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北师大实验中学2024-2025学年度第二学期期中试卷
初一年级数学
班级 姓名 学号 成绩
考 生 须 知 1. 本试卷共8页，共4道大题，28道小题；答题纸共3页。 满分110分。考试时间100分钟。 2. 在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号。 3. 试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
A卷
单项选择题（本题共10小题，第1-5题每小题3分，第6-10题每小题2分，共25分）
1．64的平方根和立方根分别是
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点位于第四象限，则满足
A． B． C． D．
3．已知是方程的解，则m的值为
A． B． C． D．
4．用代入法解方程组时，由①用x表示y，再代入到②中，所得到的一元一次方程是
A． B．
C． D．
5．如图，直线，直线和直线分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．已知，则下列不等式中一定成立的是
A． B．C． D．
7．如图，下列四个条件：①；②；
③；④，其中能判定
的是
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
8．如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，B，设点A，B表示的数为a，b，则以下说法正确的是
A． B．表示数的点在线段AB上
C．是无理数 D．是有理数
9．已知点到x轴的距离小于到y轴的距离，则实数a满足的条件是
A． B． C． D．或
10．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．将某整点连续进行若干次平移操作，每次平移1个单位长度，平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数：当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移．例如点按上述规则连续平移3次：，最后得到点．若某整点Q按上述规则连续平移n次后，最后得到点，则点Q的坐标不可能是
A． B． C． D．
填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分）
11．若a是整数，满足，则a的值为___．
12．方程组的解是___．
13．小明第一次数学测试得85分，第二次数学测试得93分，设第三次数学测试得x分，若他希望这三次数学测试的平均分不低于90分，则可列出不等式___．
14．已知点P是直线l上一点，点Q是l外一点，PQ＝3 cm，则点Q到直线l的距离___3 cm．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）
15．能够说明命题“如果，那么”是假命题的一组反例是：a =___，b =___．
16．如图，将周长为15的△ABC沿边BC向右平移得到
△DEF，平移距离为3，则△ADG与△ECG的周长
之和为___；四边形ABFD的周长为___．
17．利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下：
已知：△ABC中，∠C＝90°．
求证：∠B＋∠BAC＝90°．
证明：如图，过点A作AD⊥AC，（ ① ）
则∠DAC＝90°．
∵ ∠C＝90°，
∴ ∠DAC＋∠C＝90°＋90°＝180°．
∴ DA // BC．（ ② ）
∴ ∠B＝∠DAB．
∴ ∠B＋∠BAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠DAC＝90°．
上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是___；
证明过程中，②处应填写的依据是___．
【注】本题结论可以作为推理的依据，用于本试卷其它题目的推导过程．
18．已知，则在平面直角坐标系中，点的坐标为___；
若轴，且点Q在x轴上，则点Q的坐标为___．
19．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时就反弹，反弹后路径与长方形的边所夹锐角为45°，已知第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第5次碰到长方形边上的点的坐标为___；第2025次碰到长方形边上的点的坐标为___．
20．关于不等式组，下列说法正确的是___．（填所有正确说法的序号）
① 如果，则不等式组一定有实数解；
② 如果，则不等式组一定有整数解；
③ 如果不等式组恰有两个整数解，则；
④ 如果，且不等式组恰有三个非负整数解，则b的范围是．
解答题（本题共6小题，共55分，其中第21题14分，第22题9分，第23题10分，第24题7分，第25题6分，第26题9分）
21．（1）计算：；
（2）解方程：；
（3）解不等式组：
（4）解不等式：，写出求解过程，并在数轴上表示解集．
22．画图并回答问题
（1）如图，用直尺和三角板画图：
① 过点B画AC的垂线段BD；
② 过点A画BD的平行线l；
③ 过点D画BC的垂线，交直线l于点E．
图中不再添加点和字母，写出一个与∠DEA相等的角：___；
线段DE和BD的大小关系是：DE___BD（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是
，，．
① 将△ABC平移得到△，其中点的坐标为，画出平移
后的三角形，并直接写出点的坐标：___；
② 点A到直线的距离为___；
③ 连接交于点D，则△与△的面积之比为___．
23．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．
① 先画出相应的图形，并判断命题的真假；
② 如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，
举出反例．
（2）如图，已知AD // BF，AE // BC，AF // EC，
若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程
填写完整．
解： ∵ AD∥BF，
∴ ∠B＝∠ADC．
∵ AE // BC，
∴ ① ＋∠DAE＝180°．
又 ∠B＝45°，可解得∠DAE＝（ ② ）°．
∵ AE // BC，
∴ ∠C＋∠E＝180°．
∵ AF // EC，
∴ ∠FAE＝ ③ ．（ ④此处填推理的依据 ）
又 ∠C＝75°，可解得∠FAE＝（ ⑤ ）°
∴ ∠FAD＝360°－∠DAE－∠FAE＝（ ⑥ ）°．
24．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC和∠ADC的角平分线，DE // BF．
（1）求证：DC // AB；
（2）能否判定AD // BC？若能，请证明；
若不能，说明理由．
25．列方程（组）解实际问题
为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，A、B两类物质排放量之和不超过50 mg/km．
已知该型号某汽车的A、B两类物质排放量之和原为84 mg/km．经过一次技术改进后，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A、B两类物质排放量之和为48 mg/km．判断这一次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．
26．在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段 经过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示．
图1 图2
（1）在图1中，若∠APN＝，求∠ABM的大小（用表示）；
（2）小明发现，在图2中，有， ，进而推理：
∵ 线段和线段都经过点A和点P，
∴ 它们都在同一条直线AP上．（ ①此处填推理的依据 ）
∵ ， ，
∴ ．（ ②此处填推理的依据 ）
（3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有．请你帮小亮证明这个结论．
图3
B卷
解答题（本题共10分，其中第27题3分，第28题7分）
27．如图，小明家在A点，学校在D点，中间有
道路相连，线段AD上的点B，C代表十字路口
（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：
AB＝280 m，BC＝620 m，CD＝500 m；
B，C两个路口都有红绿灯，对于AD方向的车辆和行人，每天早上7:18～7:20、7:22～7:24、7:26～7:28、7:30～7:32…的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；
小明每天早上7:18准时从家出发，不晚于7:32到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过250 m/min，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）．
（1）若小明的骑行速度保持为250 m/min，他将在___（填时刻）到达学校；
（2）若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是___ m/min，最小可以是___ m/min．
28．如图所示的一块地，每个小正方形方格的边长代表1 m的长度，在格点 A，B，C处各插有一根标杆．为方便标记各标杆的位置，在图中建立平面直角坐标系，使得点A，C的坐标分别是和．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）如果在点处还有一根标杆，用绳子沿A－B－C－M－A的顺序围成一个封闭的四边形，画出该四边形并求它的面积（单位：m2）；
（3）在x轴上（不限于这块地）的某位置P处再插一根标杆，使得用绳子可以按某种顺序连接A，B，C，P四个点围成一个面积为16 m2的封闭的四边形，直接写出点P的坐标．
答案
A卷
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D D A C A B B D B
二、填空题
11．6 12． 13． 14．≤ 15．答案不唯一，如： 16．15；21
17．① 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
② 同旁内角互补，两直线平行．
18．； ． 19．； 20．②④
三、解答题
21．（1）；（2）；（3） ；
（4）
22．（1）
∠BDE（或∠C）；
＜
（2）① 如图
② 10
③ 2:3
23．（1）① 如图
真命题
② 已知：如图（EF分别交AB，CD于G，H）
GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，
GI // HJ .
求证：AB // CD .
（2） ① ∠ADC ② 135 ③ ∠E ④ 两直线平行，内错角相等；
⑤ 105 ⑥ 120
24．（1）证明：
∵ BF，DE分别是∠ABC和∠ADC的角平分线，
∴
∵ ∠ABC＝∠ADC，
∴ ∠2＝∠3.
∵ DE // BF，
∴ ∠2＝∠1.
∴ ∠1＝∠3.
∴ DC // AB.
（2）答：能判定AD // BC.
理由如下： ∵ DC // AB，
∴ ∠ADC＋∠A＝180°．
∵ ∠ABC＝∠ADC，
∴ ∠ABC＋∠A＝180°．
∴ AD // BC.
25．解：设A类物质排放量原为x mg/km，B类物质排放量原为y mg/km.
解得
答：这一次技术改进后，A类物质排放量为，不符合“标准”．
26．（1） ∠KAP＝∠APN＝
∠KAB＝
∠ABM＝
（2） ① 两点确定一条直线；
② 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（3）由∠KAB＝∠BAP和∠LAC＝∠CAP得∠BAC＝90°.
连接BC，则在Rt△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝90°.
所以∠ACN＋∠ABM＝270°.
由题意，∠ACN＝∠，∠ABM＝∠，
所以∠＋∠＝270°.
所以∠＋∠＝270°－90°＝180°.
所以.
B卷
四、附加题（本题共10分，其中第27题3分，第28题7分）
27．（1）7:24； （2）225，150．
28．（1）.
（2）（图略），该四边形的面积为16 m2.
（3）或或或.
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