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4.4平行四边形的判定定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如下是不完整的推理过程：
证明∶∵，
∴．
∵_______________，
∴四边形 是平行四边形．
若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，．添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（ ）
A． B．8 C． D．10
4．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ）
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°， 92° D．88°，92°，88°
5．在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，0)，(0，－5)，(－2，－2)，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，能判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD上的点，有下列条件：
①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，
若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是(　 　)
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
11．如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
12．如图，折叠ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若ABCD的面积是8，则下列结论中正确的是（ ）
A．四边形AEHG不是平行四边形
B．AB≠AE
C．设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是
D．若BC=4，则点E到BG的距离为1
二、填空题
13．在中，，若E为的中点，则 ．
14．（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
（3）两组对角分别 的四边形是平行四边形
∵∠A＝ ∠C，
∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形
（4）对角线 的四边形是平行四边形
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形
（5）一组对边 的四边形是平行四边形
∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
15．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B＝50°，则∠D＝ ．
16．在四边形中，，若，则的度数是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，是等边三角形，点是射线上的一个动点点不与点，重合，是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线，于点，，连接．
(1)求证：≌．
(2)当点在线段上时．探究四边形是怎样特殊的四边形？并写出证明过程．
19．如图，是的一条对角线，，垂足分别为M，N，四边形是平行四边形吗 请选择一种你认为比较好的方法证明．
20．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．
21．如图，在中，，，垂足分别为E、F，求证：四边形是平行四边形．

22．如图，在四边形中，，延长到E，使，连接交于点F，点F是的中点．求证：
(1)．
(2)四边形是平行四边形．
23．如图，在四边形中，
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)当时，求四边形的面积．
24．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
《4.4平行四边形的判定定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D C A A D C B
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得到答案．
【详解】解：对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故横线上添加的条件可以是，
故选∶C．
2．D
【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DCAB．
【详解】添加A、，无法得到ADBC或CD=BA，故错误；
添加B、，无法得到CDBA或，故错误；
添加C、，无法得到，故错误；
添加D、
∵，，，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故选D．
【点睛】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
3．C
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+ ∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝，
∴BE＝8．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键．
4．D
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,根据所给的三个角的度数可以求出第四个角,然后根据平行四边形的判定方法验证即可.
【详解】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,故B不是;
当三个内角度数依次是88°,108°,88°时,第四个角是76°,故A不是;
当三个内角度数依次是88°,92°, 92°时,第四个角是88°,而C中相等的两个角不是对角，故C不对;
D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形.
故选D.
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质定理以及四边形内角和等于360°，熟练掌握平行四边形的对角相等，是解题的关键．
5．C
【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，，
∴四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
、∵，，
∴四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
、由，，不能判定这个四边形是平行四边形；
、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形，
故选：．
6．A
【分析】已知线段AB，BC，AC，分别以三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断．
【详解】如果以线段AB为对角线，AC，BC为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限；
如果以线段AC为对角线，AB，BC为边，作平行四边形，则第四个顶点在第二象限；
如果以线段CB为对角线，AC，BA为边，作平行四边形，则第四个顶点在第三象限．
故不可能在第一象限．
故选A.
【点睛】考查了平行四边形的性质，建立平面直角坐标系，数形结合，分类讨论是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可．
【详解】解：∵，
∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意；
当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意；
当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意；
当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意；
故选：A．
8．D
【分析】根据平行四边形的判定方法处理；
【详解】解：A. ，；无法判定为平行四边形，本选项不合题意；
B. ，；无法判定为平行四边形，本选项不合题意；
C. ，；无法判定为平行四边形，本选项不合题意；
D. ，；两组对边分别相等的四边形为平行四边形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法；掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
9．C
【详解】如图所示：
构成的平行四边形有□ACBD，□ABCF，□ABEC，共3个平行四边形，故选C.
10．B
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠BCD，然后利用平行四边形的判定分别分析求解，即可求得答案；注意利用举反例的方法可排除错误答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∴当①AE∥CF时，四边形AECF是平行四边形；故①正确；
当②BE=FD时，CE=AF，则四边形AECF是平行四边形；故②正确；
当③∠1=∠2时，∠EAF=∠ECF，
∵∠EAF+∠AEC=180,∠AFC+∠ECF=180，
∴∠AFC=∠AEC，
∴四边形AECF是平行四边形；故③正确；
④若AE=AF，则四边形AECF是平行四边形或等腰梯形，故④错误.
故选B.
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质.
11．D
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形均为平行四边形．
∴图中共有个平行四边形9个．
故选：D．
12．C
【分析】根据轴对称、平行四边形、等腰三角形的性质，得，，从而证明四边形AEHG是平行四边形；根据轴对称和平行四边形的性质，得；设点E到BG的距离为，结合根据轴对称的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵折叠ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，
∴，，，四边形面积=四边形面积
∵ABCD
∴，，
∴，
∴，
∴，即选项B不正确；
∴
∴四边形AEHG是平行四边形，即选项A不正确；
∴
∵四边形面积=四边形面积
∴四边形面积=+四边形AEHG面积
∵四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，ABCD的面积是8
∴，即
∵点E在AD边上
∴四边形BCDE面积，即
∴，即选项C正确；
设点E到BG的距离为
∵四边形面积
∴四边形面积
∴，即
∴
∴，即点E到BG的距离为2
∴选项D不正确
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、平行四边形、等腰三角形、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、平行四边形的性质，从而完成求解．
13．
【分析】根据平行四边形的性质和已知推出AB＝BE＝AF＝DF，AF＝BE，AF∥BE，得到平行四边形AFEB，推出AF＝DF＝EF，然后推出∠AEB=∠AEF，∠FED=∠CED，由此即可求解．
【详解】解：取AD的中点F，连接EF，
∵平行四边形ABCD，BC＝2AB，E为BC的中点，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2AB＝2BE＝2AF＝2DF，
∴AB＝BE＝AF＝DF，
∴AF＝BE，AF∥BE，
∴∠EAF=∠AEB，四边形AFEB是平行四边形，
∴EF＝AB＝AF＝DF，
∴∠AEF=∠EAF，
∴∠AEB=∠AEF，
同理可得∠FED=∠CED，
∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°，
∴∠AEF+∠FED=∠AED=90°
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，能求出AF＝DF＝EF是解此题的关键．
14． 平行 相等 相等 互相平分 平行且相等
【解析】略
15．50°
【详解】在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得∠B＝∠D＝50°.
16．/度
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是关键．先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形对角相等即可得到答案．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴四边形是平行四边形，
∴
故答案为：
17．或或
【分析】先分别求出，和点坐标，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①，为边，②，为边，③，为边，根据平行四边形的判定方法求出点坐标即可
【详解】解：∵函数的图象分别交轴，轴于，两点，
当时，，
∴，
∵，且点位于轴正半轴，
∴，
∴
当时，，解得，
∴，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
如图所示：
①，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点，
∴；
②，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移6个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点，
∴；
③，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点，
∴．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合，涉及到图形的平移及平移特征，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征与平行四边形的判定是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，然后求出，再利用边角边证明和全等；
（2）四边形是平行四边形，因为≌，所以可得，进而证明，则可得到，又，所以四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，．
又，，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由得≌，
．
又，
，
∴，
又∵，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
19．四边形是平行四边形；证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．由四边形是平行四边形，可得，又由，即可得，然后利用证得，即可得，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】解：四边形是平行四边形．理由如下：
四边形是平行四边形，
，
．
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
20．详见解析
【分析】根据∠1=∠2，∠3=∠4可得AD∥BC，AB∥CD，然后根据平行四边形的判定定理证明.
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
理由：
∵∠1=∠2，∴AD∥BC，
又∵∠3=∠4，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，判定方法共有五种：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21．见解析．
【分析】由四边形是平行四边形，得，，可证，进一步求证，于是，所以四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
又，，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握性质和判定方法是解题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定：
（1）根据中点的性质，平行线的性质，对顶角相等，利用证明，即可；
（2）全等得到，推出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
23．(1)见详解
(2)216
【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答．
（2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作
设
∵
∴在
在
则
解得
∴
则四边形的面积
24．（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE；
（2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF=×4×2=4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质．
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