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第五章 《生活中的轴对称》 问题解决策略：转化—北师大版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2021七下·开江期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）
A．110° B．112° C．114° D．116°
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣32°，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣32°-32°
＝116°.
故答案为：D.
【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.用四边形的内角和等于360°可求得∠ADC的度数，由轴对称的性质可得，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，由三角形内角和定理可求得∠P+∠Q的度数，则∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q，然后根据角的构成∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）可求解.
2．（2023七下·宣汉期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴当A、M、D三点在同一直线上时，CM+MD最小，其最小值为AD的长
∴周长的最小值为．
故答案为：C．
【分析】连接AD，由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，CD=2，再根据三角形的面积公式求出AD的长，由题意易得点C关于直线EF的对称点为点A，根据轴对称性质可得AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
3．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
4．（2023七下·市南区期末）如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，
由作图得：是的垂直平分线，
，
，
，为的中点，
，
的面积为，，
，
故选：B．
【分析】根据垂直平分线性质及三角形面积即可求出答案。
5．（2023七下·兰州期末）如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．4
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；线段的长短比较
【解析】【解答】当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，、
∴PM=PN，
∵PM=5，
∴PN的最小值为5，
∴D选项不符合题意，
故答案为： D。
【分析】结合角平分线的性质定理和点到直线的最短距离，可得答案。
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024七下·南明月考）如图， 在 中， ， ， 直线 是 中 边的垂直平分线， 点 是直线 上的一动点， 则 周长的最小值为　 　。
【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 直线 是 中 边的垂直平分线 ，
∴BP=CP，
即：AP+CP=AP+BP，
当A、B、P三点共线时，AP+BP最小，此时 周长最小，
。
故答案为：10
【分析】根据垂直平分线的性质可得BP=CP，当A、B、P三点共线时，AP+BP最小，此时 周长最小，计算求解即可.
7．（2023七下·梅州期末）如图，在等边中，D，E分别为边，的中点，，且P为上的动点，连接，，则的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CE交AD于点P，此时BP+EP=EP+PC=FC最小；
∵ △ABC 是等边三角形，D，E分别为边BC，AB的中点
∴FC=AD=3
故答案为：3.
【分析】根据两点之间线段最短的定义，可以确定当E，P，C三点在一条直线时，BP+EP值最小；根据等边三角形的性质，所有边上的中线相等即可求出BP+EP的最小值.
8．（2023七下·郫都期末）如图，在四边形中，，，点、分别在、上，当的周长最小时，用的代数式表示，则　 　．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作关于BC、CD点的对称点A'、A''，连接A'A''交BC于点E，交CD于点F，则A'A''为△AEF周长的最小值，作DA的延长线AH，
∵∠ADC = ∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠C = 180°，
∵∠C= ，
∴∠DAB=180°-∠C=180°-，
∴∠HAA'= ，
∴∠AA'E + ∠A''= ∠HAA'= ，
∵∠AEF=∠EA'A+∠EAA'，∠AFE=∠FAD+∠A''，
∴∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A''=2（∠AA'E+∠A''）=2，
∴∠EAF=180°-2，
故答案为： .
【分析】根据题意先作图求出A'A''为△AEF周长的最小值，再求出∠HAA'= ，最后计算求解即可。
9．（2023七下·萧县期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过B点作AC边上的高BE，交AC与E.由已知面积和底，易得高BE=2248=6。因AD是∠BAC的平分线，在AC上易找到N关于AD的对称点N’，只要令AN'=AN即可。由SAS定理证得MN=MN'.BM+MN即BM+MN’的最小值问题转化为求点B到AC的距离问题，即求垂线段BE的长，此时它也是AC边上的高，BM+MN的最小值是6.
【分析】最值问题通常先套用将军饮马模型，转化成求一条线段的问题。
10．（2021七下·于洪期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝9，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为9，则∠AOB＝　 　°．
【答案】30
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OB、AO的对称点P′、P″，
分别连OP′、OP″、P′P″交OB、OA于M、N，
由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P′N+NM+MP″=P′P″，
∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小，
∴P′P″=9，
由对称OP=OP′=OP″=9，
∴△P′OP″为等边三角形，
∴∠P′OP″=60°，
∵∠P′OB=∠POB，∠P″OA=∠POA，
∴∠AOB= ∠P′OP″=30°．
故答案为：30°．
【分析】作点P关于OB、AO的对称点P′、P″，分别连OP′、OP″、P′P″交OB、OA于M、N，得出由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小，先证明由对称OP=OP′=OP″=9，得出△P′OP″为等边三角形，∠P′OP″=60°，由∠P′OB=∠POB，∠P″OA=∠POA，即可得出∠AOB的度数。
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2023七下·新民期末）如图，在中，，是边上的中线，点是边上的一个动点，点是上的一个动点．
（1）当时，求的度数；
（2）若，，．
①求中边上的高；
②当的值最小时，最小值是 ▲ ．
【答案】（1）解：，是边上的中线，
，，
，
；
（2）解：①设中边上的高为，
，
，
，
即中边上的高为；
②
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）②如图，连接PC，
垂直平分线段，
．
，
当时，，的值最小，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质得出AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=36°，即可通过三角形的内角和为180°得出∠ACB的度数；
（2）①根据等面积法列出方程，可得到AC边上的高；
②本题考查了将军饮马类型的题，当PE与PC在同一直线上时，PC+PE最小且等于CE，根据垂线段最短，可知当CE⊥AB时最短.
12．（2020七下·株洲期末）如图，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠CPD=131°，∠C=21°，∠D=28°，求∠MPN．
【答案】（1）解：∵点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵ =PN+PM+MN，
而CD=CM+MN+ND=18cm，
∴ =PN+PM+MN= CM+MN+ND=18cm；
（2）解：∵点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，
∴∠C=∠CPM=21°，∠D=∠DPN =28°，
∴∠MPN=∠CPD-∠CPM-∠DPN=131°-21°-28°=82°．
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）因为点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，所以PM=CM，ND=NP， =PN+PM+MN= CM+MN+ND=CD，故 PMN的周长可求；（2）因为点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，所以∠C=∠CPM=21°，∠D=∠DPN =28°，而∠MPN=∠CPD-∠CPM-∠DPN，故∠MPN的度数可求．
13．（2020七下·白云期末）如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点 ；
②连接 交直线l于点P，则点P即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在 ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使 的周长最小.
【答案】解：如图所示：
的周长
为 的中位线
，DE为定值
要使 的周长最小
则 的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时 的和最小，此时 的周长最小.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】由于DE为定值，只需 的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点.
14．（2024七下·金沙期末）如图所示，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点，，都在格点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）求的面积；
（3）在直线上找出一点，使得的值最小（不需要计算，在图上直接标记出点的位置）．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；见解析
（2）解：
（3）解：如图所示，点即为所求．见解析
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）如上图图所示，点P即为所求．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小。
15．（2020七下·南岸期末）如图所示，在街道 的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD.现准备在街道 旁设置一个快递中转站.
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系.
【答案】（1）解：∵ AC，BD分别是点A，B到直线 的距离，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中， ，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC；
（2）解：如图1所示，∠A＝∠B，
理由：由作图知，
AC＝ ， ⊥l，
∴∠A＝∠ A，
∵A ∥BD，
∴∠ ＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）解：如图2所示，
∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD.
【知识点】平行线的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先判断出∠ACP＝∠BDP＝90°，进而判断出△ACP≌△PDB，即可得出结论；（2）先确定出点A关于直线l的对称点，连接 ，即可找出点P的位置，利用对称性和平行线的性质即可得出结论；（3）连接BA交直线l于点P，利用平行线的性质即可得出结论.
1 / 1第五章 《生活中的轴对称》 问题解决策略：转化—北师大版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2021七下·开江期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）
A．110° B．112° C．114° D．116°
2．（2023七下·宣汉期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）．
A． B．
C． D．
4．（2023七下·市南区期末）如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023七下·兰州期末）如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．4
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024七下·南明月考）如图， 在 中， ， ， 直线 是 中 边的垂直平分线， 点 是直线 上的一动点， 则 周长的最小值为　 　。
7．（2023七下·梅州期末）如图，在等边中，D，E分别为边，的中点，，且P为上的动点，连接，，则的最小值为　 　．
8．（2023七下·郫都期末）如图，在四边形中，，，点、分别在、上，当的周长最小时，用的代数式表示，则　 　．
9．（2023七下·萧县期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
10．（2021七下·于洪期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝9，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为9，则∠AOB＝　 　°．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2023七下·新民期末）如图，在中，，是边上的中线，点是边上的一个动点，点是上的一个动点．
（1）当时，求的度数；
（2）若，，．
①求中边上的高；
②当的值最小时，最小值是 ▲ ．
12．（2020七下·株洲期末）如图，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠CPD=131°，∠C=21°，∠D=28°，求∠MPN．
13．（2020七下·白云期末）如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点 ；
②连接 交直线l于点P，则点P即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在 ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使 的周长最小.
14．（2024七下·金沙期末）如图所示，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点，，都在格点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）求的面积；
（3）在直线上找出一点，使得的值最小（不需要计算，在图上直接标记出点的位置）．
15．（2020七下·南岸期末）如图所示，在街道 的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD.现准备在街道 旁设置一个快递中转站.
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣32°，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣32°-32°
＝116°.
故答案为：D.
【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.用四边形的内角和等于360°可求得∠ADC的度数，由轴对称的性质可得，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，由三角形内角和定理可求得∠P+∠Q的度数，则∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q，然后根据角的构成∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）可求解.
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴当A、M、D三点在同一直线上时，CM+MD最小，其最小值为AD的长
∴周长的最小值为．
故答案为：C．
【分析】连接AD，由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，CD=2，再根据三角形的面积公式求出AD的长，由题意易得点C关于直线EF的对称点为点A，根据轴对称性质可得AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
3．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，
由作图得：是的垂直平分线，
，
，
，为的中点，
，
的面积为，，
，
故选：B．
【分析】根据垂直平分线性质及三角形面积即可求出答案。
5．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；线段的长短比较
【解析】【解答】当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，、
∴PM=PN，
∵PM=5，
∴PN的最小值为5，
∴D选项不符合题意，
故答案为： D。
【分析】结合角平分线的性质定理和点到直线的最短距离，可得答案。
6．【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 直线 是 中 边的垂直平分线 ，
∴BP=CP，
即：AP+CP=AP+BP，
当A、B、P三点共线时，AP+BP最小，此时 周长最小，
。
故答案为：10
【分析】根据垂直平分线的性质可得BP=CP，当A、B、P三点共线时，AP+BP最小，此时 周长最小，计算求解即可.
7．【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CE交AD于点P，此时BP+EP=EP+PC=FC最小；
∵ △ABC 是等边三角形，D，E分别为边BC，AB的中点
∴FC=AD=3
故答案为：3.
【分析】根据两点之间线段最短的定义，可以确定当E，P，C三点在一条直线时，BP+EP值最小；根据等边三角形的性质，所有边上的中线相等即可求出BP+EP的最小值.
8．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作关于BC、CD点的对称点A'、A''，连接A'A''交BC于点E，交CD于点F，则A'A''为△AEF周长的最小值，作DA的延长线AH，
∵∠ADC = ∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠C = 180°，
∵∠C= ，
∴∠DAB=180°-∠C=180°-，
∴∠HAA'= ，
∴∠AA'E + ∠A''= ∠HAA'= ，
∵∠AEF=∠EA'A+∠EAA'，∠AFE=∠FAD+∠A''，
∴∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A''=2（∠AA'E+∠A''）=2，
∴∠EAF=180°-2，
故答案为： .
【分析】根据题意先作图求出A'A''为△AEF周长的最小值，再求出∠HAA'= ，最后计算求解即可。
9．【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过B点作AC边上的高BE，交AC与E.由已知面积和底，易得高BE=2248=6。因AD是∠BAC的平分线，在AC上易找到N关于AD的对称点N’，只要令AN'=AN即可。由SAS定理证得MN=MN'.BM+MN即BM+MN’的最小值问题转化为求点B到AC的距离问题，即求垂线段BE的长，此时它也是AC边上的高，BM+MN的最小值是6.
【分析】最值问题通常先套用将军饮马模型，转化成求一条线段的问题。
10．【答案】30
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OB、AO的对称点P′、P″，
分别连OP′、OP″、P′P″交OB、OA于M、N，
由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P′N+NM+MP″=P′P″，
∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小，
∴P′P″=9，
由对称OP=OP′=OP″=9，
∴△P′OP″为等边三角形，
∴∠P′OP″=60°，
∵∠P′OB=∠POB，∠P″OA=∠POA，
∴∠AOB= ∠P′OP″=30°．
故答案为：30°．
【分析】作点P关于OB、AO的对称点P′、P″，分别连OP′、OP″、P′P″交OB、OA于M、N，得出由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小，先证明由对称OP=OP′=OP″=9，得出△P′OP″为等边三角形，∠P′OP″=60°，由∠P′OB=∠POB，∠P″OA=∠POA，即可得出∠AOB的度数。
11．【答案】（1）解：，是边上的中线，
，，
，
；
（2）解：①设中边上的高为，
，
，
，
即中边上的高为；
②
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）②如图，连接PC，
垂直平分线段，
．
，
当时，，的值最小，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质得出AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=36°，即可通过三角形的内角和为180°得出∠ACB的度数；
（2）①根据等面积法列出方程，可得到AC边上的高；
②本题考查了将军饮马类型的题，当PE与PC在同一直线上时，PC+PE最小且等于CE，根据垂线段最短，可知当CE⊥AB时最短.
12．【答案】（1）解：∵点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵ =PN+PM+MN，
而CD=CM+MN+ND=18cm，
∴ =PN+PM+MN= CM+MN+ND=18cm；
（2）解：∵点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，
∴∠C=∠CPM=21°，∠D=∠DPN =28°，
∴∠MPN=∠CPD-∠CPM-∠DPN=131°-21°-28°=82°．
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）因为点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，所以PM=CM，ND=NP， =PN+PM+MN= CM+MN+ND=CD，故 PMN的周长可求；（2）因为点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，所以∠C=∠CPM=21°，∠D=∠DPN =28°，而∠MPN=∠CPD-∠CPM-∠DPN，故∠MPN的度数可求．
13．【答案】解：如图所示：
的周长
为 的中位线
，DE为定值
要使 的周长最小
则 的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时 的和最小，此时 的周长最小.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】由于DE为定值，只需 的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点.
14．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；见解析
（2）解：
（3）解：如图所示，点即为所求．见解析
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）如上图图所示，点P即为所求．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小。
15．【答案】（1）解：∵ AC，BD分别是点A，B到直线 的距离，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中， ，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC；
（2）解：如图1所示，∠A＝∠B，
理由：由作图知，
AC＝ ， ⊥l，
∴∠A＝∠ A，
∵A ∥BD，
∴∠ ＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）解：如图2所示，
∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD.
【知识点】平行线的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先判断出∠ACP＝∠BDP＝90°，进而判断出△ACP≌△PDB，即可得出结论；（2）先确定出点A关于直线l的对称点，连接 ，即可找出点P的位置，利用对称性和平行线的性质即可得出结论；（3）连接BA交直线l于点P，利用平行线的性质即可得出结论.
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