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2024-2025学年广东省深圳市新安中学高中部高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为等比数列，其中，，则( )
A. B. C. D.
2.若函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
3.现有名同学站成一排，再将甲、乙名同学加入排列，保持原来名同学顺序不变，不同的方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.人工智能技术简称技术已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，技术加持的电脑以下简称电脑也在全国各地逐渐热销起来下表为市统计的年月至年月这个月该市电脑的月销量，其中为月份代号，单位：万台为电脑的月销量．
月份 年月 年月 年月 年月 年月
月份代号
月销量
经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则年月的残差为实际值与预计值之差
A. B. C. D.
5.将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则( )
A. B. C. D.
6.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种
C. 甲乙不相邻的排法种数为种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种
10.已知在一次数学测验中，某校名学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有参考数据：；；
A. 平均分为 B. 及格率超过
C. 得分在内的人数约为 D. 得分低于的人数和优秀的人数大致相等
11.已知函数，则( )
A. 在区间上单调递增
B. 有最大值
C. 当时，的图象过的切线有且仅有条
D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某公司有日生产件数为件的“生产能手”人，有日生产件数为件的“新手”人，从这人中任意抽取人，则人的日生产件数之和的标准差为______．
13.若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是______．
14.将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，，，，，，，
，，，，，，，、记作数列，若数列的前项和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
16.本小题分
某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关综合拓展创新提升”三层动态题库，且，，三层题量之比为：：，设该题库中任意道题被选到的可能性都相同．
现有人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这人中至少有人的选题来自层的概率；
现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取道题生成试卷，若某老师要从生成的这份道题的试卷中随机选取道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望．
17.本小题分
将个不同的小球放入编号分别为，，的三个不同盒子过程要用文字简要说明，结果用数字作答
求共有多少种不同放法；
当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；
当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法；
若将题干中“个不同的小球”改为“个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？
18.本小题分
某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示：
等级 不及格 及格 良 优
分数
人数
若从样本中随机选取位学生，求所选的位学生分数不同的概率；
用样本估计总体，以频率代替概率，若从高三年级学生中随机抽取位学生，记所选学生分数不小于的人数为．
若，求的分布列与数学期望；
若，当为何值时，最大？
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．
为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与轴交点的纵坐标记为，证明：．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.证明：由，得，
则，可得．
又，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，则；
解：，，
．
16.解：由题意层选题概率为，
则这人中至少有人来自层的概率：
；
由题意采用分层抽样层选取道，可取，，，，
，
，
其分布列为：


所以期望．
17.解：根据分步计数原理共有种不同放法；
当每个盒子的球数不小于它的编号数时，号盒个球，号盒个球，号盒个球，共有种不同放法；
当每个盒子至少有个小球时，共有三类：
第一类，一盒个球，其余两盒各个球，有种；
第二类，一盒个球，一盒个球，一盒个球，有种；
第三类，每盒个球，有种，所以共有不同放法；
将号盒子里放入个小球，在号盒子里放入个小球，然后在剩余的个相同的小球中间个空插入个挡板，共有种不同放法．
18.解：设事件“选取的位学生分数不同”，则，
故所选的位学生分数不同的概率为；
设“学生分数不小于”，则，
若，的可能取值为，，，，由题意可得，又，，，
所以的分布列为：
由于，则；
若，则所以．
由于最大，
所以，
即，因为，
，所以时，最大．
19.解：函数，则，定义域为，
当时，，在上单调递减；
当时，时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减；
综上，时，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减；
设，
则，令，
则，即当时，，
由可知，在上单调递增，在上单调递减，
，
，即，所以，即．
证明：由题设，则，
则，，
此时在处的切线方程为，
与轴交点纵坐标为；
，
对于且，则，即在上单调递增，
，即，
，得证．
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