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2024-2025学年陕西省西安市临潼区高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某天小张要坐动车或高铁从西安出发去汉中出差，已知当天西安到汉中有趟动车、趟高铁，则小张当天从西安出发去汉中的选择共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.若的分布列为，则( )
A. B. C. D.
3.某工厂有甲、乙、丙条流水线生产同一种产品，甲、乙、丙流水线的产量分别占总产量的，，，且甲、乙、丙流水线的不合格品率依次为，，，现从该厂的产品中任取件，则抽到不合格品的概率为( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
5.现有名导游与位游客站成一排拍照，则导游不站在一起的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为( )
A.
B.
C.
D.
7.一箱猕猴桃共有个，其中有若干个为烂果烂果率低于，从这一箱猕猴桃中任取个，恰有个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为( )
A. B. C. D.
8.用四种不同的颜色给图中个区域染色，要求边界有重合部分的区域仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算染上不同的颜色，则不同的染色方法有( )
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若服从两点分布，且，则( )
A. B. C. D.
10.若数列为等比数列，其前项积为，且，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象在点处的切线方程是
B.
C. 若关于的不等式恒成立，则
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若小张计划在下周一到周三中选一天去打羽毛球，已知他下周一、周二、周三去打羽毛球的概率分别为，，，则他下周一不去打羽毛球的概率为______，在他下周一不去为打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率为______．
13.对于数列，记区间内奇数的个数为，则称数列为的奇数列若数列为数列的奇数列，则 ______，数列的前项和 ______．
14.在的展开式中，的系数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
16.本小题分
围棋源于中国，是中国传统文化中的瑰宝，下围棋可陶冶情操某中学坚持开展围棋活动，以提高学生的思维能力，其围棋社的成员中有名男生，名女生，为了解围棋社成员是否利用学棋的情况，现采用比例分配的分层抽样方法抽取名成员调查分析．
求男生和女生各抽取多少人．
在抽取的人中，有名女生明确利用学棋，现在从剩下的名成员中再依次随机抽取次，每次抽取人．
在第一次抽到女生的条件下，求第二次抽到男生的概率；
设抽到的女生人数为，求的期望．
17.本小题分
设随机变量，．
求；
若，求；
当在变化时，求取得最大值时的值．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调区间；
证明：当时，的最小值不大于．
19.本小题分
已知一个盒中装有个大小、形状完全相同的小球个红球和个黑球，从盒中每次随机不放回地取出个小球，若取出的是红球，则将个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将个红球放入盒中，以上取个球再放个球的过程称为次操作假设每次取球相互独立．
经过次操作后，记盒中红球的个数为，求的分布列；
求第次操作取到红球的概率；
设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：令，得，
令，得，
故，又，
解得；
由，得，
令，得，
由，解得．
16.解：易知分层抽样的抽样比为，
所以抽取男生的人数为，抽取女生的人数为；
易知剩下的名成员中，有名女生，有名男生，
设“第一次抽到女生”为事件，“第二次抽到男生”为事件，
此时，，
则；
易知的所有可能取值为，，，，
所以，，
，．
故．
17.解：因为，，
所以；
因为，所以，
所以．
因为，，所以．
设，
求导得
．．
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即取得最大值时，的值为．
18.解：的定义域为，
，
当时，，的单调递减区间为；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
证明：当时，由可知．
令，，
则，
易知在上单调递减，且，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，故当时，的最小值不大于．
19.解：由题意，的所有可能取值为，，
则，，
故的分布列为：
由题意，设事件表示第次取到红球，
则
；
由题意及得，，
设次操作后，盒中全是黑球、个红球和个黑球、个红球和个黑球、全是红球的概率分别为，，，，
由操作规则可知，当为奇数时，盒中全是黑球或个红球、个黑球，
当为偶数时，盒中全是红球或个红球、个黑球，
即，，，，其中，
因为，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，
故，
即．
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