C． D．2
【巩固练习3】（2023·山东·中考真题）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．

(1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：．
【题型5】角平分线分线段成比例
【例题】如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．
求证：PM＝PN；
如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝5，AC＝3，求的值；
如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，若AB＝5，AC＝3，求BC与CD的数量关系．
模块三 旋转模型
【题型1】半角模型
【例题1】（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
【例题2】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

【巩固练习1】如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【巩固练习2】（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：．
【巩固练习3】（福建龙岩·模拟预测）如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A、B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G连接、、．则下列结论：①；②的周长为a；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【巩固练习4】（吉林长春·中考真题）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：．
（2）若，则线段AP的长为 ．
【题型2】邻边相等+对角互补
【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）.
【巩固练习1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于 ．
【巩固练习2】如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为 ．

【题型3】鸡爪模型
【例题1】如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（ ）．
A． B． C． D．
【例题2】(贵阳中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________．
模块四 辅助线构造综合
【题型1】作平行线
【例题1】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【例题2】【阅读材料】
教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取 构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．
【巩固练习1】（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．

(1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想．
【巩固练习2】【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．
例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．

【经验运用】
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．

（1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．
求证：①是的中点；
②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】
（2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________；
【题型2】以手拉手模型为背景的综合题
【例题1】如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________．
【例题2】（黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．
(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【例题3】（2023·山东东营·一模）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
【例题4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
【巩固练习1】如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
【巩固练习2】（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
①求证：；
②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．

【巩固练习3】（山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【巩固练习4】（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①与面积相同；
②；
③若，连接和，则；
④若，，，则．
【巩固练习5】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
【题型3】 婆罗摩及多模型
【例题1】(武汉·中考真题)如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 ．
【例题2】（江苏宿迁·中考真题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
【巩固练习1】综合与实践
以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.

(1)如图①，若，证明：；
(2)如图②，，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由；
(3)如图③，，，，且，则________________.
【巩固练习2】如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1中S△ABC＝S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
【巩固练习3】我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
【题型4】脚蹬脚
【例题1】已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．
【例题2】（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．

特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
【巩固练习1】如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°．
【巩固练习2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE，点F为AE中点，若AB＝4，BF＝1，则AD的长为 　 　．
【巩固练习3】已知两个等腰有公共顶点C，，连接，M是的中点，连接．
(1)如图1，当C，B，E三点共线时，若，B为中点，求的长；
(2)如图1， 探索线段与的关系，并说明理由；
(3)将图1中绕点C顺时针旋转至图2所示，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【题型5】绝配角模型
【例题1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________．
【巩固练习1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，求AD的长．
【巩固练习2】如图，在中，，点为中点，，则的值为 ．（后续计算用到相似）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025届中考复习专题：全等三角形模型综合
模块一 常考几何模型
【题型1】手拉手模型
【题型2】一线三等角模型
【题型3】平行线夹中点
【题型4】构造一线三垂直
【题型5】倍长中线法
【题型6】截长补短法
模块二 角平分线模型
【题型1】角平分线+垂一边
【题型2】作角平分线的垂线
【题型3】角平分线的截长补短
【题型4】角平分线+平行线得等腰
【题型5】角平分线分线段成比例
模块三 旋转模型
【题型1】半角模型
【题型2】邻边相等+对角互补
【题型3】鸡爪模型
模块四 辅助线构造综合
【题型1】作平行线
【题型2】以手拉手模型为背景的综合题
【题型3】婆罗摩及多模型
【题型4】脚蹬脚
【题型5】绝配角模型
模型1 倍长中线模型
（一）基本模型
已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线， 方法：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．
结论1：△ACD≌△EBD．
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点， 方法：连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．
结论2：△BDE≌△CDF．
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点， 方法：作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，
结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）
（二）结论推导
结论1：△ACD≌△EBD．
证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．
结论2：△BDE≌△CDF．
证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．
（三）解题技巧
遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．
模型2 一线三等角模型
（一）基本模型
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．
同 侧 型 结论1：△CAP≌△PBD．
异 侧 型 结论2：△APC≌△BDP
（二）结论推导
图1图2证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD
∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．
结论2：△APC≌△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，
∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．
特殊的：一线三垂直模型
已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE
图示
结论
模型3 半角模型
（一）基本模型
半角模型
等边三角形含半角 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点， ∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°．
结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
正方形含半角 已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．
结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
等腰直角三角形含半角 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 点D，E在BC上，∠DAE＝45°．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
（二）结论推导
结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，
∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．
∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，
∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．
∴∠DEB＝∠DEF．∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．
结论2：EF＝BE＋DF，
∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．
∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．
∴∠AFD＝∠AFE．∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝90°，∴EF 2＝CF 2＋CE 2＝BD 2＋CE 2，
∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，
∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∴DE 2＝BD 2＋CE 2．
（三）解题技巧
对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．
模型4 手拉手模型
（一）基本模型
已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE．
（二）结论推导
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．
证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
结论2：∠BOC＝∠BAC．
证明：设OB与AC相交于点F．
∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．
结论3：OA平分∠BOE．
证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．
∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE，
∴＝．
∵BD＝CE，∴AG＝AH，
∴OA平分∠BOE．
（三）解题技巧
如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．
模型5 对角互补+邻边相等模型
模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
已知：，，利用旋转构造全等
结论：OC平分∠AOB 作垂线 旋转
拓展
模型6 平行线夹中点模型
已知：AB//CD，点E是BC的中点
【模型分析】口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行
如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。
如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）
模型7 角平分线相关模型
一、模型介绍
（1）角平分线基本性质
已知：OP平分∠MON，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B．
结论：PA＝PB，OA＝OB．
（2）结论推导
结论：PA＝PB，OA＝OB．
证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP．
∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB．
二、解题技巧
如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形．
1、尺规作角平分线（SSS）
第一步：在纸上画一个角，作为要被平分的角∠AOB。
第二步：以角的顶点O为圆心，任意长度为半径画圆弧，交角的两边OA、OB于C、D两点。
第三步：以C为圆心，大于OC且小于OD（或反之）长度为半径画圆弧。
第四步：以D为圆心，与第三步相同的半径画圆弧。
第五步：两圆弧交于E点，连接顶点O和E，OE即为∠AOB的平分线。
2、角平分线常见模型及辅助线作法
（1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形
（2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形)
（3）角平分线+平行线得等腰三角形
（4）截取构造对称全等(截长补短)
（5）角平分线分线段成比例:(常用二级结论)
简证：∵， ∴,∴
（6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
结论：AD平分∠CAD 简证
模型8 截长补短模型
方法 截长法 补短法
条件 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD
图示
方法 在AB上截取AE=AC,连接DE 延长AC到点E，使CD=CE,连接DE
结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形
【总结】
（1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.
（2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.
模型9 鸡爪模型（构造手拉手）
半角模型
等 边 三 角 形 点在内部 做法：将△ABD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE
结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD．
点在外部 ∠BDC=120° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE．
结论：．
等 腰 直 角 三 角 形 点D在△ABC内部 做法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°， 得到等腰直角△AEC，连接DE．
结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD．
点D在外部 ∠BDC=90° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE．
结论：
模型10 绝配角模型
（一）基本模型
已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．
结论：AC＝EC．
（二）结论推导
结论：AC＝EC．
证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．
∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．
（三）解题技巧
如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．
模型11 婆罗摩笈模型
题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点.
条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,CH⊥BE 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,点I为DG中点
图示
作法 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 延长IC到点P，使PI＝IC，连接PG
结论 ① DI＝IG(知垂直得中点) BE＝2IC ①CH⊥BE(知中点得垂直) ②BE＝2IC ③
如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B
【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN．
【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直）
过A作AP⊥MN，垂足为P，过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q，
易证：△ABP≌△BCM，AP＝BM，△DQB≌△BME，DQ＝BM，∴AP＝DQ
易证：△APN≌△DQN，∴AN＝DN
②如图，由①知，S＝S ，S＝S，S＝S
∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S
＝S＋S＝S＋S＝S，即S＝S，得证．
③如图，由①得，PN＝QN， ∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证．
【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．
【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）
证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN，
易证：△PAD≌BDA,∴BC＝PD，BE=PA
∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，
又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，
易证：△CBE≌△PAB，
∴∠BCM＝∠ABN，∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°∴∠BMC＝90°
模型12 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）
模型成立条件：等腰三角形顶角互补
已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，
则△BFD是等腰直角三角形．
【证明】法一：倍长中线
延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；
所以CG=ED=AD，∠2=∠7；
又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），
∠4=∠6=90°；
所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG≌△BAD（SAS），
所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF.
法二：构造手拉手模型
将△ABC沿AB 对称，将△ADE 沿AD对称
连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD
模块一 常考几何模型
【题型1】手拉手模型
【例题1】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为 ．
【答案】16
【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB=8，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，过点A1作于点D
∴ ∴×8×4=16，
又∵，，∴=16．
【例题2】（青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；

图1 图2
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，∴，∴．
在和中，，∴，∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【例题3】（山东烟台·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；
（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【巩固练习1】（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【巩固练习2】（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．

(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；
（2）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质求得，进而得出，进而可得，勾股定理解，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，，
当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，
当在线段上时，的距离最小，最小值为；

（2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，

∵绕顶点逆时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【巩固练习3】（山东潍坊·中考真题）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．
（1）当时，求证：；
（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的面积的最大值为，旋转角的度数为
【分析】（1）利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论；
（2）利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90，
∴∠EFB=90，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴的面积的最大值为：，
旋转角．
【巩固练习4】（广西贵港·中考真题）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】（1）结论．证明，可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1中，

，，，
，，
，
，
，，
，
．
（2）结论成立．
理由：如图2中，

，，
，
，
，
，，
，
．
（3）如图3中，

由旋转的性质可知，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【题型2】一线三等角模型
【例题1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

(1)求证：；
(2)若，时，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；
（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．

【例题2】（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
(1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．
①确定的形状，并说明理由；
②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①等腰直角三角形，见解析；②；
【分析】（1）根据新定义，画出等联角；
（2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于．由折叠得，，，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解；
②过点作于，交的延长线于，则．证明，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解．
【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）
（2）①是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点作交的延长线于．
由折叠得，，
，，
四边形为正方形
又，
，而，
是等腰直角三角形．
②过点作于，交的延长线于，则．
，
，
由是等腰直角三角形知：，
，
，，而，
，
在中，，，
，
，
，
由，，
∴四边形为正方形，，
由，得：，
∴，
，而，
即，解得：，
由①知：，，
．
【巩固练习1】（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可．
【详解】解：在中，，
由折叠可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得：
【巩固练习2】（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．

(1)求证：；
(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小
【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；
（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解；
（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：

在等边中，，，
∴，
∴，
设的长为x，则，，
∴，
∴，
同理（1）可知，
∴，
∵的面积为y，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
∴，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．
【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
【答案】
【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解．
【详解】解：∵，过点作，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
【巩固练习4】（湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．
【题型3】平行线夹中点
【例题1】如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________．
【答案】3
【解析】延长BE交CD于点F．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE．
∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△DFE，∴BE＝EF，DF＝AB＝2．
∵CD＝8，∴CD＝6．∵BC＝6，∠BCD＝60°，∴△BCF是等边三角形，∴BF＝BC＝6，∴BE＝3．
【巩固练习1】（四川泸州·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是 ．
【答案】．
【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，先证明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差计算S△DEG即可．
【详解】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图，
∵点E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC=4，
∵CF=3DF，CF+DF=4，
∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，
∴△ABG∽△MFG，
∴，
∵，
∴，
S△AFG=S△AFB-S△AGB=，
故答案为．
【巩固练习2】（深圳中考）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（　　）
A．1 B．3﹣ C．﹣1 D．4﹣2
【答案】D
【详解】试题分析：如答图，延长AE交BC的延长线于G，
∵E为CD中点，∴CE=DE．
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G=30°．
∵在△ADE和△GCE中，∠DAE=∠G，∠AED=∠GEC，CE=DE，
∴△ADE≌△GCE（AAS）．∴CG=AD=，AE=EG=2．∴AG=AE+EG=2+2=4．
∵AE⊥AF，∴AF=AGtan30°=，GF=AG÷cos30°=．
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN=AD=，
∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM=CN．
∵MG=AG cos30°=，∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣﹣=6﹣2．
∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠FAM=∠G=30°．∴FM=AF sin30°=．
∴BF=BM﹣MF=6﹣2﹣2=4﹣2．
故选D．
【题型4】构造一线三垂直
【例题1】（广西河池·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作的垂线分别交于,由，证明，设，根据，求得，在中，利用勾股定理即可求得．
【详解】如图，过作的垂线分别交于，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
（AAS），
，
设，则，
，
即，
解得，
，
四边形是正方形，，
，
，
．
【例题2】（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．
（1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可；
（2）同（1）中方法证明，再证明即可；
（3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可．
【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）补全图形如图：
，理由如下：
过点作交于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上：或
【巩固练习1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可．
【详解】解：过点作，则：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________．
【答案】8
【解析】过点A作AF⊥CE，交CE的延长线于点F．
∵CE⊥BD，AF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFA＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠FCA＋∠BCE＝90°，
∴∠FCA＝∠EBC．
∵AC＝BC，∴△CAF≌△BCE，
∴AF＝CE＝4，∴S△ACE ＝CE·AF＝×4×4＝8．
【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此．
【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，
由旋转得，
∵四边形是正方形，
∴，，，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，设，
则，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可求，
∴，
∴
【巩固练习4】（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．

(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
【答案】(1)
(2)的度数为或
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案；
（2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案；
当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案；
（3）由平行的性质得到分线段成比例．
【详解】（1）．
正方形，
，
，
，
．
（2）解：①当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交于点．
，
四边形是矩形．
．
，，
，
为等腰直角三角形，．
．
．
．
，
．
为等腰直角三角形，．
．

②当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，
同理，．
．
为等腰直角三角形，．
．

综上，的度数为45°或135°．
（3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图），
设，则．
．
．
，．
【巩固练习5】（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．

(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
【答案】(1)
(2)的度数为或
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案；
（2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案；
当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案；
（3）由平行的性质得到分线段成比例．
【详解】（1）．
正方形，
，
，
，
．
（2）解：①当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交于点．
，
四边形是矩形．
．
，，
，
为等腰直角三角形，．
．
．
．
，
．
为等腰直角三角形，．
．

②当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，
同理，．
．
为等腰直角三角形，．
．

综上，的度数为45°或135°．
（3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图），设，则．
．
．
， ．
【巩固练习6】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
【答案】(1)
(2)10
(3)
(4)或
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解；
（2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
（3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解；
（4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
，
，
，
，
，
又且
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
又且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图所示，过点作于点，

∵，
∴
∴，
即，即，
又∵
∴
∴，
设，则，
解得：
∴；
（4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点

∵
∴，设，则，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
解得：
在中，
∴
∴
如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，

∵
∴
∵
∴
设，则，，
∵，
∴
解得：
∴
∴
综上所述， 或．
【题型5】倍长中线法
【例题】（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在中，，求边上的中线的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得，再连接，把集中在中．
(1)利用上述方法求出的取值范围是_________；
(2)[探究]如图2，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且，与相交于点O，若四边形的面积为20，求的面积；
(3)[拓展]如图3，在四边形中，，E为的中点，G、F分别为边上的点，若，，，求的长．
【答案】(1)
(2)50
(3)
【分析】（1）证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而完成解答；
（2）连接．过点A作交的延长线于点T．证明得出，证出，设的面积为x，由四边形面积列出方程求解即可；
（3）延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N，证明，得到，，求出，则，继而证明为等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，同理可得．
【详解】（1）解：根据题意：延长到点E，使，再连接，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图：连接．过点A作交的延长线于点T．
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设的面积为x,
∵，
∴的面积为，
∵，
∴的面积为,的面积为，
∵，
∴的面积=的面积=,
∴四边形的面积的面积的面积，
∴．
∴的面积为50．
（3）解：如图，延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N，
∵E为中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴．
【巩固练习1】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 在中，， 若，为的中线， 点E在边上(不与端点重合)，与交于点 F， 若， 则 ．
【答案】
【分析】如图，倍长至，使，连接，易证，设，在中，，则，，利用勾股定理求出，证明，得到，设，由相似三角形，得，从而可得答案．
【详解】解：如图，倍长至，使，连接，
∵为的中线，
∴，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，设，
在中，，
则，
解得：，
∵，，，为的中线，
∴，，
，
，
，
，
，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．经检验符合题意；
，
【巩固练习2】（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】
如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．
（1）上述证明过程中：
①证明的依据是（_____）
A． B． C． D．
②证明四边形是平行四边形的依据是_______；
【类比迁移】
（2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】
（3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明）
【答案】（1）①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3），
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）①根据判断全等三角形的方法，证明，即可解答；
②利用全等三角形的性质，得到，，可得，，即可解答；
（2）证明，即可解答；
（3）延长交于点，延长使得，证明，再利用全等三角形的性质和正方形的性质，证明，利用角度转换即可得到，．
【详解】（1）①解： D，E分别是边的中点，
，
在与中，
，
，
故选：A；
②，
，，
，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明：在和中，
，
，
，
,
,
；
（3）如图，延长交于点，延长使得，
根据（2）中原理，可得，
，，
四边形与四边形均为正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
，．
【巩固练习3】（山东泰安·中考真题）若和均为等腰三角形，且．
（1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②．
【答案】（1）四边形BEAC是平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证得，，推出，再根据平行于同一直线的两直线平行即可推出结论；
（2）①利用“SAS”证得，即可证明结论；
②延长至点H，使，证得，推出，利用①的结论即可证明．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形．
理由如下：
∵为等腰三角形且，
∴，
∵B是的中点，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：①∵和为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
②延长至点H，使．
∵G是中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型6】截长补短法
【例题1】课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【解析】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分．
【例题2】如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【分析】（1）取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到；（2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，如图；
是正方形，；
，
，
，
∴，
又∵，，
在和中，
，；
（2）解：成立．
在上取，连接，如图，
为正方形， ，，，又∵，
∴，在和中，，．
【例题3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：　　
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18
【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
综上所述，或18．
【巩固练习1】如图，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接，点、分别在、CA延长线上，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．
【答案】）EF=FC-BE．
【分析】在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得，，进而证明 得到，据此方法再证明 ，最后根据全等三角形的性质解题即可．
【详解】在CA上截取CG=BE,连接DG
是等腰三角形，
在和中，
CG=BE，
在和中，
FD=FD，
【巩固练习2】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．
（1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝30°，∴CD＝CE＝2AD＝4，
∵EC⊥CD，∴∠ECD＝90°，
∴S△ECD＝ CD CE＝×4×4＝8．
（2）证明：在EF上取一点M，使得EM＝DF，
∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°，
∴△ECM≌△DCF，
∴CM＝CF，
∵∠ADC＝60°，
∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴△CFM是等边三角形，
∴CF＝MF，∴EF＝EM+MF＝DF+CF．
【巩固练习3】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【详解】解：（1）、分别是与的角平分线，
，
，
，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得，
，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在与中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
模块二 角平分线模型
【题型1】角平分线+垂一边
【例题1】如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过点作于点F，根据角平分线的尺规作图方法可知：平分，再根据角平分线的性质，可得，再根据，求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点F，

由题意可知：平分，
∵，，
∴，
∵，，
，∴，∴．
【例题2】如图，在中，，，点为上任意一点，连接，，，则线段，，之间的数量关系为　　．
【解答】解：如图作于，交的延长线于．
是直径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为．
【例题3】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：延长，作，，，
设，
平分，
，，
平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故选：．
【例题4】（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状．
【答案】(1)证明见详解
(2)四边形为正方形
【分析】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明 ，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形．
（2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）四边形是正方形．
过点B作于点G，
∴，
∵四边形是平行四边形．
∴，，
∴，，
∴，，
由（1），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【巩固练习1】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出．
【详解】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
在中根据勾股定理得：．
【巩固练习2】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，则下列结论中正确的个数　　
①平分；
②；
③；
④若，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①作于，于，于，
平分，平分，，，
，，
，
点在的角平分线上，故①正确；
②，，
，
，
在和中，，
，
，
同理：，
，
，
，②正确；
③平分，平分，
，，
，③正确；
④，
，
同理：，
，
，④正确；
故选：．
【巩固练习3】（2023·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解．
【详解】解：∵点，点，
∴，
，
∵，
∴，
过点作于点，

∵，是的角平分线，
∴
∵
∴
设，则，
∴
解得：或（舍去）
∴
【巩固练习4】如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为　　．
【答案】
【解答】解：过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图，
，，
，，
，
的两个锐角对应的外角角平分线相交于点，
，，
，
设，则，
，
，
解得，
，
把代入得．
故答案为．
【题型2】作角平分线的垂线
【例题1】如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为 ．

【答案】4
【分析】延长与的延长线相交于点，利用证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，延长与的延长线相交于点，

，，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
．
在和中，
，
，
，
，
．
【巩固练习1】如图，中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F,平分，，求的值．

【答案】3
【分析】如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到；
【详解】解：如图，分别延长，交于点．

∵，
∴，
又∵，
∴．
在和中，
∴．
∴；
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，
∴．
∴
【巩固练习2】
【巩固练习3】
【题型3】角平分线的截长补短
【例题1】如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则 ．

【答案】6
【分析】方法一：在上截取，使得，证明，可得，，再证明，得，进而可求出的长；
方法二：延长、交于点G，证明得，，再证明得，进而可求出的长．
【详解】方法一：在上截取，使得

∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴
∵E是边的中点，
∴
∵
∴
∴
∴
方法二：延长、交于点G

∵平分且
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
【例题2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：
（1）利用证明，即可；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；
（3）连接，取的中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可．
【详解】解：（1）在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
∵的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【巩固练习1】已知：如图，四边形中，，平分，且．求证：．
【解答】证明：在边上取点，使，连接．
平分
在和中
．
，．
，
．
．
即．
【巩固练习2】（2024·河南信阳·一模）数学兴趣小组利用角平分线构造全等模型开展探究活动，请仔细阅读完成相应的任务．
活动1：用尺规作已知角的平分线、如图1所示，则由，可得．
活动2：如图2，在中，，是的平分线，在上截取，则．
完成以下任务：
(1)在活动1和2中，判定三角形全等的依据分别是________（填序号）；
① ② ③ ④ ⑤
(2)如图3，在中，，是的两条角平分线，且交于点P，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在四边形中，，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点P，若，，当有一个内角是时，请直接写出的长：________．
【答案】(1)④①
(2)，理由见解析
(3)6或
【分析】（1）活动1：根据判断；活动2根据可判断；
（2）由，，则；在上截取，连接，先证明，得，，所以，再证明，得，所以；
（3）证明，延长，交于点，根据三角函数的定义求得，，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．
【详解】（1）解：活动1：由作图知，，又，
∴，
∴；
活动2：由作图知，
∵是的平分线，
∴，又，
∴，
故答案为：④①；
（2）解：，理由如下：
如图③，在上截取，连接，
，
，
，是的两条角平分线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：∵，
，
的平分线和的平分线交于边上点，
，，
，
，
，
∵，，
∴，
，
，
，．
如图，延长，交于点，
∵，
，
，
，
，
若时，则，
（不合题意舍去）；
若时，则，
过点作于，于，
，
，
，
∴，
∴；
若时，
过点作于，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
∴；
综上，的长为6或．
故答案为：6或．
【题型4】角平分线+平行线得等腰
【例题1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
【例题2】（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】60
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
过点作，，
则：，
∵，且，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解：，
∴，
∴，
∴四边形的面积为60．
【巩固练习1】（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF∽△DEC，求出BF，故A错误．
【详解】解：在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，
∴△BDF∽△DEC，
∴,
∴，故A错误
【巩固练习2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，连接，已知，，，，则（ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，过点C作交的延长线于点E，先由等边对等角和平行线的性质证明，即平分．再由角平分线的性质得到，则可证明得到，则，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点E．
∵， ．
∵， ， ，即平分．
∵，即，且， ．
∴
，
．
在中，由勾股定理得，
．
故选A．
【巩固练习3】（2023·山东·中考真题）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．

(1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点A作于F，于G，先由角平分线性质得，再证明，得，证明，得，从而得出，再根据平行线性质与角平分线定义证明，得，从而得，即可得出结论；
（2）连接，过点A作于H，作于G，证明，得，证明，得，证明，得，从而得，根据平行线等分线段定理即可得出结论．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
过点A作于F，于G，如图1，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴四边形是菱形．
（2）证明：连接，过点A作于H，作于G，如图2，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【题型5】角平分线分线段成比例
【例题】如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．
求证：PM＝PN；
如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝5，AC＝3，求的值；
如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，若AB＝5，AC＝3，求BC与CD的数量关系．
【解析】（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠PAM＝∠PAN．
∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴∠AMP＝∠ANP＝90°．
∵AP＝AP，∴△APM≌△APN，∴PM＝PN．
（2）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°．
∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE＝DF，
∴＝＝＝＝．
过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H．
∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠DAG＝∠DAH．
∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴∠G＝∠H＝90°．
∵AD＝AD，∴△ADG≌△ADH，∴DG＝DH，
∴＝＝＝，∴＝＝．
模块三 旋转模型
【题型1】半角模型
【例题1】（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴
【例题2】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】
【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可；
【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解；
【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明；
【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解；
【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，，，，
∴①．
∴．
又∵，
∴在中，②．
∵，，
∴③．
【知识迁移】．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到．
过点作交边于点，连接．

由旋转的特征得．
由题意得，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
又∵为正方形的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
【拓展应用】．
证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，

将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则．
则，，
，
，
在和中
，
，
∴，
过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴，
即，
又∴，
∴，
即，
【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．

由旋转的特征得．
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，
同理可得．
，
，
，
又∵，
∴四边形为矩形．
，
，
在中，．
，
解得．
【巩固练习1】如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【解答】如图，结论：EF＝EB+FC，理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，
∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，在△BDM和△CDF中，，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
在△DEM和△DEF中，，∴△DEM≌△DEF（SAS），∴EF＝EM，∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF
【巩固练习2】（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：．
【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解析
【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：, ，则，为等腰三角形；
（2）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可得出结论；
（3）证明即可得出结论；
（4）根据半角模型，将顺时针旋转，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）由翻折的性质可知：
为正方形
，
为等腰三角形
（2）如图：将顺时针旋转，
由旋转的性质可得：，
由（1）中结论可得
为正方形，
在和中
（3）为正方形对角线
，
，
（4）如图：将顺时针旋转，连接，
由（2）中的结论可证
根据旋转的性质可得：，
在中有
【巩固练习3】（福建龙岩·模拟预测）如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A、B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G连接、、．则下列结论：①；②的周长为a；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①④⑤
【分析】①正确．如图1中，在上截取，连接．证明即可解决问题．②③错误．如图2中，延长到H，使得，则，再证明即可解决问题．④正确．设，则，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．⑤正确．当时，设，则，利用勾股定理构建方程可得即可解决问题．
【详解】解：如图1中，在上截取，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，

如图2中，延长到H，使得，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误，

∴的周长，故②错误，设，则，
∴，
∵，∴时，的面积的最大值为．故④正确，
当时，设，则，
在中，则有，
解得，∴，即G是线段的中点，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．
【巩固练习4】（吉林长春·中考真题）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：．
（2）若，则线段AP的长为 ．
【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）证明见解析；（2）
【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出,,从而得出∠EAF的值；
操作二：根据折叠的性质得出 ,从而得出，即可求得的度数；
（1）首先利用 ,得出 ,则,从而得出△ANF为等腰直角三角形，即可证得；
（2）利用三角函数或者勾股定理求出BE的长，则,设DF=x，那么FC=，在Rt△EFC中，利用勾股定理得出DF的长，也就是MF的长，即可求得EF的长，进而可得结果．
【详解】操作一：45°，证明如下：
∵折叠得到 , 折叠得到 ,
∴ ,
∴ ,
∴
,
故填：45°；
操作二：60°，证明如下：
∵，
∴ ,
又∵沿着EF折叠得到 ,
∴，
∴ ,
∴ ,
故填：60°；
（1）证明：
由上述证明得,,
∴ ,
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠D=90°，
∴ ,,
又∵ ,
∴,
在和中，
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，
∴ ,
∴为等腰直角三角形，
即AN=NF,
在和中：
∵
∴
（2）由题可知是直角三角形，,∴ ,
解得BE=1,∴BE=EM=1,,设DF=x，则MF=x，CF=，在Rt△CEF中，
， ，解得x=，则，∵，∴AP=EF=．
【题型2】邻边相等+对角互补
【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）.
【解答】如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，
可得△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
若BE+DF＝EF，则EG＝EF，∴△ECF≌△ECG（SSS），
∴∠ECG＝∠ECF，∴∠BCD＝2∠ECF＝2α
【巩固练习1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于 ．
【答案】
【详解】解：∵，，将绕点逆时针旋转，得，如图所示，
∴，，
∴，
∵，则，
∴点在的延长线上，且，，
∴是等边三角形，过点作于，，
∴，，∴，
∴
【巩固练习2】如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为 ．

【答案】
【详解】解：如图，过点作于F，过点作于M，

四边形为正方形，
，，
，
由，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
四边形为矩形，
，，
，为等腰直角三角形，
，，解得：，
，则
【题型3】鸡爪模型
【例题1】如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将△AOB绕点B顺时针旋转60°得到△CDB，连接OD．
则CD＝OA＝2，△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1．
∵OC＝，∴OC 2＋OD 2＝CD 2，
∴∠DOC＝90°，∴S△COD ＝＝，S△BOD ＝＝，
∴S△AOB ＋S△BOC ＝S△CDB ＋S△BOC ＝S△BOD ＋S△COD ＝．
【例题2】(贵阳中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________．
【答案】
【解析】过点C作CF⊥CD，交BE于点F．
则△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°．
∵BE＝2AD，∴BE＝2BF，∴BF＝EF，
∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF＝22.5°，
∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°．
过点E作EG⊥AB于点G．
∴EG＝EC，∴AE＝＝，
∴S△ABE ＝S△ABC ＝＝．
模块四 辅助线构造综合
【题型1】作平行线
【例题1】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
【例题2】【阅读材料】
教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取 构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．
【答案】(1)见解析；(2)；【灵活应用】，
【分析】（1）过点作，证，即可得点是的中点；
（2）过点作，可证，得，由，，得，再证，可得，由平行线分线段成比例得，由，可得，，即可得出；
[灵活应用]：由题意可得，过点作，则，可得，进而可得，证，可知，过点作，则，，可得点在以为直径的半圆上运动，可求得运动的路径长度，过点作，则，，则点在以为直径的半圆上运动，可知扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：，，
，
过点作，则，，

是等腰直角三角形，则，
，
，
，
，
又，
，
，
点是的中点；
（2）过点作，则，

，，则，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
则，
，
；
[灵活应用]：
是半圆的直径，点是半圆上一点，
，
过点作，则，

，
，
，
，
，
又，
，
，
过点作，则，，
，
，，
，则 ，
，
点在以为直径的半圆上运动，
运动的路径长为：
过点作，则，，

，
，
点在以为直径的半圆上运动，
则扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差，
即：扫过的面积为
故答案为：，．
【巩固练习1】（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．

(1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到， ，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得；
（2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，．
∵E为的中点，
∴， ，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（2）解：．理由如下：
过E作交于F，

∵是等边三角形，
∴，．
∴，，即．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，即．
【巩固练习2】【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．
例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．

【经验运用】
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．

（1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．
求证：①是的中点；
②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】
（2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________；
【答案】（1）①见解析②
（2）
【分析】（1）①过点作交于点，证明，得出即可；
②由等腰直角三角形的性质得出，由平行线得出，证出，由全等三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）作 交于点，由三角函数证出，得出，证，得出，，设，则，求出，则，得出，即可得出结果．
【详解】解：证明：①过点作交于点，如图1所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，
是的中点；
②在中，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
（2）解：和之间的数量关系为：；理由如下：

过点作 交于点，如图2所示：
四边形是矩形，
，，，
在和中，，，
，
，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，，
设，则，
在中，，
，，
即，
，
，
，
，
，
．
【题型2】以手拉手模型为背景的综合题
【例题1】如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________．
【答案】
【解析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE，连接DE．
则BD＝AE，△CDE为等边三角形，DE＝CD＝2，∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°，
∴BD＝AE＝＝＝
【例题2】（黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．
(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)图②结论：，证明见解析
(3)图③结论：
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；
（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；
（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
（2）解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AC=AB，CP=BF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AB=AC，BP=CF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【例题3】（2023·山东东营·一模）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）8
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：；
理由如下：连接：，
∵，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，
，
则，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，，
∴，
又，
∴，
∴.
【例题4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
【答案】(1)，
(2)，，证明见解析
(3)
(4)或
【分析】（1）根据已知得出，即可证明，得出，，进而根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）同（1）的方法即可得证；
（3）同（1）的方法证明，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论；
（4）根据题意画出图形，连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，延长至，使得，证明，得出，勾股定理求得，进而求得，根据相似三角形的性质即可得出，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设交于点，

∵
∴，
故答案为：，．
（2）结论：，；
证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3），理由如下，
∵，
∴，
即，
又∵和均为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（4）解：如图所示，

连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，
延长至，使得，
则是等腰直角三角形，

∵,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴
∴
过点作于点，
设，则，
在中，，
在中，
∴
∴
解得：，则，
设交于点，则是等腰直角三角形，
∴
在中，
∴
∴
又，
∴
∴
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或
故答案为：或．
【巩固练习1】如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】过点作交延长线于点，连接，如图，

根据旋转有：，，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
【巩固练习2】（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
①求证：；
②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．

【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）①证明：，再证明即可；②由和关于对称，可得．证明，从而可得结论；
（2）如图，过点作于点，得，证明，．可得，证明，，可得，则，可得，从而可得结论；
（3）由，可得，结合，求解，，如图，过点作于点．可得，，可得，再利用余弦的定义可得答案．
【详解】（1）①证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∴．

②．理由如下：
∵和关于对称，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
如图，过点作于点，得．

∵和关于对称，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵是直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，即．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图，过点作于点．

∵，
∴，
．
∴．
∴．
【巩固练习3】（山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答

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