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九年级数学下册人教版第二十七章《相似》单元测试题
一、单选题
1．如图，在中，平分，平分，交于点G，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点E是矩形的边上一个动点，且与点A、D不重合，连接、，过点B作，过点C作，交点为F，连接、交于点G、H，、、ΔBCF的面积分别记为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．若四边形是矩形，则
D．若点为中点，则四边形是菱形
3．如图，在中，点，分别是边，的中点，连接，，与交于点，连接，过点作，分别交、于点、，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．小文在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（ ）（小孔大小和厚度忽略不计）
A． B． C． D．
5．如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为（ ）
A．18 B．17 C．15 D．16
6．如图，为等边三角形，分别延长，，到点，，，使，连接，，，连接并延长，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．在ΔABC中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接；②以A为圆心，以的长为半径作弧，以为圆心，以的长为半径作弧，两弧在右侧交于点；③连接，连接交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，四边形是矩形，过点C的直线分别与的延长线交于点E，F，且．点G，H分别在上，且，连接，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，已知ΔABC和是以点为位似中心的位似图形，，ΔABC的面积为3，则的面积为 ．
10．如图，在ΔABC中，，，D是的中点，E是上的点，连接，的平分线交于点F，连接．若，，则的长为 ．
11．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
12．如图，ΔABC和是以点为位似中心的位似图形，，若，则 ．
13．如图，四边形对角线，交于点，，，若，，点恰好在的中垂线上，则的长为 ．
14．如图，在中，为的中点，为上一点，，连接，交于点，连接．若和的面积分别为，，则和的数量关系为 ．
三、解答题
15．如图，在ΔABC中，，．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于点F，G，在线段上截取；
(2)求证：．
16．如图，在等腰中，，分别在边，上，连接，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若点为中点，，求的长；
(3)若，求的值．
17．ΔABC内接于，F为上一点，连接交弦于点D，若．
(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接，若，求证：．
(3)在（2）的条件下，延长交于点E，过点F作垂足为N，过点E作垂足为M，若，，求的长．
18．二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接，在该图像上有一点P，连接，．设P点的横坐标为．
(1)若，
①求该二次函数的表达式；
②m为何值时，的面积取得最大值？
(2)连接交y轴于点E，直线交y轴于点F，求证：是定值．
19．如图1，中，，于点，点，分别为边，中点，连接，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，是边上一点，连接，且．
求证：；
若，，求的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标；
(3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标．
21．在菱形中，，连接．
(1)判断ΔABC的形状并说明理由．
(2)如图，分别为边上的动点，，交于点．
如图，连接，若，求证：，
若，直接写出动点到直线的最大距离．
22．综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
(1)操作判断
如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长；
(2)迁移探究
如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长；
(3)拓展应用
如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：．
试卷第1页，共3页
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《九年级数学下册人教版第二十七章《相似》单元测试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A D C D D
9．
10．/
11．20
12．18
13．5
14．
15．（1）解：如图，直线、线段即为所求作：
（2）证明：连接，
∵在ΔABC中，，，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
16．（1）证明：在等腰直角三角形中，，
，
，
，
；
（2）解：如图，取的中点，连接，
为中点，为中点，
，，
设，则，
，
，
由（1）得，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，解得（负值已舍去），
；
（3）解：如图，在上取一点，使得，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
17．（1）证明：连接，，如图，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，，如图，
在和ΔAOB中，
，
，
，
；
（3）解：过点作于，如图，
，
，
，，，
，
，
，
．
，
即．
连接，，，过作于点，
由（1）知：，
，
，
是的垂直平分线．
，
，
．
在和中，
，
，
，
连接，
在和中，
，
∴，
．
，
．
，，
延长交于点，
由（2）知：，
，
．
，
设，则，
在中，
，
，
，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
18．（1）解：①已知二次函数图像与轴交于点，设二次函数表达式为，
在抛物线上，把代入得：
，即，解得．
二次函数表达式为．
②过点作轴交于点，
设直线表达式为，把代入得
，将代入得，解得，
直线表达式为，
点横坐标为，则，．
，
，
即，
对于二次函数，对称轴为，
当时，的面积取得最大值；
（2）解：∵二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，
∴，，
过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
即是定值．
19．（1）证明：在中，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）①，是边的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
．
②连接，
，分别为，中点，，，
，，
又，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
20．（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
取中点S，连接，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴点P到的距离是点O到距离的2倍，
取点S关于点O的对称点，
当时，
设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴（舍去），
∴；
取点Q关于点S的对称点N，
∵，，
∴，
当时，设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴（舍去），
∴；
∴点的坐标为或；
（3）解：∵中，时，，时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相似，，
∴，
∴，
∴，
∴；
或，
∴，
∴，
∴；
∴点的坐标或．
21．（1）解：ΔABC是等边三角形，理由，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴ΔABC是等边三角形；
（2）证明：∵ΔABC是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
解：由得，，
∴，
∴点是以为圆心，长度为半径的弧上运动，
∴当时，点到直线有最大距离，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴动点到直线的最大距离为．
22．（1）解：如图1，设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，
四边形是正方形，
，，
四边形和四边形都是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
（2）如图2，设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，
，
四边形是矩形，
，，
四边形和四边形都是矩形，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
（3）证明：如图3，过点C作交的延长线于点F，则，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
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