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南模中学2024学年第二学期高三年级数学周测
2025.02
一、填空题
1．已知命题“，使得”是真命题，则实数的最大值是________．
2．已知，则________．
3．已知扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为________．
4．如图，在平行四边形中，，向量，用向量，示，则..________．
5．已知数列满足．若为严格递减数列，则实数的取值范围为________．
6．用、乙两个零件正常工作的概率分别为0.3，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为________．
7．设点为的三条内角平分线的交点，当，时，，其中，，则复数________．
8．若点、在圆上运动，，为的中点．点在圆上运动，则的最小值为________．
9．若关于的不等式的解集为若，，试探究，，，的值，则的最小值为________．
10．如图，已知三角形为直角三角形（为直角），分别连接点与线段..的等分点，，…，得到个三角形依次为，，…，，将绕着所在的直线旋转一周，记，，…，旋转得到的几何体的体积依次为，，…，，若，则三角形旋转得到的几何体的体积________．
11．如图，曲线上的点与轴上的点（构成一系列正三角形：，，…，．设正三角形的边长为，点．则数列的通项公式为________．
12．已知函数是定义在上的连续可导函数，为其导函数，且，，成立．若当时，，且，则不等式的解集为________．
二、单选题
13．已知复数是方程的一个根，则实数（ ）
A． B．5 C． D．6
14．在中，已知，，，为中点，则（ ）
A．2 B． C． D．
15．已知函数，函数恰有两个不同的零点，，则的最大值和最小值的差是（ ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于，两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题：
17．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，为中点．
（1）求证：；
（2）当时，求平面和平面夹角的余弦值．
18．在中，内角，，所对应的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，为边上的一点，且，，求的最大值．
19．1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯敦世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊、尊重、合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王、小张、小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛．由抽签决定小王、小张先上场比赛，小马做裁判．根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为．
（1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
（2）比赛完4局时，设小马做裁判的次数为，求的分布列和期望．
20．17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示，四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点，间的距离2转动杆一周的过程中始终有，点在线段的延长线上，且．
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于，两点．记直线，的斜率分别为，．
（i）证明：为定值；
（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于，的点，且平分，求的取值范围．
21．已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数：二阶导函数，则称为上的凸函数．若是区间上的凹函数，则对任意的，，…，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立），若是区间上的凸函数，则对任意的，，…，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立），已知函数，．
（1）试判断在为凹函数还是凸函数？
（2）设，，…，，且，求的最大值；
（3）已知，且当，都有恒成立，求实数的所有可能取值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.；9.； 10.；11.；12.；
11.如图，曲线上的点与轴上的点（构成一系列正三角形：，，…，．设正三角形的边长为，点．则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】由条件可得为正三角形，且边长为，
∴在曲线上，代入中，得，
∵，根据题意得点
代入曲线并整理，得．
当时，
即
当时，或（舍），
∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，故答案为：．
12. 已知函数是定义在上的连续可导函数，为其导函数，且，，成立．若当时，，且，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】由题意得，当时，当 时，即
因为，所以令，
则，所以函数在上单调递增．
因为对任意的 ，恒成立，
所以，即恒成立，
所以 ．又，所以，
则不等式等价于
即，所以，解得，故不等式的解集为
故答案为：
二、选择题
13.C； 14.D； 15.A； 16.B
15.已知函数，函数恰有两个不同的零点，，则的最大值和最小值的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出的图象如下，
由图象可知，当，即时，
函数有2个交点，
即函数恰有两个不同的零点，
因为，所以，可得
构造函数，
令解得，，令解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以
所以函数的最大值和最小值之差为，
所以的最大值和最小值的差是．故选：．
16.已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于，两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知，所以，因为双曲线的离心率为，所以，解得，所以，则双曲线，
设的中点为，因为，所以，
因为直线与双曲线交于两支，设点在左支上，点在右支上，
此时，所以，
设到的距离为，可得，（1）
因为
所以（2）
联立（1）（2），解得，
设圆的圆心到直线的距离为，此时，
则直线被圆所截得的弦长为．
三、解答题
17.（1）略（2）
18.（1）（2）
19.（1）
（2）分布列为：
1 2
则．
20. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示，四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点，间的距离2转动杆一周的过程中始终有，点在线段的延长线上，且．
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于，两点．记直线，的斜率分别为，．
（i）证明：为定值；
（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于，的点，且平分，求的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】（1）因为，所以
即点的轨迹是以为焦点的椭圆，设方程为，
则，解得，故点的轨迹的方程为；
（2）证明：设直线与椭圆的交点坐标为，
①当直线斜率存在时，如图1，
图1设，联立
化简得，
显然恒成立，所以
所以
又
所以，即为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图2，
显然，可得：即
综上所述：为定值．
（ii）由题，
所以，
由可知：,设，即，
则,可得，又，所以，
所以，则，又直线的斜率存在，
所以，所以，综上：．
21.已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数：二阶导函数，则称为上的凸函数．若是区间上的凹函数，则对任意的，，…，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立），若是区间上的凸函数，则对任意的，，…，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立），已知函数，．
（1）试判断在为凹函数还是凸函数？
（2）设，，…，，且，求的最大值；
（3）已知，且当，都有恒成立，求实数的所有可能取值．
【答案】（1）凸函数（2）（3）{2}
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以 ，则在 为凸函数；
（2）由（1）知在内为凸函数又，且
所以
（3）令，可得，
此时在上恒成立，当时，不符合题意；
当时，，
可得，
令，此时
令可得，
所以 在上单调递增，所以 ，
此时在上单调递增，即 在上单调递增，
又所以在上单调递增，
又即，符合题意；
当 ，令，此时
所以，
不符合题意。综上，正整数的取值集合为．

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