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第10章《分式》复习题--分式的运算
【类型一：分式的加减法】
1．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（　　）
A． B．a C． D．1
2．已知，则（　　）
A． B．1 C．2 D．3
3．已知，则代数式的值为 　　．
4．计算：．
5．对于正数x，规定，例如，．则（　　）
A．2022 B．2021 C．2021.5 D．2022.5
6．定义新运算f（x），例如f（2）3，下列说法正确的有（　　）
①f（1） f（2） f（3） f（10）＝10；
②f（1）+f（）+f（）+ f（）＝65；
③当f（a）＝﹣1，f（b）＝3时，（a+b）2023＝﹣1．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”k＝1．
（1）已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”；
（2）已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”k＝1．若x为整数，则分式D的值为正整数a．
①求M所代表的代数式；
②求x的值；
（3）在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程E+F＝a无解，求实数m的值．
【类型二：分式的乘除和乘方运算】
8．下列各式中，计算结果正确的有（　　）
①；②a÷ba；③；④；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．计算：．
【类型三：分式的混合运算】
10．（1）； （2）．
11.阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由，可知x≠0．
∴，即
∴．
故的值为．
（1）第②步运用了公式：　 　；（要求：用含a、b的式子表示）
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知：，求的值；
（3）已知，求的值．
12.解决数学问题时经常要比较两个数或式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一．比如，要比较代数式a与b的大小，只需求出它们的差a﹣b，若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．
（1）已知m＞n＞0，a＞0，比较分式与的大小；
（2）已知，求a的取值范围；
（3）在一条河里，甲、乙两船从同一港口同时同向出发，分别航行1小时后立即返航，若甲船在静水中的速度为v1，乙船在静水中的速度为v2，水流速度为v0（v1＞v2＞v0＞0），甲、乙两船返航所用时间分别为t1，t2，试判断哪条船先返回A港？并说明理由．
13.如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1．
（1）已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值．
（3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值．
14.如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式M，N，M+N15，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”k＝15．
（1）已知分式A，B，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k；
（2）已知分式C，D，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”k＝5，
①求M＝　 　（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值：
（3）若分式E，F（b、c为整数且a＝b+c），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”k＝5，求a的值．
15.我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．（1）将分式分解的结果为 　　；
（2）若可以分式分解为（其中m、p、q是常数）．则p＝ 　　，q＝ 　　；
（3）当x＞1时．判断与的大小关系，并证明．
16.小明与小亮发现，已知复杂分式的值求另一个复杂分式的值，通常需要去分母变形为整式关系，然后整体代入后化简求解．
如已知，求的值．
小明的做法是：
∵，
∴x2﹣y2＝﹣5xy，
∴．
小亮的做法是：
∵，
∴，
∴．
学习他们的方法求解：
（1）已知，且a≠﹣b，求的值；
（2）已知，，求m的值．
17.阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由知x≠0，所以，即
所以
所以的值为．
该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）若，求的值；
（3）拓展：已知，，，求的值．
18.阅读理解
[提出问题]已知，求分式的值；
[分析问题]本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t，得出a，b，c与t的关系，然后再代入待求的分式化简即可；
（1）[解决问题]设，则a＝3t，b＝5t，c＝2t，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 　﹣2　；
（2）[拓展应用]已知，求分式的值．
参考答案
【类型一：分式的加减法】
1．
【分析】由题意得，被盖住的部分是，进而可得答案．
【解答】解：由题意得，被盖住的部分是1．
故选：D．
2．
【分析】把已知条件整理为2，把所求分式的分子、分母同时除以ab，再把的式子代入，化简即可得到结果．
【解答】解：∵，
∴2，
∴
＝3．
故选：D．
3．
【分析】把2去分母后求出x﹣y＝﹣2xy，再代入，即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴y﹣x＝2xy，
∴x﹣y＝﹣2xy，
∴
＝8．
故答案为：8．
4．解：
＝2．
5．
【分析】先根据已知条件中的规定，通过计算找出规律，然后进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴，，
∴，
同理可得：，...，
∴，
∴原式
＝1+1+...+1
＝2021.5
故选：C．
6．
【分析】根据新定义逐项计算即可求解．
【解答】解：①∵，
∴，
，
…，
，
∴f（1） f（2） f（3） f（10）
，故①不正确；
②∵，
∴，
，
…，
，
∴
＝2+3+4+...+11＝65，故②正确；
③∵f（a）＝﹣1，
∴，
∴．
∵f（b）＝3，
∴，
∴．
∴，故③不正确．
故选：B．
7．解：（1），
∴A是B的“差整分式”，“差整值”为3．
（2）①∵C是D的“差整分式”，且“差整值”k＝1
∴，
∴2x﹣6﹣M＝x2﹣9，
解得：M＝﹣x2+2x+3；
②，
∵分式D的值为正整数，且x为整数
∴x+3＝1，
∴x＝﹣2．
（3）由（2）得，，
∴，
∴y（y﹣m）+3（y﹣1）＝y（y﹣1），
整理得：（4﹣m）y＝3，
当m＝4时，整式方程无解，符合题意；
当m≠4时，，
∵方程E+F＝a无解，
∴（无解，舍去）或，
解得：m＝1，
∴综上所述，实数m的值为1或4．
【类型二：分式的乘除和乘方运算】
8．
【分析】①直接约分即可；
②③④⑤按照除以一个数等于乘以这个数的倒数计算．
【解答】解：① ，选项计算正确，符合题意；
②a÷b，选项计算错误，不符合题意；
③，选项计算正确，符合题意；
④8a2b2÷（）＝8a2b2 （），选项计算错误，不符合题意；
⑤（） （）＝ab，选项计算正确，符合题意．
即正确的有3个．
故选：C．
9．解：原式（3分）
．（3分）
【类型三：分式的混合运算】
10．解：（1）
；
（2）
＝（）

．
11.解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴第②步，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵，
∴x≠0，
∴，
∴x﹣34，
即x1，
∴
＝x2+7
＝（x）2﹣2+7
＝（﹣1）2﹣2+7
＝6，
∴；
（3）∵，
∴，
即，
同理可得，，
∴，，，
∴，
∴．
12.解：（1）
，
∵m＞n＞0，a＞0，
∴m﹣n＞0，
∴a（m﹣n）＞0，n（n+a）＞0，
∴0，
∴；
（2）∵，
∴0，
∴0，
∴，
∴，
∴，
∴0＜a＜3；
（3）甲船先返回港口，理由如下：
①依题意，∵甲船顺流航行1小时的路程为（v1+v0）×1，
甲返航时实际速度为v1﹣v0，
∴甲返航时间为t1，
∵乙船顺流航行1小时的路程为（v2+v0）×1，
乙返航时实际速度为v2﹣v0，
∴乙返航时间为t2，
∴t1﹣t2
，
∵v1＞v2＞v0＞0，
∴t1﹣t2＜0，
∴t1＜t2，
∴甲船先返回港口；
②依题意，∵甲船逆流航行1小时的路程为（v1﹣v0）×1，
甲返航时实际速度为v1+v0，
∴甲返航时间为t1，
∵乙船逆流航行1小时的路程为（v2﹣v0）×1，
乙返航时实际速度为v2+v0，
∴乙返航时间为t2，
∴t1﹣t2
，
∵v1＞v2＞v0＞0，
∴t1﹣t2＞0，
∴t1＞t2，
∴乙船先返回港口，
综上所述，若出发时顺流，甲船先返回港口；若出发时逆流，乙船先返回港口．
13.解：（1）A与B是互为“和整分式”，理由如下：
∵分式，
∴A+B
＝2，
∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”k＝2；
（2）①∵分式，，
∴C+D
，
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，
∴3x2+2x﹣8+G＝3（x﹣2）（x+2）＝3x2﹣12，
∴G＝3x2﹣12﹣3x2﹣2x+8＝﹣2x﹣4，
②∵D，
又∵x为正整数，分式D的值为正整数t，
∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2，
解得x＝1或x＝0（舍去），
∴x＝1；
（3）∵P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2，
∴P+Q，
∴，
∴（3﹣m）x﹣2＝2x﹣6，
∴（1﹣m）x＝﹣4，
∵当1﹣m＝0，即m＝1时，关于x的方程无解，
当1﹣m≠0时，方程有增根x＝3，
∴3（1﹣m）＝﹣4，
解得m，
∴综上所述，m为1或．
14.解：（1）A与B是互为“幸福分式”，理由如下：
分式，，
∴，
∴A与B是互为“幸福分式”，“幸福值”k为2；
（2）①∵，且“幸福值”k＝5，
∴5x2+6x﹣8+M＝5（x﹣2）（x+2）＝5x2﹣20，
∴M＝﹣6x﹣12；
故答案为：﹣6x﹣12；
②，
∵分式D的值为正整数，
∴x﹣2是﹣6的约数，即x﹣2＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣6，
解得：x＝1或0或﹣1或﹣4；
∵x为正整数，
∴x＝1；
（3）E是F的“幸福分式”，
∴，
﹣x2+5x+ax﹣5a+x2﹣cx﹣bx+bc＝5x﹣20，
（5+a﹣c﹣b）x+bc﹣5a＝5x﹣20，
∵a＝c+b，
∴5x+bc﹣5（c+b）＝5x﹣20，
∴bc﹣5（c+b）＝﹣20，
∴bc﹣5c＝5b﹣20，
∴c（b﹣5）＝5b﹣20，
∴，
∴c，b为整数，
∴b﹣5一定是5的约数，
b﹣5＝﹣1或﹣5或l或5，
解得：b＝4 或0或6或10，
∴c＝0或4或10或6，
∴a＝c+b＝4或4或16或16，
即a的值为4或16．
15.解：（1）
故答案为：；
（2）∵（x﹣1）（2x﹣1）
＝2x2﹣x﹣2x+1
＝2x2﹣3x+1，
∵可以分式分解为（其中m、p、q是常数），
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝mx2﹣3x+1，
∴m＝2，
∴
，
∴p＝1，q＝3，
故答案为：1，3；
（3），证明如下：
，
∵x＞1，
∴﹣（x+1）＜0，x2＞0，x﹣1＞0，
∴x2（x﹣1）＞0，
∴，
∴．
16.解：（1）∵，
∴ab＝2a+b，
∴；
（2）把去分母变形得y﹣x＝mxy，
∴x﹣y＝﹣mxy，
∴，
整体代入可化为，
即 ，
，
解分式方程得m＝16．
17.解：（1）∵，可知x≠0，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，可知x≠0，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，，可知x≠0，y≠0，z≠0，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
18.解：（1）由题意得：2，
故答案为：﹣2；
（2）设t，
∴x＝2t，y＝﹣3t，z＝6t，
∴．

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