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2025年中考数学专题训练：二次函数
一、单选题
1．函数的最小值是（）
A．1 B． C．2 D．
2．已知二次函数在时有最小值，则（　　）
A．或 B．4或 C．或 D．4或
3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ）
A．19 B．16 C．15 D．12
6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 正方形的顶点 ， 在抛物线 上， 点在轴上，若，两点的横坐标分别为， （），下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．将抛物线绕点O顺时针旋转后，得到的抛物线解析式为
9．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为 ．
10．如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且．
（1）若，则的长度是 ；（2）线段的取值范围是 ．
11．已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为
12．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为
13．小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数图像的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像他得出以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的两根分别为和1；④若点，，均在二次函数图像上，则；其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
14．如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，点，与轴交于点，点在线段上，，直线绕点顺时针旋转得到．交直线上方抛物线于点，交线段于点，若，则点的坐标为 ．
三、解答题
15．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求a的取值范围．
16．为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是元，超市规定每箱售价不得少于元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱，每箱售价每提高元，每天要少卖出箱．
(1)求每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式；
(2)当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？
17．如图，抛物线与直线交于点，B，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点E，N是线段上一动点（不与点A，B重合），过点N的直线交抛物线于点M，且轴，连接，，，．
(1)求拋物线和直线的函数表达式．
(2)四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)求证：．
18．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，．
(1)当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________；
(2)在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米；
(3)设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，与x轴正半轴交于点A，点A坐标．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，，点D在上，，交于点C，，点E在第二象限，连接，，连接，过点E作的垂线，交过点F且平行的直线于点G，连接交于点M，过点A作x轴的垂线，交的延长线于点B，交的延长线于点R，，连接并延长交抛物线于点N，，点T在内，连接，，，交的延长线于点H，，求直线的解析式．
《2025年中考数学专题训练：二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B A A C D B
1．D
【分析】本题考查了二次函数性质，掌握顶点式表达式的有关性质是解题关键．利用二次函数顶点式求函数的最小值即可．
【详解】解：∵，
∴当时，y的最小值是，
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
利用二次函数的性质求出对称轴，然后分和两种情况讨论即可求解．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，
当时，
∵在时有最小值，
∴当时，，
；
当时，
∵在时有最小值，
∴当时，，
解得：；
综上所述：或，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了抛物线图像的平移，熟练掌握抛物线图像的平移方法是解题的关键．根据抛物线平移的方法：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可得到平移后的表达式．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
所以平移后的抛物线解析式为．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：，
∴；
故选A．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值．
【详解】解：在中，，，，
，
设运动时间为，则，，
当时，四边形的面积取最小值，最小值为．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得．
【详解】解：将点代入抛物线得：，解得，
将点代入抛物线得：，
如图，若抛物线与线段恰有一个公共点，
则的取值范围是，
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题．
【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
将，两点的横坐标代入函数解析式得，
点坐标为，点坐标为，
∴，，，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出旋转后顶点坐标横纵坐标变成原来的相反数，开口方向相反，开口大小不变是解本题的关键．根据题意将抛物线绕点O顺时针旋转后，顶点坐标横纵坐标变成原来的相反数，开口方向相反，开口大小不变，据此解答即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点是，绕点O顺时针旋转后，
∴顶点坐标为，开口大小不变，开口方向相反，即，
∴旋转后的解析式为．
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数图像的性质是关键．
依据题意，当时，或，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合，是抛物线上的两点，且，可得，最后计算可以得解．
【详解】解：∵当时，或，
∴抛物线开口向上，且对称轴是直线．
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小．
，
又∵，是抛物线上的两点，且，
∴．
．
．
∴．
故选：A．
10．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
（1）作于，如图，根据等腰三角形的性质得，再利用余弦的定义计算出，则，设，则，证明，利用相似比可表示出，将代入即可；
（2）利用二次函数的性质求的取值范围．
【详解】解：（1）作于，如图，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即，
，
而，
，
，即，
，
当时，；
（2），
故当时，最大，最大值为6.4，
当时，，
点D是边上一动点（不与B、C重合），
．
故答案为：，．
11．
【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】解：∵
，
∴对称轴为，
∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上，
∴，顶点坐标为，最小值为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程．
【详解】解：如图所示，
∵二次函数，
∴当时，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，
即直线的函数解析式为，
∵，点在抛物线上且在第一象限，
∴设点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令且，
解得，
此时直线的解析式为，当时，
∴点横坐标最大值是，
∴点经过的路程为：，
故答案为：．
13．②③④
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，特殊值的计算等知识是解题的关键．
根据图形可得图形开口向下，结合对称轴可得的符号，根据二次函数与轴的交点，对称轴的特点，函数的增减性即可求解．
【详解】解：根据图示可得，，
∵对称轴为，
∴，
∵二次函数与轴交点在轴上方，
∴，
∴，故结论①错误；
∵二次函数与轴的一个交代为，
∴当时，，故结论②正确；
∵对称轴为，与轴的一个交点为，
∴另一个交点为，方程的两根分别为和1，故结论③正确；
∵对称轴为，
∴当时的函数值与时的函数值相等，当时值最大，当时，随的增大而减小，
∵，
∴，故结论④正确；
综上所述，正确的有：②③④，
故答案为：②③④ ．
14．或
【分析】本题考查二次函数和平行线分线段成比例定理，过点P作于点E，过点P作于点M，过点D作于点F，过点Q作于点N，先求出的值，再根据面积比求出，进一步求出，从而求得，最后代入二次方程求出横坐标即可．
【详解】解，如下图所示，过点P作于点E，过点P作于点M，过点D作于点F，过点Q作于点N，
∵，，
∴，
对于二次函数，当时，，
∴，
当时，，，
∴，
∵
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∵，，，，
∴
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴,
∴，
当时，，
解得，，
故点的坐标为：或．
15．(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标公式，以及根据函数单调性结合点的位置来确定参数的取值范围．
（1）将代入抛物线表达式，通过配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标；
（2）先求出对应的函数值，再根据的正负性，结合二次函数单调性以及的条件确定的取值范围．
【详解】（1）解：（1）当时，抛物线为
∴抛物线的顶点坐标为直线．
（2）解：∵抛物线的对称轴为，对于，，分两种情况
①若，∵抛物线的对称轴为，
∴点在对称轴的右侧
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大
∴当时，y随x的增大而减小
，
∴点N在对称轴右侧，
，
．
②若
抛物线开口向下，
当时，y随x的增大而减小
当时，y随x的增大而增大
抛物线的对称轴为，
点关于对称轴的对称点为
，
，
即．
解不等式组得
综上所述，a的取值范围是或．
16．(1)
(2)当每箱售价定为元时，每天销售的利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了二次函数与一次函数在实际生活中的应用，求函数的最值时，注意自变量的取值范围，正确列出函数关系是解题的关键．
（1）根据题意列出函数解析式即可；
（2）根据题意得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得，；
即每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得
，
，且，
当时，w有最大值，．
故当每箱售价定为元时，每天销售的利润最大，最大利润是元．
17．(1)，
(2)存在，
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出点、，得到．设点N的横坐标为，则点，．再由结合二次函数的性质即可得解；
（3）证明是等腰三角形，过点A作，交于点D，过点B作，交于点F．则是的平分线，得出，从而得出，再由平行线的性质得出，即可得证．
【详解】（1）解：将点代入抛物线与直线中，得，，
解得，，
抛物线和直线的函数表达式分别为，；
（2）解：存在．
对于，令，得，
点．
，解得或，
点，
∴．
设点N的横坐标为，则点，．
，，
，
当时，的值最大，最大值为．
的最大值为．
（3）证明：由点，，
，
，
是等腰三角形．
如图，过点A作，交于点D，过点B作，交于点F．
是等腰三角形，
是的平分线，
．
，
．
，，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、等腰三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
18．(1)，
(2)保护网（线段）的长度至少为9米；
(3)
【分析】（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解；
（2）由平行于x轴，点N的坐标为，得出点M纵坐标为，代入解析即可得解；
（3）由发射点F不变，得出抛物线一定经过，然后分再经过，两种情况，讨论即可得解；
【详解】（1）解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴ ，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴ ，
∵抛物线必经过平台，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，理解题意是关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意易得，然后结合三角形面积公式，即可获得答案；
（3）作轴于J，连接，连接，作于W，作于，作轴于S，延长，交于Q，易得，证明是等腰直角三角形，可知四边形是正方形；再证明点共线，进而可得点共圆；证明 ，由全等三角形的性质可得，；设，，证明以及，结合相似三角形的性质可解得；证明，进一步可得，，，然后求得；作于，结合三角形面积公式可得；证明，，由全等三角形的性质解得，进一步证明，可得， ；设，结合，可解得，，即可确定点坐标；延长，交于X，作于L，交于Z，设交x轴于Y，易得，设，则， ，证明，易得，确定一不确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：将点和点代入抛物线，
可得，，解得；
（2）∵，点P的横坐标为t，
∴，
∴；
（3）如图1，作轴于J，连接，连接，作于W，作于，作轴于S，延长，交于Q，
则，
把代入，可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴可得四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点共线，
∵，，
∴，
∴点共圆，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，，
∴， ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于，
由得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
设，
∵，，
∴，，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴a，
∴，
∴，
∴，
如图2，
延长，交于X，作于L，交于Z，设交x轴于Y，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则， ，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得，
∴y．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆内接四边形等知识，综合性强，难度大，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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