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2.4一元二次方程根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
2．若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（ ）.
A． B．－ C．－ D．
3．已知：，（其中为a整数，且）；有下列结论，其中正确的结论个数有（ ）
①若M·N中不含项，则；②若为整式，则；③若a是的一个根，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．若、是方程的两个根，则的值为( )
A． B．-1 C．3 D．-3
5．已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．已知，为一元二次方程的两个实数根，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式(m+n)2022的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
9．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
11．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
12．若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知实数，满足，．且，则 的值为 ．
14．已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
15．已知方程的一个根是2，求另一个根x=
16．已知是一元二次方程的两根，则 ．
17．若方程的两根之差为1，则的值是 ．
三、解答题
18．先化简，再求值：
，其中a，b是一元二次方程的两个实数根．
19．如果方程的两个根的平方和等于7，求k的值．
20．(规律探究题)下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察，大胆猜想，科学推断，完成练习.
序号 方程 方程的解
1 x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3
2 x2-4x-12=0 x1=-2，x2=6
3 x2-6x-27=0 x1=-3，x2=9
… … …
（1）这列方程中第10个方程的两个根分别是x1=____，x2=____.
（2）这列方程中第n个方程为________.
21．已知关于x的一元二次方程两个不相等的实数根，，若，求m的值．
22．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，求这个长方形的周长和面积．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．
(2)若，求k的值．
(3)若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
24．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且．
(1)求k的值；
(2)求的值．
《2.4一元二次方程根与系数的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A D D D A D B
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
2．C
【详解】分析：根据根与系数的关系可得出α+β=-、αβ=-3，将其代入=中即可求出结论．
详解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，
∴α+β=-，αβ=-3，
∴===．
故选C．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
3．B
【分析】根据要求，逐个结论进行求解即可．
【详解】解：①∵，，
∴，
∵M N中不含项，
∴，即，故①正确；
∵是整式，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵
∴，
设方程的另一个根为
∵a是的一个根，
∴，
∴，
∴，
∴，
两边平方整理得，，故③错误，
所以，正确的结论是①，
故选：A
【点睛】本题主要考查了整式的乘除法，一元二次方程根与系数的关系，正确掌握各知识点是解答本题的关键．
4．A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系求解.
【详解】因为、是方程的两个根，
所以
所以=2-1=1
故选A
【点睛】考核知识点：一元二次方程根与系数关系.
5．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键，根据两根之和等于，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．
【详解】解：，
∴方程的两根之和，
∴方程的另一根．
故选：D．
6．D
【分析】先利用一元二次方程根和系数的关系求得，将代入方程得到，利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：，为一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
一元二次方程，
，
，，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程根和系数的关系：，．
7．D
【分析】设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（-1）=2，解此方程即可．
【详解】解：设方程另一个根为x1，
∴x1+（﹣1）＝2，
解得x1＝3．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=- ，x1 x2=．
8．A
【分析】直接利用根与系数的关系得出两根之和，进而得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，
∴1+n=-m，
解得：m+n=-1，
故（m+n）2022=1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，正确得出m+n的值是解题关键．
9．D
【分析】先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得，再根据根与系数关系可求得，由此可得p的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，，
∵方程有两个不同的实数解，
∴，
解得：．
又∵方程的两根，
∴，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出．
10．B
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=-1，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：根据题意得：
x1+x2=3，x1x2=-1，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
11．D
【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可．
【详解】解：∵已知，是方程的两根
∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
12．B
【分析】题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系算出，，再把变形为，代入计算即可得到答案；要掌握一元二次方程根于系数的关系，能把变形为是解题的关键．
【详解】解：∵x的一元二次方程的两个实数根为和，
∴根据根与系数的关系得到： ，，
，
故选：B．
13．/
【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：，
，
，
，
、可看作方程的两根，
，，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】观察方程不易因式分解求根，根据根与系数的关系可得：+=-2，
=-5，将变形后，代入即可得到结论.
【详解】解：、是方程的两个实数根，
+=-2，=-5；
则：==4+5=9；
故答案为9.
【点睛】合理运用配方法与根与系数的关系解题是关键.
15．-3
【分析】根据题意设方程另一根为x2，根据根与系数的关系先利用两根之积即可求出x2．
【详解】解：设方程另一根为x2
由题意得2 x2= =-6
解得x2=-3
故答案为：-3．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，注意掌握若方程的两根为则．
16．8
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：利用根与系数的关系可知：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系：，关键是要记住公式．
17．9或
【分析】由根与系数的关系可知：又知两根之差为1，即|x1-x2|=1，根据（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，建立等量关系求k．
【详解】由根与系数的关系可知：
由已知两根之差为1,得 ,即
则
解得k= 3或9.
故答案为9或
【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键.注意完全平方公式的变形.
18．﹣ab，2．
【详解】试题分析：化简整式得原式=﹣ab，根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案．
试题解析：解：原式==﹣ab
∵a，b是一元二次方程的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2．
点睛：本题主要考查整式的化简求值和根与系数的关系，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及根与系数的关系是解题的关键．
19．-1
【详解】试题分析：根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，设方程2x2+4x+3k=0的两个根为x1、x2，根据根与系数的关系结合x12+x22=7即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，结合k的取值范围即可得出结论．
试题解析：∵方程有实数根，
∴△=42 4×2×3k=16 24k 0，
解得：k .
设方程2+4x+3k=0的两个根为x1、x2，
则有：x1+x2= 2,x1 x2=k，
∵x21+x22=7，
∴(x1+x2)2 2x1 x2=4 3k=7，
解得：k= 1.
故k的值为 1.
20．（1）-10；30；（2）x2-2nx-3n2=0
【分析】（1）根据表格中的规律可知，第10个方程的解为x1=-10，x2=30；（2）根据表格中的规律可知，第n个方程的解是x1=-n，x2=3n，再根据根与系数的关系可知第n个方程就是x2-2nx-3n2=0．
【详解】（1）由表格中的规律可知，第10个方程的解为x1=-10，x2=30；
（2）根据表格中的规律可知，第n个方程的解是x1=-n，x2=3n，
∴根据根与系数的关系可知：第n个方程就是x2-2nx-3n2=0．
【点睛】本题是阅读理解题，通过阅读所给材料，从中找出隐含的规律，然后利用找到的规律解决一般情况的方程，题目也体现了从一般到特殊，再从特殊到一般的数学思想．
21．2
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，
即可得到，则，由此求出，，再由，得到，则．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根
∴由根与系数关系得，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握根与系数的关系，根的判别式．
22．这个长方形的周长为24；面积为9
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和为12，两根之积为9，进而可求出这个长方形的周长和面积．
【详解】设一元二次方程的两个根分别为和，
∴，，
∵长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，
∴这个长方形的周长为，
这个长方形的面积为．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，．
23．(1)见解析
(2)
(3)这个等腰三角形的周长为18，21
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，三角形的三边关系．
（1）根据根的判别式即可得到结论；
（2）先计算，整理得到，根据非负数的性质得到，然后根据△的意义即可得到结论；
（3）先解出原方程的解为，，然后分类讨论：腰长为5时，则；当底边为5时，则得到，然后分别计算三角形的周长．
【详解】（1）证明：
，
，
，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：，，，
，
，
解得：；
（3）解：解方程得，，
①当腰长为5时，则，
，
周长；
②当底边为5时，
，
，
周长．
24．(1)
(2)66
【分析】本题主要考查一元二次根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；
（1）由题意易得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的可得，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，且，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴．
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