资源简介

2024-2025学年上海师大附中闵行分校、宝山分校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是( )
A. B. C. D.
3.在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线以点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
4.定义区间，，，的长度为如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为其中，为自然对数的底数，那么称这个函数为“函数”下列四个命题：
函数不是“函数”；
函数是“函数”，且；
函数是“函数”；
函数是“函数”，且．
其中正确的命题的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为______．
6.函数的极值点为______．
7.已知直线：，：，若，则实数 ______．
8.若无论实数取何值，直线与圆恒有交点，则的取值范围为______．
9.已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．
10.若双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为______．
11.若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为______．
12.曲线为到两定点、距离乘积为常数的动点的轨迹以下结论正确的编号为______．
曲线一定经过原点；
曲线关于轴对称，但不关于轴对称；
的面积不大于；
曲线在一个面积为的矩形范围内．
13.设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为______．
14.若直线：与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______．
15.已知实数、满足，则的取值范围是 ．
16.已知实数、、、满足，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．
求圆心与圆心的坐标；
已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围．
19.本小题分
如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线、为公园边界已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系单位：千米曲线的轨迹方程为：计划修一条与湖边相切于点的直路宽度不计，直路与公园边界交于点、两点，把人工湖围成一片景区．
若点坐标为，计算直路的长度；精确到千米
若为曲线不含端点上的任意一点，求景区面积的最小值精确到平方千米
20.本小题分
已知相圆：，点、分别为椭圆的左、右焦点．
若椭圆上点满足，求的值；
点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围；
已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足，求的最大值．
21.本小题分
设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”．
性质：对于任意，都有；性质：对于任意，都有．
已知函数，分别判断区间，区间是否为的“好区间”，并说明理由；
已知，若区间是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围；
已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有，求证：存在“好区间”，且存在，为不属于的任意一个“好区间”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由题意点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切，
可得圆的半径为，设圆心，其中，
由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得，
即点，同理可得点．
若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意，
设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为，
圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为，
由题意可得，解得，
所以，．
18.解：当时，，，
，
令得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
，
当，即时，，，函数在上单调递增，
由函数在区间上恰有一个零点，得，解得，
因此，
当，即时，当时，，即函数在上递减，
又，
要函数在区间上恰有一个零点，
当且仅当，则与矛盾，
所以的取值范围是
19.解：因为，所以，所以，
所以由点斜式可得，即，
令，解得，令，解得，
所以，
所以；
设，，
则由可知，
所以的直线方程为，
整理得，
令，解得，令，解得，
所以，
设，
，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，
所以景区面积的最小值为．
20.解：因为，所以设点，
则，所以，即，
所以；
设，则，
则，
所以，
要时取最小值，则必有，
所以；
设过点且法向量为的直线的方程为，，，
联立，消去得，，
则，
则，
，
又，
又点在椭圆上，则，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
即的最大值为．
21.解：，
当时，，满足性质，
所以是的“好区间”；
当时，，
既不满足性质，也不满足性质，
所以不是的“好区间”；
，
单调递减 极小值 单调递增
若在区间上满足性质，则，，
而，，
所以在区间上不满足性质
若在区间上满足性质，
当时，，
所以，
当时，因为，所以不符合；
综上所述，实数的取值范围是；
证明：因为任意，都有．
所以在任意区间上对应的函数值区间长度必大于，
即在任意区间上都不满足性质，
因为对于任意，都有，
所以在上单调递减，
所以不恒成立，即存在，
若，
取，则，
在区间上对应函数值的区间，
，
所以是一个“好区间”；
若，
取，
则，
在区间上对应函数值的区间，
，
是一个“好区间”；
所以存在“好区间”；
记，
因为在上单调递减，所以在上单调递减；
又图像是一条连续的曲线，
所以图像也是一条连续的曲线，
先证明有零点，
设，
若，则有零点为，
若，则，，，在区间上有零点；
若，则，，，在区间上有零点；
所以必有零点，记为，
即的“好区间”都满足性质，
所以不属于任意一个“好区间”．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑