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2.3一元二次方程的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现商家采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销量就会减少10件，那么要使利润为640元，需将售价定为（　　）
A．16元 B．12元 C．16元或12元 D．14元
2．如图所示，昆明某小区规划在一个长，宽的矩形花园上修建3条同样宽的景观小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，如果使花园种植部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644
B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644
D．100x+80x=356
4．某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
5．某镇2012年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为x，预计到2014年共投入9500万元,则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.那么每轮传染中平均一个人传染的人数为　　(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
7．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
8．毛主席在《水调歌头·重上井冈山》上写道“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”，为我们描绘了科技发展的美好蓝图．如今，我国的航天航海事业飞速发展，取得了举世瞩目的成就．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某商家抓住这一商机，购进了某种航天模型玩具，每件进价30元．经市场预测，销售定价为50元时，每周可卖出300件；每降低一元，每周可多卖出20件．如果商家想在一周时间获利6080元，设每件玩具降价元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
10．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（　　）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
11．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．如图，在一个半圆为6cm圆形纸片上，挖去一个半径为c的圆，若余下圆环面积为，则的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
二、填空题
13．若一直角三角形的三条边长为三个连续偶数，且面积为24 cm2，则此三角形的三条边长分别为 ．
14．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ．
15．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，则可列方程为
16．如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为米，则可列方程 ．

17．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，现连续两次降价处理，共降价64元后出售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ．
三、解答题
18．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数来表示？
19．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 …
售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 …
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
20．如图，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是，其中小正六边形的边长为，大正六边形的边长为 (其中)．求这根铁丝的总长．

21．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
22．某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
(1)当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？
(2)若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
23．将一个容积为的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．写出关于x的方程．该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一般形式．
24．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1） 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？
（2） 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
《2.3一元二次方程的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D D D C D A C
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，解方程求解即可．
【详解】解：设售价为x元，根据题意列方程得
（x-8）（200-×10）=640，
整理得：x2-28x+192=0，
解得x1=12，x2=16．
故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元．
又题意要求采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，
故应将商品的售价定为16元．
故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为；那么根据题意即可得出方程．
【详解】解：设小路宽为，则列方程为，
故选C．
3．C
【详解】设道路的宽应为x米，由题意有
（100-x）（80-x）=7644，
故选：C．
4．D
【详解】设2016年的国内生产总值为1，
∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；
∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：，
∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D．
5．D
【详解】试题分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2012年投入2000万元，预计到2014年投入9500万元即可得出方程：
依题意得 2013年投入为2000（1+x），2014年投入为2000（1+x）2，
∴2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=9500．
故选D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程(增长率问题)．
6．D
【分析】设每轮传染x人，根据题意得：(1+x)2=64 ,解这个方程即可求出答案.
【详解】设每轮传染x人，根据题意得：(1+x)2=64 ,
解方程得：x1=7,x2=-9 (不合题意，舍去)
所以每轮传染7人.
故选D.
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用的问题.解决本题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程.
7．C
【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
8．D
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设每件玩具降价x元，则每件利润为元，销量为件，根据“商家想在一周时间获利6080元”即可列出方程．
【详解】设每件玩具降价元，根据题意，得
故选：D
9．A
【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2100，设每件服装应降价x元，根据题意，即可列出方程．
【详解】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
10．C
【详解】试题分析：设这个小组有人，
故选C．
11．A
【分析】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于等于10的值即可得出结论．
【详解】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，
根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，
整理得：x2﹣18x+72＝0，
解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．D
【分析】利用圆环的面积=外圆面积-内圆面积解答此题即可．
【详解】解：由圆环的面积=外圆面积-内圆面积可得，
π（62-r2）=11π，
解得r1=5，r2=-5（不合题意，舍去），
故选D．
【点睛】此题主要考查圆环的面积计算方法：圆环的面积=外圆面积-内圆面积．
13．6,8，10
【详解】设最短边为x
=24，
x2+2x-48=0，
(x-6)(x+8)=0，
因为x>0，
所以x=6，
所以该直角三角形的三边长分别为6，8，10.
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可．
【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，
由题意得，，
解得：，
∴他去世时年龄为或，
又∵他去世时的年龄大于，
∴他去世时的年龄为
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道进出口的宽度为，利用平移性质的应用得到种植花草的实际图形的面积就是长、宽分别为、新矩形的面积，由种植花草的面积为，即可列出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论．根据题意得到种植花草的实际图形是一个新矩形是解题的关键．
【详解】解：设小道进出口的宽度为，
根据题意，得：，
，
整理，得：．
故答案为：．
16．
【分析】根据矩形空地长为，宽为，设人行通道的宽度为米，可表示出两块相同的矩形绿地的长和宽，根据两块相同的矩形绿地面积之和为，由此即可求解．
【详解】解：∵矩形空地长为，宽为，设人行通道的宽度为米，
∴两块相同的矩形绿地的长为，宽为，且面积之和为，
∴，整理得，，
∴设人行通道的宽度为米，列方程．
【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的运用，掌握解一元二次方程与实际问题中的数量关系的综合是解题的关键．
17．
【分析】设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解．
【详解】解：设每次降价的百分率为，依题意得，
，
解得：（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
18．y＝2（1－x）2（0＜x＜1）
【分析】根据一次降价后关系式：原价×(1-x)=现价，即可求得两次降价后y与x的函数关系．
【详解】一次降价后的价格为：2(1-x)元，第二次降价后的价格为2(1-x)2，即y＝2（1－x）2；
由于0＜x＜1，故y＝2（1－x）2（0＜x＜1）．
【点睛】本题考查了一元二次方程与增长率有关的实际问题，关键是掌握关系式：原价×(1-x)=现价．
19．（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元
【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；
（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．
当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．
答：当天该水果的销售量为33千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，
解得：x1=35，x2=25．
∵20≤x≤32，
∴x=25．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是掌握：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20．这根铁丝的总长为．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用边的比例关系列方程，解方程求解即可．
【详解】由题意，得，
整理，得．
解得 (舍去)．
∴．
则铁丝的总长为：．
答：这根铁丝的总长为．
21．（1）能，能；（2）不能.
【详解】（1）根据题意得：x（40-2x）=180，
∴-2x2+40x-180=0，
∵b2-4ac=402-4×（-2）×（-180）>0，
∴方程有实数根，
∴能使鸡场的面积能达到180m2．
x（40-2x）=200，
∴-2x2+40x-200=0，
∵b2-4ac=402-4×（-2）×（-200）=0，
∴方程有实数根，
∴能使鸡场的面积能达到200m2．
（2）根据题意得：x（40-2x）=250，
∴-2x2+40x-250=0，
∵b2-4ac=402-4×（-2）×（-250）＜0，
∴方程无实数根，
∴不能使鸡场的面积能达到250m2．
考点: 一元二次方程的应用．
22．(1)当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元
(2)按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元
【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可；
（2）由（1）所得的算式，使得总利润等于列式计算即可．
【详解】（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得，
，
即
解得：，
答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元
（2）解：，
即
∵，原方程无解，
∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当时，方程无实数根”．
23．是；
【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【详解】解：由题意可得：长方体的长为：，宽为：，
则根据题意，列出关于的方程为：．
整理，得．
该方程属于关于的一元二次方程．
【点睛】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
24．（1）40千米；（2）10.
【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列不等式进行求解即可得；
（2）根据题意先求出2017年道路硬化、道路拓宽的里程数以及每千米的费用，然后表示出今年6月起道路硬化、道路拓宽的经费及里程数，根据投入比2017年增加10%，列方程进行求解即可得.
【详解】（1）设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米；
（2）由题意得：
2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，
化简得：，
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，
10-t=0，
t(10t-1)=0，
∴ （舍去）， ，
∴综上所述： a = 10，
答：a的值为10.
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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