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2025年中考数学专题训练：二元一次方程组与实际问题
一、单选题
1．密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母和的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙：，，；密匙：，，，其中每个密匙表示的是个互不相等的有理数，且密匙，都表示的是个相同的有理数，则（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下：
根据他们的对话得到以下四个结论：
①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④
4．某份资料计划印制2000份，该任务由，B两台印刷机先后接力完成，印刷机印制150份印刷机印制200份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（ ）
甲 解：设印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得
A．只有甲列的方程组正确 B．甲和乙列的方程组都正确
C．只有乙列的方程组正确 D．甲和乙列的方程组都不正确
5．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜4元，小王打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜1元，则根据题意可得到下列哪一个结论（ ）
A．一份套餐的价钱必为14元 B．一份套餐的价钱必为12元
C．单点一片鸡排的价钱必为9元 D．单点一片鸡排的价钱必为7元
二、填空题
7．如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等．设一块巧克力的质量是，一个果冻的质量是，可列方程组： ．
8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天．
9．4辆小卡车和5辆大卡车一次能运货，设每辆小卡车每次运货，每辆大卡车每次运货．
①列出关于x，y的二元一次方程： ．
②已知，则 ．
③若每辆大卡车每次运货，则每辆小卡车每次运货 t．
10．你喜欢足球运动吗？足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块块、黑色为块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为 ．
11．当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从1.2吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等，求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，提炼出白银y克．请列出方程组 ．
12．中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算，《九章算术》第八章算为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是 ．
13．一个旅游团去游览某个水上景点，游客可以沿岸边徒步游览，也可以乘坐游船游览，都是原路去，原路返回，如果乘坐游船，方式和费用为：单程每人100元，往返每人150元．若该旅游团队每个人都至少乘坐一次游船，去程时有9人乘坐游船，返程时有13人乘坐游船，他们乘坐游船的总费用是1800元，则该旅游团队只乘坐一次游船的有 人．
14．《孙子算经》中有这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意如下：有若干个人乘车，若每3人共乘一辆，则剩余2辆车；若每2人共乘一辆，则有9人无车可乘，问人数和车数各是多少？若设车数为，人数为，则可列方程组： ．
三、解答题
15．2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场欲新增一些滑雪板。若购进单板雪板30套，双板雪板50套共需66000元；若购进单板雪板40套，双板雪板10套共需37000元．
(1)求购进的单板雪板和双板雪板的单价分别是多少元？
(2)若该滑雪场准备用少于123000元的金额购进这两种雪板共计150套，求单板雪板至少要购进多少套？
16．某校为奖励期末考试成绩优秀的学生，计划购买A，B两种奖品．已知在线下商店购买A种奖品20个，B种奖品15个共需1150元；在线下购买A种奖品11个，B种奖品12个共需745元．经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店A种奖品的单价和线下商店一样，但线上商店B种奖品有优惠活动，线上B种奖品的单价是线下B种奖品的单价的八折．
(1)求线下A，B两种奖品的单价；
(2)学校要求购买奖品总数是100个，购买A种奖品50个，学校在线上商店需要支付多少元？若购买A种奖品70个，学校在线上商店需要支付多少元？
(3)若学校要求购买奖品总数是100个，A种奖品的个数不得少于B种奖品个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的A种奖品和B种奖品才能使得所花费用最少？
17．某公司采购办公用品的方案如下表所示（每次都同时购进甲、乙两种物品）：
分三次采购甲、乙两种办公用品，同种物品每次采购价格相同．
采购批次 甲数量（件） 乙数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 20 410
第二次 50 30 660
第三次 甲、乙共60件，且甲的数量不低于乙数量的4倍
根据上表，解答下列问题：
(1)甲、乙两种办公用品每件的采购价各是多少元？
(2)该公司第三次应怎样购买甲、乙两种办公用品才能使该次采购总费用最低？最低费用是多少元？
18．清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式：
方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长；
方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%．
明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？
19．骑电动车时佩戴安全头盔至关重要，可以减少意外伤害，某商店销售进价分别为45元/个、36元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
时间 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售金额（元）
周一 10 10 1150
周二 8 12 1120
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；
(2)甲、乙两种头盔共售出60个，为实现利润达到950元的目标，求至少需要卖多少个甲头盔．
20．列方程解应用题
今年春节期间，坐落于彩云湖畔的“彩云灯会”盛况空前，景区购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼销售，其进价如下：
类型 进价（元／个）
富贵牡丹 25
龙腾虎跃 35
(1)灯会第一天，景区共购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼共80个，进货款恰好为2300元．求这两种灯笼各购进多少个？
(2)为提升人气，第二天景区决定增加购入进价15元／个的吉祥如意灯笼，并推出促销方案：“买4个富贵牡丹灯笼送1个吉祥如意灯笼，买5个龙腾虎跃灯笼送2个吉祥如意灯笼．若进货款比第一天多了490元，第二天购进数量恰好满足促销方案，求三种灯笼各购进多少个？
《2025年中考数学专题训练：二元一次方程组与实际问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A B B C C
1．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，根据题意分若，有或和若，有或两种情况分析求出，然后检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵密匙，都表示的是个相同的有理数，
∴（）若，有或，
当时，，不符合题意；
当时，则，所以，
∴密匙，的三个数为，，，
（）若，有或，
当时，则，，不符合题意；
当时，则，，不符合题意；
综上可知：，，
∴；
故选：．
2．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设共有人，物品的价格为钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可．理解题意，弄清数量关系是解题关键．
【详解】解：设共有人，物品的价格为钱，根据题意得：
．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程组得出甲车载客量为人，乙车载客量为人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解．
【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人，根据题意得，
解得：
∴甲车载客量为人，乙车载客量为人，
∴每辆甲车的载客量要比乙车多15人，故①正确；
设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意得，
解得：，
∴
∴方案一：租甲车4辆，则租乙车2辆，
方案二：租甲车5辆，则租乙车1辆，
∴共有两种租车方案，故②正确；
依题意，甲车的费用为元/辆，乙车的费用为元/辆
方案一费用：元，方案二费用：元
③租车最低费用是2160元，故③正确；④不正确
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设印刷机印制了，印刷机印制了，根据某份资料计划印制2000份可得，根据两台印刷机完成该任务共需可得，设印刷机印制了份，印刷机印制了份，根据某份资料计划印制2000份可得，根据两台印刷机完成该任务共需可得，即可得解．
【详解】解：设印刷机印制了，印刷机印制了，
根据某份资料计划印制2000份，两台印刷机完成该任务共需可得，
故甲的方程组正确；
设印刷机印制了份，印刷机印制了份，
根据某份资料计划印制2000份，两台印刷机完成该任务共需可得，
故乙的方程组正确；
故选：．
5．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设竿长尺，绳索长尺，
根据题意得，，
故选：．
6．C
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设出未知数，根据题意找对等量关系是解决本题的关键．设一片鸡排的价钱为元，一杯可乐的价钱为元，一份套餐的价钱为元，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设一片鸡排的价钱为元，一杯可乐的价钱为元，一份套餐的价钱为元，根据题意得：
，
①②得：，
一片鸡排的价钱为9元．
故选：C．
7．
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量=两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量克．根据这两个等量关系式可列一个方程组．
【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克．
由题意列方程组得：，
故答案为：．
8．11
【分析】本题是一道关于天气情况的方程求解的问题．解题关键在于根据所给的 “早晨下雨则晚上晴天”“晚上下雨则早晨晴天” 以及下雨天数、早晚晴天天数等条件，建立方程来求解总天数．
解法一：设早晨下雨天数为，总天数为． 依据“早晨下雨天数与早晨晴天数关系”以及“晚上下雨天数与晚上晴天数关系”列出方程组．求解方程组得出总天数；解法二：设总天数为，早晨下雨天数为，晚上下雨天数为． 根据“下雨总天”“晚上晴天数”“早晨晴天数”这三个条件列出三元一次方程组， 解方程组即可．
【详解】解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，
根据题意得：，
①+②得：，
．
所以一共有11天；
解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天，
根据题意得：，
解得：．
所以一共有11天．
故答案为：11．
9． 5 3
【分析】本题考查二元一次方程的解，首先根据题意列出二元一次方程，然后根据题目提供的条件进行求解．
【详解】解：①列出关于x，y的二元一次方程： ；
②当时，则，解得：；
③当时，则，解得：；
故答案为：；5；3．
10．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系．设设一个球上有白色皮块块、黑色为块，根据“足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成”与“黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形”列方程组即可．
【详解】解：设一个球上有白色皮块块、黑色为块，
∵每块白色皮块有六条边，共条边，且每块白色皮块有条边与黑色皮块的边连在一起，
∴黑色皮块共有条边与白色皮块相连接，
∵所有黑色皮块的边数为，
∴可列式为．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，提炼出白银y克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克，从5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从1.2吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等，列出方程组即可．
【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，提炼出白银y克，根据题意得：
，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了列二元一次方程，弄清图的意义是解题的关键．
根据题意可知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，据此列出方程即可．
【详解】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：．
故答案为：．
13．
【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．设此旅行团单程搭乘游船，单程步行的有x人，其中去程及回程均搭乘游船的有y人，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
【详解】解：设此旅行团单程搭乘游船，单程步行的有x人，去程及回程均搭乘游船的有y人，
根据题意得，
解得，
∴该旅游团队只乘坐一次游船的有人；
故答案为：6．
14．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用关键题意正确列出方程组是解题的关键．
根据题意列出方程组即可．
【详解】解：根据题意列方程组得，
故答案为：．
15．(1)700元和900元
(2)61套
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设购进单板雪板的单价元，购进双板雪板单价元，根据“若购进单板雪板30套，双板雪板50套共需66000元；若购进单板雪板40套，双板雪板10套共需37000元”建立二元一次方程组求解；
（2）设购进单板雪板套，根据“该滑雪场准备用少于123000元的金额购进这两种雪板共计150套”建立不等式求解．
【详解】（1）解：设购进单板雪板的单价元，购进双板雪板单价元，
依题意得，
解得
答：购进单板雪板和双板雪板的单价分别是700元和900元；
（2）解：设购进单板雪板套，
依题意得：，
解得
为正整数
的最小值为61
答：单板雪板至少要购进61套．
16．(1)种奖品在线下购买的单价为35元，种奖品在线下购买的单价为30元
(2)当种奖品线上购买50个，种奖品线上购买50个时所需费用为元；
当种奖品线上购买70个，种奖品线上购买30个时所需费用为元
(3)学校在线上购买67个种奖品和33个种奖品才能使得所花费用最少，该费用的最小值为3137元
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设种奖品在线下购买的单价为元，种奖品在线下购买的单价为元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）根据总费用等于单价乘以数量，列出算式计算即可；
（3）设学校在线上购买种奖品个，线上购买种奖品个，总共需要支付费用为元．根据题意，列出不等式，求出的取值范围，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设种奖品在线下购买的单价为元，种奖品在线下购买的单价为元，
由题意得，，解得
答：种奖品在线下购买的单价为35元，种奖品在线下购买的单价为30元．
（2）当种奖品线上购买50个，种奖品线上购买50个时所需费用：（元）；
当种奖品线上购买70个，种奖品线上购买30个时所需费用：（元）．
（3）设学校在线上购买种奖品个，线上购买种奖品个，总共需要支付费用为元．
由题可知，，解得：．
∵，，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，
（元）．
答：学校在线上购买67个种奖品和33个种奖品才能使得所花费用最少，该费用的最小值为3137元．
17．(1)每件甲种办公用品的采购价为9元，每件乙种办公用品的采购价为7元
(2)该公司第三次采购48件甲种用品，12件乙种用品，总费用最低，为516元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设每件甲种办公用品的采购价为元，每件乙种办公用品的采购价为元，再列出方程组，解得，即可作答．
（2）先列式，得，依题意，得，运用一次函数的性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：设每件甲种办公用品的采购价为元，每件乙种办公用品的采购价为元．
由题意得，，
解得．
每件甲种办公用品的采购价为9元，每件乙种办公用品的采购价为7元．
（2）解：设第三次采购件甲种用品，采购件乙种用品．
由题意得，
解得，
．
设该公司第三次采购的总费用为元．
由题意得，
，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，为，
此时．
该公司第三次采购48件甲种用品，12件乙种用品，总费用最低，为516元．
18．第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟．
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟，打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，据此列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟，
则，
即，
解得，
答：第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟．
19．(1)甲头盔的销售单价为65元，乙头盔的销售单价为50元
(2)至少需要卖19个甲头盔
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，由题意可得方程组，进而求解即可；
（2）设卖出m个甲头盔，则卖出了个乙头盔，由题意可得，进而求解即可
【详解】（1）解：设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元．
根据题意得，
解得．
答：甲头盔的销售单价为65元，乙头盔的销售单价为50元；
（2）解：设卖出m个甲头盔，则卖出了个乙头盔．
根据题意得，，
解得．
是正整数，
的最小值为19．
答：至少需要卖19个甲头盔．
20．(1)富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进个和个
(2)购进富贵牡丹灯笼40个，龙腾虎跃灯笼40个，吉祥如意灯笼26个
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键：
（1）设富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进个和个，根据共购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼共80个，进货款恰好为2300元，列出方程组进行计算即可；
（2）设富贵牡丹购进个，龙腾虎跃购进个，则吉祥如意购进个，根据进货款比第一天多了490元，列出方程，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进个和个，由题意，得：
，解得：，
答：富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进个和个；
（2）设富贵牡丹购进个，龙腾虎跃购进个，则吉祥如意购进个，由题意，得：
，
化简得：，
∵均为正整数，
∴经过试数可得，，
∴富贵牡丹灯笼的个数为：个
龙腾虎跃灯笼的个数为：个
吉祥如意灯笼的个数为：个
答：购进富贵牡丹灯笼40个，龙腾虎跃灯笼40个，吉祥如意灯笼26个．
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