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压轴题01 二次函数图象与性质选填题
从全国多地的中考数学试卷来看，二次函数的图象与性质都是重点考查对象之一，常出现在选择、填空题的压轴位置出此类考点的应用。此考点包括的具体内容有以下几点：
1、解析式 一般式
顶点式 顶点：，对称轴：直线
交点式 与x轴交点；对：
2、图象特征 开口
对称轴
顶点与最值
3、函数的增减性 根据对称轴的位置，可以判断函数在对称轴左侧和右侧的增减性.如果，则在对称轴左侧函数值随x增大而减小，在右侧函数值随x增大而增大；反之亦然
4、图象与系数的关系 b的作用 “左同右异”：与a一起确定对称轴与y轴的左右关系，当b=0时，对为y轴
c的作用 确定抛物线与y轴交点，
2a+b与0
a+b+c与0 看当x=1时抛物线上的点在x轴上方还是下方，上方则a+b+c＞0
b2-4ac与0 确定抛物线与x轴交点个数
5、二次函数平移规律 ①将一般式转化为顶点式，②按照“左加右减，上加下减”的规律平移 （上下平移不需要转化为顶点式）
压轴题型一：二次函数的性质
√满分技法 对于二次函数y＝ax2+bx+c的性质规律： 当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越小； 当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越大；
1．（2024 西宁）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）上的两个点．下列结论：①抛物线与y轴的交点是（0，1）；②抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；③当y1＝y2＝1时，AB＝4；④当x1＞x2＞2时，y1＜y2；⑤当0≤x≤2时，y有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024 上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　 　．
3．（2024 滕州市校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．1或
4．（2024 桐乡市校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m＞0），若点A（t，a），点B（t+2，a），点C（4，b）都在二次函数图象上，且a＜b＜3，则t的取值范围为（　　）
A．t＜2 B．2＜t＜4或t＞6
C．1＜t＜2 D．1＜t＜2或t＞4
压轴题型二：二次函数图象与系数的关系
√满分技法 综合应用抛物线图象特征、图象与系数关系的规律，对应考点要熟记
1．（2024 日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024 牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②b＜2；③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线ycx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
3．（2024 连云港）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
4．（2024 烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 　 　．
5．（2024 巴中）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 　 　．
①；
②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；
④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．
压轴题型三：二次函数图象上点的坐标特征
√满分技法 紧抓要点： ①点在图象上，则点的坐标符合所在函数图象的表达式； ②图象上的点具有所在函数图象的各种性质； ③若抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，则可以用两点的横坐标的平均数表示对称轴；
1．（2024 赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　）
A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1
2．（2024 苏州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 　 　．
3．（2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 　 　．
4．（2024 灞桥区校级四模）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
5．（2024 镇海区校级模拟）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（　　）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
压轴题型四：抛物线与x轴的交点
√满分技法 ①求抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点，则令y=0，即ax2+bx+c=0 ②求抛物线与x轴交点个数时，找根的判别式b2-4ac,当抛物线与某一直线交点个数时用法相同；
1．（2024 辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　 　．
2．（2024 济宁）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 　 　．
3．（2024 徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　 　．
4．（2024 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m．
其中正确的是 　 　（填写序号）．
5．（2024 淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点 i，得△AiBi i和△Ai+1Bi+1 i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝ 　 　．
压轴题型五：二次函数图象性质与几何的结合
1．（2024 陆丰市模拟）已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图象上，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CPAP的最小值为．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024 资阳）已知二次函数yx2+bx与yx2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5．
其中，所有正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　 　．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴题01 二次函数图象与性质选填题
从全国多地的中考数学试卷来看，二次函数的图象与性质都是重点考查对象之一，常出现在选择、填空题的压轴位置出此类考点的应用。此考点包括的具体内容有以下几点：
1、解析式 一般式
顶点式 顶点：，对称轴：直线
交点式 与x轴交点；对：
2、图象特征 开口
对称轴
顶点与最值
3、函数的增减性 根据对称轴的位置，可以判断函数在对称轴左侧和右侧的增减性.如果，则在对称轴左侧函数值随x增大而减小，在右侧函数值随x增大而增大；反之亦然
4、图象与系数的关系 b的作用 “左同右异”：与a一起确定对称轴与y轴的左右关系，当b=0时，对为y轴
c的作用 确定抛物线与y轴交点，
2a+b与0
a+b+c与0 看当x=1时抛物线上的点在x轴上方还是下方，上方则a+b+c＞0
b2-4ac与0 确定抛物线与x轴交点个数
5、二次函数平移规律 ①将一般式转化为顶点式，②按照“左加右减，上加下减”的规律平移 （上下平移不需要转化为顶点式）
压轴题型一：二次函数的性质
√满分技法 对于二次函数y＝ax2+bx+c的性质规律： 当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越小； 当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越大；
1．（2024 西宁）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）上的两个点．下列结论：①抛物线与y轴的交点是（0，1）；②抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；③当y1＝y2＝1时，AB＝4；④当x1＞x2＞2时，y1＜y2；⑤当0≤x≤2时，y有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数开口方向，与x轴的交点，与y轴的交点，对称轴，以及函数图象逐一判断各选项，即可得到结果．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0），
当x＝0时，y＝1，
∴抛物线与y轴的交点是（0，1），
故结论①正确，此结论符合题意；
∵抛物线的对称轴为x2，
故结论②错误，此结论不符合题意；
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个点，y1＝y2＝1，
∴A、B两点关于对称轴对称，
∴||＝2，
∴|x1+x2|＝4，
∴AB＝4，
故结论③正确，此结论符合题意；
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0），
∴抛物线的开口向上，
∴在对称轴的右侧的函数图象，y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞2，
∴A，B两点位于对称轴的右侧，
∴y1＞y2，
故结论④错误，此结论不符合题意；
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y有最大值，最大值为1，
故结论⑤正确，此结论符合题意；
综上所述，正确的结论为①③⑤，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2024 上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　4　．
【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线“开口大小”．
【解答】解：∵抛物线（x）2，
∴x′（x′）20，
解得x′2，
∴抛物线“开口大小”为2|x′|＝2×|﹣2|＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
3．（2024 滕州市校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．1或
【分析】依据题意，先求得抛物线对称轴，然后分两种情况讨论得到关于m的方程，解方程即可求得m值．
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为2，
∴①当m＞0时，x＝1时，y＝2，
则m﹣2m+3＝2，
解得m＝1．
②当m＜0时，
∵对称轴是直线x＝1，
∴当x＝﹣1时，y取最小值＝2，
则m+2m+3＝2，
解得m．
故m的值为1或，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用所学知识解决问题是关键．
4．（2024 桐乡市校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m＞0），若点A（t，a），点B（t+2，a），点C（4，b）都在二次函数图象上，且a＜b＜3，则t的取值范围为（　　）
A．t＜2 B．2＜t＜4或t＞6
C．1＜t＜2 D．1＜t＜2或t＞4
【分析】根据二次函数对称性得到m＝t+1，结合抛物线的性质，点B、C到抛物线对称轴距离比点（0，3）近，再分三种情况讨论得出t的取值范围即可．
【解答】解：由题意，∵A（t，a），B（t+2，a）两点纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴是直线xt+1m．
∴m＝t+1＞0，即t＞﹣1．
∵抛物线开口向上，a＜b＜3，且当x＝0时，y＝3，
∴点B、C到抛物线对称轴距离比点（0，3）近．
∴|t﹣（t+1）|＜|4﹣（t+1）|＜|0﹣（t+1）|．
∴1＜|t﹣3|＜|t+1|．
①当t＜﹣1时，此时1＜3﹣t＜﹣1﹣t，
∴无解．
②当﹣1≤t＜3时，此时1＜3﹣t＜t+1，
∴1＜t＜2．
③当t≥3时，1＜t﹣3＜t+1，
∴t＞6．
综上，1＜t＜2或t＞4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
压轴题型二：二次函数图象与系数的关系
√满分技法 综合应用抛物线图象特征、图象与系数关系的规律，对应考点要熟记
1．（2024 日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图像信息一一判断即可．
【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故②正确，
∵函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），
∴多项式ax2+bx+c可因式分解为a（x+1） （x﹣5），故③错误，
∵抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣9a），
观察图象可知当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，解一元二次方程﹣因式分解法，根的判别式，二次函数图象上的点坐标特征，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2024 牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②b＜2；③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线ycx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】根据题意得到抛物线的解析式为y＝ax2+2ax﹣3a，即可得到b＝2a，c＝﹣3a，代入即可判断①；根据﹣3＜﹣3a＜﹣2判断②；把b＝2a代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把b＝2a，c＝﹣3a代入解方程求出m的值判断④．
【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∴abc2＝a 2a （﹣3a）2＝18a4＞0，故①正确；
∵点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，即，
∴，故②正确；
∵，
∴，即，
∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）＝0，
又∵x1≠x2，
∴x1+x2＝2，故③错误；
∵令y相等，则，
∴，解得x1＝0（舍），，
∴，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元一次方程的关系，掌握二次函数和一元一次方程的关系是解题的关键，
3．（2024 连云港）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】根据顶点坐标判断b、c的正负性，由此判断①；根据开口方向和对称轴判断②；用a表示b、c，再解方程判断③；根据平移法则判断④．
【解答】解：∵顶点为（1，2），
∴，
∴b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵a+b+c＝2，
∴c＝2﹣a﹣b＝2﹣a﹣（﹣2a）＝2+a，
∴c无法判断，故①错误；
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵b＝﹣2a，c＝2+a，
∴y＝ax2﹣2ax+2+a，
∵当x＝3时，y＝0，
∴0＝9a﹣6a+2+a，
∴a，故③正确；
∵y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+2，
∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝a（x﹣1+1）2+2﹣2＝ax2，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．
4．（2024 烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 　①②④　．
【分析】利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图象可判断⑤．
【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得
∴abc＞0，
故①正确；
∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，
∴y＝﹣x2﹣2x+8，
当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，
∴x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，
故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9），
又∵a＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9，
∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，
故③错误；
∵，
∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴y1＝y2，
故④正确；
由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下：
由，
解得，，
∴A（2，0），B（﹣3，5），
由图象可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，
故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2024 巴中）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 　①③④　．
①；
②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；
④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．
【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，从而可得二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1，故1，即b＝2a，再结合二次函数的性质，逐个进行判断可以得解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1．
∴1．
∴b＝2a．
∴2，故①正确．
将b＝2a代入a2+b2﹣5b+8，
∴a2+b2﹣5b+8＝a2+4a2﹣5×2a+8
＝5（a2﹣2a+1）+3
＝5（a﹣1）2+3．
∵，
∴当a时，a2+b2﹣5b+8取最小值为5×（1）2+3，故②错误．
∵b＝2a，
∴am2+bm﹣a+b＝am2+2am﹣a+2a
＝am2+2am+a
＝a（m2+2m+1）
＝a（m+1）2．
∵a＞0，（m+1）2≥0，
∴am2+bm﹣a+b＝a（m+1）2≥0，即am2+bm﹣a+b≥0，故③正确．
∵x1+x2+2＞0，
∴1．
∴x1，x2的中点在对称轴的右侧．
∵x1＜x2，
∴点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近．
∵抛物线开口向上，
∴y1＜y2，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
压轴题型三：二次函数图象上点的坐标特征
√满分技法 紧抓要点： ①点在图象上，则点的坐标符合所在函数图象的表达式； ②图象上的点具有所在函数图象的各种性质； ③若抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，则可以用两点的横坐标的平均数表示对称轴；
1．（2024 赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　）
A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1
【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
将A，C两点的横坐标代入函数解析式得，
点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4），
所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4．
因为四边形ABCD是正方形，
所以AD＝CD，∠ADC＝90°，
所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°，
所以∠CDN＝∠DAM．
在△CDN和△DAM中，
，
所以△CDN≌△DAM（AAS），
所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m，
所以MN＝DM+DN＝m+n，
又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2，
所以m2﹣n2＝m+n，
即（m+n）（m﹣n）＝m+n，
因为m＞n＞0，
所以m+n≠0，
所以m﹣n＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2024 苏州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 　　．
【分析】将A、B、D的坐标代入y＝ax2+bx+c（a≠0），求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【解答】解：将A（0，m），B（1，﹣m），D（3，﹣m）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），
得：，
∴
∴ymx2mx+m，
把C（2，n）代入，
得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键．
3．（2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 　m＜1　．
【分析】先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∵0＜x1＜1，x2＞4，
∴2﹣x1＜x2﹣2，即（x1，y1）比（x2，y2）离对称轴直线的水平距离近，
∴y1＞y2；
∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，
∴x1＜x2＜x3，
∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，
∴x1＜2，x3＞2，且A（x1，y1）离对称轴最远，B（x2，y2）离对称轴最近，
∴2﹣x1＞x3﹣2＞|x2﹣2|，
∴x1+x3＜4，且 x2+x3＞4，
∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，
∴2m+2＜4，且2m+5＞4，
解得m＜1，
故答案为：＞，m＜1．
【点评】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
4．（2024 灞桥区校级四模）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定p+1＝m，即可得到p＝m﹣1，由抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）得到t＝p2﹣2mp＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1，结合﹣1≤m≤2即可确定t的最小值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2mx，
∴抛物线的对称轴为直线xm，
∵抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），
∴点A（p，t）和点B（p+2，t）关于对称轴对称，t＝p2﹣2mp，
∴m，即p+1＝m，
∴p＝m﹣1，
∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1，
∵﹣1≤m≤2，
∴m＝2时，t有最小值为：﹣4+1＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
5．（2024 镇海区校级模拟）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（　　）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），
∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，
∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x，
当a＞0时，当x1+x2＜1时，
∴，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＞0；
当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，
∴，
∴当时，y1＜y2，
则a（y1﹣y2）＞0；
当时，y1＞y2，
则a（y1﹣y2）＜0；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判断出y1与y2的大小是解题的关键．
压轴题型四：抛物线与x轴的交点
√满分技法 ①求抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点，则令y=0，即ax2+bx+c=0 ②求抛物线与x轴交点个数时，找根的判别式b2-4ac,当抛物线与某一直线交点个数时用法相同；
1．（2024 辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　4　．
【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），
∴．
∴．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴是直线x1．
∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0），
∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
2．（2024 济宁）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 　k≥3　．
【分析】根据解析式的平移规律可得平移后得到的抛物线为y＝x2﹣6x+12﹣k，抛物线与x轴有公共点，可知Δ＝b2﹣4ac≥0，由此得到关于k的不等式，解不等式即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度得y＝x2﹣6x+12﹣k，
∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣6）2﹣4×1×（12﹣k）≥0，
解得k≥3，
故答案为：k≥3．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换．根据题意得到关于k的不等式是解题的关键．
3．（2024 徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　1　．
【分析】根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令y＝0，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
y＝（x﹣2023）（x﹣2024），
令y＝（x﹣2023）（x﹣2024）＝0，则（x﹣2023）（x﹣2024）＝0，
∴x﹣2023＝0或x﹣2024＝0，
解得：x＝2023或2024，
∴PQ＝2024﹣2023＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．
4．（2024 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m．
其中正确的是 　②③④　（填写序号）．
【分析】通过对称轴可判断①；（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，所以若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，判断②正确；根据抛物线的最大值判断③；根据点A和点B离对称轴的距离判断④．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵a＜0，
∴b＜0，故①错误；
∵0＜m＜1，
∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，
又∵a＜0，
∴x＝m﹣1时，y＞1，
∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确；
由①可得，
∴，即﹣1＜b＜0，
当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c，
设顶点线坐标为，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），
∴﹣1﹣b+c＝1，
∴c＝b+2，
∴，
∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2，
∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确；
∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2，
又，
∴点A（x1，y1）离较远，
∴对称轴，
解得：，故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数图象上的点的特征等，掌握二次函数性质是解题的关键．
5．（2024 淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点 i，得△AiBi i和△Ai+1Bi+1 i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝ 　　．
【分析】解：①由A1（1，0）得B1（1，），由A2（2，0）得B2（2，1），先求出直线A1B2和直线A2B1的解析式，再求出C1坐标，最后求出ai．同理求出a2，找出规律，再计算即可．
【解答】解：①由A1（1，0）得B1（1，），
由A2（2，0）得B2（2，1），
设直线A1B2的解析式为y＝kx+b，
代入由A1（1，0），B2（2，1）得：
，
∴k＝1，b＝﹣1，
∴直线A1B2的解析式为y＝x﹣1，
同理直线A2B1的解析式为yx，
联立得x﹣1x，
∴x，
∴C1（，），
∴ai（）÷[1×（2）]．
②由A3（3，0）得B3（3，），
同①方法得直线A2B3的解析式为yx，
直线A3B2的解析式为y＝﹣x+3，
联立得xx+3，
∴x，
∴C1（，），
∴a21×（）÷[（）]，
，
∴a2024．
解法二：由题意A1B112，A2B222，A3B332，A4B442，
∵△A1B1C1∽△A2B2C2，
∴a1＝（）2＝（）2，
同法可得a2，…，
∴a2024．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象上点的坐标特征，掌握求点的坐标方法，求直线解析式的方法，同时找到规律是解题关键．
压轴题型五：二次函数图象性质与几何的结合
1．（2024 陆丰市模拟）已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图象上，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，通过证得△ADN≌△DCM（AAS），得到AN＝DM，DN＝CM，设D（a，b），则，解得，从而求得D（3，4），代入即可得出k的值．
【解答】解：作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADN+∠CDM＝90°＝∠CDM+∠DCM，
∴∠ADN＝∠DCM，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，
∴△ADN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，DN＝CM，
设D（a，b），
∵点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），
∴，解得，
∴D（3，4），
∵D在抛物线的图象上，
∴3k＝4，
∴k，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特点，得出D点坐标是解题关键．
2．（2024 宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CPAP的最小值为．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】抛物线过点（1，0），求得求得a+b+c＝0，即可判断①；求得对称轴为直线x＝﹣1，即可求得b＝2a，由a+b+c＝0，求得c＝﹣3a，则a+3b+2c＝a＜0，即可判断②；分AC＝AB＝4和AB＝BC＝4两种情况求得c的值即可判断③；取点H（，0），连接PH，则OH，可证明△HOP∽△POA，由相似三角形的性质可得PHPA，则CPAP＝CP+PH，故当C、P、H共线时，CP+PH的值最小，即此时CPAP的最小，最小值为CH，利用勾股定理求得CH即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点B（1，0），
∴a+b+c＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴1，
∴b＝2a，
∵a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a+3b+2c＝a+6a﹣6a＝a，
∵a＜0，
∴a+3b+2c＜0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴AC≠BC，
∵A（﹣3，0）、B（1，0），C（0，c），
∴AB＝4，
当AC＝AB＝4时，则AC2＝OA2+OC2，
∴42＝32+c2，
解得c或c（不合题意，舍去），
当AB＝BC＝4时，BC2＝OB2+OC2，
∴42＝12+c2，
解得c（负数舍去），
综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c或c，故③错误；
当c＝3时，C（0，3），则OC＝3，
如图所示，取点H（，0），连接PH，则OH，
∴，
∵，
∴，
∵∠HOP＝∠POA，
∴△HOP∽△POA，
∴，
∴PHPA，
∴CPAP＝CP+PH，
当C、P、H共线时，CP+PH的值最小，即此时CPAP的最小，最小值为CH，
在Rt△CHO中，CH，故④正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
3．（2024 资阳）已知二次函数yx2+bx与yx2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5．
其中，所有正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①二次函数与的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，P为线段OA的中点，得出P（2，0），两个函数的对称轴均为直线x＝2，，解得：b＝2，故①正确；②过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E，证明△CEP≌△BDP（ASA），得出PB＝PC，故②正确；③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2，根据BC＝OA，BC⊥OA，得出此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确；④作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长的最小，最小值为BQ+CQ+BC＝B′Q+CQ+BC＝B′C+BC，，，得出△BCQ周长的最小值为，故④正确．
【解答】解：①∵二次函数与的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，P为线段OA的中点，
∴P（2，0），两个函数的对称轴均为直线x＝2，
∴，解得：b＝2，故①正确；
②如图，过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E，
∴∠CEP＝∠BDP＝90°，
由函数的对称性可知PE＝DP，
在△CEP和△BDP中，
，
∴△CEP≌△BDP（ASA），
∴PB＝PC，故②正确；
③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
∴B（2，2），C（2，﹣2），
∴BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∴BC＝OA，
由∵BC⊥OA，
∴此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长的最小，最小值为BQ+CQ+BC＝B′Q+CQ+BC＝B′C+BC，
∵点B的横坐标为1，
∴，点C的横坐标为3，
∴，，
∴，，
∴△BCQ周长的最小值为，故④正确；
故选：D．
【点评】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
4．（2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　（4，1）　．
【分析】作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时，AD+BC的值最小，利用解析式求得A、B点的坐标，根据抛物线的对称性求得A′的坐标，进一步求得A″的坐标，利用待定系数法求得直线A″B的解析式，即可求得点C的坐标．
【解答】解：作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B，
在中，令x＝0，则y＝6，
∴点A（0，6），
令y＝0，则，
解得x＝2或x＝6，
∴点B（2，0），
∵抛物线的对称轴为直线x4，
∴A′（8，6），
∴A″（8，3），
设直线A″B的解析式为y＝kx+b，
代入A″、B的坐标得，
解得，
∴直线A″B的解析式为yx﹣1，
当x＝4时，y＝1，
∴C（4，1）．
故答案为：（4，1）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
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