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2024-2025学年天津市耀华中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.一个正四面体边长为，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
3.设在中，点为边上一点，且，点为边上的中点若，，则( )
A. B. C. D.
4.在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是( )
A. 四棱锥
B. 四棱锥
C. 三棱锥
D. 三棱锥
5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷宋蒋祁陶记中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实图为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为，上面的花口盏是底面直径分别为和的圆台，下面的盏托由底面直径的圆柱和底面直径分别为和的圆台组合构成，示意图如图，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为( )
A. B. C. D.
8.在中，为边上一点，，，，且的面积为，则( )
A. B. C. D.
9.已知，且，，则( )
A. B. C. D. 或
10.已知，，则( )
A. B. C. D.
11.若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
12.已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.已知是虚数单位，化简的结果为______．
14.已知向量，则在方向上的投影向量为______．
15.已知圆柱底面圆的周长为，母线长为，则该圆柱的体积为______．
16.函数在区间上的最大值为______．
17.在正方形中，边长为为线段的三等分点，，，则 ______；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
18.如图所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对个平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图所示一个星形十二面体有 个星芒凸起的正五棱锥，将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．
参考数据：
三、解答题：本题共3小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知复数，，其中是实数．
若，求实数的值；
若是纯虚数，求的值．
20.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
Ⅱ若，，求的值；
Ⅲ若，当的周长取最大值时，求的面积．
21.本小题分
已知函数．
当时，求的最大值和最小值，以及相应的值；
若，，求的值；
已知函数在上存在零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.
18.；
19.解：复数，，，
，即，解得．
，
是纯虚数，
，解得或．
20.解：Ⅰ因为，由正弦定理可得，
在中，，
可得，
因为，所以，可得，
可得，可得，
即；
Ⅱ，，可得，
由正弦定理可得：，即，
解得；
Ⅲ，当的周长取最大值时，即最大，
由余弦定理可得，
可得，当且仅当时取等号，
可得，所以，
即此时三角形的周长最大，此时．
21.解：根据题意，可得
当时，，
由正弦函数的性质，可知在上为增函数，在上为减函数．
当时，有最大值；当时，有最小值．
因为，所以．
因为，，所以，
可得．
方程，即．
当时，，可得．
所以，当时取得最小值，当时取得最大值．
因此，若存在实数根，则，解得
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