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2025年中考数学几何压轴题预测与押题
一、解题技巧：
中考数学几何压轴题往往是试卷中最难的部分，它不仅考察学生对几何知识的掌握程度，更考验学生分析问题、解决问题的能力。想要攻克几何压轴题，除了扎实的知识基础外，还需要掌握一些解题技巧。
审题技巧：
1. 仔细阅读题目，理解题意：要认真审题，弄清楚题目中的已知条件和要求的结论，并把它们用数学语言表达出来。
2. 绘制图形，标注已知条件： 根据题意绘制图形，并用不同的符号标注已知条件，这有助于理清思路，发现解题方向。
3. 分析问题，寻找解题思路： 分析题目的本质，寻找已知条件和求解目标之间的联系，寻找合适的解题方法，如相似三角形、勾股定理、平行线性质等。
二、解题技巧：
1. 构造辅助线： 很多几何问题需要通过添加辅助线来构造特殊图形，从而利用已知的定理和性质进行解答。常见的辅助线构造方法包括：过点作平行线、过点作垂线、连接两点等。
2. 利用相似三角形： 相似三角形是解决几何问题的重要工具，可以通过相似三角形对应边成比例和对应角相等的性质来求解未知量。
3. 灵活运用勾股定理： 勾股定理适用于直角三角形，可以用来求解直角三角形的边长或面积。
预测与例题
预测题1：几何与函数综合
例题1．
如图1，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G．
(1)求线段的长；
(2)如图2，点M、N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设．
若时，求长度．
是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①；②的值为或．
解（1）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴，，
由翻折可知：，设，则，
在中，，
∴，
在中，则有：，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）可得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
②∵是直角三角形，，
∴只有或，
当时，如图：
∵，
，
，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，如图：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
变式1．综合与探究
如图，在中，，，，点在射线上，点在射线上，动点在射线上，沿方向，以每秒个单位的速度匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系．
(1)填空：如图，当点由点运动到点时，
当时， ；
关于的函数解析式为 ．（不必写出自变量的取值范围）
(2)如图，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象段，请根据图象信息：
求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
当正方形的面积最小时，直接写出的比值为 ．
【答案】(1)12；
(2)；．
解（1）解：当时，点与点重合，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
此时正方形的边长为，面积为：，即，
故答案为：；
当点由点运动到点时，每秒个单位的速度匀速运动，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形的面积为，
∴，
故答案为：；
（2）解：由图象可知，当点运动到点时，，
∴，
解得：，（舍去），
∴当点由点运动到点时，二次函数图象过点，
由图象知顶点坐标为，
所以可设，
将点代入，得，
解得，
∴关于的函数解析式为，
如图，当时，正方形的面积最小，
∴由，
当时，，
∴，
由上得，当点运动到点时，，
则，
∴，
∴当点运动到点时，，
即，
解得：（舍去），，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
变式2．综合与探究
综合与探究
如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上．
问题解决：
（1）线段与之间的数量关系是___________；
（2）求的度数．
拓展探究：
（3）连接，与交于点．若，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）
（3）的长为或
解：（1）∵菱形
∴
∵
∴是等边三角形，
∴，，
∵
∴，，
∴
∴，
∴，即；
故答案为：．
（2）连接，
∵菱形，
∴直线是菱形的对称轴，
∵点是对角线上的一点，
∴，与关于直线对称，
∴
由旋转可得
∴，
∴
∴
∵菱形，
∴
∵是菱形的对角线
∴
∴
∴
∵
∴．
（3）连接交于O，
分两种情况：①当点P在上时，过点P作于Q，如图，
∵菱形，
∴，，，，
∴
∴，
∴
∴
∴，
由（1）知：，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由（2）知：，
∵，
∴，
∴，即，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在上时，过点P作于Q，如图，
由①知：，，，
∴，
同理可得，，，
∴，
∴，
∴．
综上，的长为或．
预测题2：圆与相似三角形综合
例题2．综合探究
【背景】小北和小松在数学实践活动课上合作学习，共同探究解题．
(1)如图1，四边形内接于，为的直径，平分．若，．求的长？他们很快完成解答，请你帮忙写出解答过程：
【猜想】在解题过程中，他们想求线段的长度，但遇到了很大的困难．小北大胆猜想：已知是的角平分线，可证．为了验证是否正确，小松经过思考，可以构造相似三角形来证明．小松的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得．
(2)请参照小松提供的思路，利用图2证明：；
(3)利用以上这个结论，他们可以解决下列两个问题，请你一起完成：
①如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G，若，，求线段的长；
②如图1，在（1）的条件下、通过计算，直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)①；②
解（1）解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
即．
（3）解：①由（2）知，，
∴，
∵M是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
②连接，如图所示，
由①知，，且，
∴，
∵，
∴，
∵，O为中点，
∴，，
∴．
变式1、定义： 若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形， 则称这个四边形 为 “友好四边形” ．我们熟知的平行四边形就是 “友好四边形” ．
(1)如图1， 在的正方形网格中有一个Rt ， 请你在网格中找格点， 使得四边形是被分割成的“友好四边形” （只要画出点的一种位置）
(2)如图2， 平分， 四边形是被分割成的 “友好四边形， 求长；
(3)如图3， 圆内接四边形中， ， 点是的中点， 连接交 于点， 连接
①求证： 四边形是“友好四边形” ；
②若的面积为， 求线段的长．
【答案】(1)图见解析
(2)或
(3)①证明见解析；②
解（1）画出点D的1个位置，如图，
（2）∵四边形ABCD为被BD分割的友好四边形，
∴与相似，
若，
则，
∴，
若，
则，
∴，
综上所述，或；
（3）①证明：∵E是的中点，
∴，
∴，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形ABCF为友好四边形；
②如图，过点A作交BC于G，连接AC，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
变式2．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．其中，命题4．2的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形．
小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证：
已知：如图1，为已知三角形，如图2，是的切线，为切点，，．
求证：．
小冉在图2的基础上，添加了辅助线；如图3，连接并延长，交于点，连接，．
(1)请在小冉所添辅助线的基础上，求证：；
(2)若，，，求的半径．
【答案】(1)见详解．
(2)
解（1）在小冉添加了辅助线的基础上，证明如下：
∵DP是是的直径，
∵HG是的切线，
（2）如图，连接OD，OE，OD与EF交于点M，
由（1）得，
∴的半径为：
变式3、如图，O为的边上的一点，以点O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E．
(1)如图1，连接，若，则______．
(2)如图2，连接，交于点F，连接，且．
①求证：为的切线．
②若求的面积．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
解（1）解：∵A，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）①证明：∵，
．
∵，
，
．
∵AD为的直径，
，
．
，
，
，
，
∴为的切线．
②如图，连接，并延长交于点G．
，
．
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵，
，
．
∵AD为的直径，
．
∵，
，
．
，
，
．
，
设，则在中，．
，
，
解得，即，
．
预测题3：几何与最值问题
例题3．探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题：
【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？

【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点．
【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数．
【答案】（1）将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到
（2）见解析
（3）；当取最小值时，点落在线段上，；当取最大值时，点落在的延长线上，．
解：（1）已知，、均为顶角为的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到；
（2）根据题意，补全图形如下，过点作，交延长线于点，

∴，，
∵绕点顺时针旋转得，
∴，，
∴是等边三角形，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，即，
∴是等腰三角形，即，
∴，
∴，
∴，即点是的中点；
（3）∵是等边三角形，
∴，
如图所示，将绕点顺时针旋转，则点与点重合，连接，

∴，
∴是等边三角形，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当取最小值时，如图所示，
点落在线段上，；
当取最大值时，如图所示，

点落在的延长线上，；
综上所述，，当 取最小值时，点落在线段上，；当 取最大值时，点落在 B D 的延长线上，．
变式1．中，．点为线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到，与相交于点，连接．
(1)如图1，当为的角平分线时，若．
①求的值；
②连接，求证：．
(2)如图2，当为的中线时，设，，求与的函数关系式，并求的最大值．
【答案】(1)①；②见解析
(2)，的最大值为
【详解】（1）解：①由旋转的性质得，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②延长，使得，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点B作于点M，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，即时，有最小值，即有最大值，
∴的最大值为．
变式2．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题．
(1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明；
(2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：；
(3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
解（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴；
（2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G，
，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴矩形为正方形．
∴．
∴．
∵四边形为正方形，
，
；
（3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接．
，
∴．
∴．
连接交于点，
∴ (两点之间线段最短)．
∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度．
由（2）易得：．
∴，．
∵．
∴．
∴．
过N作于H．
∵，
∴．
∴，
，
．
变式3．综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形
变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
①；②；
【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明：
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值．
【答案】（1）见详解（2）见详解（3）
解：（1）选择结论①
证明： ∵为的中线
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）延长至M，使得，连接，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图2，延长至点M，使得，连接，
同（2）可得∶．
∴，
∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
当点G在上时，
∴，
当点G在的延长线上时，
∴，
在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动．
取的中点O，连接，，
∵
当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大．
∵，
∴为直角三角形．
∵，
∴．
∵为直径,
∴，
∴，
∴．
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2025年中考数学几何压轴题预测与押题（全国通用）
一、解题技巧：
中考数学几何压轴题往往是试卷中最难的部分，它不仅考察学生对几何知识的掌握程度，更考验学生分析问题、解决问题的能力。想要攻克几何压轴题，除了扎实的知识基础外，还需要掌握一些解题技巧。
审题技巧：
1. 仔细阅读题目，理解题意：要认真审题，弄清楚题目中的已知条件和要求的结论，并把它们用数学语言表达出来。
2. 绘制图形，标注已知条件： 根据题意绘制图形，并用不同的符号标注已知条件，这有助于理清思路，发现解题方向。
3. 分析问题，寻找解题思路： 分析题目的本质，寻找已知条件和求解目标之间的联系，寻找合适的解题方法，如相似三角形、勾股定理、平行线性质等。
二、解题技巧：
1. 构造辅助线： 很多几何问题需要通过添加辅助线来构造特殊图形，从而利用已知的定理和性质进行解答。常见的辅助线构造方法包括：过点作平行线、过点作垂线、连接两点等。
2. 利用相似三角形： 相似三角形是解决几何问题的重要工具，可以通过相似三角形对应边成比例和对应角相等的性质来求解未知量。
3. 灵活运用勾股定理： 勾股定理适用于直角三角形，可以用来求解直角三角形的边长或面积。
4. 运用等积法： 等积法是将面积相等的图形进行分割、拼接，从而得到新的图形，进而解决问题。
预测与例题
预测题1：几何与函数综合
例题1．如图1，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G．
(1)求线段的长；
(2)如图2，点M、N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设．
若时，求长度．
是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
变式1．综合与探究
如图，在中，，，，点在射线上，点在射线上，动点在射线上，沿方向，以每秒个单位的速度匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系．
(1)填空：如图，当点由点运动到点时，
当时， ；
关于的函数解析式为 ．（不必写出自变量的取值范围）
(2)如图，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象段，请根据图象信息：
求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
当正方形的面积最小时，直接写出的比值为 ．
变式2．综合与探究
综合与探究
如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上．
问题解决：
（1）线段与之间的数量关系是___________；
（2）求的度数．
拓展探究：
（3）连接，与交于点．若，请直接写出的长．
预测题2：圆与相似三角形综合
例题2．综合探究
【背景】小北和小松在数学实践活动课上合作学习，共同探究解题．
(1)如图1，四边形内接于，为的直径，平分．若，．求的长？他们很快完成解答，请你帮忙写出解答过程：
【猜想】在解题过程中，他们想求线段的长度，但遇到了很大的困难．小北大胆猜想：已知是的角平分线，可证．为了验证是否正确，小松经过思考，可以构造相似三角形来证明．小松的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得．
(2)请参照小松提供的思路，利用图2证明：；
(3)利用以上这个结论，他们可以解决下列两个问题，请你一起完成：
①如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G，若，，求线段的长；
②如图1，在（1）的条件下、通过计算，直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)①；②
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
即．
（3）解：①由（2）知，，
∴，
∵M是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
②连接，如图所示，
由①知，，且，
∴，
∵，
∴，
∵，O为中点，
∴，，
∴．
变式1、定义： 若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形， 则称这个四边形 为 “友好四边形” ．我们熟知的平行四边形就是 “友好四边形” ．
(1)如图1， 在的正方形网格中有一个Rt ， 请你在网格中找格点， 使得四边形是被分割成的“友好四边形” （只要画出点的一种位置）
(2)如图2， 平分， 四边形是被分割成的 “友好四边形， 求长；
(3)如图3， 圆内接四边形中， ， 点是的中点， 连接交 于点， 连接
①求证： 四边形是“友好四边形” ；
②若的面积为， 求线段的长．
变式2．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．其中，命题4．2的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形．
小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证：
已知：如图1，为已知三角形，如图2，是的切线，为切点，，．
求证：．
小冉在图2的基础上，添加了辅助线；如图3，连接并延长，交于点，连接，．
(1)请在小冉所添辅助线的基础上，求证：；
(2)若，，，求的半径．
变式3、如图，O为的边上的一点，以点O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E．
(1)如图1，连接，若，则______．
(2)如图2，连接，交于点F，连接，且．
①求证：为的切线．
②若求的面积．
预测题3：几何与最值问题
例题3．探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题：
【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？

【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点．
【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数．
【答案】（1）将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到
（2）见解析
（3）；当取最小值时，点落在线段上，；当取最大值时，点落在的延长线上，．
解：（1）已知，、均为顶角为的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到；
（2）根据题意，补全图形如下，过点作，交延长线于点，

∴，，
∵绕点顺时针旋转得，
∴，，
∴是等边三角形，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，即，
∴是等腰三角形，即，
∴，
∴，
∴，即点是的中点；
（3）∵是等边三角形，
∴，
如图所示，将绕点顺时针旋转，则点与点重合，连接，

∴，
∴是等边三角形，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当取最小值时，如图所示，
点落在线段上，；
当取最大值时，如图所示，

点落在的延长线上，；
综上所述，，当 取最小值时，点落在线段上，；当 取最大值时，点落在 B D 的延长线上，．
变式1．．中，．点为线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到，与相交于点，连接．
(1)如图1，当为的角平分线时，若．
①求的值；
②连接，求证：．
(2)如图2，当为的中线时，设，，求与的函数关系式，并求的最大值．
变式2．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题．
(1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明；
(2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：；
(3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值．
变式3．综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形
变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
①；②；
【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明：
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值．
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