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龙城高级中学-广东仲元中学2024-2025学年度
第二学期高二年级期中联考数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知等比数列则（　　）
A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10
2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得最大值
B. 在区间上单调递减
C. 在处取得极大值
D. 在区间上有2个极大值点
3. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种.
A. 18 B. 24 C. 27 D. 64
4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. 74 B. 121 C. D.
5. 已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ）
A. 若点在圆上，则直线与圆相切
B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离
D. 若点在直线上，则直线与圆相切
6. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步向上走一级，也可以一步向上走两级，某同学从二楼到三楼准备用步恰好走完，则该同学从二楼到三楼共有（ ）种不同上法．
A. B. C. D.
7. 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若、、成等差数列，则、、成等差数列
B 若、、成等差数列，则、、成等比数列
C 若、、成等比数列，则、、成等差数列
D. 若、、成等比数列，则、、成等比数列
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A. B. 双曲线C的离心率为2
C. 直线倾斜角的取值范围为 D. 若，则三角形的面积为2
11. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
A. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则
B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面
C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为
D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若（为正常数）的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为__________．
13. 已知数列的前项和为，若，则__________.
14. 若存在实数使得，则实数的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象过点，且．
（1）求函数在点处的切线方程
（2）求函数在上的值域．
16. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正切值．
17. 已知抛物线，为的焦点，为的准线是上两点，且（O为坐标原点），过作，垂足为D，点D的坐标为.
（1）求C的方程；
（2）在C上是否存在点，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线的斜率均成等差数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
18. 已知函数且．
（1）当时，判断函数零点的个数；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）当时，证明：．
19. 角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题：
（1）若，求数列的项数；
（2）若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合；
（3）对任意的数列，求证：．
A
C
A
D
C
B
A
A
ABD
AD
ACD
24
54
15.（1）因为，则，
由已知条件得，解得，所以，
所以，则，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）由（1）知，，，由可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，函数在区间上的极大值为，极小值为，
又因为，，故函数在区间上的最大值为，最小值为.
值域为
16.（1）延长交于点，连接，，
，且，
，
点为的中点，
为的重心，
、、三点共线，且，
，
又侧面，侧面，
侧面；
（2）在侧面内，过作，垂足为，
侧面底面，，侧面，
底面，因为底面，所以，
又侧棱与底面成的角，，
，，，
在底面内，过作交的延长线于点，连接，
，平面，
平面，又平面，，
平面与底面的交线为，
为所求二面角的平面角，
，，
，
在中，，
故平面与底面成锐二面角的正切值为．
17.（1）由题意可得：，所以，
所以直线的方程为：，
设，
联立抛物线方程消去得：，
所以，
所以，
因为，所以，
即，解得：，
所以抛物线方程为：
（2）
由（1）得，假设存在满足题意，
过点得动直线方程为，
联立，解得则，设，
联立，消去得：，
所以，
直线得斜率为，直线得斜率为，
直线的斜率为，
因为直线的斜率均成等差数列，
所以，
整理得：，对任意恒成立，
所以，解得：或，此时，
即存在或满足题意；
18.（1）当时，，该函数的定义域为，
则，令，可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
所以，函数的极大值为，极小值为，
当时，，
当时，，，由零点存在定理可知，存在，使得，
综上所述，当时，函数有且只有一个零点.
（2）函数且的定义域为，
且，
当时，由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为.
故当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）当时，，
要证，即证，
即证，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
当时，；当时，.
所以，函数的值域为，
要证，即证，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
因此，对任意的，，故原不等式得证.
19. （1）因为，根据题意可得，，，
，，，，，
所以数列的项数为.
（2）由题意可得，
因为，则，，或，
①当时，，或，
当时，则；当时，；
②当时，则，，所以或.
综上所述，的取值集合为.
（3）依题意，，，
当时，显然成立；当时，，即也成立；
当时，对任意，，
故，即，
①当时，由，，
所以；
②当时，由，，
，所以.
综上所述，任意数列，.

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