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18.1平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，E，F，G分别是的中点，交于点H．下列结论：①；②；③；成立的个数有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，过点O与、分别相交于E、F．若，，，那么四边形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
3．四边形的三个内角的度数依次如下，能使四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，四个角的角平分线分别相交于点E，F，G，H，则四边形对角线的长为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD的面积为20，则△BEF的面积为（　　）
A．2 B． C．5 D．9
8．证明：平行四边形的对角线互相平分．
已知：如图四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O．求证：OA＝OC，OB＝OD，嘉琪的证明过程如图．
证明过程中，应补充的步骤是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．，AD＝BC
C．， D．，AB＝CD
9．已知四边形ABCD中，对角线BD被AC平分，那么再加上下述中的条件（ ） 可以得到结论: “四边形ABCD是平行四边形”．
A．AB=CD B．∠BAD=∠BCD C．∠ABC=∠ADC D．AC= BD
10．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】

A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，是的中位线，若，则的长是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
12．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
二、填空题
13．如图所示，点，都在的边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，连接，若，则的长为 ．

14．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于E，若AB=10cm，AD=12cm，则EC= ．
15．如图．在中，对角线、相交于点，若，，，则的周长为 ．
16．连接三角形 的线段叫做三角形的中位线．
17．如图，在中，，D、E分别为边、上的点，且，，连接、交于点F ，则的度数为 ．
三、解答题
18．已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
19．如图,已知□ABCD中,DM⊥AC于M,BN⊥AC于N.求证：四边形DMBN为平行四边形．
20．如图，F、C是线段AD上的两点，，AF=DC，连结AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形.
21．如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：∠1=∠2
22．如图，在中，对角线与相交于点O，已知，，．求和的长．
23．已知：如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD，AB上的点，且DE=BF，求证：
（1）CE=AF；
（2）四边形AFCE是平行四边形．
《18.1平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A C B D D B D
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF =AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得EH=EG．
【详解】解：如图，连接FG，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∵BD＝2AD，
∴OD＝AD，
∵点E为OA中点，
∴ED⊥CA，故①正确；
∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵∠CED＝90°，CG＝DG=CD，
∴EG=CD，
∴EF＝EG，故②正确；
∵EF∥CD，EF＝DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EH＝HG，
即EH=EG，故③正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．
2．C
【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，
根据平行四边形的对边相等得，，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明．根据全等三角形的性质得，，，故四边形的周长为．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
故四边形的周长为．
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：当时，
∴，
∴是平行四边形，
∴四个选项中只有B选项满足题意，
故选：B．
4．A
【分析】延长，交于，依据平行四边形的性质，即可得到，进而得出的长．再判定四边形是平行四边形，即可得到．
【详解】解：如图所示，延长，交于，
∵，平分，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵平分，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是做辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到．
5．C
【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得．
【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形：
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键．
6．B
【详解】解：A、∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】连接AC，过点B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易知△ABC的面积，可得BG长及△ADC面积，△ABC和△ACD同底，利用面积比求出其高之比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】如图，连接AC，过点B作EF的垂线交AC于G点，交EF于H点，
∵E、F分别是AD、CD的中点
∴EF//AC，△ACD中，AC边上的高为2GH
∴BG⊥AC
在Rt△ABC中，AB＝BC＝
∴由勾股定理可得：AC＝
∵△ABC为等腰三角形
∴△ABG和△BCG为等腰直角三角形
∴AG＝BG＝AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∵S△ABC＝·AB·BC=＝16，且四边形ABCD的面积为20
∴S△ACD＝20－16＝4，
∴，
∴=，
∴BH＝BG+GH＝，
又∵，
∴S△BEF＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积计算、中位线定理、等腰直角三角形的性质，如何根据题意做出辅助线并正确找出其底与高是解题的关键．
8．D
【分析】与是内错角，与是内错角，由内错角相等可倒推出，要想证明还差一组对边相等，即AB＝CD，由此可解．
【详解】解：由题意，完整的证明过程如下所示：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB＝CD，
∴，，(两直线平行，内错角相等)
∴，
∴OA＝OC，OB＝OD．
因此，应补充的步骤是，AB＝CD，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，以及全等三角形的判定与性质，掌握平行线的性质定理及全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．B
【分析】设BD与AC交于O点，已知条件为BO=DO，∠AOB=∠COD,结合选项条件应证出能判断平行四边形的条件，或举出反例证明不成立.
【详解】解：A、BO=DO，∠AOB=∠COD, AB=CD不能证出四边形ABCD是平行四边形, 反例如图，
故本选项错误；
B、如图，在直线AC上任取一点C ,使OA=OC ,
∵BO=DO，∴四边形ABC D是平行四边形，
∴AD∥BC ,AB∥C D,
∴∠BC A=∠C AD, ∠AC D=∠BAC ,
∴∠BC A+∠AC D=∠C AD+∠BAC ,
即∠BC D=∠BAD,
∵∠BAD=∠BCD
∴∠BC D=∠BCD,
∴点C与点C 重合，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故本选项正确；
C、当BO=DO,∠ABC=∠ADC不能证出四边形ABCD是平行四边形, 反例如图，
故本选项错误；
D、当BO=DO,AC=BD, 不能证出四边形ABCD是平行四边形, 反例如图，
故本选项错误.
故选：B.
【点睛】本题考查平行四边形的判定，根据已知条件证出判定平行四边形的条件及举出反例图形是解答此题的关键.
10．D
【详解】连接DE并延长交AB于H，

∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE．
∵E是AC中点，∴DE=EH．∴△DCE≌△HAE（AAS）．
∴DE=HE，DC=AH．
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线．∴EF=BH．
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2．∴EF=1．故选D．
11．B
【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴．
故选：B．
12．D
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得正确选项．
【详解】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴选项A. B. C正确，D错误.
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解．
13．3
【分析】根据“∠ABC的平分线垂直AE”和“∠ACD的平分线⊥AD”得出P和Q分别是AE和AD的中点，再根据中位线的性质即可得出答案.
【详解】∵∠ABC的平分线垂直AE
∴△ABE是等腰三角形，Q为AE中点
又∵∠ACD的平分线⊥AD
∴△ACD是等腰三角形，P为AD中点
∴
故答案为3.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理，解题关键是根据题意得出PQ是△ADE的中位线.
14．2cm
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=12cm，∴∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=10cm，∴EC=BC﹣BE=12﹣10=2（cm）．故答案为2cm．
点睛：此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意得到△ABE是等腰三角形是解此题的关键．
15．21
【分析】△OAB的周长=AO+BO+AB，只要求得AO和BO即可，根据平行四边形的对角线互相平分的性质求得答案．
【详解】解：在 ABCD中，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵AC=14，BD=8，
∴OA=7，OB=4，
∵AB=10，
∴△OAB的周长=7+4+10=21．
故答案为21．
【点睛】本题重点考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
16．两边中点
【分析】直接根据三角形的中位线的定义填空即可．
【详解】连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
故答案为：两边中点．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
17．/45度
【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握各个性质定理是解题的关键；利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：过点B作，且，连接，如图所示：
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
18．（1）证明见解析；（2）BM=ME=；（3）证明见解析.
【分析】（1）如图1，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可.
（2）如图2，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线.
（3）如图3，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME.
【详解】（1）如图1，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD.
∴点B为线段AD的中点.
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线.
∴BM∥CF.
（2）如图2，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点.
∴BM=DF.
分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a.
∴点E为FG中点，又点M为AF中点.
∴ME=AG.
∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a.
∴BM=ME=.
（3）如图3，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD.
∴点B为AD中点.
又点M为AF中点，∴BM=DF.
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG.
∴点E为FG中点.
又点M为AF中点，∴ME=AG.
在△ACG与△DCF中，∵，
∴△ACG≌△DCF（SAS）.
∴DF=AG，∴BM=ME.
19．见解析.
【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，由垂线的性质得出DM∥BN，由AAS证明△ADM≌△CBN，得出对应边相等DM＝BN，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAM＝∠BCN，
∵DM⊥AC，BN⊥AC，∴DM∥BN，∠AMD＝∠CNB＝90°，
在△ADM和△CBN中，，∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴DM＝BN，∴四边形DMBN为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等得出DM＝ BN是解决问题的关键.
20．详见解析
【分析】要证明四边形ABDE是平行四边形，已经有AB∥DE，再只要证明AB=DE就可以了，而证明AB=DE可以通过证明△ABC≌△DEF，根据题目已知条件容易证明△ABC≌△DEF，这样就可以解决题目问题．
【详解】证明：∵
∴∠EDF=∠CAB，∠EFD=∠ACB
又∵AF=CD
∴AC=DF
∴△EDF△BAC（ASA）
∴ED=AB
又∵
∴四边形ABDE是平行四边形.
【点睛】此题主要利用全等三角形的性质与判定得到线段相等，然后利用相等线段根据平行四边形的判定证明题目的结论．
21．详见解析.
【分析】根据平行四边形的对角线相互平分证明.
【详解】连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠1=∠2.
22．，
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分以及勾股定理即可求解．
【详解】∵在中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
23．见解析
【分析】连结，证明，可得，根据平行线的判定得出，然后由平行四边形的定义得出结论．
【详解】证明：如图，连结．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，证明是解题的关键．
24．(1)证明见解析,（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的对边相等得AB=CD，已知DE=BF，再作线段的差可得CE=AF；
（2）利用CE与AF平行且相等，可证四边形AFCE是平行四边形．
试题解析：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD．
又∵DE=BF，
∴AB-BF=CD-DE．
即AF=CE．
（2）∵AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
考点：平行四边形的判定．
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