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2025年中考数学专题训练：一次函数
一、单选题
1．若点在第三象限，则函数的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点．在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知直线过点，点，若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（ ）

A． B．或 C．或 D．
4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中为常数）的图象分别为直线下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．小林在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面上拉动木块进行实验．如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数F（N）是装置高度h（m）的一次函数．当时，F为；当时，F为．当弹簧测力计读数达到最大量程时，此时装置高度h为（ ）
A． B． C． D．
6．某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是（ ）
温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：（）
B．电压表显示的读数为6伏时，可变电阻电阻是10欧
C．电压表显示的读数为3伏时，对应测重人的质量为90千克
D．对应测重人的质量为105千克，电压表显示的读数为4伏
二、填空题
8．世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如下表：
摄氏温度值 0 10 20 30 40 50
华氏温度值 32 50 68 86 104 122
请推算当摄氏温度为时，华氏温度为 ．
9．将一次函数的图象绕其与轴的交点顺时针旋转，得到的图象对应的函数表达式是 ．
10．在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ．
11．如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
12．在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为，点P在函数的图象上，过点P作的切线，切点分别为M、N，则的最小值为 ，此时点P的坐标为 ．
13．如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ．
14．如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为 ．
三、解答题
15．太阳能光伏板是将太阳能转化为电能，并将电能储存起来的装置．某市政部门计划在路灯上安装一种智能太阳能光伏板，已知该太阳能光伏板某日的发电量与日照时间之间的关系如图所示．（假设早上8：00开始有光照）
(1)求段y与x之间的函数关系式；
(2)该市政部门规定每日（即日照后）打开路灯，次日的6：00关闭路灯，若路灯亮灯后每小时的耗电量为，试判断该太阳能光伏板当日提供的电量能否使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．（忽略其他因素对电能储存及消耗的影响）
16．某商场销售一种商品，进价为每件40元．经市场调研发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系．当售价为50元时，日销售量为350件；售价为60元时，日销售量为300件．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)设该商场销售此商品每日获得的利润为（元）．
①当该商品售价为多少元时，每日可获得最大利润，最大利润是多少元
②商场要求该商品日销售量不少于250件，且售价不低于40元，当售价为多少元时，每日可获得大利润是多少元
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点的长为10，点在轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点的对称点为点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标以及直线的解析式；
(3)当时，直接写出点的坐标．
18．如图，直线经过两点，已知，点是线段上一动点（可与点重合）；直线（为常数）经过点，交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)无论为何值时直线过定点，直接写出定点坐标______；
(3)在点的移动过程中，直接写出的取值范围______．
(4)当时，设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称．直接写出的值．
19．若函数“”图象上存在一点向左平移个单位长度，正好落在函数“”图象上，则称函数“”是函数“”的“遥感函数”，这个点（平移后的点）称为函数“”关于函数“”的“遥感点”．
(1)点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点”，求函数“”的解析式；
(2)函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“”：关于函数“”：有两个不同的“遥感点”，设它们为，．当为等边三角形时，求的面积；
(3)函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”．设抛物线与函数“”：的交点为，，抛物线顶点为．当四边形为矩形时，求函数“”的解析式．
《2025年中考数学专题训练：一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D B D A A C
1．C
【分析】本题考查了一次函数的性质，点的坐标，根据在第三象限的点的纵横坐标都是小于0，再结合一次函数的图象性质，得的图象经过第一、三、四象限，即可作答．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
∴
∴函数的图象经过第一、三、四象限，
故选：C．
2．D
【分析】取中点，过点C作，垂足为C，连接，证明是等边三角形，根据点，点得到的中点坐标为，则点B一定在直线上，根据等边三角形的性质确定点，设直线的解析式为，求得，得到解析式，代入验证即可．
【详解】解：取中点，过点C作，垂足为C，连接，
由旋转的性质得，
∴是等边三角形，
∵，，
∴点B一定在直线上，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
∴点，
解得，
∴直线解析式，
当时，，故直线不经过点；
当时，，故直线不经过点；
当时，，故直线不经过点；
当时，，故直线经过点；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，一次函数的解析式，图像与点，熟练掌握等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，一次函数的解析式是解题的关键．
3．B
【分析】先令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论．本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，涉及到函数的图像和性质，灵活运用所学知识是解题关键．
【详解】解：令，
整理得：，
由题意得：，
解得：，
当时，如图所示，

此时函数的对称轴在y轴左侧，
当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点A的坐标代入抛物线得：，
解得：，
故；
当时，如图所示，

此时函数的对称轴在y轴右侧，
当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点B的坐标代入抛物线得：，
解得：，
故，
∴，
综上所述：或，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查一次函数的图象，根据函数图象，可以得到，，，然后即可判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：由图象可得，，，，
A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．设一次函数为，根据题意代入和，得出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质即可求解．
【详解】解：设一次函数为，
代入和得，，
解得：，
一次函数为，
当时，，
解得：．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意即可得到函数关系式，熟知相关等量关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
利用待定系数法即可求出与踏板上人的质量之间的函数关系式；根据，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得到，求出欧；根据题意得到，求出，代入，求出千克；当时，，解得，设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏，得到，解得；即可得到答案．
【详解】解：将代入得，
解得，
，
故A选项不符合题意；
由题意可得，可变电阻两端的电压（伏），
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
（欧），
故B选项说法正确，不符合题意；
由题意可得，可变电阻两端的电压（伏），
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
（欧），
当时，，
解得（千克），
故C选项说法不正确，符合题意；
当时，，
解得，
设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏，
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
解得，
故D选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
8．95
【分析】本题考查了函数关系式，找出表格中的数据之间的关系是解题的关键．根据表格可知每增加，增加，当时，，即可确定与的函数关系式，再代入即可求解．
【详解】解：根据表格可知每增加，增加，
∴，
当时，，
故答案为：95．
9．
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法确定一次函数解析式，利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得，掌握旋转的性质是解本题的关键．
【详解】解：在一次函数中，
令，则可得，解得，
令，则，
直线经过点，．
将一次函数的图象绕与轴的交点顺时针旋转，如图所示：
，
，
，
，
，
，
点坐标为
设对应的函数解析式为：，
将点、代入得，
解得，
旋转后对应的函数解析式为：，
故答案为：．
10．或
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题．
【详解】解：令点B旋转后的对应点为
当点B在x轴上时，
令点B坐标为，
则
由旋转可知，
，，
所以点M坐标可表示为
将点M坐标代入得，
，
解得，
所以点B的坐标为，
当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N，
令点B坐标为，
由旋转可知，
，
所以，
所以
在和中，
，
所以，
所以，
因为点A坐标为，点B坐标为，
所以，，
所以，
则点M坐标为，
将点M坐标代入得，
，
解得，
所以点B的坐标为
综上所述：点B的坐标为或，
故答案为：或．
11．/
【分析】以点为原点，所在直线为坐标轴构造平面直角坐标系，过点作，过点作，设，则：，证明四边形为矩形，得到，，证明，求出点的坐标，进而得到点在直线上运动，求出直线与坐标轴的交点，过点作直线，得到当于点重合时，最小，等积法求出的长即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
以点为原点，所在直线为坐标轴构造平面直角坐标系，过点作，过点作，设，则：，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵旋转，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点，即：，
∴点在直线上运动，
设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线，
当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∵点在直线上运动，
∴当点与点重合时，的值最小为．
故答案为：
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数与几何的综合应用，解题的关键是构造坐标系，确定动点的轨迹．
12．
【分析】连接、，设直线分别交x轴、y轴于点L、H，由切线的性质及切线长定理得，，则，所以当的值最小时，则的值最小，由，得，可求得，，则，取点，连接交直线于点I，则，所以，由，求得，因为，所以当点P与点I重合时，的值最小，，则，所以，作轴于点F，则，进而可得到问题的答案．
【详解】解：连接、，
设直线分别交x轴、y轴于点L、H，
∵与相切于点M，与相切于点N，的圆心为，半径为，
∴，，，
∴，
∴，
∴当的值最小时，则的值最小，
∵点P、点A都在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，则的值最小，
直线，当时，，
当时，则，
解得，
∴，，
∴，
取点，连接交直线于点I，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，点P在直线上，
∴，
∴当点P与点I重合时，的值最小，此时的值最小，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为；
作轴于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、切线的性质、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，
∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是，
∴，；
∵，
∴，
∴，
当时，如图，作，交的延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
解得；
当时，如图，作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
解得，不合题意，舍去；
综上，；
故答案为：，．
14．
【分析】连接，根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，求出的长，即可得出的半径，证，可得四边形面积，当时，四边形的面积最小，利用三角函数求出的长，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，
∵过点向以P为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为E、F，
∴，，
∵，，
∴，
∵的半径为，
∴，
当时，最小，从而最小，此时，
∵四边形面积，
∴四边形面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定，三角函数的应用等，熟练掌握相关内容是解题的关键．
15．(1)；
(2)该太阳能光伏板当日提供的电量能使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．
【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是求出一次函数解析式；
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出日照时间10小时时该太阳能光伏板某日的发电量，再求出路灯12个小时的耗电量，比较即可．
【详解】（1）解：设段与之间的函数关系式为，
把和代入解析式得：，
解得：，
段与之间的函数关系式为；
（2）解：由（1）知段与之间的函数关系式为，
当时，，
，
，
该太阳能光伏板当日提供的电量能使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．
16．(1)
(2)①当该商品售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元；②当售价为70元时，每日可获得大利润是7500元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可得；
（2）①根据每日的利润（售价进价）日销售量建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；
②先根据题意建立一元一次不等式组，求出的取值范围，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
由题意得：，
解得，
所以与之间的函数关系式为．
（2）解：①由题意得：
，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为8000，
答：当该商品售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元．
②∵商场要求该商品日销售量不少于250件，且售价不低于40元，
∴，
解得，
由（2）①已得：，
由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，
则当时，取得最大值，最大值为，
答：当售价为70元时，每日可获得大利润是7500元．
17．(1)直线的解析式为；
(2)点的坐标为，直线的解析式为
(3)点坐标为
【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据题意求出，即点坐标为，将两点坐标分别带入，即可得到答案；
（2）以为对称轴作的轴对称图形为，设点的坐标为，求出点的坐标为．设直线的解析式为，即可得到答案．
（3）当时，由题意得点在第一象限，过作轴于点，证明，则可求得点D的坐标；设直线与交点为，点为中点，可得点E的坐标，求出直线的解析式为，即可得到答案．
【详解】（1）解：为直角三角形，，
，即，
解得，
即点坐标为，
将两点坐标分别带入，
得，
解得，
故直线的解析式为．
（2）解：以为对称轴作的轴对称图形为，
，
．
点在轴的正半轴上，
点的坐标为．
设点的坐标为，由题意可知．
在中，由勾股定理，得，解得．
点的坐标为．
设直线的解析式为．
点在直线上，
，解得．
直线的解析式为．
（3）解：当时，由题意得点在第一象限，如图，
过作轴于点，
，
，，
，
以为对称轴作的轴对称图形为，
，
在和中，
，
，
，
，
．
设直线与交点为，点为中点，
则点坐标为．
设直线的解析式为，
将点，分别代入直线方程，
得，
解得，
故直线的解析式为，
上式中，令，则，
则点坐标为．
18．(1)直线的函数表达式为
(2)
(3)或且
(4)的值为或或
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，一次函数图象的性质，中点坐标的计算方法是关键．
（1）设直线的解析式为，运用待定系数法即可求解；
（2）将直线变形得，当时，，函数与值无关，由此即可求解；
（3）当直线经过时，；当直线经过时，；当时，直线，则直线平行，没有交点，不符合题意，要舍去，由此即可求解；
（4）当时，，如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，与轴交于点，分类讨论：当点关于点对称，当点关于点对称，当点关于点对称，运用中点坐标公式计算即可求解．
【详解】（1）解：直线经过两点，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：直线（为常数），
∴，
∴当时，，
∴直线过的定点的坐标为；
（3）解：，点是线段上一动点（可与点重合），直线（为常数）经过点，
∴当直线经过时，，
解得，；
当直线经过时，，
解得，；
∵直线，
∴当时，直线，则直线平行，没有交点，不符合题意；
∵越大，函数图象越靠近轴，
∴或且；
（4）解：当时，，
如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，与轴交于点，
直线中，，则点的横坐标为，直线中，，则点的横坐标为，
∵其中两点关于第三点对称，
∴当点关于点对称，则，
解得，；
当点关于点对称，
∴，
解得，；
当点关于点对称，
∴，
解得，；
综上所述，的值为或或．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，把点代入函数“”： 得，，则得到平移前的点的坐标为，再代入函数“”： ，即可求解；
（2）由新定义可得， 函数“”：，即，函数“”：；再分情况：如图，当时，此时不符合题意；如图，当时，此时不符合题意；当时，如图，再进一步结合反比例函数，等边三角形的性质，勾股定理求解即可；
（3）如图，求解，，设，，可得，，而，，由，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：把点代入函数“”： 得，，
∴平移前的点的坐标为，
把代入函数“”： 得，，
∴函数“”的解析式为；
（2）解：∵函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，
∴，且向左平移2个单位得到，
∴函数“”：，即，
∴函数“”：；
如图，当时，
此时不符合题意；
如图，当时，
此时不符合题意；
当时，如图，
∵，
∴，整理得：，
设，
∵等边三角形，反比例函数都关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∵是的根，
∴，即，
∴，
∵不符合题意，
∴，
解得：，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形的面积为：；
（3）解：如图，
∵抛物线，
∴顶点横坐标为，纵坐标为，
∴，
同理：（其中为常数，且）的顶点的坐标为：
，
设，，
∵当时，
∴，
∴，，
而
，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，经检验符合题意；
∴，
∴，
解得：，
∴直线“”的解析式为．
【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，函数图象的平移，本题的难度很大，数形结合，计算是关键．
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