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第十七章勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）

A． B． C． D．
2．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，，2 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，3，2
3．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
4．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米．
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（）
A． B． C． D．
7．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．有四个三角形，分别满足下列条件：①一个角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边之比为5：12：13；④三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC中，边长为无理数的边数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
10．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形
C．三角形内角和定理
D．直角三角形的两锐角互余
11．下列各数中，是有理数的是( )
A．面积为3的正方形的边长
B．体积为8的正方体的棱长
C．两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长
D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
12．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
13．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动 m.
14．如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为 ．
15．下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直．
16．已知中，，则的面积为
17．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ．
三、解答题
18．用刻度尺和圆规作一条长度为的线段．
19．如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
20．勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明．
21．（1）请你观察下列三组勾股数：；；……；分析其中的规律，直接写出第四组勾股数是________．
（2）若，，，其中且是正整数．求证：以，，为边的是直角三角形．
22．一个零件的形状如图，工人师傅量得这个零件的各边尺寸（单位：dm）如下：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且∠DAB=90°，求这个零件的面积．
23．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+，求ΔABC的面积．
24．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
《第十七章勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C B C B B D B
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，分三种情况：把左侧面展开到水平面上；把右侧面展开到正面上；把向上的面展开到正面上；分别利用勾股定理计算，再比较即可得解．
【详解】解：如图，把左侧面展开到水平面上，连接，
，
则，
如图，把右侧面展开到正面上，连接，
，
则；
如图，把向上的面展开到正面上，连接，
，
则；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是，
故选：A．
2．A
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证三边满足即可验证是直角三角形．
【详解】A：，能构成直角三角形；
B：，不能构成直角三角形；
C：，不能构成直角三角形；
D：，不能构成直角三角形；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3．B
【分析】找出点关于的对称点，连接、，根据轴对称的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据网格的特点，结合勾股定理，得出，，再根据，再根据勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而即可得出的度数．
【详解】解：如图，找出点关于的对称点，连接、，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了轴对称、网格的特点、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，得出是解本题的关键．
4．C
【分析】此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．
【详解】解：如图所示，
AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，
在Rt△ADE中，AD＝5m．
故选：C．
【点睛】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．
5．B
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案．
【详解】过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°，
∵AD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠B，
又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°，
∴△DAE≌△ABC（AAS），
∴AE＝BC，
∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴AE＝CE，
设BC＝x，则AC＝2x，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴（2x）2＋x2＝22，
∴x＝，即BC＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得：，
，
，
，
；
故选：C．
7．B
【详解】解：当x为斜边时，x＝＝；
当5为斜边时，x＝＝4．
∴x的可能值有2个：或4；
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
8．B
【分析】（1）（2）根据三角形的内角和等于180°，求出三角形中最大的角的度数，然后即可判断；（3）（4）根据勾股定理逆定理列式进行计算即可得解．
【详解】（1）∵一个角等于另外两个内角之和，
∴这个角=×180°=90°，是直角三角形；
（2）三个内角之比为3：4：5，
∴最大的角=×180°=×180°＜90°，是锐角三角形；
（3）设三边分别为5k，12k，13k，
则（5k）2+（12k）2=25k2+144k2=169k2=（13k）2，是直角三角形；
（4）∵52+242=25+576=601≠252，
∴三边长分别为5，24，25的三角形不是直角三角形．
综上所述，是直角三角形的有（1）（3）共2个．
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理逆定理的应用，灵活求解，只要与90°进行比较即可，技巧性较强．
9．D
【分析】根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长，然后根据无理数的定义即可得出答案
【详解】根据题意得：
AB==
BC===2
AC===3
∴边长为无理数的个数为3个
故答案为D
【点睛】本题考查了勾股定理，推出两个直角边的长度是解决此题的关键
10．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角．
【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角．
故选：B．
11．A
【详解】A选项：面积为3的正方形的边长为，是无理数，此选项错误；
B选项：体积为8的正方体的棱长为=2，是有理数，此选项正确；
C、两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长为 ，是无理数，此选项错误；
D、长为3，宽为2的长方形的对角线长为，是无理数，此选项错误．
故选A.
12．D
【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．
【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝GE，
∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，
故当C、E、G三点共线时，符合要求，
此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，
此时，，
∴CH==，
即：CE+EF的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．
13．
【详解】由题意可知，AB=10m，AC=8m，AD=1m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC= =6；
当B划到E时，DE=AB=10m，CD=AC-AD=8-1=7m；
在Rt△CDE中，CE= = ，
BE=CE-BC=-6．
即梯子的顶端下滑1米后，底端将水平滑动（-6）米．
14．
【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．
【详解】解：连接PQ，AM，
由图形变换可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM＝，
∴PQ＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
15．见解析.
【分析】根据命题的定义先判断出哪些是命题,再把命题的题设写在“如果”后面,结论写在“那么”后面,再将题设与结论互换写出它的逆命题.
【详解】解:对一件事情做出判断的句子是命题,因为（1）（2）是问句,所以（1）（2）不是命题,其余4个都是命题,
（3）如果两个角相等,那么它们的补角相等,真命题,逆命题:如果两个角的补角相等,那么这两个角相等,真命题,
（4）如果两条直线相交,那么它们只有一个交点,真命题,逆命题:如果两条直线只有一个交点,那么这两条直线相交,真命题.
（5）如果两个角是同旁内角,那么它们互补,假命题;逆命题:如果两个角互补,那么这两个角是同旁内角,假命题.
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线,那么它们互相垂直,真命题,
逆命题:如果两条射线垂直,那么这两条射线是邻补角的角平分线,假命题.
【点睛】本题主要考查命题的改写,逆命题,真假命题的判定,解决本题的关键是要熟练掌握逆命题的改写和真假命题的判定.
16．30
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形．先根据勾股定理的逆定理判断形状，再根据三角形的面积公式即可得到结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
故答案为：30．
17．7或17
【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC==135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
18．见解析
【分析】先作一个直角，然后用刻度尺以交点C为顶点在两条边上分别截取，的线段，连接即可得出一个直角三角形，斜边即为所求的线段．
【详解】解：如图所示：
由勾股定理得：，
线段即为所求．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，利用直角三角形中的勾股定理来作图是解题关键．
19．（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
【点睛】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
20．见解析
【分析】多边形的面积可以等于边长为c的正方形面积加上两个直角三角形的面积，也可以等于两个直角梯形的面积和，由此得证．
【详解】解：若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则，
如图，这个多边形的面积为
整理得ab+c2=，
故．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明，正确掌握多边形的面积的计算方法及勾股定理的内容是解题的关键．
21．（1）9，40，41；（2）见解析
【分析】（1）先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
（2）将a，b，c平方，观察结果可得，即可证明．
【详解】解：（1）∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；
②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；
③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；
∴第四组勾股数是：
9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；
即9，40，41；
（2）∵，，，
∴，
，
，
满足，
∴以，，为边的是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股数、规律型问题，解题的关键是学会观察，学会寻找规律，利用规律解决问题．
22．36dm2
【详解】试题分析：连接BD，由勾股定理得BD的长，由勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，然后分别求出这两个直角三角形的面积.
试题解析：
连接BD，
∵AB=3，AD=4，∠DAB=90°，∴BD===5，
∵BC=12，CD=13，∴BD2+BC2=CD2，∴∠DBC=90°．
∴四边形ABCD的面积=×3×4+×5×12=36．
这个零件的面积是36平方分米．
23．
【分析】根据题中所给条件以及勾股定理求出直角边的乘积，再计算面积即可.
【详解】c＝2，a＋b＋c＝2＋，a＋b＝，a2＋b2＝c2＝4，a2＋2ab＋b2＝6，2ab＝2，
【点睛】本题主要考查勾股定理以及三角形面积公式，求出直角边的乘积是解答本题的关键.
24．（1）AC⊥BD，证明见解析（2）
【分析】（1）由平移的性质可知△DCE≌△ABC．故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论．
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
【详解】解：（1）AC⊥BD．证明如下：
∵△DCE由△ABC平移而成，
∴△DCE≌△ABC．
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=CD=CE=DE，∠E=∠ACB=60°．
∴∠DBC=∠BDC=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD⊥DE，
∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC∥DE．
∴BD⊥AC．
（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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