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4.1多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从边形的一个顶点出发，可作8条对角线，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．将已知六边形，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．14
3．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．如图是从某窗棂样式结构图案上摘取的部分．已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．一个正六边形的内角和的度数为（　　）
A．1080° B．720° C．540° D．360°
5．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形 D．正五边形和正十边形
7．如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=75°，则∠AED的度数是（ ）
A．120° B．110° C．115° D．100°
8．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为360°，那么原多边形的边数为（ ）
A．3 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
9．利用边长相等的正三角形和正六边形地板砖镶嵌地面，在每个顶点周围有块正三角形和块正六边形地板砖，则的值为（ ）
A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4
10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）
A．110° B．108° C．105° D．100°
11．下列正多边形中，能够铺满地面的是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
12．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
二、填空题
13．如图①，②，③，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图④，⑤不是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形： ．
14．如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 ．
15．如图，在六边形中，，分别平分和，则与的数量关系可表示为 ．

16．如图，线段，，两两相交于点，，，分别连接，，．则 ．
17．一个八边形一共有对角线 条．
三、解答题
18．画出下列多边形的全部对角线：
19．已知一个多边形的内角和是，问这个多边形共有多少条对角线？
20．如图，四边形风筝的四个内角的度数之比为1∶1∶0.6∶1．求它的四个内角的度数．
21．如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形 和正六边形，和相交于点．求．
22．已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．
23．如图，
（1）从八边形的顶点A出发，可以画出多少条对角线？分别用字母表示出来；
（2）这些对角线将八边形分割成多少个三角形？
24．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是几边形？能确定它的每个外角的度数吗？
《4.1多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D C A D B D
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据从边形的一个顶点出发可以作条对角线即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线问题，熟练掌握“从边形的一个顶点出发可以作条对角线”是解题关键．
2．D
【分析】本题考查了多边形的对角线问题：对角线分成的三角形个数问题，逐个作图，运用数形结合思想。列式计算，即可作答．
【详解】解：∵六边形有6个顶点，且用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，
∴只能通过同一个顶点作三条对角线，如图1，
这种分法有6种，
如图2：也从一个顶点作两条对角线，这种分法有2种，
如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，
∴
故各种不同的剖分方法有14种．
故选D．
3．B
【分析】先根据平行线的性质即可得到，再根据多边形的外角和是即可求得结果．
【详解】解：∵
∴
∴的外角为:
∵五边形的外角和为，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，熟记多边形的外角和为是解题的关键．
4．B
【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．
【详解】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键．
5．D
【详解】解：根据多边形的内角和公式可得：(n－2)×180°=900°，
解得：n=7.
故选D
6．C
【分析】利用正多边形内角度数= 180°- 360°÷边数，计算出正多边形的内角，根据题意能够铺满地面的图形，即是两种或两种以上几何图形镶嵌成平面，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个360°的周角，据此判断即可．
【详解】A、正三角形和正五边形内角分别为60°、108°，由于60m+108n = 360，得，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，不符合题意；
B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，90m+120n = 360，同理m、n不存在正整数值使之成立，故不能铺满，不符合题意；
C、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，90m+135n = 360，当m=1，n=2时等式成立，符合题意；
D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，108m+144n = 360，同理m、n不存在正整数值使之成立，故不能铺满地面，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，属于基础题，熟练掌握镶嵌的含义是解题的关键．
7．A
【分析】根据多边形的外角和求出∠5的度数，然后根据邻补角的和等于180°列式求解即可．
详
【详解】解：∵∠1=∠2=∠3=∠4=75°，
∴∠5=360°﹣75°×4=360°﹣300°=60°，
∴∠AED=180°﹣∠5=180°﹣60°=120°．
故选A．
【点睛】本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．
8．D
【分析】首先求得内角和为360°的多边形的边数，再分类解答即可．
【详解】解：内角和为360°的多边形是四边形，
如图，剪切后的图形有三种情况：
不经过顶点剪切，则比原来的边数多1；
只过一个顶点剪切，则和原来边数相等；
按照顶点连线剪切，则比原来边数少1；
综上，原多边形的边数为3或4或5．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，全面分类、熟知多边形的内角和公式是解题的关键．
9．B
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【详解】∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°，
60°×4+120°=360°，或60°×2+120°×2=360°，
∴a=4，b=1或a=2，b=2，
①当a=4，b=1时，a+b=5；
②当a=2，b=2时，a+b=4．
故选B．
【点睛】解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
10．D
【详解】∠AED的外角为：360°-∠1-∠2-∠3-∠4=80°，多边形外角与相邻的内角互为邻补角，所以∠AED =180°-80°=100°．
11．B
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】A. 正五边形的一个内角度数为180°﹣360°÷5＝108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，不符合题意；
B. 正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．符合题意；
C. 正八边形的一个内角度数为180°﹣360°÷8＝135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，不符合题意；
D.正十二边形的一个内角度数为180°﹣360°÷12，不是360°的约数，不能镶嵌平面，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），计算正多边形的内角能否整除360°是解答此题的关键．
12．B
【详解】解：①正三角形、正方形，由于60×3+90×2=360，故能铺满；
②正三角形、正六边形，由于 60×2+120×2=360，或60×4+120×1=360，故能铺满；
③正三角形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
④正方形、正六边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
⑤正方形、正八边形，由于90+135×2=360，故能铺满；
⑥正六边形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选择的方式有3种．
故选B
13．正十二边形
【分析】本题考查了平面密铺，观察图形判断出中间空白正多边形的内角是所用正多边形的外角的2倍是解题的关键．根据环形密铺的定义，中间空白正多边形的内角是所用正多边形的外角的2倍即可．
【详解】解：正十二边形的外角是，内角
∵，
，
∴里边是正三角形，
∴正十二边形可以进行环形密铺．
故答案为：正十二边形．
14．40°
【分析】根据题意可知,小林每次走的角度为α,即走的是正多边形,可根据已知条件求出边数,然后再利用外角和等于360°,除以边数即可求出α的值．
【详解】解：设边数为n,根据题意,
n=72÷8=9,
则α=360°÷9=40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和等于360°,根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．
15．
【分析】根据六边形的内角和公式表示出，然后根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：六边形的内角和为：，
、分别平分和，
，，
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
16．360°
【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可．
【详解】解：∵∠BHI=∠A+∠B，∠DIF=∠C+∠D，∠FGH=∠E+∠F，
∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
∵∠BHI+∠DIF+∠FGH=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故答案为：360°．
【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于360°．
17．20
【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据一个边形的共有条对角线，进行求解即可．
【详解】解：一个八边形一共有对角线条；
故答案为：20．
18．见解析
【分析】根据对角线的定义“连接任意两个不相邻的顶点的线段”即可画出对角线即可．
【详解】画图如下：
【点睛】本题考查多边形的对角线．掌握n边形对角线的概念是解题的关键．
19．35．
【详解】试题分析：设这个多边形是n边形，根据多边形内角和公式可得，解方程求得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可．
试题解析：解：设这个多边形是n边形，
则，
解得，
所以这个多边形共有对角线（条）．
考点：多边形的内角和及对角线．
20．
【分析】根据四边形内角和为，以及已知条件设度，则有，解方程即可求解．
【详解】∵（四边形的内角和等于），
又∵的度数之比为，
设度，则有，
解得．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
21．84°
【分析】利用正多边形内角和定理求得和的度数，利用正多边形外角和定理结合平角的定义求得的度数，利用四边形内角和定理即可求解．
【详解】解：在正五边形中，
每个内角的度数为，
∴，
同理可得正六边形每个内角的度数为，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角和外角是解题的关键．
22．36°，72°，108°，144°．
【分析】根据四边形的外角和是360°列方程求解即可．
【详解】解：设四边形的最小外角为x°，
则其他三个外角分别为2x°，3x°，4x°．
根据四边形外角和等于360°，得x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°．
解得：x°＝36°，所以2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°．
所以四边形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，属于基本题型，熟练掌握多边形的外角和是360°、灵活应用方程思想是解题的关键．
23．（1）5条，它们分别是线段；（2）6个三角形．
【分析】根据过边形的一个顶点有条对角线，并将多边形分成个三角形，并按照题意将所有对角线用字母表示出来，根据对角线以及顶点即可表示出三角形．
【详解】（1）5条，它们分别是线段；
（2）6个三角形，它们分别是．
【点睛】本题考查了求多边形的对角线条数问题，掌握过边形的一个顶点有条对角线，并将多边形分成个三角形是解题的关键．
24．四边形，它的每个外角是
【分析】已知多边形的每个外角与其相邻的内角相等，而两者的和为，由此可得，每个外角与内角都是，于是这个多边形的边数为．
【详解】一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，
它的每个外角是
则这个多边形的边数为．
这个多边形是四边形，它的每个外角是．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，理解多边形的外角和为360°是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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