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2025年中考数学专题训练：反比例函数
一、单选题
1．从1，，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”．下列函数图象上不存在“倍值点”的是（ ）
A． B． C． D．
3．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，函数与的图象相交于点，直线与和分别交于点，，下列说法中错误的是（ ）
A．两函数图象的交点的坐标为
B．当时，
C．当时，
D．当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小
6．如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，则k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
8．反比例函数的图象在第 象限．
9．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当时，，那么当时， A．
10．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，点在线段上（不与端点重合）．将线段绕点顺时针旋转，得到线段．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
12．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为 ．
13．如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为 ．
14．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为
三、解答题
15．如图，反比例函数的图像经过点和点．
(1)求该反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的点仍落在该反比例函数的图象上，求的值．
16．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)当点的坐标为时，求，的值；
(2)将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，使得点，关于原点对称，求的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，点B的坐标为．
(1)求n的值和反比例函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
18．已知直线与双曲线的图象交于A，B两点，且．
(1)求双曲线的解析式；
(2)将直线平移得，当平移后的直线与双曲线没有公共点时，直接写出的取值范围．
(3)直线交双曲线于，交线段于N，求面积的最大值．
19．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，连接．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在x轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：)：
桌面所受压强 250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 a 0.25
(1)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值；
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上）
《2025年中考数学专题训练：反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A C B B B A
1．A
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质．
根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，在根据概率公式即可解答．
【详解】解：根据题意列出表格如下：
1 3
1
3
、在双曲线图象上，
由表可知，一共有6种情况，点在双曲线上的情况有2种，
∴点在双曲线上的概率，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了新概念，函数图象上点的坐标特征，解方程等知识，理解新概念“倍值点”是关键．根据题意，存在“倍值点”的函数图象上点满足，即为；把此点坐标分别代入四个选项中的函数式中，若方程无解则函数图象上不存在“倍值点”，即可求解．
【详解】解：根据题意，存在“倍值点”的函数图象上点满足．
把点代入，得，此方程无解；
把点代入，得，解得或；
把点代入，得，解得或；
把点代入，得，等式恒成立，可为任意值，
故选A．
3．C
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出k的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选C．
4．B
【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当，在每一象限内y随x的增大而减小；当，在每一象限内y随x的增大而增大．
反比例函数中，则每一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围．
【详解】解：∵在反比例函数中，
∴反比例函数图象在第一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴这两个点在第三象限，
∴，
解得：，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质以及反比例函数的性质，A联立两函数解析式求解即可得出答案；B．观察函数图象，可找出当时，．C．利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出点B，C的坐标，进而可得出；D．利用正比例函数的性质及反比例函数的性质，可得出答案．
【详解】解：A，解得：或（舍去）
∴点A的坐标为，说法正确，故选项A不符合题意；
B．观察函数图象，可知∶当时，，原说法错误，故选项B符合题意；
C．当时，，，∴点B的坐标为，点C的坐标为，，原说法正确，故选项C不符合题意；
D∵，∴当x逐渐增大时，随着x的增大而增大；
∵，且，
∴当x逐渐增大时，随着的增大而减小，原说法正确，故选项D不符合题意，
故选∶B．
6．B
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义．设分别于x轴交于点E，G，与y轴交于点F，H，可得边形，均是矩形，从而得到，进而得到，再由反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图，设分别于x轴交于点E，G，与y轴交于点F，H，
∵四边形是矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，
∴，，
∴四边形是矩形，
同理四边形均是矩形，
∴，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，点A的坐标为，
∴，
解得：．
故选：B
7．A
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．
推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④．
【详解】解：①当时，，当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴在时，，即，
∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当时，，当时，，
∵对称轴为y轴，，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴在时，，即，
∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，
整理得：，
∵，，
∴总存在，
∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
④函数的对称轴为，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
设，则，
当函数存在“4级关联范围”时，，
解得：，
∴是函数的“4级关联范围”，
∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
8．四
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是关键．
根据反比例函数解析式，反比例函数图象的性质求解即可．
【详解】解：反比例函数中，，
∴图象经过第二、四象限，
当时 ，反比例函数图象在第四象限，
故答案为：四 ．
9．2
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由题意可设，把时，代入得：，
∴，
把代入得：；
故答案为2．
10．2
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用整体思想是解题的关键．
根据题意，将点P坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式，再结合整体思想即可解决问题．
【详解】解：由题知，将点坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式得，
，
又∵，
，
则，
∴．
故答案为：2．
11．2
【分析】本题考查了旋转的性质，反比例函数图形的性质，掌握旋转的性质，反比例函数图象的性质是关键．
根据题意，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴轴，
∵，
∴，
∴，即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，整理得，，
解得，，
当时，，当时，，与点重合，不符合题意，舍去，
∴，
故答案为：2 ．
12．
【分析】本题考查反比例函数的的几何意义，如图，连接，由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴
∴，
即的值为．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握相关性质是解题关键．
设，则，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出a的值即可解答．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵在中，轴，，
∴，，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：．
15．(1)，
(2)的值为6
【分析】本题主要考查反比例函数的性质、平移的性质和解一元二次方程，
（1）根据待定系数法求得反比例函数解析式，将点代入即可求得a；
（2）根据平移的性质得到平移后点的坐标，再将点代入反比例函数解一元二次方程即可求的m．
【详解】（1）解：将点代入，得，
反比例函数的表达式为．
将点代入，得，
点的坐标为．
（2）解：将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，
则所得点的坐标为．
将点代入，得，
解得（舍），或．
故的值为6
16．(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析以及反比例函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据正比例函数的中心对称性即可求出的值．
【详解】（1）解：将点代入一次函数，
得，
解得，
将点代入反比例函数，
得；
（2）解：一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，可得，
根据题意，得，
解得．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可得解；
（2）先求出点的坐标，再结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：联立
解得，
∴点A的坐标为．
结合函数图象可知，当时，．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确理解题意是解此题的关键．
（1）化简方程组，得到，于是得到，，根据的长度列方程可得结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）设，，表示出三角形面积即可得出答案．
【详解】（1）解：联立，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意得直线l向下平移，，化简为：，
∵平移后的直线与双曲线没有公共点，
∴，
∴；
（3）解：∵直线交双曲线于，交线段于N，
∴轴，
设，，
∴，
∴面积的最大值是．
19．(1)
(2)存在，
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数的平移，轴对称最短路径问题，掌握以上知识是解题的关键．
（1）首先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）首先联立表达式求出，作点关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，即为所求，然后求出直线的函数表达式为，令，进而求解即可．
【详解】（1）正比例函数的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式为，
把点代入，得，
∴．
把点代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）存在．
理由：联立正比例函数和反比例函数得，
解得或
∵点A在第一象限，
∴．
作点关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，即为所求，
∴．
设直线的函数表达式为
把，代入，得
解得
∴直线的函数表达式为
令，则，解得，
∴．
∴在x轴上存在点，使得的周长最小．
20．(1)；；
(2)见解析．
【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、反比例函数图像与性质等知识，读懂题意，找出反比例函数表达式是解决问题的关键．
（1）根据题中数据，可知压强关于受力面积的满足反比例函数关系，待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中关系式，求出接触面积，代值求解与玻璃桌面承受的最大压强为比较即可得到答案．
【详解】（1）解：，
压强关于受力面积的满足反比例函数关系，
设压强关于受力面积的函数表达式为，则，
压强关于受力面积的函数表达式为；
把代入，得，
解得；
（2）这种摆放方式不安全．
理由：由已知，
此时，
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为10cm这一面置于玻璃桌面时，
此时，则
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为40cm这一面置于玻璃桌面时，
此时，则
∴这种摆放方式是安全的．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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