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2024-2025学年吉林省长春市德惠一中高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量的分布规律为，则( )
A. B. C. D.
3.现将，，，，，六名学生排成一排，要求，相邻，且，不相邻，则不同的排列方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对题目的概率为( )
A. B. C. D.
6.北京市某高中高一年级名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为( )
A. B. C. D.
7.下列函数中，在内为增函数的是( )
A. B. C. D.
8.某公司参加两个项目的招标，项目招标成功的概率为，项目招标成功的概率为，每个项目招标成功可获利万元，招标不成功将损失万元，则该公司在这两个项目的招标中获利的期望为( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有( )
A. 是的极小值点
B.
C. 函数在上有极大值
D. 函数有三个极值点
10.在的展开式中，下列命题正确的是( )
A. 二项式系数之和为 B. 所有项系数之和为
C. 常数项为 D. 第项的二项式系数最大
11.若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为正整数，若，则 ．
13.袋中有个外形相同的球，其中个白球，个黑球，个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是______．
14.函数的值域是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间和极值．
若对恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比值为．
求的值；
求展开式中含的项．
17.本小题分
有个男生和个女生，从中选出人担任门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．
有女生但人数必须少于男生；
某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
18.本小题分
一盒中装有大小和质地相同的个白球和个红球，现从该盒中任取球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数．
求随机变量的分布列；
求随机变量的期望和方差．
19.本小题分
某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
求甲在一年内考试失败的概率；
求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为，
则，
合，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为．
由可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，故当时，，
因为，对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是．
16.解：由题知：，解得．
，，，
令，得，所以展开式中含有的项为：．
17.解：先选后排，先取可以是女男，也可以是女男，先取有种，后排有种，
共种．
先选后排，但先安排该男生，有种．
先从除去该男生、该女生的人中选人有种，
再安排该男生有种，其中人全排有种，
共种．
18.解：根据题意可得，，，
又，
所以的分布列如下：
根据可得．
19.解：甲每次参加笔试未通过的概率为，每次参加面试未通过的概率为，
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
所以甲在一年内考试失败的概率为；
由题意得的可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为

．
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