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贵州省六盘水市纽绅中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（4月）数学试题
1．（2025高一下·六枝特月考）已知向量，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据向量加法的坐标运算，从而得出的坐标．
2．（2025高一下·六枝特月考）下列各角中，与终边相同的角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：对于A，因为不是的整倍数，故A错误；
对于B，因为不是的整倍数，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为不是的整倍数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知角和选项中的角的度数的差是否为的整倍数，从而逐项判断找出与终边相同的角.
3．（2025高一下·六枝特月考）如图，为的边上的中线，且，那么为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用为中点得出，再根据平面向量基本定理得出.
4．（2025高一下·六枝特月考）一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆心角为，
则这个扇形的面积，弧长，
联立以上两个方程，得出.
故答案为：B.
【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式，从而得出这个扇形圆心角的弧度数.
5．（2025高一下·六枝特月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以与共线，不能作为基底，故A错；
对于B，设，则，解得，
所以与共线，不能作为基底，故B错；
对于C，设，则，即，
此时无解，所以与不共线，可以作为基底，故C对；
对于D，设，则，
即，解得，
所以与共线，不能作为基底，故D错.
故答案为：C.
【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，再结合共线定理，从而逐项判断找出可以作为基底的选项.
6．（2025高一下·六枝特月考）对于任意三个向量，下列命题中正确的是（　　）
A．若则
B．
C．
D．若满足，且与反向，则
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；向量的物理背景与基本概念；共线（平行）向量；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：对于A，由于零向量与任意向量均共线，
则当时，不确定的关系，故A错误；
对于B，显然若时，，故B错误；
对于C，根据三角形三边关系和向量加法的三角形法则知，
当且仅当两向量共线同向时取得等号，故C正确；
对于D，由向量的定义知，向量不能比大小，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据向量共线的定义、向量线性运算的几何意义，从而逐项判断找出真命题的选项.
7．（2025高一下·六枝特月考）已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得，
又因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】利用题中条件可得，根据向量模长与向量的平方的关系式，再结合数量积的运算律得出的值.
8．（2025高一下·六枝特月考）已知函数，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由已知条件易知函数是偶函数，且函数在上单调递减，
因为，
，
，
所以，，
又因为，则，
故.
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式化简a，b，c，当时，，再根据函数在的单调性比较出三者的大小.
9．（2025高一下·六枝特月考）下列说法错误的是（　　）
A．
B．单位向量的方向相同或相反
C．零向量没有大小，没有方向
D．平面内的单位向量是唯一存在的
【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；相反向量
【解析】【解答】解：对于A：由相反向量的定义有，故A正确；
对于B：因为单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故B错误；
对于C：因为零向量的大小为0，方向任意，故C错误；
对于D：由单位向量的定义有大小为1，方向任意，
所以平面内单位向量是不唯一，故D错误.
故答案为：BCD.
【分析】根据零向量定义、单位向量定义和相反向量的定义，从而逐项判断找出说法错误的选项.
10．（2025高一下·六枝特月考）下列表达式中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
因为，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据两角和的余弦公式、辅助角公式、两角差的正切公式、二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式，从而逐项判断找出正确的表达式.
11．（2025高一下·六枝特月考）已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A． B．的最小正周期为6
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的图象与轴交于点，
所以，
又因为，所以，故A错误；
对于B，因为的图象与轴的一个交点为，即，
所以，
又因为，解得，所以，
所以，所以的最小正周期为，故B正确；
对于C，因为，所以是的一条对称轴，故C正确；
对于D，令，解得，
所以函数在，上单调递减，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据函数部分图象与坐标轴交点坐标代入计算，从而可得的值，则判断出选项A；利用余弦型函数的最小正周期公式可得函数f(x)的最小正周期，则判断出选项B；代入检验判断出选项C；利用整体代入解不等式可知在，上单调递减，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高一下·六枝特月考）已知，则点的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】解：设，
因为，解得
故点的坐标是.
故答案为：.
【分析】设，由向量的坐标表示为，对应，从而得出点B的坐标.
13．（2025高一下·六枝特月考）如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：）的最小值为　 　.
【答案】2
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由图象可知，这段时间水深最大值为，所以，
故这段时间水深的最小值为.
故答案为：2.
【分析】根据函数图象和正弦型函数求最值的方法，从而得出这段时间水深的最小值.
14．（2025高一下·六枝特月考）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为点是所在平面内的一点，连接，
延长 至使，延长至使 ，如图所示：
，
连接，则四边形 是平行四边形（向量和向量 平行且模相等），
因为 ，所以所以
在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，
故与的面积比为：.
故答案为：.
【分析】连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，利用和三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，从而得出与的面积比．
15．（2025高一下·六枝特月考）已知向量满足，且的夹角为，
（1）求；
（2）当向量与垂直时，求实数的值.
【答案】（1）解：由已知，得.
（2）解：向量与垂直，
，
，
解得.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件和数量积的定义，从而得出的值.
（2）利用两向量与垂直，则，再利用数量积的运算律得出实数k的值.
（1）由已知得.
（2）向量与垂直，
，
，
解得.
16．（2025高一下·六枝特月考）（1）求值：；
（2）已知都是锐角，，求的值.
【答案】解：（1）原式
.
（2）由是锐角，得.
因为是锐角，所以，
又因为，
所以，
所以
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式变形得出的值.
（2）由同角三角函数基本关系式结合两角和的正弦公式，从而计算得出的值.
17．（2025高一下·六枝特月考）（1）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，求实数的值；
（2）若，求的值.
【答案】解：（1）根据三角函数的定义，
可得，
若时，符合题意；
若时，则可化简得，解得.
综上所述，或.
（2）由，
得，
所以.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据已知条件和三角函数的定义结合分类讨论的方法，从而得出实数m的值.
（2）利用诱导公式和同角三角函数商数关系，从而得出的值.
18．（2025高一下·六枝特月考）已知函数(，，)的部分图象如图所示.
（1）求的解析式和对称中心坐标；
（2）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值及对应的的值.
【答案】解：（1）由图象可知，可得：，，
因为，可得：，所以，
由图象及五点法作图可知：，所以，
所以，
令，，得，，
所以的对称中心的坐标为，.
（2）将的图象向左平移个单位，
得到；
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到；
将图象向上平移1个单位，得到，即
因为，所以，
所以当时，即当时，取得最小值，
当时，即当时，取得最大值.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由正弦型函数图象可得，，的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式可得的值，正弦型函数图象和五点法作图可得的值，从而可得函数的解析式，令，，从而得出函数的对称中心坐标．
（2）由已知的正弦型函数图象变换可得，结合的取值范围得出，，再利用正弦型函数的图象和性质得出函数在上的最值以及对应的的值.
19．（2025高一下·六枝特月考）如图，在中，，，与相交于点M，设，，
（1）试用，表示向量：
（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：．
【答案】（1）解：由A，M，D三点共线可知，存在实数，使得
，
由B，M，C三点共线可知，存在实数，使得
，
由平面向量基本定理知，解得，
所以．
（2）证明：若，，
则，
又因为E，M，F三点共线，
所以．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【分析】（1）设，由、、三点共线和、、三点共线可得关于与的方程组，从而解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式.
（2）根据已知条件结合，从而建立等式，再利用三点共线证出成立.
1 / 1贵州省六盘水市纽绅中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（4月）数学试题
1．（2025高一下·六枝特月考）已知向量，则等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·六枝特月考）下列各角中，与终边相同的角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·六枝特月考）如图，为的边上的中线，且，那么为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·六枝特月考）一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·六枝特月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．（2025高一下·六枝特月考）对于任意三个向量，下列命题中正确的是（　　）
A．若则
B．
C．
D．若满足，且与反向，则
7．（2025高一下·六枝特月考）已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．
8．（2025高一下·六枝特月考）已知函数，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025高一下·六枝特月考）下列说法错误的是（　　）
A．
B．单位向量的方向相同或相反
C．零向量没有大小，没有方向
D．平面内的单位向量是唯一存在的
10．（2025高一下·六枝特月考）下列表达式中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．（2025高一下·六枝特月考）已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A． B．的最小正周期为6
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
12．（2025高一下·六枝特月考）已知，则点的坐标是　 　.
13．（2025高一下·六枝特月考）如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：）的最小值为　 　.
14．（2025高一下·六枝特月考）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为　 　．
15．（2025高一下·六枝特月考）已知向量满足，且的夹角为，
（1）求；
（2）当向量与垂直时，求实数的值.
16．（2025高一下·六枝特月考）（1）求值：；
（2）已知都是锐角，，求的值.
17．（2025高一下·六枝特月考）（1）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，求实数的值；
（2）若，求的值.
18．（2025高一下·六枝特月考）已知函数(，，)的部分图象如图所示.
（1）求的解析式和对称中心坐标；
（2）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值及对应的的值.
19．（2025高一下·六枝特月考）如图，在中，，，与相交于点M，设，，
（1）试用，表示向量：
（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据向量加法的坐标运算，从而得出的坐标．
2．【答案】C
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：对于A，因为不是的整倍数，故A错误；
对于B，因为不是的整倍数，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为不是的整倍数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知角和选项中的角的度数的差是否为的整倍数，从而逐项判断找出与终边相同的角.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用为中点得出，再根据平面向量基本定理得出.
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆心角为，
则这个扇形的面积，弧长，
联立以上两个方程，得出.
故答案为：B.
【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式，从而得出这个扇形圆心角的弧度数.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以与共线，不能作为基底，故A错；
对于B，设，则，解得，
所以与共线，不能作为基底，故B错；
对于C，设，则，即，
此时无解，所以与不共线，可以作为基底，故C对；
对于D，设，则，
即，解得，
所以与共线，不能作为基底，故D错.
故答案为：C.
【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，再结合共线定理，从而逐项判断找出可以作为基底的选项.
6．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；向量的物理背景与基本概念；共线（平行）向量；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：对于A，由于零向量与任意向量均共线，
则当时，不确定的关系，故A错误；
对于B，显然若时，，故B错误；
对于C，根据三角形三边关系和向量加法的三角形法则知，
当且仅当两向量共线同向时取得等号，故C正确；
对于D，由向量的定义知，向量不能比大小，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据向量共线的定义、向量线性运算的几何意义，从而逐项判断找出真命题的选项.
7．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得，
又因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】利用题中条件可得，根据向量模长与向量的平方的关系式，再结合数量积的运算律得出的值.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由已知条件易知函数是偶函数，且函数在上单调递减，
因为，
，
，
所以，，
又因为，则，
故.
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式化简a，b，c，当时，，再根据函数在的单调性比较出三者的大小.
9．【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；相反向量
【解析】【解答】解：对于A：由相反向量的定义有，故A正确；
对于B：因为单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故B错误；
对于C：因为零向量的大小为0，方向任意，故C错误；
对于D：由单位向量的定义有大小为1，方向任意，
所以平面内单位向量是不唯一，故D错误.
故答案为：BCD.
【分析】根据零向量定义、单位向量定义和相反向量的定义，从而逐项判断找出说法错误的选项.
10．【答案】A,B
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
因为，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据两角和的余弦公式、辅助角公式、两角差的正切公式、二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式，从而逐项判断找出正确的表达式.
11．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的图象与轴交于点，
所以，
又因为，所以，故A错误；
对于B，因为的图象与轴的一个交点为，即，
所以，
又因为，解得，所以，
所以，所以的最小正周期为，故B正确；
对于C，因为，所以是的一条对称轴，故C正确；
对于D，令，解得，
所以函数在，上单调递减，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据函数部分图象与坐标轴交点坐标代入计算，从而可得的值，则判断出选项A；利用余弦型函数的最小正周期公式可得函数f(x)的最小正周期，则判断出选项B；代入检验判断出选项C；利用整体代入解不等式可知在，上单调递减，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】解：设，
因为，解得
故点的坐标是.
故答案为：.
【分析】设，由向量的坐标表示为，对应，从而得出点B的坐标.
13．【答案】2
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由图象可知，这段时间水深最大值为，所以，
故这段时间水深的最小值为.
故答案为：2.
【分析】根据函数图象和正弦型函数求最值的方法，从而得出这段时间水深的最小值.
14．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为点是所在平面内的一点，连接，
延长 至使，延长至使 ，如图所示：
，
连接，则四边形 是平行四边形（向量和向量 平行且模相等），
因为 ，所以所以
在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，
故与的面积比为：.
故答案为：.
【分析】连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，利用和三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，从而得出与的面积比．
15．【答案】（1）解：由已知，得.
（2）解：向量与垂直，
，
，
解得.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件和数量积的定义，从而得出的值.
（2）利用两向量与垂直，则，再利用数量积的运算律得出实数k的值.
（1）由已知得.
（2）向量与垂直，
，
，
解得.
16．【答案】解：（1）原式
.
（2）由是锐角，得.
因为是锐角，所以，
又因为，
所以，
所以
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式变形得出的值.
（2）由同角三角函数基本关系式结合两角和的正弦公式，从而计算得出的值.
17．【答案】解：（1）根据三角函数的定义，
可得，
若时，符合题意；
若时，则可化简得，解得.
综上所述，或.
（2）由，
得，
所以.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据已知条件和三角函数的定义结合分类讨论的方法，从而得出实数m的值.
（2）利用诱导公式和同角三角函数商数关系，从而得出的值.
18．【答案】解：（1）由图象可知，可得：，，
因为，可得：，所以，
由图象及五点法作图可知：，所以，
所以，
令，，得，，
所以的对称中心的坐标为，.
（2）将的图象向左平移个单位，
得到；
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到；
将图象向上平移1个单位，得到，即
因为，所以，
所以当时，即当时，取得最小值，
当时，即当时，取得最大值.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由正弦型函数图象可得，，的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式可得的值，正弦型函数图象和五点法作图可得的值，从而可得函数的解析式，令，，从而得出函数的对称中心坐标．
（2）由已知的正弦型函数图象变换可得，结合的取值范围得出，，再利用正弦型函数的图象和性质得出函数在上的最值以及对应的的值.
19．【答案】（1）解：由A，M，D三点共线可知，存在实数，使得
，
由B，M，C三点共线可知，存在实数，使得
，
由平面向量基本定理知，解得，
所以．
（2）证明：若，，
则，
又因为E，M，F三点共线，
所以．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【分析】（1）设，由、、三点共线和、、三点共线可得关于与的方程组，从而解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式.
（2）根据已知条件结合，从而建立等式，再利用三点共线证出成立.
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