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第五章 《生活中的轴对称》 2 简单的轴对称图形（3）—北师大版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024七下·河南驻马店经济开发月考）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据画图步骤可知：OC=OD，CP=DP，
在和中，
，
∴
故答案为：D．
【分析】根据画图步骤得OC=OD，CP=PD，然后利用全等三角形判定定理“SSS”证出，即可得到答案.
2．（2024七下·巴中期末）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠A=100°，∠C=30°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-100°-30°=50°，
根据画图可知平分，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABE=25°，
故答案为：A．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC=50°，根据角平分线尺规作图画法得平分，从而由角平分线的定义求得，接下来利用平行线的性质，得∠BEF=∠ABE=25°.
3．（2024七下·长沙期末）如图，是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过P点作于E点，
∵是的角平分线，P为上任意一点，，，
，
，
，
∴点P到射线的距离是3，
故选：C．
【分析】过P点作于E点，由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PE=PD=3．
4．（2024七下·青秀期末）如图，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
①正确；
②∵，
∴，
∵平分，，
∴，
②正确；
③∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
③正确；
④∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
④正确；
⑤由④得，，
∵，
∴，
∴，
⑤不正确；
∴正确的结论有个．
故答案为：C
【分析】根据角平分线的定义结合题意得到，进而等量代换得到，从而根据平行线的判定即可判断①；根据平行线的性质得到，进而根据角平分线的定义结合题意即可判断②；根据角平分线的定义得到，进而进行等量代换得到，再结合已知条件即可得到，从而即可判断③；根据角平分线的定义得到，进而根据平行线的性质得到，，从而得到，根据角平分线的定义得到，再结合题意等量代换即可得到，从而即可判断④；由④得，，进而根据平行线的性质得到，从而等量代换得到即可判断⑤.
5．（2024七下·青秀期末）如图，在Rt中，平分交于点于，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据角平分线的性质得到，进而结合已知条件即可求解.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024七下·抚州期末）如图，在中，，平分，于点，，，则的长　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】证明：∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
故答案为：4．
【分析】先根据所给条件求出的长，再根据角平分线的性质求出．
7．（2024七下·涪城期末）已知，，和的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，则与的度数和为　 　．
【答案】310
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵OB、OC是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理可得，，由平行线的性质可得，，两角相加即可求解．
8．（2024七下·修水期末）如图，在中，是角平分线，于点，于点，，，则的面积为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是角平分线且于点，于点
∴DE=DF=2
∴
故答案为：4.
【分析】先根据角平分线的性质定理得出：DE=DF=2，再根据三角形的面积公式计算出的面积即可.
9．（2024七下·光明期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则　 　°．
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
【分析】利用垂直平分线的性质和角平分线的定义可得，再结合，，求出，最后求出即可.
10．（2024七下·德阳月考）如图，是等边三角形，手点于点．下列结论①点在的角平分线上；②；③：④．其中，正确的序号是　 　.
【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，手点于点．
∴P在∠BAC的平分线上，则①正确；
由①知，在和中，
∴
∴
∴
∴则②正确；
∵
∴
∴则③正确；
∴为等边三角形，
在和中，
∴则④正确，
综上所述，正确的序号有：①②③④，
故答案为：①②③④.
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确；然后根据等边对等角的性质可得，然后得到然后根据内错角相等两直线平行可得QP//AB，从而判断出②正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到③正确，④由即可得到④正确.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024七下·宝安期中）如图，在中，于平分，
（1）若，且，求的度数；
（2）若，的面积为2，，求点E到边的距离．
【答案】（1）解：平分，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点M，于点N，
，，
即，
，
，
，
，
，，平分，
，
点E到边的距离为4．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由平分，得到，根据等边对等角以及三角形内角和，得到，根据，求得，结合，即可求出结果；
（2）过点作于点M，于点N，求出，根据，求出的长，由平分，得到，即可得到答案.
（1）解：平分，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点作于点M，于点N，
，，
即，
，
，
，
，
，，平分，
，
点E到边的距离为4．
12．（2023七下·长沙期末）如图，四边形中，，是的中点，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，，求 的面积．
【答案】（1）证明：作垂足为，
平分，，，
，
，
，
，，
平分．
（2）解：由（1）可知：，
，，
．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）如图，过E点作EM⊥CD于M，DE平方∠ADC，则AE=ME（角平分线上的点到角两边的距离相等），E为AB中点BE=AE=ME，又因为BE⊥BC，ME⊥DC，即可得CE平分∠BCD。
（2）由（1）知EM=EB=AB=4，在由面积公式S△CDE=，代入求解即可。
13．（2023七下·长沙期末）如图，中，，是的角平分线．
（1）若，求的度数；
（2）若是的中点，的面积为27，，求的长．
【答案】（1）解：，
，
是的角平分线．
；
（2）解：是的中点，
，
，
，
．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】 (1)先利用Rt△中两锐角互余计算出∠BAE=56o，再利用角平分线的定义得到∠BAC=∠BAE=28° 。
(2)先利用D是BC的中点，CD=3，得到BC=6，再根据三角形面积公式得到×BC×AE=×6×AE=27，然后解关于AE的方程即可.
14．（2023七下·兴平期末）如图，在中，垂直平分，分别交，于点，，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：垂直平分，
，
，
平分，
，
；
（2）解：平分，，，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先利用垂直平分线得到，再通过角平分线的定义求得，然后由三角形的内角和定理得到的度数.
(2)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
15．（2023七下·横山期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线．
（1）若的周长为13，，，求的长度；
（2）若，的面积为10，，求点到的距离．
【答案】（1）解：∵是的边上的中线，
∴，
又∵的周长为13，，，
∴
（2）解：∵，的面积为10，，
∴，
∵是的角平分线，
∴点到的距离
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的中线可求出AE的长，再根据△ABE的周长为13，可求出AB的长.
（2）利用三角形的面积公式，由△ABD的面积可求出AD的长；再利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出点D到BC的距离.
1 / 1第五章 《生活中的轴对称》 2 简单的轴对称图形（3）—北师大版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024七下·河南驻马店经济开发月考）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（2024七下·巴中期末）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·长沙期末）如图，是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
4．（2024七下·青秀期末）如图，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2024七下·青秀期末）如图，在Rt中，平分交于点于，，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024七下·抚州期末）如图，在中，，平分，于点，，，则的长　 　．
7．（2024七下·涪城期末）已知，，和的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，则与的度数和为　 　．
8．（2024七下·修水期末）如图，在中，是角平分线，于点，于点，，，则的面积为　 　．
9．（2024七下·光明期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则　 　°．
10．（2024七下·德阳月考）如图，是等边三角形，手点于点．下列结论①点在的角平分线上；②；③：④．其中，正确的序号是　 　.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024七下·宝安期中）如图，在中，于平分，
（1）若，且，求的度数；
（2）若，的面积为2，，求点E到边的距离．
12．（2023七下·长沙期末）如图，四边形中，，是的中点，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，，求 的面积．
13．（2023七下·长沙期末）如图，中，，是的角平分线．
（1）若，求的度数；
（2）若是的中点，的面积为27，，求的长．
14．（2023七下·兴平期末）如图，在中，垂直平分，分别交，于点，，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
15．（2023七下·横山期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线．
（1）若的周长为13，，，求的长度；
（2）若，的面积为10，，求点到的距离．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据画图步骤可知：OC=OD，CP=DP，
在和中，
，
∴
故答案为：D．
【分析】根据画图步骤得OC=OD，CP=PD，然后利用全等三角形判定定理“SSS”证出，即可得到答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠A=100°，∠C=30°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-100°-30°=50°，
根据画图可知平分，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABE=25°，
故答案为：A．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC=50°，根据角平分线尺规作图画法得平分，从而由角平分线的定义求得，接下来利用平行线的性质，得∠BEF=∠ABE=25°.
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过P点作于E点，
∵是的角平分线，P为上任意一点，，，
，
，
，
∴点P到射线的距离是3，
故选：C．
【分析】过P点作于E点，由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PE=PD=3．
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
①正确；
②∵，
∴，
∵平分，，
∴，
②正确；
③∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
③正确；
④∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
④正确；
⑤由④得，，
∵，
∴，
∴，
⑤不正确；
∴正确的结论有个．
故答案为：C
【分析】根据角平分线的定义结合题意得到，进而等量代换得到，从而根据平行线的判定即可判断①；根据平行线的性质得到，进而根据角平分线的定义结合题意即可判断②；根据角平分线的定义得到，进而进行等量代换得到，再结合已知条件即可得到，从而即可判断③；根据角平分线的定义得到，进而根据平行线的性质得到，，从而得到，根据角平分线的定义得到，再结合题意等量代换即可得到，从而即可判断④；由④得，，进而根据平行线的性质得到，从而等量代换得到即可判断⑤.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据角平分线的性质得到，进而结合已知条件即可求解.
6．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】证明：∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
故答案为：4．
【分析】先根据所给条件求出的长，再根据角平分线的性质求出．
7．【答案】310
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵OB、OC是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理可得，，由平行线的性质可得，，两角相加即可求解．
8．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是角平分线且于点，于点
∴DE=DF=2
∴
故答案为：4.
【分析】先根据角平分线的性质定理得出：DE=DF=2，再根据三角形的面积公式计算出的面积即可.
9．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
【分析】利用垂直平分线的性质和角平分线的定义可得，再结合，，求出，最后求出即可.
10．【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，手点于点．
∴P在∠BAC的平分线上，则①正确；
由①知，在和中，
∴
∴
∴
∴则②正确；
∵
∴
∴则③正确；
∴为等边三角形，
在和中，
∴则④正确，
综上所述，正确的序号有：①②③④，
故答案为：①②③④.
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确；然后根据等边对等角的性质可得，然后得到然后根据内错角相等两直线平行可得QP//AB，从而判断出②正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到③正确，④由即可得到④正确.
11．【答案】（1）解：平分，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点M，于点N，
，，
即，
，
，
，
，
，，平分，
，
点E到边的距离为4．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由平分，得到，根据等边对等角以及三角形内角和，得到，根据，求得，结合，即可求出结果；
（2）过点作于点M，于点N，求出，根据，求出的长，由平分，得到，即可得到答案.
（1）解：平分，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点作于点M，于点N，
，，
即，
，
，
，
，
，，平分，
，
点E到边的距离为4．
12．【答案】（1）证明：作垂足为，
平分，，，
，
，
，
，，
平分．
（2）解：由（1）可知：，
，，
．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）如图，过E点作EM⊥CD于M，DE平方∠ADC，则AE=ME（角平分线上的点到角两边的距离相等），E为AB中点BE=AE=ME，又因为BE⊥BC，ME⊥DC，即可得CE平分∠BCD。
（2）由（1）知EM=EB=AB=4，在由面积公式S△CDE=，代入求解即可。
13．【答案】（1）解：，
，
是的角平分线．
；
（2）解：是的中点，
，
，
，
．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】 (1)先利用Rt△中两锐角互余计算出∠BAE=56o，再利用角平分线的定义得到∠BAC=∠BAE=28° 。
(2)先利用D是BC的中点，CD=3，得到BC=6，再根据三角形面积公式得到×BC×AE=×6×AE=27，然后解关于AE的方程即可.
14．【答案】（1）解：垂直平分，
，
，
平分，
，
；
（2）解：平分，，，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先利用垂直平分线得到，再通过角平分线的定义求得，然后由三角形的内角和定理得到的度数.
(2)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
15．【答案】（1）解：∵是的边上的中线，
∴，
又∵的周长为13，，，
∴
（2）解：∵，的面积为10，，
∴，
∵是的角平分线，
∴点到的距离
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的中线可求出AE的长，再根据△ABE的周长为13，可求出AB的长.
（2）利用三角形的面积公式，由△ABD的面积可求出AD的长；再利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出点D到BC的距离.
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