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江苏省常州市金坛区第一中学2024 2025学年高二下学期4月阶段性调研数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
3．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．给出下列四个命题，其中正确的有（ ）
（1）若空间向量，，，满足，，则；
（2）空间任意两个单位向量必相等；
（3）对于非零向量，由，则；
（4）在向量的数量积运算中
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
5．某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如果随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机变量的分布列如下，则（ ）
1 2 3 4
A． B．
C． D．
10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点E是棱上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点E，使平面
B．存在点E，使平面
C．若点E为中点，则点C到平面的距离为
D．二面角夹角最大时，
11．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值是
B．在上单调递减
C．对任意两个正实数，且，若，则
D．若关于x的方程有3个不等实数根，则m的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ；
13．已知，空间向量，，．若，，共面，则 ．
14．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)求的值；
(2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；
(3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望.
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
17．如图，已知平行六面体.
(1)若，求的长度；
(2)若，求与所成角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，N分别为AB，PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)平面PAD与平面MND夹角的余弦值；
(3)在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面PBC所成角为若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由.
19．有一水平直角通道，其宽度分别为1米和米.现要将一批钢管从通道水平抬至通道.为了计算能抬过去的钢管最大长度，建立模型如图所示，设一根长度为的钢管经过点且两端与通道壁恰好接触于，两点时，钢管与通道壁的夹角为（不计钢管直径）.
(1)求长度与的函数关系式；
(2)问能否将一长度为9米的钢管水平抬过去，请说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【详解】依题意，点关于轴的对称点为.
故选D.
2．【答案】A
【详解】解：由函数的图像可知：
当时，函数单调递增，
又在各点处的切线的斜率越来越大且为正，
所以，即.
故选A.
3．【答案】D
【详解】因为，所以，故，
故选D．
4．【答案】A
【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误；
对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误；
对于（3），取，满足，
且，但是，故（3）错误；
对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量，
若与方向不同，则与不相等，故（4）错误；
故选A.
5．【答案】C
【详解】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件，
第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件，
则，，
则根据全概率公式，.
故选C.
6．【答案】B
【详解】因为随机变量，所以，
所以.
故选.
7．【答案】C
【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，
其中，，，，
，，，
当，且或时，取最大值4，
当，且时，取最小值2，所以的取值范围为．
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为函数在上单调递减，
所以当时，恒成立，则；
当时，由在上递减，
若，，合题意，
若，则，故;
又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得.
综上所述，，
故选C．
9．【答案】BD
【详解】由，可得，
，
，
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】对于A，当位于时，此时平面，平面，
故平面，A错误，
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，，
由于，故，
设，则，
则，
要使平面，则，
解得，故存在点，当时，，结合，
平面，故平面，B正确，
对于C， 点为中点，此时，
设平面的一个法向量为，
故，，
，令，则，
则点到平面的距离为，故C正确，
对于D，设平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
故，，
，令，则，
设平面的一个法向量为，
故
，令，则，
，
显然时，此时并不是最值，此时二面角夹角不是最大，故D错误，
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】对于AB，函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，函数在上单调递增，
在上单调递减，，A正确，B错误；
对于C，依题意，，，则，
不等式，令
，令，
求导得，
而当时，，
于是，函数在上单调递增，，即，
因此，又在上单调递减，则，C正确；
对于D，令，若关于的方程有3个不等实数根，
则关于的方程有两个不相等的实数根，，
解得或，且，则或，
当时，，解得，与矛盾；
当时，，，整理得，
则的取值范围是，因此的取值范围是，D正确.
故选ACD.
12．【答案】/
【详解】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，，
用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量，
每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次，
抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为．
13．【答案】3
【详解】因为，，共面，所以，存在，使得，
即，解得.
故.
14．【答案】
【详解】设，则．
由当时，，得，即，故在区间上单调递增．
又，所以，即．
因为为上的偶函数，所以，
即，计算得，所以，
解得或．
15．【答案】(1)；
(2)；
(3)0.6.
【详解】（1）根据频率之和等于1可得，
，解得.
（2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于，
所以电池续航时间不少于35小时的电池有组，
电池续航时间少于35小时的电池有组，
所以从抽取的50组电池中任取2组，
恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为.
（3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于
由题可知，随机变量服从二项分布，所以,
所以所有可能的取值有0,1,2，
所以
,
所以的分布列如下，
0 1 2
所以的数学期望为.
16．【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）的定义域为R，.
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
令，则，
令，
则.
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值为，的极大值为，
画出函数的大致图象，如图，
由图可知，
当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
17．【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由题知，又，
所以,
所以.
（2）令，因为，
所以，
因为，所以，
因为
，所以，
设与所成的角为，则，
即与所成角的余弦值为.
18．【答案】(1)证明见详解；
(2)
(3)存在，点E为PA中点.
【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，
又因为四边形是正方形，
所以，
所以四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）以点为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，平面的一个法向量为，
设平面的法向量，
所以
令，则，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3），
假定在棱上存在一点，满足条件，令，
，
设平面的一个法向量，
则取，得，
则直线与平面所成角正弦值为，
解得，
所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，点为中点．
19．【答案】(1)，；
(2)不能将9米的钢管抬过去，理由见解析
【详解】（1）依题意可得，，
所以，即，；
（2）法一：因为，
又，令，解得，所以，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，，
所以不能将米的钢管抬过去．
法二：
，
又，
令，解得，所以，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，，
所以不能将米的钢管抬过去．

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