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2024-2025学年北京市丰台区高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.( )
A. B. C. D.
3.用斜二测画法画水平放置的正方形，若该正方形的边长为，则其直观图的面积是( )
A. B. C. D.
4.如图，在矩形中，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
7.已知某长方体的长、宽、高分别为、、，且该长方体的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在中，，则的形状一定为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
9.如图，为了测量两山顶、间的距离，飞机沿水平方向在、两点进行测量，、、、在同一个铅垂平面内在点测得、的俯角分别为和，在点测得、的俯角分别为和，，则为( )
A. B. C. D.
10.在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知，，，则 ．
12.已知复数为纯虚数，则 ．
13.在中，，．
若，则 ；
若有两个，则的一个值可以为 ．
14.如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点靠近和，此时容器中的水形成的几何体为 填“棱柱”或“棱台”当底面水平放置时，水面高为 ．
15.已知平面内三个向量，，满足，且，，给出下列四个结论：
若，则射线平分；
若，则的最小值为；
若，则面积是面积的倍；
若，，设点到所在直线的距离为，则的取值范围为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知、都是锐角，，．
求的值；
求的值．
17.已知，，且．
求的值；
设，，记与的夹角为，求的值．
18.在中，，．
求的值；
再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件：；
条件：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.在中，，．
求；
求周长的取值范围．
20.已知函数．
求的单调递减区间；
若在区间上恒成立，求的最小值；
若，，求的值．
21.设为正整数，集合对于集合中的任意元素和，记．
当时，若，，求和的值；
当时，若，，求的最大值；
给定不小于的，设是集合的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素和，都有求集合中元素个数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 只需满足即可
14.棱柱
15.
16.因为，且为锐角，所以
所以，所以．
因为，且为锐角，所以．
所以．
17.根据题意，，
所以，得；
由知，，
，
，
，
，
所以．
18.由余弦定理，且，所以．
又，所以，所以．
选择条件：由正弦定理得
又因为在中，，所以，
即
所以的面积；
选择条件：由正弦定理得．
因为在中，，所以，所以
又因为在中，，所以，
即

所以的面积．
19.因为，所以
因为，所以，所以，故．
由正弦定理，可得，
所以，，所以．
因为，所以，
因为
，
所以．
因为，所以，所以
所以，即，所以
即周长的取值范围为．
20.
令，得，
所以的单调递减区间为．
因在区间上恒成立，则在区间上恒成立，
因为，则，
结合正弦函数图象可得，得，
所以的最小值为
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
．
21.，
．
设，，其中．
当时，．
当或时，．
当时，．
所以的值为或
因为，，
所以和中共有个，个．
设中有个，中有个，
其中为不大于的非负整数，且．
当或时，．
当或时，．
当或时，．
当或时，．
当时，当时等号成立
所以的最大值为．
记表示中的最小值，
由知的值为或，则
．
因为，所以．
又因为，所以，
所以．
设，
，
，
，
，
则，且两两交集为．
设，，．
当时，则
，
所以，不符合题意．
同理，当时，，不符合题意．
当时，，不符合题意．

当时，，不符合题意．
所以中的任意两个元素不可能同时在集合中，
所以集合中元素个数不超过
取，且，
令，则集合元素个数为，符合题意．
综上，集合中元素个数的最大值为．

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