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辽宁省丹东市敬业实验高级中学2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列，则该数列的第99项为（ ）
A． B．197 C． D．199
2．已知服从参数为0.4的两点分布，则（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．0.8
3．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ）

A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系
B．图1数据正相关，图2数据负相关
C．图1相关系数小于图2相关系数
D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0
4．若数列满足，则（ ）
A．8 B． C． D．
5．某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩，其中，在同一直角坐标系中，密度曲线的两个交点的横坐标为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知数列的通项公式为为其前项和，则（ ）
A． B． C．493 D．495
7．袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.删去0后，记此数列为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．为了解产假时长对生育意愿的影响，某调查机构随机抽取了一批有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假时长周 14 15 16 17 18
有生育意愿的家庭数户 4 8 16 20 26
该组数据中变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合，则下列说法正确的是（ ）
A．变量与正相关
B．
C．若产假时长为20周，则估计有37户家庭有生育意愿
D．样本数据的残差为
10．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．
B．
C．数列中最大
D．数列中最小
11．甲、乙两人进行投篮游戏，用抽签的方式决定谁先投篮，抽到谁是等可能的.每次投篮若命中，则继续投篮；若未命中，则换对方投篮.规定两人累计共投3次球，投中次数多的一方获胜，若两人投中次数相同，再抽签决定谁投篮一次，投中为胜，未投中则对方获胜.若甲、乙每次投篮命中的概率分别为，且每次投篮相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A．第2个球是甲投的概率为
B．甲只投了1次球获胜的概率为
C．甲投了3次球获胜的概率为
D．在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设等差数列的前项和分别为，若，则 .
13．若随机变量，则 ， .
14．已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某社区为推进智慧社区建设，给居民提供了一款手机构建智能化社区管理服务模式.为了解居民对该的满意度，从管辖范围内的某小区居民中随机抽查了200人，其中男女各占一半，得到如下表格：单位：人
使用 不使用 总计
女性 60
男性 70
总计
(1)请补全题表，并判断是否有的把握认为居民是否使用该与性别有关；
(2)从以上使用该的居民中按性别进行分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人了解居民对该的满意度，记抽取的3人中男性用户的人数为，求的分布列与数学期望.
附：（其中）.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．年初，哈尔滨利用冰雪资源成功吸引了大批游客前来旅游.年底，第二十六届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.统计年这年月份来哈尔滨的游客数量（单位：万），并绘制散点图，如图所示（年份代码对应）.
(1)经计算得出下表中的数据，根据散点图，在模型①：与模型②：（均为常数）中，选择一个更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程类型，并求出关于的回归直线方程.
其中，.
附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.
(2)根据所求的回归直线方程预测年月份来哈尔滨的游客数量.
17．在等差数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．某娱乐节目设置答题过关赢奖励活动，活动规则如下：参与者需先答3道无奖题，至少答对2道才能参与有奖答题，有奖答题设置3道题，前2道题每答对1道奖励100元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励200元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与答题比赛，无奖答题的3道题每道题答对的概率均为，有奖答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立.
(1)求甲能进入有奖答题的概率.
(2)已知甲进入有奖答题环节.
①求甲获得奖金的分布列及数学期望；
②从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多.
19．A，B两人做游戏，每次游戏只需用一只手完成，记A的左，右手分别为，，B的左，右手分别为，，每次游戏A，B的得分之和均为0，记A用的概率为，B用的概率为，每次游戏A的得分如下表所示（比如A用，B用参加游戏，A的得分为5）：
5
3
(1)分别求每次游戏A得分的期望与B得分的期望；
(2)当，时，设每次游戏A，B选择用哪只手参与相互独立，求经过两次游戏后，B的总得分为正数的概率；
(3)假设，的值可以自由调整，其中不取，证明：不论取何值，A总能通过调整的值，使得每次游戏A得分的期望不小于．
参考答案
1．【答案】B
【详解】通过观察，该数列的通项公式为，
所以.
故选B.
2．【答案】A
【详解】因为，所以.
故选A.
3．【答案】C
【详解】因为散点图都呈直线型，所以图1，图2两组数据都具有线性相关关系，故A正确；
图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确；
图1正相关，图2负相关，所以，故C不正确；
因为图2相关程度更强，所以，故D正确.
故选C.
4．【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以是周期为4的数列，故.
故选D.
5．【答案】B
【详解】如图所示，因为，
所以A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以，所以C错误；
因为，所以D错误.
故选B.
6．【答案】A
【详解】数列中，由，得，
所以.
故选A.
7．【答案】B
【详解】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的概率
.
故选B.
8．【答案】D
【详解】因为，且，
所以，，
，
上述各式相加得.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，因为随着产假时长增大，有生育意愿的家庭数也增大，所以变量与正相关，故A正确；
对于B，因为，
回归直线方程过样本中心，代入计算可得，故B正确；
对于C，因为回归直线方程为，所以当时，，所以估计有37户家庭有生育意愿，故C正确；
对于D，当时，，所以残差为，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】BCD
【详解】因为，所以.
因为，所以，所以，故B正确.
所以，数列为递减数列，A错误；
又，所以，
所以时，，时，，所以数列中最大，
因为，所以，所以，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ABD
【详解】记“抽签抽到甲”，“甲投篮命中”，“抽签抽到乙”，“乙投篮命中”.
对于A，第2个球是甲投的概率为，所以A正确；
对于B，甲只投了1次球获胜的概率为
，所以B正确；
对于C，甲投了3次球获胜的概率为
，故C错误；
对于D，在第一次是乙投篮的条件下，
甲获胜的概率为
，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为，所以.
13．【答案】 3 18.9
【详解】因为，所以，，
所以，.
14．【答案】/0.5
【详解】由题意，，
所以，
因为是等差数列，则的通项是一次函数型，
则能整理成完全平方型，
所以，
化简得，所以，即.
15．【答案】(1)列联表见解析，有
(2)分布列见解析，
【详解】（1）表格如下：单位：人
使用APP 不使用APP 总计
女性 60 40 100
男性 30 70 100
总计 90 110 200
因为，
所以有的把握认为居民是否使用该APP与性别有关.
（2）从使用该APP的居民中按性别进行分层抽样抽取的6人中，女性有4人，男性有2人，
所以可能取.
因为，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
16．【答案】(1)选择，回归方程为
(2)万
【详解】（1）由散点图可知，更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程类型.
因为，所以.
因为，，，，
所以，
所以，所以回归方程为.
所以每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程为.
（2）当时，，
所以预测年月份来哈尔滨的游客数量为万.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为．因为，所以．
因为，所以，解得，
故．
（2）设的前项和为，则．
当时，；
当时，．
故.
18．【答案】(1)；
(2)①分布列见解析，；②分析见解析.
【详解】（1）记甲能进入有奖答题为事件，即3道无奖题至少答对2道题，
所以.
（2）①可能取，
因为，
，
所以的分布列为
0 100 200 400
所以.
②若确定不挑战第3道题，获得奖金为，则的分布列为
0 200
所以.
若确定挑战第3道题，获得奖金为，则的分布列为
0 100 400
.
令，则.
故当时，，建议挑战第3道题；
当时，，挑战和不挑战第3道题都可以；
当时，，建议不挑战第3道题.
19．【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）设每次游戏A的得分为，的得分为，则的分布列为
5 3

所以，
所以．
（2）当，时，的分布列为
7 1
当第一次得7分时，第二次不管得几分，的总得分均为正数；
当第一次得分或分时，第二次只能得7分；
当第一次得1分时，第二次只能得1分或7分．
故经过两次游戏后，的总得分为正数的概率为．
（3）证明：记（且）．
当时，；
当时，，单调递减，
则A可取，使得；
当时，单调递增，
则A可取，使得．
综上，不论取何值，A总能通过调整的值，使得每次游戏A得分的期望不小于．

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