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第五章 《分式与分式方程》 1 认识分式（2）—北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·南宁月考）若把分式中的x，y同时扩大10倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的10倍 B．扩大为原来的倍
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将原式中x，y分别换为10x，10y，
得：
∴分式的值扩大为原来的10倍，
故答案为：A．
【分析】把x，y分别换为，约分得到结果，即可作出判断．
2．（2023八下·恩阳期中）把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．不能确定
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴把分式中的都扩大3倍，分式的值扩大3倍，
故答案为：A．
【分析】用3x、3y替换原分式中的x、y，再根据整式混合运算顺序计算分子、利用乘法分配律逆用变形分母，接着利用分式的基本性质化简，最后与原分式比较即可．
3．（2023八下·德化期末）下列式子变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、当a=b时， ，此等式不成立，故不符合题意；
B、 ， 此项错误，故不符合题意；
C、 ，此项正确，故符合题意；
D、 ， 此项错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可.
4．（2024八下·南山期中）下列分式变形从左到右一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，此变形不成立，因为将分式的分子与分母同时平方并不保持原分式的值不变，除非a和b满足特定的关系（如a=b），但题目并未给出此类限制，故本选项不符合题意；
B、当时才成立，故本选项不符合题意；
C、，原变形中分子分母都除以了bc，这并不等价于直接将a与b相除，故本选项符合题意；
D、，此变形成立，因为根据分式的性质，分子与分母同时乘以（或除以）相同的非零数，其值不变，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，逐项判断即可．
5．（2023八下·深圳期末）下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、 故此选项不合题意；
B、 故此选项不合题意；
C、 ，是最简分式，故此选项符合题意；
D、 ， 故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分，如果分式中没有可约的因式，则为最简分式，据此判断.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·射洪月考）已知值为正整数，则整数值为　 　.
【答案】1或
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵值为正整数 ，且m为整数，
∴，
解得m=-1或m=1，
故填：1或
【分析】由整数运算的封闭性可知分母(m-2)为整数，为使得分式值为整数，故(m-2)需被3整除.
7．（2024八下·射洪月考）不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是　 　.
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式分子分母同时扩大100倍，
则有，
故填：.
【分析】利用分式的基本性质将分子分母扩大即可.
8．（2021八下·金牛期末）已知 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】利用比例的性质，设，可用含k的代数式表示出x，y，z，将其代入代数式，化简即可.
9．（2022八下·佛山月考）化简分式＝　 　．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】原式＝，
故答案为．
【分析】先将分子和分母因式分解，再约分即可。
10．（2022八下·洪泽期中）给出下列分式：
（1），（2），（3），（4），（5） 其中最简分式有　 　.（填序号）
【答案】（2）
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解（1），不是最简分式；
（2）是最简分式；
（3）不是最简分式；
（4）不是最简分式；
（5）不是最简分式.
最简分式有（2）.
故答案为：（2）.
【分析】最简分式就是分式的分子和分母没有公因式，据此判断即可.
三、解答题（共4题，共50分）
11．（2021八下·沭阳月考）化简.
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】（1）根据公因式的确定方法“系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数”可找出公因式，再将分子和分母的公因式约去即可化简；
（2）由题意先将分式的分子和分母分解因式，再约分即可化简.
12．（初中数学苏科版八年级下册10.1-10.2 分式及其基本性质 同步练习）约分.
（1） ;
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：
（4）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】分子和分母能分解因式的先分解因式，然后根据分式的性质约分化简即可得出结果.
13．（2023八下·通川期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　 　 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式===，
小强：原式==，
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　，
请你接着小强的方法完成化简．
【答案】（1）②
（2）解：∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a=4，a=-4（舍），a=5；
（3）解：小强利用了其中的和谐分式，第步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式====
故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）① 中分子分母都不能分解，故不是"和谐分式"；
② 分母可以分解因式，但不可约分，故是"和谐分式"；
③，分母可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
④， 分子可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
故答案为：②.
【分析】（1）根据"和谐分式"的定义逐一判断即可；
（2） 由于分式为和谐分式 ，且分子不能分解，可知分母必可分解因式，据从求出整数a的值即可；
（3）根据题意及“和谐分式”的定义解答即可.
14．（2017八下·兴化月考）已知分式
（1）已知 ，试求分式 的值；
（2）已知 ，且分式 的值等于2，试求 以及 的值；
（3）已知 ， 均为正整数，试写出使分式 的值等于2的所有 以及 的值.
【答案】（1）将 代入分式得：
A=
=
=2
（2）将 ， =2的值代入分式得：
去分母化简得：16y=32
解得：y=2
x=6
（3）将原式化简得：x+y=8
因为x，y均为正整数，所以满足条件的x、y值有7组
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】各题利用分式的基本性质进行化简，然后根据题意进行求值。
1 / 1第五章 《分式与分式方程》 1 认识分式（2）—北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·南宁月考）若把分式中的x，y同时扩大10倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的10倍 B．扩大为原来的倍
C．不变 D．缩小为原来的
2．（2023八下·恩阳期中）把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．不能确定
3．（2023八下·德化期末）下列式子变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·南山期中）下列分式变形从左到右一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八下·深圳期末）下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·射洪月考）已知值为正整数，则整数值为　 　.
7．（2024八下·射洪月考）不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是　 　.
8．（2021八下·金牛期末）已知 ，则 　 　.
9．（2022八下·佛山月考）化简分式＝　 　．
10．（2022八下·洪泽期中）给出下列分式：
（1），（2），（3），（4），（5） 其中最简分式有　 　.（填序号）
三、解答题（共4题，共50分）
11．（2021八下·沭阳月考）化简.
（1）
（2）
12．（初中数学苏科版八年级下册10.1-10.2 分式及其基本性质 同步练习）约分.
（1） ;
（2）
（3）
（4）
13．（2023八下·通川期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　 　 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式===，
小强：原式==，
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　，
请你接着小强的方法完成化简．
14．（2017八下·兴化月考）已知分式
（1）已知 ，试求分式 的值；
（2）已知 ，且分式 的值等于2，试求 以及 的值；
（3）已知 ， 均为正整数，试写出使分式 的值等于2的所有 以及 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将原式中x，y分别换为10x，10y，
得：
∴分式的值扩大为原来的10倍，
故答案为：A．
【分析】把x，y分别换为，约分得到结果，即可作出判断．
2．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴把分式中的都扩大3倍，分式的值扩大3倍，
故答案为：A．
【分析】用3x、3y替换原分式中的x、y，再根据整式混合运算顺序计算分子、利用乘法分配律逆用变形分母，接着利用分式的基本性质化简，最后与原分式比较即可．
3．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、当a=b时， ，此等式不成立，故不符合题意；
B、 ， 此项错误，故不符合题意；
C、 ，此项正确，故符合题意；
D、 ， 此项错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，此变形不成立，因为将分式的分子与分母同时平方并不保持原分式的值不变，除非a和b满足特定的关系（如a=b），但题目并未给出此类限制，故本选项不符合题意；
B、当时才成立，故本选项不符合题意；
C、，原变形中分子分母都除以了bc，这并不等价于直接将a与b相除，故本选项符合题意；
D、，此变形成立，因为根据分式的性质，分子与分母同时乘以（或除以）相同的非零数，其值不变，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，逐项判断即可．
5．【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、 故此选项不合题意；
B、 故此选项不合题意；
C、 ，是最简分式，故此选项符合题意；
D、 ， 故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分，如果分式中没有可约的因式，则为最简分式，据此判断.
6．【答案】1或
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵值为正整数 ，且m为整数，
∴，
解得m=-1或m=1，
故填：1或
【分析】由整数运算的封闭性可知分母(m-2)为整数，为使得分式值为整数，故(m-2)需被3整除.
7．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式分子分母同时扩大100倍，
则有，
故填：.
【分析】利用分式的基本性质将分子分母扩大即可.
8．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】利用比例的性质，设，可用含k的代数式表示出x，y，z，将其代入代数式，化简即可.
9．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】原式＝，
故答案为．
【分析】先将分子和分母因式分解，再约分即可。
10．【答案】（2）
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解（1），不是最简分式；
（2）是最简分式；
（3）不是最简分式；
（4）不是最简分式；
（5）不是最简分式.
最简分式有（2）.
故答案为：（2）.
【分析】最简分式就是分式的分子和分母没有公因式，据此判断即可.
11．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】（1）根据公因式的确定方法“系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数”可找出公因式，再将分子和分母的公因式约去即可化简；
（2）由题意先将分式的分子和分母分解因式，再约分即可化简.
12．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：
（4）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】分子和分母能分解因式的先分解因式，然后根据分式的性质约分化简即可得出结果.
13．【答案】（1）②
（2）解：∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a=4，a=-4（舍），a=5；
（3）解：小强利用了其中的和谐分式，第步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式====
故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）① 中分子分母都不能分解，故不是"和谐分式"；
② 分母可以分解因式，但不可约分，故是"和谐分式"；
③，分母可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
④， 分子可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
故答案为：②.
【分析】（1）根据"和谐分式"的定义逐一判断即可；
（2） 由于分式为和谐分式 ，且分子不能分解，可知分母必可分解因式，据从求出整数a的值即可；
（3）根据题意及“和谐分式”的定义解答即可.
14．【答案】（1）将 代入分式得：
A=
=
=2
（2）将 ， =2的值代入分式得：
去分母化简得：16y=32
解得：y=2
x=6
（3）将原式化简得：x+y=8
因为x，y均为正整数，所以满足条件的x、y值有7组
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】各题利用分式的基本性质进行化简，然后根据题意进行求值。
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