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北京市鲁迅中学
2024-2025 学年第二学期期中测试
初一数学 2025.04
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共 100 分。考试时
间 100 分钟。
第一部分（共 16 分）
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16 分。在每小题的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．9的算术平方根是（ ）
(A) 3 (B) 3 (C)3 (D) 9
2．在下面的四个图形中，能由右图经过平移得到的图形是（ ）
(A) (B) (C) (D)
3．下列式子正确的是（ ）
2
(A) 9 = 3 (B) 3 8 = 2 (C) 16 = 4 (D) ( 2) = 2
4．如图，下列条件中能判断 AB∥DC 的是（ ）
(A)∠2=∠4 (B) 1= 3 (C) A= C (D) C + ADC =180
5．下列命题中，假命题是（ ）
(A)对顶角相等
(B)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
(C)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
(D)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补
x = 2
6．若 是二元一次方程 x my =1的一个解，则 m 的值为（ ）
y =1
1 1
(A) 1 (B) (C)1 (D)
2 2
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第1 页 （共 15页）
7．如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为 (4, 1)，北海北站的坐标为 ( 2,4)，则
复兴门站的坐标为（ ）
(A) ( 1, 7) (B) ( 7,1) (C) ( 7, 1) (D) (1,7)
8．在平面直角坐标系 xOy中，对于点P(x，y) ，如果点 ( ， ′)的纵坐标满足
x y(当x y时)
y = ，那么称点Q为点P的“关联点”．如果点P的关联点Q坐标为( 2,3)，
y x(当x y时)
则点 P 的坐标为（ ）
(A) ( 2,1) (B)( 2, 5) (C)( 2,1)或( 2,4) (D)( 2,1)或( 2, 5)
第二部分(共 84 分)
二、填空题：本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16分。
9．比较大小√11 3 (在横线上填上“＞”，“＝”或“＜”)
10．已知 | x 1| + 2y + 4 = 0，则 x y 的值是 ．
11．在平面直角坐标系中，已知点 (1 ， + 2)在 y 轴上，则 a 的值是 ．
11
12．在0.1&4&， ， 2 ，π， 3 8 这五个实数中，无理数是 ．
7
13．将含30 的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2 = 40°，
则∠1 的大小为 ．
14．在平面直角坐标系中，若第四象限内的点 P (2,a)到 轴的距离是 3，则点 P 坐标为 ．
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第2 页 （共 15页）
x + 2y = 2
15．已知 x、y 满足方程组 ，则 x y的值为 ．
2x + y = 7
16．我们规定：在平面直角坐标系 xOy中，任意不重合的两点M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 )之间的折线距
离为 d (M , N ) = x1 x2 + y1 y2 ．例如图①中，点M ( 2,3)与点N (1, 1)之间的折线距离为
d (M , N ) = 2 1 + 3 ( 1) = 3+ 4 = 7 ．如图②，已知点P (3, 4)，若点Q的坐标为 (t, 2)，且
d (P,Q) =10，则 t 的值为 ．
三、解答题：本大题共 10小题，共 68分。(17,18, 23,24,25每题 8分,20, 26每题 5分,19,21,22
每题 6 分)
17．计算：
1
(1) 5 5 ；
5
(2) 3 8 25+ | 3 2 |．
18．求出下列 x 的值：
(1) 9x2 25 = 0；
3
(2) (x +1) + 27 = 0．
3x + y = 3
19．解方程组： ．
x 2y = 8
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第3 页 （共 15页）
20．如图，按要求画图并回答问题：
(1)过点 A 画点 A 到直线BC 的垂线段，垂足为 D；
(2)过点 D 画直线 DE∥AB，交 AC 的延长线于点 E；
(3)∠AED 的内错角是 ；
(4)在线段 AB，AC，AD中，最短的是 ，理由为 ．
21．如图，点 H、点 D 在 AB 上，点 F、点 G 在 AC 上，点 E 在 BC 上，已知 HG⊥AB，
DF⊥AB，∠2+∠3＝180°，求证：∠1＝∠A
证明：∵HG⊥AB，DF⊥AB（已知），
∴∠AHG＝∠HDF＝90°（ ① ）．
∴DF∥HG（ ② ）．
∴∠3+ ③ ＝180°（ ④ ）．
∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠2＝∠4（ ⑤ ）．
∴ ⑥ （内错角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）．
22．如图，在平面直角坐标系 xOy中，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别为( 2， 2)，(3，1)，
(0，2)，若把三角形 ABC 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度得到三角形
A B C ，点 A，B，C 的对应点分别为 A ，B ，C ．
(1)写出点 A 的坐标为 ；
(2)在图中画出平移后的三角形 A B C ；
(3)三角形 ABC的面积为 ；
(4)已知点 P 在 y 轴上，以 B、C、P 为顶点的
三角形面积为 3，直接写出 P 点的坐标为 ．
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第4 页 （共 15页）
23．如图所示，已知， A= F ， C = D．
（1）求证：BD∥CE；
（2）已知 ABD : DEC = 2:3，求 DEC的度数．
24．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解 1 辆 A 型汽车，
3 辆 B 型汽车的进价共计 70 万元；3 辆 A 型汽车，2 辆 B 型汽车的进价共计 105 万元．
(1)求 A，B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用 250 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有
购买），请你通过计算写出所有购买方案．
25．已知，AB∥CD，
（1）如图 1，过点 F 作 FP∥CD，利用平行线的性质，可得结论：
① EFG+ AEF + CGF = ，
② EFG与 BEF ， DGF 之间的数量关系是 ．
请你选择一个结论写出证明过程.
（2）利用（1）的结论，解决下列问题：
①如图 2 ，点 M 是∠AEF 和 FGC 平分线的交点， EFG =126 ，求 EMG的
度数；
②如图 3，GM 平分 CGF ，EM ⊥GM ，EF 平分 BEM ，若 EFG比 CGF
大 8°，则 CGF 的度数是 ．
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第5 页 （共 15页）
26．对于平面直角坐标系 xOy中的图形 G 和点 P，给出如下定义：将图形 G 沿上、下、左、
右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于 1 个单位长度，平移后的
图形记为G ，若点 P 在图形G 上，则称点 P 为图形 G 的稳定点，例如，当图形 G 为点
( 2，3)时，点 ( 1，3)， ( 2，3.5)都是图形 G 的稳定点．
(1)已知点 ( 1，0)， (2，0)．
1 3 3
①在点 1( 2，0)， 2(4，0)， 3 (1， )， 4 ( ， )中，线段 AB 的稳定点是____． 2 2 2
②若将线段 AB向上平移 t 个单位长度，使得点 E(0，1)或者点 (0，5)为线段 AB 的
稳定点，写出 t 的取值范围___________．
(2) 边长为 a 的正方形，一个顶点是原点 O，相邻两边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，这
个正方形及其内部记为图形 G．若以(0，2)，(4，0)为端点的线段上的所有点都是这
个图形 G 的稳定点，直接写出 a 的最小值___________．
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第6 页 （共 15页）
四、选做题：本大题共 2小题，每题 5分，共 10 分。
27．阅读材料：
如果 x 是一个有理数，我们把不超过 x 的最大整数记作 x
例如， 3.2 = 3， 5 = 5， 2.1 = 3．那么， x = x + a，其中0≤a 1．
例如，3.2 = 3.2 + 0.2，5 = 5 + 0， 2.1= 2.1 + 0.9．
请你解决下列问题：
（1） 4.8 = ______， 6.5 =______；
（2）如果 x = 3，那么 x 的取值范围是______；
（3）如果 x = x + a，其中0≤a 1，且 2a = x 1，直接写出 x 的值．
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第7 页 （共 15页）
28．已知直线 MN∥PQ，现将一个含30 的三角板 ABC按照如图 1 放置，使点 A，B 分别在直
线MN ， PQ上， ABC = 90 ， C = 60 ， AD平分 CAN 交直线 PQ于点D，且 AD∥BC
(1) BAM 的度数为 ；
(2)将一个含有 45 的三角板EFG按照如图 2 所示放置，直角顶点 G 与点 A 重合，直角边 GF
与AB重合．若将三角板GEF绕点A以每秒 6°的速度顺时针旋转，设旋转时间为 t 秒 (0 t 15)．
若三角板 ABC 同时绕点 B 以每秒 18°的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边EF 与三角板
ABC的一条直角边平行时，画出图形并直接写出所有满足条件的 t 的值．
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第8 页 （共 15页）
鲁迅中学 2024-2025 学年第二学期期中测试评分标准
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B A B C B D
二、填空题：本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16分。
9． ＞ 10．3 11．1 12． 2 ，π
13．50° 14．P（2，-3） 15．5 16． 1或 7
三、解答题：本大题共 10小题，共 68分。(17,18, 23,24,25每题 8分,20, 26每题 5分,19,21,22
每题 6 分)
1
5 5
17.（1）解： 5
1
= 5 5 5 ………..2 分
5
= 5 1………..3 分
= 4；………..4 分
（2）解： 3 8 25+ | 3 2 |
= 2 5+ 2 3 ………..3 分
= 5 3 ．………..4 分
18.（1）解：9x2 25 = 0，
9x2 = 25，………..1 分
25
x2 = ，………..2 分
9
25 5
x = = ；………..4 分
9 3
3
（2）解： (x +1) + 27 = 0，
3
(x +1) = 27，………..1 分
3
+ 1 = √ 27，………..2 分
X+1=-3………..3 分
x = 4．………..4 分
3x + y = 3①
19.
x 2y = 8②
解法一：代入消元法
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第9 页 （共 15页）
由②，得 x = 2y +8③………..1 分
把③代入①，得3(2y +8)+ y = 3 ………..2 分
解得 y= 3 ………..3 分
把 y= 3代入③，得 x = 2 ………..4 分
x = 2
∴方程组的解为 ………..6 分
y = 3
解法二：加减消元法
① 2+②，得7x =14 ………..2 分
解得 x = 2 ………..3 分
把 x = 2代入①，得 y= 3 ………..4 分
x = 2
∴方程组的解为 ………..6 分
y = 3
20.（1）解：如图， AD即为所求；
………..1 分
（2）解：如图，DE 即为所求；
………..2 分
（3）解： AED的内错角是 BAE，………..3 分
（4）解：在线段 AB，AC，AD 中，最短的是 AD，理由为垂线段最短．………..5 分
21.证明：∵HG⊥AB，DF⊥AB（已知），
∴∠AHG＝∠HDF＝90°（垂直的定义）．………..1 分
∴DF∥HG（同位角相等，两直线平行），………..2 分
∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），………..4 分
∵∠2+∠3＝180°（已知），
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第10 页 （共 15页）
∴∠2＝∠4（同角的补角相等），………..5 分
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）．………..6 分
∴∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）．
22.（1）解：根据题意得，点 A 的坐标为 ( 3,1)………..1 分
（2）解：如图，三角形 A B C 即为所求．……3 分
1 1 1
（3）解：三角形 A B C 的面积为5 4 2 4 1 3 3 5 = 20 4 1.5 7.5 = 7；………..4 分
2 2 2
（4） P(0,0)或(0,4) ---------------6 分
23.（1）证明∵∠A=∠F，
∴AC//DE，………..1 分
∴∠D=∠ABD，………..2 分
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠ABD，………..3 分
∴BD//CE；………..4 分
（2）∵BD//CE，
∴∠ABD =∠C，………..5 分
∵DF//BC，
∴∠DEC+∠C=180°，………..6 分
∴∠ABD+∠C=180°，
∵∠ABD ：∠DEC=2:3，
∴设∠ABD=2x，∠DEC=3x，
则 2x+3x=180°，………..7 分
∴x=36°，∴∠DEC =3x=108°．………..8 分
24.（1）解：设 A 型号的汽车每辆进价为 x 万元，B 型号的汽车每辆进价为 y 万元，………..1 分
+ 3 = 70
{ ，………..3 分
3 + 2 = 105
x = 25
解得 ，………..5 分
y =15
答：A 型号的汽车每辆进价为 25 万元，B 型号的汽车每辆进价为 15 万元．
（2）解：设购买 A 型号的汽车 a 台，B 型号的汽车 b 台，
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第11 页 （共 15页）
3
25a +15b = 250，即a =10 b ，
5
∵a、b 均为正整数，
a = 7 a = 4 a =1
∴ 或 或 ，
b = 5 b =10 b =15
方案一：购买 A 型号的汽车 7 台，B 型号的汽车 5 台，
方案二：购买 A 型号的汽车 4 台，B 型号的汽车 10 台，
方案一：购买 A 型号的汽车 1 台，B 型号的汽车 15 台．………..8 分
25. 解：(1)360 ， EFG = BEF + DGF ；………..2 分
证明过程………..4 分
（2）Q EM 平分 AEF ，GM 平分 FGC，
设 AEM = MEF = ， CGM = MGF = ，
AEF = 2 ， CGF = 2 ，
由（1）的结论得： EMG = AEM + CGM = + ，
EFG+ AEF + CGF = 360 ，
又Q EFG =126 ，
∴126 + 2 + 2 = 360 ，
∴ + =117 ，
∴ EMG = + =117 ；………..7 分
（3）设 CGM = ，
Q GM 平分 CGF ，
∴ MGF = CGM = ，
∴ CGF = 2 ，
∴ DCF =180 CGF =180 2 ，
由（1）的结论得： EMG = CGM + AEM ，
EFG = BEF + DGF ，
Q EM ⊥GM ，
EMG = 90 ，
∴ AEM = 90 ，
∴ BEM =180 AEM =180 （90 ）= 90 + ，
Q EF 平分 BEM ，
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第12 页 （共 15页）
1 1
BEF = BEM = (90 + )，
2 2
1 3
EFG = BEF + DGF = (90 + )+180 2 = 225 ，
2 2
Q EFG比 CGF 大8 ，
3
∴ EFG = CGF +8 ，即：225 = 2 +8 ，
2
解得： = 62 ，
∴ CGF = 2 =124 ．………..8 分
26.（1）解：①如图 1 中，
观察图象，根据图形 G 的稳定点的定义 可知：P1，P3 是线段 AB 的稳定
点．………..2 分
②如图 2 中，
观察图象可知当 0≤t≤2 或 4≤t≤6 时，点 E （0，1）或者点 F（0，5）为线
段 AB 的稳定点．
故答案为：0≤t≤2 或 4≤t≤6；………..4 分
（2）解：如图 3 中，正方形 OABC 的边 长为 a，P（0，2），Q（4，0），
观察图象可知当 3≤a 时，线段 PQ 上的点都是图形 G 的稳定点．
∴a 的最小值为 3. ………..5 分
四、选做题：本大题共 2 小题，共 10 分。(27 题 5 分,28 题 5
分)
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第13 页 （共 15页）
27. 解：（1）4， 7； ……………………………2 分
（2）3 x 4 ； ……………………………3 分
1
（3） x =1或 2 ．…………………………5 分
2
28.（1）解：∵ ABC = 90 ， C = 60 ，三角板 ABC 中含30 ，
∴ BAC = 30 ，
Q AD PBC，
ABC + BAD =180 ，
Q ABC = 90 ，
BAD = 90 ，
Q BAC = 30 ，
CAD = 60 ，
Q AD平分 CAN ，
CAN = 2 CAD =120 ，
BAN = CAN + BAC =150 ，
BAM =180 BAN = 30 ．………..2 分
（2）解：当EF∥BC 时，第一种情况：延长BC交 FG 于 点K ，
∵ ABC = 90 ， CBG ABG ABC 18 t 90 ，
FGB 6 t ，
∴
BKG =180 FGB CBG =180 6 t (18 t 90 ) = 270 24 t
，
∵EF∥BC ， F = 45 ，
∴ FKB 45 ， BKG 180 45 135 ，
45
∴270 24 t 135 ，解得： t = ；
8
第二种情况：延长BG 交FE于点W ，
∵EF∥BC ， F = 45 ， CBG 18 t 90 ， FGB 6 t ，
∴ FWG =180 (18 t 90 ) = 270 18 t ， FGW 180 6 t ，
∵ FWG FGW F 180 ，
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第14 页 （共 15页）
105
∴270 18 t 180 6 t 45 180 ，解得： t = ，
8
45 105
∴当EF∥BC 时， t = 或 ；
8 8
当EF∥AB时，第一种情况：延长EF 交BG 于点 R ，
∵ EF∥AB， EFG = 45 ， ABG 18 t ， FGB 6 t ，
∴ FRG ABG 18 t ， RFG 180 45 135 ，
∵ FRG FGR RFG 180 ，
15
∴18 t 6 t 135 180 ，解得： t = ；
8
第二种情况：延长BG 交FE于点T ，
∵ EF∥AB， F = 45 ， ABG 18 t ， FGB 6 t ，
∴ FTG 180 18 t， FGT 180 6 t，
∵ FTG FGT F 180 ，
75
∴180 18 t 180 6 t 45 180 ，解得： ，
8
15 75
∴当EF∥AB时， t = 或 ；
8 8
∴当边EF 与三角板 ABC 的一条直角边平行时， t 的值
45 105 15 75
为 t = ， ， t = ， ．
8 8 8 8
鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第15 页 （共 15页）

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