资源简介

编者的话
亲爱的同学、家长朋友们：
你们好！
小学升初中是孩子学习生涯中的第一个重要转折点，它不仅是对六年小学学习的总结，更是开启初中新征程的起点。在这一关键阶段，如何科学备考、高效复习、从容应考，是每位学生与家长共同关注的问题。为此，我们精心编撰了这套《2025年小升初数学备考真题分类汇编》，旨在为广大学子提供一份权威、实用、系统的备考指南。
真题的价值：温故知新，见微知著。
真题是命题规律最直观的体现，也是检验学习成果的最佳标尺。通过系统练习历年真题，学生不仅能熟悉题型、把握考点，更能从错题中查漏补缺，从解题中总结方法。每一道真题的背后，都蕴含着知识体系的逻辑脉络和学科素养的核心要求。本书收录了近年来各地名校的经典真题，并辅以详尽的解析与拓展，帮助学生从“会做题”走向“懂规律”，从“被动应试”迈向“主动思考”。
本专辑特色：科学编排，助力成长
精选真题，覆盖全面
本专辑涵盖数学重点内容，题目来源权威，题型多样，既注重基础知识的巩固，又兼顾思维能力的提升，贴合新课标与素质教育的要求。
分层解析，举一反三
每道题目均配有阶梯式解析，从“解题思路”到“易错警示”，再到“方法迁移”，帮助学生逐步构建解题模型，培养举一反三的能力。
真题实战，提升效率
专辑中全部为真题，还原真实考试考点，引导学生提前适应小升初考试，调整应考心态，真正做到“平时如考试，考试如平时”。
致同学：以梦为马，不负韶华
亲爱的同学们，学习是一场长跑，而备考是这段旅程中至关重要的冲刺。愿你们在练习真题的过程中，既能脚踏实地夯实基础，也能仰望星空拓展思维。每一次提笔的专注、每一次纠错的坚持、每一次突破的喜悦，都将成为未来成长的底气。请相信，努力不会被辜负，汗水终将凝成星光！
致家长：陪伴成长，静待花开
家长朋友们，孩子的成长需要您的鼓励与支持。本书不仅是孩子的学习工具，也是您了解升学动态、参与孩子进步的桥梁。建议您与孩子共同制定复习计划，关注学习过程而非仅看结果，用耐心与智慧陪伴他们跨越挑战，收获自信与成长。
写在最后
教育是点燃火种，而非填满容器。我们希望这套专辑真题汇编不仅是备考的助手，更能成为激发学习兴趣、培养学科思维的钥匙。愿每一位翻开本书的孩子，都能在知识的海洋中找到方向，在奋斗的足迹中遇见更好的自己！
2025年3月3日
2025年小升初数学备考真题分类汇编
专题07 探索规律（数形及算式规律）
思维导图 3
真题汇编 3
第一部分：探索规律（数形及算式规律）45题 3
一．选择题
1．（2024年小升初 苏州）如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有____个。　　
A．462 B．384 C．420 D．424
【分析】依据题意可知，第1个图中由小圆点个，第2个图中由小圆点个，第3个图中由小圆点个，第4个图中由小圆点个，第个图中由小圆点个，由此解答本题。
【解答】解：由分析可知，第20个图形中，小圆点有：
（个
故选：。
【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
2．（2024年小升初 盐城）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是　　
A．114 B．122 C．220 D．84
【分析】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为，则第一行为。第二行第1个为，第二行第3个为。四个数的和为，化简为；据此依次列方程为，，，，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。
【解答】解：设第二行中间数为，则第一行为。第二行第1个为，第二行第3个为。
．
31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。
．
这四个数的和有可能是122。
．
57.5不是整数；不符合题意；
．
23.5不是整数；不符合题意。
有可能是这四个数的和的是122。
故答案为：。
【点评】本题主要考查了简单图形覆盖现象中的规律，解答此题的关键是根据所给出的阴影部分的数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
3．（2023年小升初 射阳县）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，不符合这一规律的是　　
A． B． C． D．
【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、；从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。据此找出选项中不符合这个特征的算式即可。
【解答】解：这些“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45、
选项、、中的“正方形数”都正好等于两个相邻的“三角形数”的和，选项的算式不符合这个规律。
故选：。
【点评】解答本题的关键是理解“三角形数”和“正方形数”的特征，明确“三角形数”和“正方形数”之间存在的规律。
4．（2024年小升初 兴化市）五一假期，兴化李中水上森林景区，沿林间小道把一组灯笼按照“2红1黄2蓝”的顺序挂起来，一共挂了69盏灯笼。其中蓝灯笼有　　盏。
A．25 B．26 C．27 D．28
【分析】每盏灯笼一循环，计算第69盏是第几组循环零几盏，即可判断其颜色，再根据每组中蓝灯笼的盏数和余数中的盏数，计算蓝灯笼的总盏数即可。
【解答】解：
（组（盏
（盏
答：蓝灯笼有27盏。
故选：。
【点评】先找到规律，再根据规律求解。
5．（2023年小升初 海州区）1张餐桌可以坐6人，2张餐桌拼在一起可坐10人，如此拼下去，张餐桌拼在一起可以坐　　人。
A． B． C． D．
【分析】依据题意结合图示可知，1张餐桌可以坐6人，2张餐桌拼在一起可坐人，3张餐桌拼在一起可坐人，4张餐桌拼在一起可坐人，张餐桌拼在一起可坐人，由此解答本题。
【解答】解：由分析可知：（人
故选：。
【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
6．（2023年小升初 海陵区）将一些小圆球如图摆放，第五幅图中共有　　个小圆球。
A．12 B．24 C．25 D．36
【分析】看图可知，第一幅图有1个小圆球，第二幅图有个，第三幅图有个，第四幅图有个。依此类推，那么第五幅图有个小圆球。据此解题。
【解答】解：（个
答：第五幅图中共有25个小圆球。
故选：。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
7．（2023年小升初 涟水县）化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是　　
A．4 B．2 C．8 D．5
【分析】化成小数后是，循环节是428571，有6位数，（个，所以小数部分的第2000位数字是333个循环节后的334个循环节上的第2个数字，循环节的第2个数字是2，据此解答。
【解答】解：（个
答：化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是2。
故选：。
【点评】本题主要利用循环小数的循环节，找出循环节及循环节的数字，用2000除以循环节的位数得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。
8．（2023年小升初 清江浦区）小数点后面的第180位上的数是　　
A．1 B．7 C．8
【分析】因为的循环节是142857，有6位数，（个，所以小数部分的第180位数字是30个循环节后的循环节上的最后一个数字，据此解答。
【解答】解：（个
答：小数点后面的第180位上的数是7。
故选：。
【点评】本题主要利用循环小数的循环节，找出循环节及循环节的数字，用180除以循环节的位数得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。
9．（2023年小升初 如皋市）用同样长的小棒摆正方形（每条边用一根小棒），照这样摆，摆个正方形需要　　根小棒。
A． B． C． D．
【分析】根据图示可知，摆1个正方形需要4根小棒；摆2个正方形需要（根小棒；摆3个正方形需要（根小棒；摆个正方形需要小棒的根数是：根。
【解答】解：摆1个正方形需要4根小棒；
摆2个正方形需要（根小棒；
摆3个正方形需要（根小棒；
摆个正方形需要小棒的根数是：根。
故选：。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
10．（2023年小升初 梁溪区）有一些图形按●●〇〇〇☆●●〇〇〇☆的顺序排列，那么前50个图形中●占总数的　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，图形是按照●●〇〇〇☆为一个循环排列的，先求出前50个图形中有几个这样的循环还剩几个，确定●的个数，然后用●的个数除以50即可求出总数的几分之几。
【解答】解：（组（个
前50个图形中的最后2个是●，所以前50个图形中●的个数是：
（个
答：前50个图形中●占总数的。
故选：。
【点评】本题考查了简单的周期现象中的规律，结合题意分析解答即可。
11．（2023年小升初 滨湖区）如果图中的①②③④⑤分别表示自然数2、4、6、8、10。那么用这样的一个方格图，最多能表示出　　个不同的自然数。
A．22 B．23 C．24 D．25
【分析】根据图示可知，左面一个代表1，右面一个代表据此利用列举法解答。
【解答】解：可以表示的数有：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24，一共24个数。
故选：。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
12．（2023年小升初 滨湖区）“六一”节时，小明按3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把三种气球串起来装饰教室。那么第28个气球应该是　　
A．红气球 B．黄气球 C．绿气球 D．无法确定
【分析】先把3个红气球，2个黄气球，1个绿气球看成一组，前3个气球是红色，第4、5个气球是黄色，第6个气球是绿色；求出28里有几个6，还余几，再根据余数判断。
【解答】解：
（组（个
余数是4，第4个气球应是黄色，第28个气球也是黄色。
答：第28个气球是黄色的。
故选：。
【点评】解决这类问题关键是先找到事物排列的周期性的规律，再根据规律求解。
13．（2022年小升初 连云港）如图，用同样的小棒摆图形，照这样摆下去，摆第6幅图需要　　根小棒．
A．45 B．54 C．63 D．108
【分析】根据图示可知，摆图（1）用根小棒；摆图（2）用（根小棒；摆图（3）用（根小棒，发现规律：摆第个图形需要小棒根数：（根．利用规律做题．
【解答】解：摆图（1）用根小棒；
摆图（2）用（根小棒；
摆图（3）用（根小棒，
摆第个图形需要小棒根数：（根
所以，摆6幅图需要小棒：（根
答：摆第6幅图需要63根小棒．
故选：．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键从所给的图形中发现规律，并运用规律做题．
14．（2023年小升初 工业园区）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、这样的数称为“正方形数”。
从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、；都是平方数；
三角形数是1、3、6、10、15、21、；相邻两个数的差依次增加1；
从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可。
【解答】解：图1：正方形数是4，
图2：正方形数是9，
图3：正方形数是16，
图4：正方形数是25，
图5：正方形数是36，
故选：。
【点评】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
15．（2022年小升初 句容市）用火柴棒按照如图的方法摆正方形（每条边摆1根火柴棒），照这样摆8个正方形共需要　　根火柴棒。
A．19 B．22 C．24 D．25
【分析】观察图形可知，摆一个正方形需要（根，摆两个正方形需要（根，摆三个正方形需要（根，，即以后每增加一个正方形，就增加3根火柴棒，据此即可解答问题。
【解答】解：根据题干分析可得：摆个正方形需要根火柴棒，
当时
（根
答：需要25根火柴棒。
故选：。
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题。
二．填空题
16．（2024年小升初 鼓楼区）围棋是一种起源于我国的棋类游戏，深受人们的喜爱。课间，小南用棋子在棋盘上摆出如图所示的图形，照这样的规律继续往下摆。
（1）第10个图案中白棋有 　10　颗。
（2）第 　　个图案中黑棋有36颗。
【分析】依据题意可知，第1个图案中有1颗白棋，4颗黑棋，第2个图案中有颗白棋，颗黑棋，第3个图案中有颗白棋，颗黑棋，第个图案中有颗白棋，颗黑棋，由此解答本题。
【解答】解：（1）第10个图案中白棋有10颗。
（2），则。
故答案为：（1）10；（2）17。
【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
17．（2024年小升初 天宁区）按照如图中的规律继续画下去，第7幅图长 　32　厘米，第幅图长 　　厘米。
【分析】根据图示，后面的图形依次比前面的图形多4厘米，据此解答即可。
【解答】解：分析可知，第幅图长：
厘米
（厘米）
答：第7幅图长32厘米，第幅图长厘米。
故答案为：32；。
【点评】本题考查了图与形的组合知识，结合题意分析解答即可。
18．（2024年小升初 常州）如图，仔细研究，并填空。
△代表 　42　，〇代表 　　。
【分析】根据图示，表中的纵列，下面的数依次比上面的数多4、6、8、10、12，据此解答即可。
根据图示，表中的第3行，后面的数依次比前面的数多8、10、12、14，据此解答即可。
【解答】解：
，，。
答：△代表42，〇代表64。
故答案为：42，64。
【点评】本题考查了数表中的规律，结合题意分析解答即可。
19．（2024年小升初 玄武区）将6个灯泡排成一行，用和表示灯亮和灯不亮，如图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5，那么表示的数是 　37　。
【分析】规律：灯不亮表示0，灯亮表示1；由此是2进制排列。
【解答】解：根据分析可得：
也就是：
故答案为：37。
【点评】解答本题关键是找到规律，然后利用规律解决问题。
20．（2024年小升初 玄武区）某市民广场地面铺设地砖，决定采用两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律摆成若干个图案。照这样的规律摆下去，第个图案中白色地砖有 　　块。
【分析】第一个图案1块有色正六边形、6块白色六边形地砖；第二个图案2块有色正六边形、块白色六边形地砖；第个三图案3块有色正六边形、块白色六边形地砖；第个图案块有色正六边形、块白色六边形地砖。据此解答。
【解答】解：（块
答：第个图案中白色地砖有块。
故答案为：。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
21．（2023年小升初 工业园区）用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖 　18　块，第个图案中白色地砖 　　块。
【分析】第1个图案中有白色地砖6块，即；
第2个图案中有白色地砖10块，即；
第3个图案中有白色地砖14块，即；
第个图案中有白色地砖的块数为：。
【解答】解：由分析可知，第个图案中有白色地砖的块数为：块。
当时，
（块
答：第4个图案中有白色地砖18块，第个图案中白色地砖块。
故答案为：18，。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图形就多4块白色地砖是解本题的关键。
22．（2022年小升初 南京）小华用边长1厘米的正方形纸片分别摆出下面的图形，按这样摆下去，第6个图形要用 　36　个边长1厘米的正方形，它的周长是 　　厘米。
【分析】仔细观察给出的图形，并结合图中的层数、正方形的个数和周长，可以发现：正方形的个数层数层数；周长层数；据此解答即可。
【解答】解：（个
（厘米）
答：第6个图形要用36个边长1厘米的正方形，它的周长是34厘米。
故答案为：36；34。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律做题。
23．（2024年小升初 苏州）园林设计师为公园设计了种植月季花的正方形造型：最外层种黄花，用〇表示；里面种红花，用●表示。请你观察如图，当红花列数为时，红花有 　　朵，黄花有 　　朵。
【分析】红花的数量是平方数，所以当红花列数为时，红花有朵，黄花的数量是红花列数的8倍，所以黄花有朵；据此解答即可。
【解答】解：当红花列数为时，红花有朵，黄花有朵。
故答案为：；。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
24．（2024年小升初 苏州）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形照此规律摆下去，摆成第2022个图案需要 　6067　个三角形。
【分析】每增加一个图案就增加3个三角形，所以摆成第个图案需要个三角形；据此解答即可。
【解答】解：
（个
答：摆成第2022个图案需要6067个三角形。
故答案为：6067。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
25．（2024年小升初 阜宁县）如图，按这样的规律，第四个图形中有 　40　个白色三角形。
【分析】看图可知，第一个图形有1个白色三角形；第二个图形有4个白色三角形，；第三个图形有13个白色三角形，；由此可知，后一个图形白色三角形的个数前一个图形白色三角形的个数，据此计算出第四个图形白色三角形的个数。
【解答】解：
（个
答：第四个图形中有40个白色三角形。
故答案为：40。
【点评】本题主要考查图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
26．（2024年小升初 张家港市）小芳用小棒搭正五边形，并用表格记录了搭的情况。
序号 ① ② ③
图形
数量根 5 9 13
以此类推，搭8个正五边形需要 　33　根小棒，用121根小棒可以搭 　　个正五边形，搭个正五边形需要 　　根小棒。（用含有字母的式子表示）
【分析】观察可知，小棒根数正五边形个数，据此分析。
【解答】解：
（根
根
答：搭8个正五边形需要33根小棒，用121根小棒可以搭30个正五边形，搭个正五边形需要根小棒。
故答案为：33，30，。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
27．（2024年小升初 泰兴市）把化成小数，这个小数的小数部分第30位上的数是 　7　。
【分析】先求出，可知循环节是142857，即循环周期是6，用30除以6即可判断。
【解答】解：
所以这个小数的小数部分第30位上的数是7。
故答案为：7。
【点评】找出循环周期是几是解题的关键。
28．（2024年小升初 徐州）图中，每个黑色的圆片周围都摆有6个白色圆片。
照这样摆下去，5个黑色圆片周围一共有 　22　个白色圆片；个黑色圆片周围一共有 　　个白色圆片；如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有 　　个黑色圆片。
【分析】观察图形可知：
1个黑色的圆片周围有6个白色圆片；
2个黑色的圆片周围有10个白色圆片；
3个黑色的圆片周围有14个白色圆片；
4个黑色的圆片周围有18个白色圆片；
即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：
个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：。
由此解答即可。
【解答】解：1个黑色的圆片周围有6个白色圆片；
2个黑色的圆片周围有10个白色圆片；
3个黑色的圆片周围有14个白色圆片；
4个黑色的圆片周围有18个白色圆片；
45黑色的圆片周围有22个白色圆片；
即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，
由此可得：个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：。
当白色圆片时，，即有10个黑色圆片。
答：照这样摆下去，5个黑色圆片周围一共有22个白色圆片；个黑色圆片周围一共有个白色圆片；如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有10个黑色圆片。
故答案为：22；；10。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
29．（2024年小升初 泉山区）“数缺形时少直观，形少数时难入微”。观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第5幅图的点数是 　13　个，第幅图的点数是 　　个。
【分析】根据图示可知：
第一幅图的点数：1；
第二幅图的点数：；
第三幅图的点数：；
第四幅图的点数：；
第五幅图的点数：；
第幅图的点数：；
据此解答。
【解答】解：第幅图的点数：
当时，（个
答：第5幅图的点数是13个，第幅图的点数是个。
故答案为：13；。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
30．（2024年小升初 高港区）用若干张边长是的正方形纸片，像如图这样依次摆出1层、2层、3层的图形。如果摆4层，需要 　16　个正方形纸片，摆成的图形的周长是 　　厘米；如果摆出层，摆成的图形的周长是 　　厘米。
【分析】根据图示可知：
摆1层需要的正方形个数：1个，周长为；
摆2层需要的正方形个数：4个，，周长为，；
摆3层需要的正方形个数：9个，；周长为，；
摆4层需要的正方形个数：16个，；周长为，；
摆层需要的正方形个数为；周长为。
据此解答。
【解答】解：摆层需要的正方形个数为；周长为。
当时，，。
答：如果摆4层，需要16个正方形纸片，摆成的图形的周长是22厘米，如果摆出层，摆成的图形的周长是厘米。
故答案为：16；22；。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
31．（2024年小升初 泗洪县）用小棒按如下方式摆成图形。
（1）摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒；摆3个六边形需要 　16　根小棒。
（2）摆个六边形需要 　　根小棒。
（3）用2021根小棒可以摆成 　　个六边形。
【分析】根据图示可知：
摆1个六边形需要6根小棒；
摆2个六边形需要11根小棒，；
摆3个六边形需要16根小棒，；
摆个六边形需要小棒根数：；
据此解答。
【解答】解：根据题意可知摆个六边形需要小棒根数：
（1）当时，（根。
（2）摆个六边形需要根小棒。
（3）当时，
即用2021根小棒可以摆成404个六边形。
故答案为：（1）16；（2）；（3）404。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
32．（2024年小升初 盐城）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸。
（1）第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为 　8　，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为 　　。
（2）用含有字母的式子表示第个图中所贴剪纸“〇”的个数是 　　，当时，所贴剪纸“〇”的个数是 　　。
【分析】（1）（2）根据图示可知：
第1个图所贴剪纸“〇”的个数为5，
第2个图所贴剪纸“〇”的个数为8，
第3个图所贴剪纸“〇”的个数为11，
第个图所贴剪纸“〇”的个数为。
据此解答。
【解答】解：（1）第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为8，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为1。
（2）第个图所贴剪纸“〇”的个数为
当时，
答：用含有字母的式子表示第个图中所贴剪纸“〇”的个数是，当时，所贴剪纸“〇”的个数是80。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
33．（2024年小升初 江阴市）小军用小正方形卡纸摆图形（如图），照这样摆下去，摆第4个图形要用 　14　个小正方形；摆第个图形要用 　　个小正方形。
【分析】像这样拼下去，所用小正方形卡纸的个数是8、10、、、第4个图用的个数是（个，第个图用的个数是个；据此解答即可。
【解答】解：由分析可知，第4个图形要用：
（个
第个图用的个数是个；
答：摆第4个图形要用 14个小正方形；摆第个图形要用个小正方形。
故答案为：14；。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
34．（2024年小升初 江宁区）如图，明明准备了一些边长为4厘米的正方形纸片，按如下方式摆放，每个重叠部分是边长为2厘米的小正方形，像这样摆下去，当明明用了五张正方形纸片重叠时，摆成的图形面积是 　64　平方厘米，当明明用张纸片时，摆成的图形面积是 　　平方厘米。
【分析】用2张纸片时，摆成图形的面积是2个大正方形的面积和个小正方形的面积；
用3张纸片时，摆成图形的面积是3个大正方形的面积和个小正方形的面积；
用4张纸片时，摆成图形的面积是4个大正方形的面积和个小正方形的面积；
用5张纸片时，摆成图形的面积是5个大正方形的面积和个小正方形的面积；
用张纸片时，摆成图形的面积是个正方形的面积和个小正方形的面积据此解答即可。
【解答】解：（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
答：当明明用了五张正方形纸片重叠时，摆成的图形面积是64平方厘米，当明明用张纸片时，摆成的图形面积是平方厘米。
故答案为：64；。
【点评】本题主要考查数与形集合的规律发现每多1个正方形，面积的变化规律是解本题的关键。
35．（2024年小升初 锡山区）探索规律：
如图，图①中有4个点，按照这样的规律摆下去，图④比图③多了 　15　个点，从图 　　（填序号）起，所用的点数超过70个。
【分析】找出规律，第一图有（个点，第二图有（个点，第三图有（个点，第四图有（个点，第五图有（个点，第六图有（个点，据此填空。
【解答】解：图①中有4个点，按照这样的规律摆下去，图④比图③多了15个点，从图⑥（填序号）起，所用的点数超过70个。
故答案为：15；⑥。
【点评】本题考查的是数与形结合的规律，关键是把形转化成数列找到规律。
36．（2024年小升初 海陵区）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。
以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。
（1）如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是 　144　厘米。
（2）如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是 　　厘米。（用含有的式子表示）
【分析】根据题意先找出规律，每一次“生长”，周长都变成原来的，再按规律解答即可。
【解答】解：找出规律：每一次“生长”周长是前一个图形周长的。
（1）边长是27厘米的等边三角形，周长是
（厘米）
第一次“生长”，得到图形的周长是
（厘米）
第二次“生长”，得到图形的周长是
（厘米）
答：经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是144厘米。
（2）边长为厘米等边三角形，周长是厘米，
第一次“生长”，得到图形的周长是
（厘米）
第二次“生长”，得到图形的周长是
（厘米）
第三次“生长”，得到图形的周长是
（厘米）
第四次“生长”，得到图形的周长是
（厘米）
答：像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是厘米。
故答案为：（1）144；（2）。
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
37．（2024年小升初 溧阳市）数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下面的算式。
（1）　100　　　　　
（2）　　　　　　
【分析】观察可得规律是，差是2，首项是1等差数列的和等于项数乘项数。
【解答】解：（1）根据等差数列某项的计算公式（末项项数，可得项数。
（2）根据等差数列某项的计算公式（末项项数，可得项数
故答案为：100，10，10，2500，50，，50。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
38．（2023年小升初 武进区）在智能手机中，都可以利用手势密码进行解锁，其中最常见的就是利用的正方形点阵设置密码，我们将其称为“9点码”。在设置“9点码”时，只能连接相邻的两点（如图，不妨将9个点依次对应数字，图中路线Ⅰ、Ⅱ是可行的，路线Ⅲ、Ⅳ是不可行的），不能走重复的路线，从而形成相应的密码线段，线段越多，密码越复杂。已知小明设置的“9点码”从右上角的点“3”出发，且用了3个数字，一共可以设置 　15　种密码；横向和纵向的相邻两点之间的距离均为1，且小明设置的“9点码”的密码线段恰好构成了一个等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为 　　。
【分析】（1）用画树状图法列出所有可能出现的结果可知共有15种密码；
（2）从3出发且用3个数字构成的三角形为等腰三角形的情况共有6种，每种面积都相等，根据三角形面积底高即可计算。
【解答】解：如下图所示：
（种
从3出发且用3个数字构成的三角形为等腰三角形的情况共有6种，依次为：
①
②
③
④
⑤
⑥
6种等腰直角三角形的面积均为：
答：一共可以设置15种密码；等腰直角三角形的面积为。
故答案为：15；。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力以及三角形面积的计算。
39．（2023年小升初 栖霞区）△□□★★△□□★★左起第28个是 　□　，当□和★一共是24个时，△最少是 　　个。
【分析】根据题意，是以“△□□★★”五个图形为一个循环进行排列的，用，结合余数是3可知左起第28个是□，根据一个循环“△□□★★”中有□和★两种图形共4个，当□和★一共是24个时，有（个循环，每个循环中有1个△，据此解答即可。
【解答】解：（组（个
（个
（个
答：△□□★★△□□★★左起第28个是□，当□和★一共是24个时，△最少是6个。
故答案为：□，6。
【点评】本题考查了简单的周期现象的规律，结合题意分析解答即可。
40．（2023年小升初 南京）自己观察下列算式，寻找规律填数。
　28　　　。
【分析】观察得出规律为：从1开始的连续奇数相加，加到第几个奇数就是几的平方，55是第28个奇数，所以答案为。据此答题即可。
【解答】解：经分析得：
。
故答案为：28；28。
【点评】本题考查数与式中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。
三．解答题
41．（2024年小升初 玄武区）探索与实践：总复习进行整理与反思时，一位同学借助画图把复杂计算转化为简单计算，设计并分享了这样的一组问题：
① ②
（1）先观察图①，再计算　　。
（2）以此类推，　　。
（3）可以先在图②中画一画，再算一算 　　 　　。
【分析】（1）依据题意结合图示可知，，由此解答本题；
（2）以此类推，，由此解答本题；
（3）如图：，，由此解答本题。
【解答】解：（1）；
（2）
（3）
故答案为：（1）；（2）；（3），。
【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
42．（2024年小升初 如皋市）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。
（1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。
（2）总结：如果剪切次数用表示，分成的段数用表示时，和的关系是 　　。
（3）应用：像这样如果剪切20次，会分成 　　段。
【分析】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（段，剪3次分成（段。
（2）总结：如果剪切次数用表示，分成的段数用表示时，和的关系是。
（3）应用：像这样如果剪切20次，就是当时，代入求出即可。
【解答】解：（1）（段
（段
（2）总结：如果剪切次数用表示，分成的段数用表示时，和的关系是。
（3）当时，
答：像这样如果剪切20次，会分成61段。
故答案为：，61。
【点评】仔细观察找到规律是解决本题的关键。
43．（2024年小升初 海陵区）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形无数时难入微。”数学学习时把数与形联系起来思考，往往会有意想不到的作用。如：计算时，可以将算式转化成图形面积问题来进行简便计算（如图。请你尝试不通分，利用画图的方法简便计算：（先在图2中画出示意图，再用简便方法计算，写出计算过程和结果）。
【分析】根据数形结合的方法分一分，算一算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
44．（2023年小升初 武进区）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数
1、1、2、3、5、8、13、21、计算
这样的算式时有简便方法吗？
（1）这个复杂问题能否从简单入手，用数形结合的方法来探索？先根据算式中数的特点画一画再填一填。
（2）若按此规律拼，序号 　⑧　的和是1870，它表示的算式是 　　。
【分析】（1）通过格子图可知：
，即边长为1的2个正方形的面积和，也即长为，宽为1的长方形的面积，故；
，即边长为1的2个正方形的面积与边长为2的1个正方形的面积之和，也即长为，宽为的长方形的面积，故；
，即边长为1的2个正方形的面积、边长为2的1个正方形的面积与边长为3的1个正方形面积之和，也即长为，宽为的长方形的面积，故；
，即边长为1的2个正方形的面积、边长为2的1个正方形的面积、边长为3的1个正方形面积与边长为5的1个正方形面积之和，也即为长为，宽为的长方形的面积，故；
所以类似于兔子数列，计算时，计算几个数相加的和，结果就等于最后一个数的底数与前一个数的底数之和与最后一个数的底数的乘积。
（2）1870分解质因数后，把1870写成除自身之外2个最大的因数的乘积，则较小的因数即是数列中的最后一项的底数，据此即可解答。
【解答】解：根据分析，如下图所示：
（2）因为
即
所以按此规律拼，序号⑧的和是1870。
故答案为：（1）2；3；3；5；5；8；（2）⑧；。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力
45．（2023年小升初 如东县）先阅读理解，再解决问题。
有这样一组有规律的算式：
第1层：；
第2层：；
第3层：；
第4层：；
第5层：；
（1）我发现：每一层的第1个数，都正好等于 　层数的平方　，像第7层的第1个数是 　　。
（2）我发现：每层右边的数的个数等于 　　，如第7层右边一共有 　　个数。
（3）请你列式计算出第7层等号左边数的和。
【分析】（1）观察题中算式可知，每一层的第1个数，都正好等于层数的平方，由此解答本题；
（2）每层右边的数的个数等于层数，左边的数的个数减1层数，由此解答本题；
（3）依据（1）（2）去解答。
【解答】解：（1）每一层的第1个数，都正好等于层数的平方，像第7层的第1个数是：；
（2）每层右边的数的个数等于层数，如第7层右边一共有7个数；
（3），第7层等号左边数的和是420。
故答案为：层数的平方，49；层数，7。
【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
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2025年3月3日
2025年小升初数学备考真题分类汇编
专题07 探索规律（数形及算式规律）
思维导图 3
真题汇编 3
第一部分：探索规律（数形及算式规律）45题 3
一．选择题
1．（2024年小升初 苏州）如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有____个。　　
A．462 B．384 C．420 D．424
2．（2024年小升初 盐城）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是　　
A．114 B．122 C．220 D．84
3．（2023年小升初 射阳县）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，不符合这一规律的是　　
A． B． C． D．
4．（2024年小升初 兴化市）五一假期，兴化李中水上森林景区，沿林间小道把一组灯笼按照“2红1黄2蓝”的顺序挂起来，一共挂了69盏灯笼。其中蓝灯笼有　　盏。
A．25 B．26 C．27 D．28
5．（2023年小升初 海州区）1张餐桌可以坐6人，2张餐桌拼在一起可坐10人，如此拼下去，张餐桌拼在一起可以坐　　人。
A． B． C． D．
6．（2023年小升初 海陵区）将一些小圆球如图摆放，第五幅图中共有　　个小圆球。
A．12 B．24 C．25 D．36
7．（2023年小升初 涟水县）化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是　　
A．4 B．2 C．8 D．5
8．（2023年小升初 清江浦区）小数点后面的第180位上的数是　　
A．1 B．7 C．8
9．（2023年小升初 如皋市）用同样长的小棒摆正方形（每条边用一根小棒），照这样摆，摆个正方形需要　　根小棒。
A． B． C． D．
10．（2023年小升初 梁溪区）有一些图形按●●〇〇〇☆●●〇〇〇☆的顺序排列，那么前50个图形中●占总数的　　
A． B． C． D．
11．（2023年小升初 滨湖区）如果图中的①②③④⑤分别表示自然数2、4、6、8、10。那么用这样的一个方格图，最多能表示出　　个不同的自然数。
A．22 B．23 C．24 D．25
12．（2023年小升初 滨湖区）“六一”节时，小明按3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把三种气球串起来装饰教室。那么第28个气球应该是　　
A．红气球 B．黄气球 C．绿气球 D．无法确定
13．（2022年小升初 连云港）如图，用同样的小棒摆图形，照这样摆下去，摆第6幅图需要　　根小棒．
A．45 B．54 C．63 D．108
14．（2023年小升初 工业园区）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、这样的数称为“正方形数”。
从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是　　
A． B． C． D．
15．（2022年小升初 句容市）用火柴棒按照如图的方法摆正方形（每条边摆1根火柴棒），照这样摆8个正方形共需要　　根火柴棒。
A．19 B．22 C．24 D．25
二．填空题
16．（2024年小升初 鼓楼区）围棋是一种起源于我国的棋类游戏，深受人们的喜爱。课间，小南用棋子在棋盘上摆出如图所示的图形，照这样的规律继续往下摆。
（1）第10个图案中白棋有 　　颗。
（2）第 　　个图案中黑棋有36颗。
17．（2024年小升初 天宁区）按照如图中的规律继续画下去，第7幅图长 　　厘米，第幅图长 　　厘米。
18．（2024年小升初 常州）如图，仔细研究，并填空。
△代表 　　，〇代表 　　。
19．（2024年小升初 玄武区）将6个灯泡排成一行，用和表示灯亮和灯不亮，如图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5，那么表示的数是 　　。
20．（2024年小升初 玄武区）某市民广场地面铺设地砖，决定采用两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律摆成若干个图案。照这样的规律摆下去，第个图案中白色地砖有 　　块。
21．（2023年小升初 工业园区）用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖 　　块，第个图案中白色地砖 　　块。
22．（2022年小升初 南京）小华用边长1厘米的正方形纸片分别摆出下面的图形，按这样摆下去，第6个图形要用 　　个边长1厘米的正方形，它的周长是 　　厘米。
23．（2024年小升初 苏州）园林设计师为公园设计了种植月季花的正方形造型：最外层种黄花，用〇表示；里面种红花，用●表示。请你观察如图，当红花列数为时，红花有 　　朵，黄花有 　　朵。
24．（2024年小升初 苏州）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形照此规律摆下去，摆成第2022个图案需要 　　个三角形。
25．（2024年小升初 阜宁县）如图，按这样的规律，第四个图形中有 　　个白色三角形。
26．（2024年小升初 张家港市）小芳用小棒搭正五边形，并用表格记录了搭的情况。
序号 ① ② ③
图形
数量根 5 9 13
以此类推，搭8个正五边形需要 　　根小棒，用121根小棒可以搭 　　个正五边形，搭个正五边形需要 　　根小棒。（用含有字母的式子表示）
27．（2024年小升初 泰兴市）把化成小数，这个小数的小数部分第30位上的数是 　　。
28．（2024年小升初 徐州）图中，每个黑色的圆片周围都摆有6个白色圆片。
照这样摆下去，5个黑色圆片周围一共有 　　个白色圆片；个黑色圆片周围一共有 　　个白色圆片；如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有 　　个黑色圆片。
29．（2024年小升初 泉山区）“数缺形时少直观，形少数时难入微”。观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第5幅图的点数是 　　个，第幅图的点数是 　　个。
30．（2024年小升初 高港区）用若干张边长是的正方形纸片，像如图这样依次摆出1层、2层、3层的图形。如果摆4层，需要 　　个正方形纸片，摆成的图形的周长是 　　厘米；如果摆出层，摆成的图形的周长是 　　厘米。
31．（2024年小升初 泗洪县）用小棒按如下方式摆成图形。
（1）摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒；摆3个六边形需要 　　根小棒。
（2）摆个六边形需要 　　根小棒。
（3）用2021根小棒可以摆成 　　个六边形。
32．（2024年小升初 盐城）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸。
（1）第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为 　　，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为 　　。
（2）用含有字母的式子表示第个图中所贴剪纸“〇”的个数是 　　，当时，所贴剪纸“〇”的个数是 　　。
33．（2024年小升初 江阴市）小军用小正方形卡纸摆图形（如图），照这样摆下去，摆第4个图形要用 　　个小正方形；摆第个图形要用 　　个小正方形。
34．（2024年小升初 江宁区）如图，明明准备了一些边长为4厘米的正方形纸片，按如下方式摆放，每个重叠部分是边长为2厘米的小正方形，像这样摆下去，当明明用了五张正方形纸片重叠时，摆成的图形面积是 　　平方厘米，当明明用张纸片时，摆成的图形面积是 　　平方厘米。
35．（2024年小升初 锡山区）探索规律：
如图，图①中有4个点，按照这样的规律摆下去，图④比图③多了 　　个点，从图 　　（填序号）起，所用的点数超过70个。
36．（2024年小升初 海陵区）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。
以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。
（1）如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是 　　厘米。
（2）如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是 　　厘米。（用含有的式子表示）
37．（2024年小升初 溧阳市）数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下面的算式。
（1）　　　　　　
（2）　　　　　　
38．（2023年小升初 武进区）在智能手机中，都可以利用手势密码进行解锁，其中最常见的就是利用的正方形点阵设置密码，我们将其称为“9点码”。在设置“9点码”时，只能连接相邻的两点（如图，不妨将9个点依次对应数字，图中路线Ⅰ、Ⅱ是可行的，路线Ⅲ、Ⅳ是不可行的），不能走重复的路线，从而形成相应的密码线段，线段越多，密码越复杂。已知小明设置的“9点码”从右上角的点“3”出发，且用了3个数字，一共可以设置 　　种密码；横向和纵向的相邻两点之间的距离均为1，且小明设置的“9点码”的密码线段恰好构成了一个等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为 　　。
39．（2023年小升初 栖霞区）△□□★★△□□★★左起第28个是 　　，当□和★一共是24个时，△最少是 　　个。
40．（2023年小升初 南京）自己观察下列算式，寻找规律填数。
　　　　。
三．解答题
41．（2024年小升初 玄武区）探索与实践：总复习进行整理与反思时，一位同学借助画图把复杂计算转化为简单计算，设计并分享了这样的一组问题：
① ②
（1）先观察图①，再计算　　。
（2）以此类推，　　。
（3）可以先在图②中画一画，再算一算 　　 　　。
42．（2024年小升初 如皋市）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。
（1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。
（2）总结：如果剪切次数用表示，分成的段数用表示时，和的关系是 　　。
（3）应用：像这样如果剪切20次，会分成 　　段。
43．（2024年小升初 海陵区）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形无数时难入微。”数学学习时把数与形联系起来思考，往往会有意想不到的作用。如：计算时，可以将算式转化成图形面积问题来进行简便计算（如图。请你尝试不通分，利用画图的方法简便计算：（先在图2中画出示意图，再用简便方法计算，写出计算过程和结果）。
44．（2023年小升初 武进区）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数
1、1、2、3、5、8、13、21、计算
这样的算式时有简便方法吗？
（1）这个复杂问题能否从简单入手，用数形结合的方法来探索？先根据算式中数的特点画一画再填一填。
（2）若按此规律拼，序号 　　的和是1870，它表示的算式是 　　。
45．（2023年小升初 如东县）先阅读理解，再解决问题。
有这样一组有规律的算式：
第1层：；
第2层：；
第3层：；
第4层：；
第5层：；
（1）我发现：每一层的第1个数，都正好等于 　　，像第7层的第1个数是 　　。
（2）我发现：每层右边的数的个数等于 　　，如第7层右边一共有 　　个数。
（3）请你列式计算出第7层等号左边数的和。
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