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贵州省贵阳市清华中学2024 2025学年高二下学期4月阶段性测试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．45 B．27 C．20 D．18
4．已知函数，则在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．有个数，它们能构成一个以为首项，为公比的等比数列，现从这个数中随机抽取一个数，则这个数小于的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．某班在星期三上午有四节课，下午有两节课，现要安排一天中语文 数学 英语 物理 化学和体育6节课的课程表，要求数学必须排在上午，体育排在下午.则不同的排法总数是（ ）
A．192 B．120 C．96 D．72
7．已知是双曲线的左、右焦点，在双曲线上存在点满足，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ）
A．1或 B．或 C．1或 D．2或
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导数运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数是单调递增函数，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是的一条对称轴
B．函数在上的值域为
C．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
D．函数在上既有2个极大值点，也有2个极小值点
三、填空题（本大题共3小题）
12．若在处的切线为，直线的倾斜角为，则 .
13．设点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则的面积是 .
14．已知函数有零点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．四名男生与三名女生共七名同学站成一排.
(1)若女生甲既不站排头，也不站排尾，共有多少种不同的站法？
(2)若三名女生互不相邻，不同站法有多少种？
(3)求女生甲与男生乙之间恰好相隔一人的概率.
16．在2025年春节，正值华夏大地沉浸于传统佳节的浓厚氛围中时，以梁文峰为核心的一众中国本土科学家推出了人工智能超大模型举世瞩目.这一璀璨成果极大地激发了中国人民在科技创新领域的自信心，同时还进一步增强了华夏儿女内心深处的民族自豪感.为了解这一科技对社会的影响力，某电视台在一次节目中随机抽查了200名电视观众，根据他们的年龄以及对科技发展的关注倾向获得相关数据如下表所示：
科技类 文艺类 总计
20至50岁 90 108
大于50岁 62 92
总计 120 80 200
(1)求出表中的值，并由表中数据直观分析，收看科技节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看科技类节目的观众中随机抽取8名，两个年龄段的观众应该各抽取几名？
(3)在上述抽取的8名观众中任取3名组成科普小组，求年龄在20至50岁中的甲与年龄大于50岁中的乙至少有一人被抽中的概率.
17．如图，在直三棱柱中，是棱中点，AD的延长线与的延长线的交于点P.
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的夹角的余弦值.
18．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点，
①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求的最大值.
19．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的范围；
(3)若有两个极值点，求的范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】解不等式，得，则，而，
因此，又，所以.
故选D.
2．【答案】B
【详解】.
故选B.
3．【答案】A
【详解】因为是等差数列，则，由已知，
可得，所以，
所以.
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为在区间上恒成立，当且仅当时，取等号，
所以在区间上单调递减，则在上的最小值是，
故选C.
5．【答案】B
【详解】易知等比数列的通项为，
所以这个数为，
则从这个数中随机抽取一个数，这个数小于的概率是，
故选B.
6．【答案】A
【详解】先从上午的4节课中选一节排数学，有种排法；
再从下午的两节课中选一节排体育，有种排法；
最后剩余4门课，没有限制条件，排法有种排法.
根据分步乘法计数原理，满足条件的排法种数有：种.
故选A.
7．【答案】D
【详解】设，又，所以，
又在双曲线上的一点，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选D.
8．【答案】C
【详解】由题意，，则，
因为，所以切线过点，斜率为，
则直线的方程为即.
所以圆心到直线的距离，
整理得，解得或.
故选C.
9．【答案】BC
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选BC.
10．【答案】AC
【详解】，
因为函数是单调递增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
所以.
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】由图知，，
所以，由可得，
，即，
由可得，
所以，
对于A：，
所以是的一条对称轴，故A正确；
对于B：，，，
所以，所以函数在上的值域为，故B错误；
对于C：函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
可得，，
所以的图象关于点对称，故C正确；
对于D：，，，
由在上的图象，
可知函数在上既有2个极大值点，也有2个极小值点，故D正确；
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
所以，即，
所以.
13．【答案】
【详解】由题知，设直线为，
联立，得，
设，，则，
所以，，不妨令，
则，，
所以，，
所以，直线为，即，
所以，
又到直线距离为，
所以的面积为.
14．【答案】
【详解】求函数的导数得，
令，则，
∴函数在上单调减，在上单调递增，
∵当时，；当时，，
∴由题意可知，
∴.
15．【答案】(1)3600
(2)1440
(3)
【详解】（1）由已知可以分步完成：第一步，先排首位，有种方法；第二步，排末位，有种方法；第三步，其余5个位置（包括甲）有种方法，从而完成的方法总数是：
（2）依题意，分两步完成：第一步，先排男生，有种方法，且形成了5个空位，第二步，从这5个空位中任取3个位置来站女生，有种方法，则完成这个事件的方法总数是：
（3）由题意，7人站成一排的总数是，又甲，乙之间隔一人的情况有5种，甲乙互换位置有种，将3人看成一个人，共有5个人进行全排列，共种，从而甲乙之间隔一人的概率为：
16．【答案】(1)，有关
(2)年龄段在20至50岁的观众抽取6人，年龄段大于50岁的观众抽取2人.
(3)
【详解】（1）由表格数据知.；.
由数据知年龄段在20至50岁的观众关注科技类的人数大大超过关注文艺类的人数，而年龄段大于50岁的观众关注科技类的人数大约相当于所调查人数的三分之一 从而可知收看科技节目的观众显然与年龄有关. （注：本问只要说出任何理由均可给分）
（2）设年龄段在20至50岁的观众抽取人，年龄段大于50岁的观众抽取y人，由（1）知，根据分层抽样原则：
即年龄段在20至50岁的观众抽取6人，年龄段大于50岁的观众抽取2人.
（3）由（2）知：年龄段在20至50岁的观众抽取6人，年龄段大于50岁的观众抽取2人，考虑对立事件，若甲，乙都不抽取，则有种情况，则甲，乙两人至少有一个被抽取的概率为
.
17．【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：如图，连接与交于点，连接，由四边形是平行四边形，知为的中点.
由题意为的中点，
由
即为的中点，
为的中位线，则，又平面，
平面.
（2）由题意，在矩形中，与互相平分，又则四边形为正方形，从而.
又，则得，
.从而两两垂直，且.
现分别以为轴，建立起空间直角坐标系，则有
，设平面的法向量为，
由，
取，则.
又，
设平面的法向量为，
由，
取，可得，
.
18．【答案】(1)
(2)①证明见解析，定值为1；②4.
【详解】（1）由题意，则是等腰直角三角形，即得，从而.
又椭圆过点则有解得.
椭圆的方程：.
（2）
①由（1）知椭圆的方程为，设直线的方程：，则的方程是.
令，
由可得
则有
，
同理得，
.
即直线的斜率为定值，且定值为1.
②由①知，
则
又，当且仅当即当时等号成立，
所以，即的最大值为4.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，当时，有
，，，
在处的切线方程为，
即
（2）由，
从而.令，
得，当时，，在上单调递减，
时，不符合条件，从而.
当时，令，则在上单调递减，在上单调递增，
则由.
当恒成立时，的范围.
（3）由已知得，又，
令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，所以，
又，即的图象与x轴只有唯一交点.
的图象如图所示：

从而有两个极值点等价于与的图象有两个不同的交点，由图知
即.

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