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18.2特殊的平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG,其中正确的结论只有(　　)
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
2．已知平行四边形，其对角线的交点为，则下面说法正确的是（ ）
A．当时平行四边形为矩形 B．当时平行四边形为正方形
C．当时平行四边形为菱形 D．当时平行四边形为正方形
3．如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点E．若，则的度数为（　　）
A．20° B．10° C．15° D．25°
4．下列图形中，具备“对角线相等”的性质的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
5．顺次连结矩形各边的中点．所得四边形是（ ）
A．筝形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若，则∠1的值（ ）
A．52° B．66° C．72° D．76°
7．如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（ ）
A．60 B．30 C．90 D．96
8．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.（ ）
A． B．// C． D．
9．在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB+BC=AC B．AB= AD C．OA= OD D．∠ABC+∠ADC=180°
11．如图所示，四边形ABCD是矩形，AE∥BD，DE∥AC，则四边形AODE是(　　)
A．平行四边形但不是菱形 B．矩形
C．菱形 D．无法确定
12．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边的中点E，作交AC于点D，交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作取BE边的中点，作FB交EF于，交BF于点，得到四边形，它的面积记作，…照此规律作下去，则的值为 ．
14．如图所示，AE是 ABCD的∠DAB的平分线，且交BC于点E，EF∥AB交AD于点F，则四边形ABEF一定是 ．
15．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 ．
16．如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ．
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，∠ABC= ．
三、解答题
18．在矩形中，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．

(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求的长；
(3)当时，求的长．
19．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．
20．如图，菱形的周长为4，两个相邻内角与的度数之比为1∶2，求该菱形的面积．
21．如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，是该装置侧面图，，为了加固斜面，在斜面的中点D处连接一条支撑杆，量得．
（1）求斜坡长和的度数；
（2）该同学想用彩纸包裹实验装置中的的表面，请你计算的面积．
22．如图（1），是一张正方形纸片，E，F分别为的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图（2）的点），折痕交于点G，那么等于多少度？你能证明你的结论吗？
23．如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当　 　时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当　 　时，四边形是矩形，请说明理由．
24．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的长．
《18.2特殊的平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A D C D A A B B
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证△ECG≌△BCG，可得AE=EG=OE；根据直角三角形性质得OF=BE=CG.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，
∵BE平分∠ABO，
∴∠OBE=∠ABO=22.5°，
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，
在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB；
故①正确；
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴EG=OE，
∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，
∴△ECG≌△BCG，
∴BG=EG，
∴AE=EG=OE；
故②正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF，
∵BE=CG，
∴OF=BE=CG．
故③正确．
故正确的结论有①②③．
故选A．
【点睛】运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
2．A
【分析】直接利用矩形、菱形的判定方法分析得出答案．
【详解】解：A选项:当时,可得到平行四边形为矩形,故A正确;
B选项:当时平行四边形为菱形,故B错误;
C选项:当时平行四边形为矩形,故C错误;
D选项:当时平行四边形为菱形,故D错误．
故选A．
【点睛】此题主要考查了矩形、菱形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
3．A
【分析】根据矩形的性质，可得，，根据折叠可得，最后根据进行计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出和的度数．
4．D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质即可确定．
【详解】解：A.平行四边形对角线不一定相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；
B.菱形对角线不一定相等，对角线相等的菱形是正方形，故此选项错误；
C.梯形的对角线不一定相等，只有等腰梯形的对角线相等，故此选项错误；
D.矩形的对角线相等，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质，正确理解性质是关键．
5．C
【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=AC，FG=EH=BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
【详解】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
6．D
【分析】由折叠的性质可得：∠DEF=∠GEF，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：∠DEF=∠EFG=52°，从而得到∠GEF=52°，根据平角的定义即可求得∠1．
【详解】∵长方形纸片ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=52°，
∵把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，∠EFG=52°，
∴由折叠的性质可得：∠DEF=∠FEG=52°，
∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=180°-52°-52°=76°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查折叠的性质，平行线的性质和平角的定义，解决问题的关键是根据折叠的方法找准对应角，求出∠GEF的度数．
7．A
【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵为直角，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，则，
∴四边形的面积为．
故选：A．
8．A
【分析】根据中位线的定义与性质可知四边形EGFH是平行四边形，然后找出邻边相等的条件即可证明该四边为菱形．
【详解】解：由题意知是的中位线
∴，
是的中位线
∴，
∴，
∴四边形EGFH是平行四边形
∵是的中位线，
∴
当时，
∴平行四边形EGFH是菱形
故选A．
【点睛】本题考查了中位线，菱形的判定．解题的关键在于对知识的灵活运用
9．B
【详解】试题解析：用两个边长为的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．
故选B．
10．B
【分析】由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．
【详解】解：A．∵AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴ ABCD为矩形，故本选项不符合题意；
B．∵AB=AD，
∴ ABCD为菱形，故本选项符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴ ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴ ABCD为矩形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．
11．C
【分析】由DE∥AC，AE∥BD得到平行四边形AODE，根据矩形的性质得出OA=OD，即可推出结论．
【详解】∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴四边形AODE是菱形．
故选C.
【点睛】本题主要考查对矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质是求解此题的关键．
12．A
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的性质逐项分析即可得出答案．
【详解】根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确；
设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确，
全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM是△AEG的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选A．
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．
13．
【分析】根据中点和平行的条件可求出四边形EDAF的边长为三角形的一半为，高为三角形高的一半为，求出S1的值，同理求出S2、S3的值，找出规律列出Sn的表达式．
【详解】∵E是BC中点，，，
∴ED、EF是△ABC的中位线，
∴ED=EF=AD=AF==，
∴四边形EDAF是菱形，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的高=，
∴菱形EDAF的高为，
∴S1===，
同理，四边形也是菱形，FF1==，菱形的高为=，
∴S2===，
S3===
……
Sn=，
∴ =
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形和菱形，熟练掌握中位线的性质和菱形面积的计算方法，通过求菱形面积找出规律是解题关键．
14．菱形
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出四边形ABFE是平行四边形，求出AB=AE，根据菱形的判定得出即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
故答案为菱形.
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，能综合运用性质和判定进行推理是解此题的关键．
15．30
【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，
直角三角形斜边上的中线是6，
斜边长为：，
它的面积，
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．利用菱形的面积公式：，即可解决问题．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案为：．
17．120°
【分析】由角平分线的作法得平分，据角平分线的定义、等腰三角形判定、平行四边形的性质及判定证得四边形ABEF为平行四边形；再据AF=AB最终证得四边形ABEF为菱形，结合其周长为40从而得到AB=AF=10；最后据BF=10得到是等边三角形，从而得到，再据算得∠ABC的度数．
【详解】解：由题意得，，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形，
∵四边形的周长为40，
∴．
∵，
∴AB=BF=AF
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：120°．
【点睛】此题考查了角平分线尺规作图、等腰三角形判定、菱形判定性质、正三角形的判定和性质等，熟悉相关知识并能综合应用是关键．
18．(1)见解析
(2)
(3)的长为或
【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解；
（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，则，；第二种情况，点在线段的延长线上，则，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴；
（2）解：∵点E是边的中点，
∴，
∵四边形为矩形，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则由（1）知，，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
（3）解：当时，设，
第一种情况，点在线段上，如图所示：

则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示：

则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
综上可知，当时，的长为或．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键．
19．EF等于20cm．
【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边角之间的关系，求解即可．
【详解】∵四边形ABCD是一本书，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,
根据折叠前后角和边相等可知CE=BC BE=10，
∵∠BEG=60°，
∴∠GEF=∠FEC=60°，
∴∠EFC=30°
∴EF=2EC=20cm.
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握翻折变换的性质.
20．菱形的面积为
【分析】求出两对角线的长度，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求解．
【详解】∵菱形的周长为4，
∴.
∵两个相邻内角与的度数之比为1∶2，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，∴.
∵，∴在中，，
∴，
∴菱形的面积为.
【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及菱形的四条边都相等的性质，根据度数求出以较短的对角线BD为边的三角形是等边三角形是解题的关键．
21．（1）AB＝12，；（2）18
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）过C作CE⊥AB于E，根据直角三角形的性质得到CE＝CD＝3，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）∵，D是的中点，
∴，
∵，∴，
∴；
（2）如图，过点C作于点E，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
22．，证明见解析．
【分析】连接，根据正方形的性质可得，，，又由、分别为、的中点，即可证得四边形是矩形，由此即可证得EF垂直平分CD，根据垂直平分线的性质可得，再结合折叠的性质即可证得为等边三角形，由此即可求得的度数，进而即可求得的度数．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
、分别为、的中点，
，
，
∵，，，
四边形是矩形，
，
，
又∵点是的中点，
∴EF垂直平分CD，
∴，
∵折叠，
∴，，
又∵，
∴，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及折叠的性质等相关知识．此题难度适中，解题的关键是灵活应用相关图形的判定与性质．
23．(1)见解析
(2)①4；②7，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可；②当cm时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：①当时，四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：4；
②当cm时，平行四边形是矩形，理由如下：
如图，过A作于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和△中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC．
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
（2）解：∵∠BAD＝60°，
∴，
∵∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝90°－30°＝60°，
∴∠AEF＝180°－∠EAO－∠AOE＝180°－30°－60°＝90°．
∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在Rt△CEF中，．
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