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广东省深圳市福田区香港中文大学（深圳）附属明德高级中学2024 2025学年高二下学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．为虚数单位，复数的虚部是
A． B． C． D．
3．设点，点，点，若的中点为，则等于（ ）
A． B． C． D．3
4．设m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若．则
D．若，则
5．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，为双曲线C：的左，右顶点，点P在双曲线C上，为等腰三角形，且底角为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（ ）
A．60种 B．54种 C．48种 D．36种
二、多选题（本大题共3小题）
9．设，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．该二项式的所有二项式系数之和为64 D．
10．已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列的前项和为
11．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值；
B．函数有且只有1个零点
C．在上单调递减；
D．设，则.
三、填空题（本大题共3小题）
12．椭圆中心在原点，焦点坐标是（0，±4），且长轴长为10，则该椭圆的方程是 .
13．设等比数列中，是前项和，若，则= ．
14．如图，在中，，，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
16．已知数列是等差数列，且，．若等比数列满足，，
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和．
17．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最大值和最小值．
18．如图，四棱锥的底面为菱形，，且侧面是边长为2的等边三角形，取的中点，连接.

(1)证明：平面；
(2)证明：为直角三角形；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦值.
19．设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)当时，，求的取值范围．
参考答案
1．D
2．B
3．D
4．A
5．B
6．D
7．A
8．B
9．ACD
10．ACD
11．ABD
12．
13．28
14．
15．（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．
16．（1）设公差为d，，，
∴．
，．
∴首项，公比，．
（2）
17．（1）函数的定义域为R，求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的递增区间是，递减区间是.
（2）当时，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
而，则，，
所以在上的最大值和最小值分别为.
18．（1）证明：因为侧面是等边三角形，为的中点，所以，
因为四边形为菱形，且，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
故为直角三角形.
（3）因为平面，故由（1）可知，
平面平面，易求，又，
所以为等边三角形，
取的中点，连接，则，
因为为平面与平面的交线，平面，
所以平面.
以为坐标原点，平行于的直线为轴，直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
则，，，
设平面的法向量为，
由
取，得.
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．（1）当时，，则，
则曲线在点处的切线斜率为，
又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
由题意得，恒成立．
令，则，且在单调递增，
令，解得，
所以当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增；
所以，
又，当且仅当，故．
（3）解法一：因为，所以题意等价于当时，．
即，
整理，得，
因为，所以，故题意等价于．
设，
的导函数，
化简得，
考察函数，其导函数为，
当单调递减；当单调递增；
故在时，取到最小值，即，
即，
所以，
所以当单调递减；
当单调递增；
所以的最小值为，
故．
解法二：先考察，由（2）分析可得，
情况1：当，即，
此时在区间单调递增，
故，即，符合题意；
情况2：若，则，
注意到，且，故对进一步讨论．
①当时，即
且由（2）分析知：当单调递减，
故当，即单调递减，
故恒有，不符合题意，舍去；
②当时，
注意到在区间单调递减，且，又，
故在区间存在唯一的满足；
同理在区间单调递增，且，
故在区间存在唯一的满足；故可得
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以当，符合题意；
故题意等价于，即．
又因为，即，化简，得
所以，整理得．
注意到，所以，
故解得，
由之前分析得即
考察函数，其导函数为，
当单调递减；
当单调递增；
故在时，取到最小值，即，
即，所以恒成立，
故，又注意到情况（2）讨论范围为，
所以也符合题意．
综上①②本题所求的取值范围为．
方法三：先探究必要性，由题意知当时，是的最小值，
则必要地，即得到必要条件为；
下证的充分性，即证：当时，．
证明：由（2）可知当时，在单调递增，
故的最小值为，符合题意；
故只需要证明时，．
由（2）分析知时，
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
其中．
注意到，据此可得更精确的范围是；
所以等价于证明，
又因为，即，可得，
只需证明，
等价于证明，
注意到，即，
故若①当，此时显然成立；
若②当，只要证明，
此时，且
所以，故得证．
综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为．

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