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北京市第十五中学 2024—2025 学年度第二学期期中
七年级数学试卷及评分参考 2025.04
一、选择题．(每小题 2 分，共 16 分，每道题仅有一个正确选项)
1．沙燕风筝是北京传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意．图 1 是一种北
京沙燕风筝的示意图，在下面右侧的四个图中，能由图 1 经过平移得到的是( )．
图 1 A B C D
1
2．下列五个实数中：3.14159， 3 ， 25 ， ，0.212112111211112L (从左往右相邻的两个 2 之间依
7
C
次多一个 1)，无理数的个数是( )． D
A．1 B．2 C．3 D．4
1
3．如图，点 O 为直线 AB 上一点，则∠1 的邻补角是( )． A B
O
A．∠COD B．∠DOB C．∠AOD D．∠COB 第 3 题图
4x +3y = 2①
4．用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中消元正确 的是( )．
2x 5y = 7②
A．① 5+② B．①+② 3 C．① ② 2 D．①+② 2
A
5．如图，直线 a // b，直线 l 分别与直线 a，b 相交于点 P，Q，
2
PA⊥l 于点 P．若∠1=64°，则∠2 的度数为( )． P a
A．26° B．36° C．116° D．64°
1
b
Q
6．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P 在第二象限，且点 P 到 x 轴的距离为 l
第 5 题图
1，到 y 轴的距离为 2 ，则点 P 的坐标为( )．
A． ( 2，1) B． ( 2， 1) C． ( 1，2 ) D． (1， 2 )
7．如图，9个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大
长方形 ABCD，若设小长方形的长为 x，宽为 y，则可列方程组为( )．
第 7 题图
2x = 7y； 2x = 7y；
A． B．
2(2x + x + y) = 46 7y + 2x + x + y = 46
7x = 2y； 7x = 2y；
C． D．
2(2x + x + y) = 46 7y + 2x + x + y = 46
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8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（1，0）．点 P 第 1 次向上跳动 1 个 y
6
单位至点 P1（1，1），紧接着第 2 次向左跳动 2 个单位至点 P2（－1，1），第 3 5
4
次向上跳动 1 个单位至点 P3，第 4 次向右跳动 3 个单位至点 P4，第 5 次又向 3 P5
P3 2 P4
上跳动 1 个单位至点 P5，第 6 次向左跳动 4 个单位至点 P6，……．照此规
P2 1 P1
律，点 P 第 100 次跳动至点 P100的坐标是( )． –3 –2 –1O 1P 2 3 4 x
第 8 题图
A．（－26，50） B．（－25，50） C．（26，50） D．（25，
50）
二、选择题(第 13、14 题每小题 3 分，其他题每小题 2 分，共
18 分)
9．正实数的平方根有 个．
10．比较大小： 3 26 ____3．
x = 1
11．若 是方程2x +my = 4的解，则m 的值是 ．
y = 2
2
12．已知实数 a，b 满足 (a + b 1) +∣2a b 8∣= 0，则a +b = ．
13．以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立坐标系，1 格代表 1 个 第 13题图
单位长度．如果表示左安门的点的坐标为(5，-6)，那么原点对应的是
________门；表示广安门的点的坐标为 ．
14．在以下命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过一
点，有且只有一条直线与已知直线垂直．是真．命题的有： ．（填序号）
15．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作
为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，
每个上珠代表 5，每个下珠代表 1，每串算珠从右至左依次可代表十
进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示 0．小华
在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百
位上的数，个位数字比十位数字多 4，则小华要表示的这个三位数是______． 第15题图
16． 在《实数》学习中，我们可以如图 1 操作：把面积为 1 的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四
个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为 2 ．可以参考这个方法，如图 2 操作：将长为
3、宽为 2 的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色
正方形的边长 k 为________．
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图 1 图 2
17． 3(1) 计算： 8 + 2 3 + 3 2 (2) 计算式子中 x 的值：9 x2 = 25
2x + y = 5，
18．解方程组
3x 2y = 4
A
D
19．作图题:如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC．
(1)画线段 CE⊥AB，垂足为 E；则点 C 到 AB 的距离为线段
的长度；
B
(2)连接 CA，并比较下列两条线段的长度： C
CE CA （用“>”或“<”或“=”填空）依据是 ．
20．补全证明并填写依据：
已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．求证：EF 平分∠BED．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（ ）
∴∠ACB＝∠EFB．
∴ // ．（ ）
∴∠A＝∠2．（ ）
∠3＝∠1．（ ）
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．（ ）
∴EF 平分∠BED．
21．已知三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别是: A(3，
-1)，B(3，-3)，C(0，-3)．
(1)在所给的平面直角坐标系 xOy 中，画出三角形 ABC，
则这个三角形的面积是___________；
(2)如果四边形 ABCD 为长方形，则点 D 的坐标为
___________；
(3)将(2)中的四边形向左平移 5 个单位长度再向上平移
5 个单位，得到四边形 A1B1C1D1；在坐标系中画出这个
四边形，并写出点 A1 的坐标：__________．
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22．截至目前，我国有 44 个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．2024
年 12 月 4 日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作
名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进 A、
B 两种型号的灯笼共 100 对，共用 3780 元．
这两种型号的灯笼的进价、售价如右表：
/ /
(1)求该商家购进 A、B 两种型号的灯笼各多少对？ 型号 进价（元 对） 售价（元 对）
(2)为迎接新春到来，某单位购买 A、B 两种型号的灯笼（两种 A 54 72
型号都购买）共花费 336 元，请你计算购买 A、B 两种型号的
B 27 32
灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？
23．如图，三角形 ABC 中，D，E，F 三点分别在 AB，AC，BC 三边上，过点 D 的直线和线段 EF 的交点为
点 H，且 DH // AC，∠3=∠C．
(1)求证：DE // BC；
(2)当 EF 为∠DEC 的角平分线时，在备用图中画出符合题意的图形，猜想∠DHF 和∠BFH 的数量关系并证
明．
A
A
D E
4 D E3
2
1
H
B
F C B C
备用图
第 23 题图
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24．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A0 (0，a ， A 1，a ， A 2，a0 ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 )，…， An (n，a ，n ) B (n，0)，
其中a ，a ，a ，a ，a ，…，a ，n 为自然数．顺次连接 A ， A ， A ，…， A ，B 的折线与 x 轴、y0 1 2 3 4 n 0 1 2 n
轴围成的封闭图形记为图形M．
小明在求图形M的面积时，过点 A1 (1，a ，1 ) A2 (2，a )，…， A (n 1，a )作 x 轴的垂线段，将图形M2 n 1 n 1
分成 n 个四边形，计算这些四边形面积的和，即可求出图形M的面积．
请你参考小明的思路，解决下面的问题．
(1)当 n=2 时，若a =1，0 a = 3，a = 2 ，如图 1，则图形M的面积为__________； 1 2
(2)当 n=4 时，从 1，2，3，…，10 这 10 个正整数中任选 5 个不同数作为a ，a ，a ， ， . 0 1 2 a3 a4
①选择了a = 4 ，0 a1 = 5，a ， ， ，请在图 2 中画出此时的图形M. 2 = 7 a3 = 6 a4 = 3
②在①的条件下，若用剩下的 5 个数 1，2，8，9，10 作为a ，a ，a ，a ，a 的取值，使新得到的图0 1 2 3 4
形M的面积与图 2 中的图形M面积相等，则这 5 个数的排序可能是：_______．
(写出一组即可)
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四、选做题 (第 1 题 3 分，第 2 题 7 分，共 10 分）
1．在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，并确定角的方向（通常以逆时针的方向为
正方向），这样就建立了一个极坐标系(如图1)．其中，点O叫做极点，Ox叫做极轴．那么平面上任一点M的
位置可由OM的长度m(称为点M的极径)与∠xOM的度数α(称为点M的极角)确定，有序数对(m，α)称为M点的
极坐标．如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形AOB，且AB=4，则点B的极坐标为 ．
M（m , α）
B
m
α
O O
x A x
图1 图2
2．如图 1，将支架平面镜 AB放置在水平桌面MN 上，激光笔PD与水平天花板EF 的夹角（ EPG ）始终
为30 ，激光笔发出的入射光线DG射到 AB上后，反射光线GH 与EF 形成 PHG ，由光的反射定律可
知，DG，GH 与 AB的垂线GK 所形成的夹角始终相等，即 1= 2．
(1) GHF 的度数为 ；
(2)如图 2，点 B 固定不动，调节支架平面镜 AB，调节角为 ABM ．
①若 ABM = 30 ，求 PHG 的度数；
②若反射光线GH 恰好与EF 平行，画出相应图形，并求出此时 ABM 的度数．
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一、选择题(每小题 2 分，共 16 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D C A A A C
二、填空题(第 13、14 题每小题 3 分，其他题每小题 2 分，共 18 分)
9 10 11 12
2 ＜ 3 1
13 14 15 16
天安门；（-6，-3） ①③ 615 13
三、解答题（共 66 分）
17． 3(1) 8 + 2 3 + 3 2
= 2 + 2 3 + 2 3 ·············································································· 4 分
= 3 ． ······························································································ 6 分
(2) 9x2 = 25
2 25解：x = ··················································································· 2 分
9
5
x = ····················································································· 6 分
3
x = 2
18． （方法不唯一，过程正确即可） ·············································· 6 分
y =1
19．(1)图略，CE ···················································································· 4 分
(2)图略，＜，垂线段最短 ·································································· 7 分
20．垂直定义 ························································································ 1 分
EF∥AC；同位角相等，两直线平行 ····················································· 4 分
两直线平行，同位角相等
···································································································· 5 分
两直线平行内错角相等
···································································································· 6 分
等量代换
···································································································· 7 分
21．①图略，3 ······················································································ 4 分
②D(0，-1) ····················································································· 5 分
③图略， A1(-2，4) ·········································································· 8 分
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22．
(1)解：设商家购进 A 种型号的灯笼 a 对，B 种型号的灯笼 b 对， ····················· 1 分
a + b =100

54a + 27b = 3780
···································································································· 3 分
a = 40
解得： ，
b = 60
···································································································· 4 分
答：商家购进 A 种型号的灯笼 40 对，B 种型号的灯笼 60 对； ··················· 5 分
(2)解：设商家购进 A 种型号的灯笼 x 对，B 种型号的灯笼 y 对，根据题意得：
72x +32y = 336，
···································································································· 6 分
∵两种型号都购买，
∴x，y 均为正整数，
当 x = 2时， y = 6，符合题意；
∴购进种 A 型号的灯笼 2 对，B 种型号的灯笼 6 对，
···································································································· 7 分
此时商家获利2 (72 54)+ 6 (32 27) = 66元．
···································································································· 8 分
答：购进 A 种型号的灯笼 2 对，B 种型号的灯笼 6 对，此时商家获利 66 元．
···································································································· 9 分
23．
(1)证明略 ······························································································· 4 分
(2)图略，∠DHF=∠BFH ············································································ 6 分
证明略 ································································································ 9 分
24.
(1)4.5 ····································································································· 2 分
(2) ①图略 ······························································································ 5 分
②答案不唯一，如 9，1，2，10，8. ····························································· 8 分
第8页（共9页）
四、选做题（共 10 分）
1.（4，60°） ··························································································· 3 分
2.（1）30°
············································································································ 1 分
（2）①过点 G 作GC∥MN ，则 BGC = ABM = 30 ，
∵EF∥MN ，
∴EF∥GC∥MN ，
∵ EPG = 30 ，
∴ PGC = EPG = 30 ，
∴ PGB = PGC + GC = 60 ，
∵KG ⊥ AB，
∴ PGK + PGB = 90 ，
∴ PGK = 90 60 = 30 ，
∴ PGH = 2 PGK = 60 ，
∴ PHG =180 EPG PGH = 90 ；
············································································································ 4 分
②如图，若反射光线GH 恰好与EF 平行，
············································································································ 5 分
则 PGH = EPG = 30 ，
1
∴ HGK = PGK = PGH =15 ，
2
∵KG ⊥ AB，
∴ HGK + HGB = 90 ，
∴ HGB = 90 15 = 75 ，
∵EF∥MN ，
∴GH∥MN∥EF ，
∴ ABM = HGB = 75 ．
············································································································ 7 分
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