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2024-2025学年安徽省六安二中河西校区高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，那么( )
A. B. C. D.
2.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
3.国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应某县有个自然村，其中有个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”现要从该县个自然村里选出个作宣传，则恰有个村是“旅游示范村”的概率为( )
A. B. C. D.
4.函数，是的导函数，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.将编号为，，，，的小球放入编号为，，，，的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有个小球与所在盒子编号相同，则有种不同的放球方法．
A. B. C. D.
6.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，若将这些数字依次排列构成数列，，，，，，，，，，，，，，，，则此数列的第项为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知随机变量，若，，则( )
A. B. C. D.
11.现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共个小球，其中红球个，盒中共个小球，其中红球个，盒中共个小球，其中红球个现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是______；
13.若是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为______．
14.川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫主义手法，王老师获得了川剧演出的张连号的票，王老师自己留下了张连号的票，其余的票赠送给位朋友，每人至少分张，至多分张，且这两张票连号，那么共有______种不同的分法用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数其中常数，，是奇函数，
求的表达式；
求在上的最大值和最小值．
16.本小题分
设甲、乙两位同学上学期间，每天：之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
Ⅰ用表示甲同学上学期间的三天中：之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
Ⅱ设为事件“上学期间的三天中，甲同学在：之前到校的天数比乙同学在：之前到校的天数恰好多”，求事件发生的概率．
17.本小题分
已知函数，其中为常数．
当时，讨论函数在上的单调性；
若，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
高性能计算芯片是一切人工智能的基础国内某企业已快速启动芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标即三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标人工检测综合指标不达标的概率为．
求每个芯片智能检测不达标的概率；
人工检测抽检个芯片，记恰有个不达标的概率为，当时，取得最大值，求；
若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良以中确定的作为的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论极值点的个数；
讨论函数的零点个数的情况．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：其中常数，，
，
，
是奇函数，
，，
，
，
，
，
令，解得，
当时，即，函数单调递增，
当时，即，函数单调递减，
，
，，

16.解：甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天：之前到校的概率均为，
故，
从而，，，，．
；
设乙同学上学期间的三天中：到校的天数为，则，
且，
由题意知与互斥，
且与，与相互独立，
由知，
．
17.解：时，，，
因为，有，，所以，
于是函数在上单调递增．
，即．
因为，所以，于是．
令，则．
当时，，，，
则有，
于是，所以在上是增函数，，所以．
即实数的取值范围为．
18.解：记事件“每个芯片智能检测不达标”，则．
由题意，
则，
令，则，
当，，为增函数；
当，，为减函数；
所以在处取到最大值．
记事件“人工检测达标”，
则，
又，
所以，
故需要对生产工序进行改良．
19.解：当时，．
记，则，
在上单调递增，
又，
在上存在零点，且是唯一零点．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
是的极小值点，且是唯一极值点．
当时，．
当时，令，得，即且．
令且，
只需讨论直线和且的图象有几个交点．
且．
令，则且，
在上单调递增，而，
故当和时，，即，是减函数；
当时，，即，是增函数．
又当时，，当时，，
作函数的图象如图：
结合图象可知，当或时，和的图象有一个交点，即有一个零点；
当时，和的图象没有交点，即没有零点；
当时，和的图象有两个交点，即有两个零点．
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