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北京 156 中学 2024—2025 学年度第二学期
初一数学期中测试
班级________ 姓名________ 学号________ 成绩________
第Ⅰ卷（选择题 共 16 分）
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
1．在平面直角坐标系中，点 A(6,7) 位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
g 22 523
2．在下列各数0 ，0.32 ，3 ， ，7.1010010001 ， ， 27 中，无理数的个数是
7 11
（ ）．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．下列命题中是假命题的是（ ）．
A. 对顶角相等 B. 两直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C. 如果 a = b，b = c，那么 a = c D. 负数没有平方根
4．若m n，则下列各式中正确的是（ ）．
m n
A. m+ 2 n + 2 B．m p n p C． 3m 3n D．
3 3
5．如图， 1= 60o ，下列条件可以证明 AB∥CD的是（ ）．
① 2 = 60o；② 5 = 60o；③ 3=120o；④ 4 =120o．
A．②③④ B．①②
C．②④ D．②
6．在平面直角坐标系中，点 A( 1,5) ， B(m 2,m +1) ，
若直线 AB 与 x 轴垂直，则m 的值为（ ）．
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
3x + y = k
7．方程组 的解 x 与 y 的值互为相反数，则 k 的值是（ ）．
2x y = 3
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)， B( 1,1)，
C( 1, 2)，D(1, 2)．现把一条长为 2025个单位长度且没有弹性
的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点 A 处，并按
A→B→C →D→ A→B 的规律紧绕在四边形 ABCD的
边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． ( 1, 2) B． ( 1, 1)
C． (0, 2) D． (1, 2)
1
第Ⅱ卷（非选择题 共 84 分）
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9． 5 3 的相反数是__________，绝对值是__________． E D
10．如图，直线 AB ，CD相交于点O，
A B
若 EOC : EOD = 4:5，OA平分 O EOC，
则 BOE = __________ ．
C
11．若 ( ) m 1m 2 x + 3yn+2 =5是关于 x ， y 的二元一次方程，则
m = ______ ， n = ______ ．
12．已知 2 1.414， 20 4.472，则 0.2 __________ ．
13．如图，AB∥CD， A = 30o， C = 70o ，则 F = __________ ．
14．如图， A 地在某快递公司转运中心 B 的正西方向，C 地在 A 地的东北方向．该快递
公司要在 B 地的北偏西 60o 方向上设置快递驿站 D ，使得
快递驿站 D 到 A ，C 两地的距离之和最短．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请描述快递驿站 D 的位置：____________________；
（2）确定快递驿站 D 的位置的理由是：______________．
15．如图，在实数范围内规定新运算“※”，其规则是：
a※b = 2a b．已知不等式 x※k≥1的解集在数轴上，
则 k 的值是__________．
16．某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面
四个已知条件，推断正确密码是__________．
① 市 京 一 校 只有两个汉字正确且位置正确；
② 市 北 京 第 只有两个汉字正确但位置都不正确；
③ 学 校 北 中 只有三个汉字正确但位置都不正确；
④ 一 五 六 中 四个汉字都不正确．
三、解答题（共 68 分，第 17-19 题，每题 8 分，第 20 题 5 分，第 21 题 4 分，第 22-23
题，每题 6 分，第 24-25 题，每题 5 分，第 26 题 6 分，第 27 题 7 分）
17．计算：
1
（1） 16 3 27 + 2 ； （2） ( 3)2 + 3 2 3 1 + 42 ．
4
2
18．解下列方程（组）：
2 3x + 4y = 2（1） 2(x 1) = 8； （2） .
2x y = 5
19．（1）解不等式：5x 7 2x 3，并将解集在数轴上表示出来；
x +1 x 2
（2）求1 ≥ 的非负整数解．
2 3
20．如图，点 A 在 O 的一边OA上. 请按要求画图并填空：
（1）过点 A 画直线 AB⊥OA，与 O 的另一边相交于点 B ；
（2）过点 A 画OB 的垂线段 AC ，垂足为点C ； A
（3）过点C 画直线CD∥OA，交直线 AB 于点 D ；
（4） CDB = °；
（5）如果OA=8， AB = 6，OB =10，则点 A 到直线
O
OB 的距离为__________．
21．已知 a 6 与 a + 2b 互为相反数， c + 5的立方根是 2 ，
（1）求 a 、 b 、 c 的值；
（2）求a 2b c的平方根．
22．请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
已知：如图， B = BGD ， BGC = F ．
求证： B + F =180o．
证明：Q B = BGD（已知），
______∥______(__________________________)．
Q BGC = F （已知），
CD∥EF(__________________________) .
AB∥______(__________________________) ．
B + F =180o(__________________________) ．
23．如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的
点叫做格点，点 A 、 B 、C 、O均在格点上，其
中O为坐标原点， A( 3,3)．
（1）请在网格中建立适当的平面直角坐标系；
（2）点C 的坐标为__________；
（3）将△ABC平移后得到对应的△A1B1C ， 1
其中点 A 的对应点是 A1(3,2)，请在图中画出
平移后的△A ； 1B1C1
（4）△A B C 的面积为__________； 1 1 1
（5）在 x轴上有一点 P ，使得△PA1B1 的面积等于△A1B1C1 的面积，点 P 的坐标
为__________．
3
24．已知：如图，点 D 、 E 、 F 、G 都在△ABC的
边上，EF∥AC ，且 1+ 2 =180o．
（1）求证： AE∥DG；
（2）若 EF 平分 AEB， C = 35o，
求 BDG 和 CGD的度数．
25．随着交通安全意识的增强，某市居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购
进 A 种头盔 3 个和 B 种头盔 4 个共需 345 元，A 种头盔 4 个和 B 种头盔 3 个共需 390
元．
（1）求 A ， B 两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用 450 元购进 A ，B 两种头盔 (A, B 两种头盔均购买 )，销售
1 个 A 种头盔可获利 35 元，销售 1 个 B 种头盔可获利 15 元，求该商店共有几种
购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
26．“说不完的 2 ”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
（1） 2 到底有多大？
下面是小欣探索 2 的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是 2 的正方形边长是 2 ，且 2 1.4．设 2 =1.4 + x ，画出如下
示意图．
由面积公式，可得 x2 + _________ = 2 ．
因为 x值很小，所以 x2 更小，略去 x2 ，得方程______________，解得 x ____（保
留到 0.001），即 2 ______ ．
（2）怎样画出 2 ？请一起参与小敏探索画 2 过程．
现有 2 个边长为 1 的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个
新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为 1）
中用实线画出拼接成的新正方形．
4
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为 x(x 0) ．依题意，割补前后图形的面
积相等，有 x2 = 2，解得 x = 2 ．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用
实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏的做法，现有 8 个边长为 1 的正方形，排列形式如图（3），请把它
们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实
线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
27．将三角形 ABC 和三角形 DEF 按图 1 所示的方式摆放，其中 ACB = DFE = 90 ，
DEF = EDF = 45 ， ABC = 30 ， BAC = 60 ，点 D ， A ，F ，B 在同一条直
线上．
（1）将图 1 中的三角形 ABC 绕点 B 逆时针旋转，
①如图 2，当点 A 在直线 DF 的下方，且 AC∥DF 时，求证：EF∥BC ；
②当 AC∥DE 时，直接写出 FBA 的度数；
（2）将图 1 中的三角形 DEF 绕点 E 逆时针旋转，如图 3，当点 D 首次落在边BC 上
时，过点 E 作 EG∥BC ，作射线DM 平分 FDB ，作射线 EN 平分 GED交 DM
的反向延长线于点 N ，依题意补全图形并求 END的度数．
四、附加题（本题共 10 分，第 28 题 3 分，第 29 题 7 分）
28．对 x， y ， z 定义一种新运算 F ，规定：F(x ,y ,z) = ax + by + cz ，其中 a，b为非负数.
（1）当 c =0 时，若 F(1,-1,2) =1， F(3,1,1) = 7，则 a + b的值是_________；
（2）若 F(3,2 ,1) = 5 ，F(1,2,-3) =1，设H = a + 2b+ c，则H 的取值范围是___________．
5
29．小聪和小明在学面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系 xOy 中任意
两点 P 与1(x1, y1) P2(x2 , y ) 的一种新的距离： 2
小聪定义了 P ，P 的“分解距离”，如下：在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意1 2
两点 P (x , y 与 ．若 x x ≥ y y ，则 x x 为点 与点 的“分解1 1 1) P2(x2 , y2 ) 1 2 1 2 1 2 P1 P2
距离”，即 d分解 (P1, P2 ) = x1 x2 ；若 x1 x2 y1 y2 ，则 y1 y2 为点 P 与点 P 的“分1 2
解距离”，即 d分解 (P1, P2 ) = y1 y2 ．
小明定义了 P ，P 的“和距离”，如下：在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两1 2
点 P (x , y )与 P (x , y ) ．点 P ， P 的“和距离”为 x1 x2 与 y1 y2 的和，即1 1 1 2 2 2 1 2
d和(P1, P2 ) = x1 x2 + y1 y2 ．
根据以上材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系 xOy 中，
（1）已知点 A(2,1) ，C(1, 2) ，则 d分解(A,C) = __________ ；d和(A,C) = __________ ；
（2）若点 B(x,4 x)在第一象限，且点 d分解(B,O) = 3 ，求点 B 的坐标；
（3）已知点 E ， F 满足 d分解(E,O) = d和(F ,O) = 3，
①在图 1 中画出所有符合条件的点 E 围成的图形和点 F 围成的图形；
②已知点 M (t,0)， N (t + 3,3)，若线段 MN 上有且只有一个点 E 满足
d分解(E,O) = 3，并且有且只有一个点 F 满足 d和(F ,O) = 3（点 E 和点 F 不重合），
直接写出 t 的取值范围．
图 1 备用图
6
北京 156 中学 2024—2025 学年度第二学期
初一数学期中测试答案部分
一、选择题：每题 2 分，共 16 分
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B C C D B A
二、填空题：每题 2 分，共 16 分
9. 3 5 ; 5 3； 10. 140°； 11. m=-2，n=-1；
12. 0.4472； 13. 40°；
14.（1）快递驿站 D 的位置是射线 BM 与 AC 的交点；
（2）两点之间，线段最短； 15. -3； 16. 北京学校．
三、解答题：共 68 分，第 17-19 题，每题 8 分，第 20 题 5 分，第 21 题 4 分，第 22-23
题，每题 6 分，第 24-25 题，每题 5 分，第 26 题 6 分，第 27 题 7 分
3 5
17.（1）原式= 4 3+ = ；（2）原式= 3+2 3 +1+4 =10 3 .
2 2
x = 2
18.（1）x=3 或-1；（2） ．
y = 1
4
19.（1） x＞ ；
3
7
（2） x ， x = 0或1．
5
20. 画图：
（4）90°；（5）4.8．
21.（1）a=6，b=-3，c=3；（2）±3．
22. AB；CD；内错角相等，两直线平行；
同位角相等，两直线平行；
EF ；平行于同一条直线的两直线平行；
7
两直线平行，同旁内角互补．
23. 画图：
（2）点 C 的坐标为（-1，5）；
1 1 1
（4）△A1B1C1的面积：2×4- ×2×2- ×2×1- ×4×1=8-2-1-2=3；
2 2 2
（5）P（1，0）或（7，0）．
24.（1）证明：∵EF∥AC ，
∴ 1= CAE，
∵ 1+ 2 =180 ，
∴ 2+ CAE =180 ，
∴ AE∥DG；
（2）解：∵EF∥AC ， C = 35 ，
∴ BEF = C = 35 ，
∵EF 平分 AEB，
∴ 1= BEF = 35 ，
∴ AEB = 70 ，
由（1）知 AE∥DG，
∴ BDG = AEB = 70 ，
∵EF∥AC ，
∴ CAE = 1= 35 ．
∵ AE∥DG，
∴ CGD = CAE = 35 ．
8
25.（1）解：设 A种头盔的单价是 x元，B 种头盔的单价是 y元，
3x + 4y = 345
由题意得： ，
4x +3y = 390
x = 75
解得： ，
y = 30
答：A种头盔的单价是 75元，B种头盔的单价是 30元．
（2）解：设购进 A种头盔 m个，B种头盔 n个，
由题意得：75m+30n = 450
5
整理得：n =15 m，
2
Q m,n均为正整数，
m = 2 m = 4
或 ，
n =10 n = 5
∴该商店共有 2种购买方案：
①购进 A种头盔 2个，B种头盔 10个，利润为35 2+15 10 = 22（0 元）；
②购进 A种头盔 4个，B种头盔 5个，利润为35 4+15 5 = 21（5 元）；
Q 220＞215，∴最大利润是 220元．
26.（1）2.8x+1.96，2.8x+1.96 = 2，0.014，1.414；
（2）
27.（1）①证明：Q AC / /DF ．
FBC + C =180
Q C = 90
FBC = 90
9
Q DFE = 90
点 D ， A ， F ， B 在同一条直线上．
EFB = 90 ，
EFB = FBC = 90 ，
EF / /BC ．
②解： FBA =105 或75 ．
（2）解：补全图形如下：
过点 N 作 NQ / /BC ，设 END = ， DNQ = ，则 ENQ = + ，
Q EG / /BC ，
EG / /BC / /NQ，
GEN = ENQ = + ， MDB = DNQ = ，
Q EN 为 GED的平分线， DM 为 FDB的平分线，
GED = 2 GEN = 2( + ) ， FDB = 2 MDB = 2 ，
Q EDF = 45 ，
EDB = EDF + FDB = 45 + 2 ，
Q EG / /BC ，
GED = EDB，
2( + ) = 45 + 2 ，
解得： = 22.5 ．
END = = 22.5 ．
四、附加题：本题共 10 分，第 28 题 3 分，第 29 题 7 分
28.（1）3；
10
9
（2） ≤H ≤5.
5
29.（1）∵ A(2,1)，C (1, 2)，
∴ xA xC = 2 1 =1， yA yC = 1 ( 2) = 3
∵ xA xC yA yC
∴ d分解 (A,C ) = yA yC = 3；
∴ d和 (A,C ) = x x + y y = 4；（2）∵点B (x, 4 xA C A C )在第一象限，
∴ x 0，4 x 0
∴0 x 4
∴ xB xO = x 0 = x ， yB yO = 4 x 0 = 4 x
∵ d分解 (B,O) = 3
∴ x = 3或4 x = 3
∴ x = 3或 x =1
∴ B (3,1)或 (1,3)；
（3）①如图所示，四边形 ABCD即为所有符合条件的点E围成的图形，四边形
IJGH 即为所有符合条件的点F 围成的图形；
11
②∵点M (t,0)，N (t +3,3)
∴点 M 在 x 轴上，点 N 在直线 y = 3上，且点 N 的横坐标比点 M 的横坐标大 3
∴线段MN∥IJ ，
∵当 t = 3时，点M ( 3,0)， N (0,3)
∴此时MN 和 IJ 重合
∵线段MN 上有且只有一个点E满足d分解 (E,O) = 3，并且有且只有一个点F
满足d和 (F ,O) = 3（点E和点F 不重合），
∴即线段MN 与四边形 ABCD和四边形 IJGH 有且只有一个交点，
∴根据图象可得，此时 3 t 3．
12

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