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2024-2025学年山西省实验中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量，则( )
A. B. C. D.
2.展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
3.等差数列的首项为，公差不为，若，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
4.男、女各名同学排成前后两排合影留念，每排人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为( )
A. B. C. D.
5.运动员甲和乙进行男子羽毛球单打比赛，比赛规则是局胜制假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
6.双曲线其中，，且，取到其中每个数都是等可能的，则直线：：与双曲线左右支各有一个交点的概率为( )
A. B. C. D.
7.函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测的准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中有个大小相同的球，其中红球个，白球个，现从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中红球的个数，用随机变量表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是( )
A. 的分布列为
B. 的期望
C.
D.
10.某学校共有个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐选择到每个餐厅概率相同，则下列结论正确的是( )
A. 四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B. 四人去了同一餐厅就餐的概率为
C. 四人中恰有人去了第一餐厅就餐的概率为
D. 四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
11.若，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ______．
13.除以的余数为 ．
14.山西省实验中学开展“阳光体育大课间”活动，通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”用频率估计概率，则第二天参加“球类”的概率 ______，第天选择“球类“的概率 ______用含的式子表示．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设等差数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图．
以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数，求的分布列和方差；
用按比例分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中成绩落在的人数，求的数学期望．
17.本小题分
焦点在轴上的椭圆，离心率为，短轴长为．
求该椭圆的标准方程；
过椭圆的左、右焦点，，分别向斜上方作斜率为的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，，求四边形的面积．
18.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数．
当时，求函数的单调区间；
证明：当时，函数在上有两个零点．
19.本小题分
年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得分，选错得分；多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得分，部分选对得部分分，有错误选择或不选择得分，具体得分的规则为：若正确答案为三个，那么选对一个得分，选对两个得分，选对三个得分：若正确答案有两个选项，那么选对一个得分，选对两个得分．
已知某同学对其中道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这道单选题中答对的题数为随机变量．
求；
求使得取最大值时的整数；
若该同学在解答最后一道多选题时，除确定，选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答已知此题正确答案是两个选项与三个选项的概率均为．
求该同学只选A时得分的分布列和数学期望．
求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．
参考答案
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13.
14.
15.解：当时，，
当时，，
也满足，
故；
，
．
16.解：由图知，解得，
因为成绩在的概率估计为，
所以．，
所以的分布列为，，，，，
所以；
因为成绩在，的频率之比为：：，
所以抽取的人中，有个在，个在，
则，
所以，，，，，
所以．
17.解：因为椭圆的焦点在轴上，故可设椭圆的标准方程为．
由离心率为，短轴长为，可知，，，
解得，，．
故椭圆的标准方程是．
椭圆的左、右焦点是，延长交椭圆于另一点，连接，．
利用椭圆的对称性可知，故，
则．
易知直线的方程为，与椭圆联立方程组，．
而点到直线的距离等于点到直线的距离，
从而，故四边形的面积为．
18.解：时，，
的定义域是，，
令，可得，令，解得：，
故在递增，在递减；
证明：当时，，
函数的定义域是，
则，
令，得，
设，显然函数在上递减，
又，，故存在唯一，使得，
则在上递增，在上递减，
，
，，
在上有个零点．
19.解：因为，所以；
因为，，，，依题意，
即，
解得又为整数，所以，即时取最大值；
由题知，，选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．
正确答案是两选项的可能情况为，，，，，每种情况出现的概率均为，
正确答案是三选项的可能情况为，，每种情况出现的概率为，
若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：分，
分，
若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：分，
分．
若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：分．
经比较，该同学选择单选A或单选C的得分期望最大，最大值为分．
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