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8.3.2 独立性检验 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．对分类变量和进行独立性检验的零假设为（ ）
A．：分类变量和独立
B．：分类变量和不独立
C．：
D．：分类变量和相关联
2．给出下列实际问题，其中不可以用独立性检验解决的是（ ）
A．喜欢参加体育锻炼与性别是否有关
B．喝酒者得胃病的概率
C．喜欢喝酒与性别是否有关
D．学习成绩与体重是否有关
3．在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得，经查阅临界值表知，则下列判断正确的是（ ）
A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
C．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”
5．根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
6．经研究表明健康的饮食和科学的运动能够有效减少低密度脂蛋白浓度．为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名青年大，得到2×2列联表如下：
肥胖 不肥胖 总计
低密度脂蛋白不高于3.1mmol/L 10 65 75
低密度脂蛋白高于3.1mmol/L 10 15 25
总计 20 80 100
由此得出的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
B．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”
7．在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）
选物理 不选物理 总计
男生 340 110 450
女生 140 210 350
总计 480 320 800
表一
选生物 不选生物 总计
男生 150 300 450
女生 150 200 350
总计 300 500 800
表二
试根据小概率值的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（ ）
附:
A．选物理与性别有关，选生物与性别有关
B．选物理与性别无关，选生物与性别有关
C．选物理与性别有关，选生物与性别无关
D．选物理与性别无关，选生物与性别无关
8．北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（ ）
参考公式：，其中．
参考数据：
A． B． C． D．
9．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（ ）
日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨
出现 25 5
未出现 25 45
参考公式：
临界值参照表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．出现“日落云里走”， 据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨
10．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
已知，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
则以下结论正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”
D．根据小概率值的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”
二、填空题
11．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
服用 a 50
未服用 50
合计 80 20 100
若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为 ．（其中且）（参考数据：，）
附：，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
12．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 人.
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
13．已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝ 的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
三、解答题
14．某校为普及安全知识，随机抽取了400名学生开展一次校园安全知识答题活动.满分100分，计分分为两类：60分及以上为合格，60分以下为不合格.统计结果如下：
合格 不合格
男生 40% 15%
女生 25% 20%
(1)判断能否有的把握认为“校园安全知识答题合格与性别有关”；
(2)现从答题不合格的学生中按性别分层抽样抽取7人，再从7人中任选4人进行安全知识学习，求恰好抽到一名女生的概率.
附：列联表参考公式：，其中.
临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
15．某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：
产品 优质品 非优质品
更新前 24 16
更新后 48 12
(1)依据小概率值的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？
(2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.
①求经核查认定设备更新失败的概率；
②根据的大小解释核查方案是否合理.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．近年来，直播带货逐渐兴起，成为乡村振兴的新动力，为了解甲 乙两个推销农产品的直播间的销售情况，统计了两个直播间一段时间内观众下单的相关数据，得到如下的表格：
下单的观众数 未下单的观众数
甲直播间 120 80
乙直播间 60 80
(1)分别估计甲 乙直播间的观众下单的概率；
(2)是否有的把握认为两个直播间观众的下单意愿有差异？
附.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
17．学校为了让学生的学习与活动两不误，在延时课开设篮球、书法两项活动，为了了解学生的选择意向，随机调查了部分同学，得到如下列联表.
性别 选择篮球 选择书法
男生 40 10
女生 25 25
(1)根据上表，分别估计该校男、女生选择篮球的概率；
(2)试根据小概率值的独立性检验，分析性别与选择意向是否有关联.
附：，其中.
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，A，B在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗，为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.

(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；
(2)填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由.
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20
乙培育法 10
合计
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）． 调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．
(1)完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关；
汽车日流量 汽车日流量 合计
的平均浓度
的平均浓度
合计
(2)经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差．
①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到0.1）
参考公式：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
回归方程，其中．
相关系数． 若，则认为与有较强的线性相关性．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C B A C C D A
1．A
由零假设的定义即可得到答案.
在判断两个分类变量之间是否有关联时，需要判断假定关系：是否成立，通常称为零假设或原假设.
零假设：分类变量和独立
故选：A.
2．B
利用独立性检验的定义直接判断作答.
独立性检验是对两个分类变量是否有关进行检验，
对于A，参加体育锻炼有喜欢、不喜欢，性别有男女，是对两个分类变量是否有关进行检验；
对于B，喝酒者得胃病的概率不涉及分类变量，不可以用独立性检验解决；
对于C，喝酒有喜欢、不喜欢，性别有男女，是对两个分类变量是否有关进行检验；
对于D，学习成绩有好与坏，体重有轻与重，是对两个分类变量是否有关进行检验.
故选：B
3．B
由独立性检验判断即可
解：由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与易怒有关，则①错误，③正确．
由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误，则②正确．
故选：B
4．C
根据的值与临界值的大小关系进行判断.
每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也可能有多名女生，已知数据不能确定结论，A选项错误；
若某人数学成绩优秀，已知数据不能判断他为男生的概率，B选项错误；
∵，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，C选项正确，D选项错误.
故选：C
5．B
根据找出对应的的值，并比较与卡方值得大小,进而由卡法的定义推出相应结论即可.
因为时，所以，
所以变量与不独立，且这个结论犯错误的概率不超过.
故选:B.
6．A
根据表格中的数据计算的值，再与临界值表比较即可得解.
由题表知
所以，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”
故选：A
7．C
结合题干数据，以及公式，分别计算物理和生物学科的值，与比较，分析即得解
由题意，先分析物理课是否与性别有关：
根据表格数据，
结合题干表格数据，，
因此，有充分证据推断选择物理学科与性别有关
再分析生物课是否与性别有关：
根据表格数据，
结合题干表格数据，，
因此，没有充分证据推断选择生物学科与性别有关
故选：C
8．C
设男生人数为，则女生人数为，且,写出列联表并根据卡方计算公式，结合题意确定卡方值的范围，即可确定的取值范围，进而确定男生可能人数.
设男生人数为，则女生人数为，且,
可得列联表如下：
男生 女生 合计
喜欢滑冰
不喜欢滑冰
合计
所以，
因为有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，
所以，解得，
所以，结合选项只有，
故选:C.
9．D
应用古典概型的概率求法求概率判断A、B，应用卡方计算公式求卡方值，与临界值比较，应用独立检验的基本思想得到结论，判断C、D.
由列联表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为，A正确；
未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B正确；
，因此据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确，D错误．
故选：D
10．A
由题计算出，与观测值比较即可求解.
由题知
因为，所以爱好跳绳与性别无关且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误，又因为，所以有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别有关.故C和D错误.
故选：A.
11．46
根据公式列不等式求解．
由题意可得，
整理得，
所以或，
解得或，
又因为且，
所以，
所以a的最小值为46.
故答案为：46.
12．12
设男生人数为，得到列联表，根据题意得到，列出不等式，求得的取值范围，结合，为整数，即可求解.
设男生人数为，依题 意可得列联表如下：
喜欢追星 不喜欢追星 总计
男生
女生
总计
若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，
由，解得，因为，为整数，
所以若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则男生至少有12人.
故答案为：.
13．0.01
根据已知与临界值比较结合独立性检验的概念判断即可.
因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
故答案为：0.01.
14．(1)有的把握认为“校园安全知识答题合格与性别有关”
(2)
（1）列出校园安全知识答题合格与否与性别列联表，计算卡方，根据独立性检验判断即可；（2）根据分层抽样比可得男生抽取人，女生抽取人，然后利用古典概型公式计算恰好抽到一名女生的概率.
（1）依题意有列联表
合格 不合格 合计
男生
女生
合计
故有的把握认为“校园安全知识答题合格与性别有关”.
（2）由分层抽样比得男生抽取人，女生抽取人，
人中任选人恰好抽到一名女生的概率为.
15．(1)可以认为设备更新后能够提高产品优质率
(2)①0.05792；②合理
（1）先计算出的值，根据独立性检验的思想对照临界值得结论；
（2）根据二项分布的有关计算公式，求出对应的概率，并根据对应概率的大小，作出正确的判断.
（1）零假设为：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新前与更新后的产品优质率没有差异.
由列联表可计算，
依据小概率值的独立性检验，
我们可以推断不成立，因此可以认为设备更新后能够提高产品优质率.
（2）根据题意，设备更新后的优质率为0.8.可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质是相互独立的.
①设表示这5件产品中优质品的件数，则，可得
②实际上设备更新后提高了优质率.
当这5件产品中的优质品件数不超过2件时，认为更新失败，此时作出了错误的判断，
由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的.
16．(1)甲乙直播间观众下单概率分别为，；
(2)有的把握认为两个直播间观众的下单意愿有差异.
（1）根据表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可得到结论.
（1）解：根据表格中的数据得，估计甲直播间观众下单的概率为，
估计乙直播间观众下单的概率为.
（2）解：根据题意，得到的列联表：
下单的观众数 未下单的观众数 合计
甲直播间 120 80 200
乙直播间 60 80 140
合计 180 160 340
可得，
因为，所以有的把握认为两个直播间观众的下单意愿有差异.
17．(1)；；
(2)性别与选择意向有关联.
（1）以频率估计概率计算即可;
（2）根据题意，计算并与比较，完成独立性检验.
（1）以频率估计概率,
所以该校男生选择篮球的概率为,
所以该校女生选择篮球的概率为.
（2）结合题意：,
整理计算得：，
故能在犯错误的概率不超过0.01的条件下认为性别与选择意向有关.
18．(1)，82.5
(2)表格见解析，有关
（1）根据题意，由频率分布直方图的性质可得，再由中位数的计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由的计算公式，代入计算，即可得到结果.
（1）由直方图的性质可知，，
解得，因为，所以中位数位于内，
设中位数为，则有，解得.
故综合评分的中位数为82.5.
（2）由（1）得优质花苗的频率为0.6，所以样本中优质花苗的数量为60，
得如下列联表：
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20 30 50
乙培育法 40 10 50
合计 60 40 100
零假设为：优质花苗与培育方法无关，
，
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为优质花苗与培育方法有关.
19．(1)列联表见解析，至少有的把握；
(2)① 0.84，有价值；②
（1）根据题意，完成列联表，再计算，结合表格即可求得结果.
（2）代入公式计算可判断与的相关性强弱，由可得，结合回归直线必过样本中心可求得的值.
（1）列联表如下：
汽车日流量 汽车日流量 合计
的平均浓度 16 8 24
的平均浓度 6 20 26
合计 22 28 50
零假设：“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，
因为，
所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆有关”．
（2）①因为回归方程为，所以，
又因为，，
所以．
与有较强的相关性，该回归方程有价值．
②，解得
而样本中心点位于回归直线上，
因此可推算.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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