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第五章 《图形的轴对称》—北师大版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·康平期末）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可．
2．（2024七下·崂山期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，则的周长为（　　）
A．14 B．20 C．28 D．32
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于点，交于点，
，
的周长，
故答案为：B．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，然后利用三角形周长公式解答即可．
3．（2024七下·荣成期中）如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵小学到三个村庄的距离相等，
∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形三边线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作答，即可的对答案.
4．（2023七下·甘州期末）如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：若腰长为3时，三边长为3，3，6，
此时，无法构成三角形，不符合题意；
若腰长为6时，三边长为3，6，6，
此时；
综上所述，它的周长为15．
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论，结合三角形三边关系即可求出答案.
5．（2020七下·安丘期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，
∴∠BPC=115°．
故答案为：C．
【分析】首先根据角平分线的定义求出∠PBC、∠PCB的度数，再在△PBC中利用三角形内角和定理求解.
6．（2024七下·榕城期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线交AB于点D，
∴DA=DC，
∵∠A=50°，
∴∠DCA=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA=100°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=30°.
故答案为：B.
【分析】本题先运用垂直平分线性质求得∠DCA，再运用角平分线性质求得∠ACB，最后根据三角形内角和180°求得∠B.
7．（2024七下·揭西期末）如图，的面积是6，，，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，如图：
则AD=A'D，
∴AD+DE=A'D+DE≥A'E，
即AD+DE的最小值为A'E，
∵，
∴，
即AD+DE的最小值为.
故答案为：C.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，则AD=A'D，所以AD+DE=A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E，根据三角形的面积公式即可求解.
8．（2024·织金期末） 如图， 在△ABC中， BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， 若DE=3cm， 则点 D到BC的距离为(　　)
A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∴点 D到的距离为；
故答案为：C
【分析】过作于，根据角平分线的性质得到，进而即可求解.
9．（2024七下·花溪月考）如图， 在 中， 是 边上的高， 是 的平分线， 若 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．30°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠CAB=45°，∠CBA=75°，
∴∠ACB=180°-∠CBA-∠CAB=60°．
∵CM是∠ACB的角平分线，
∴∠MCA=∠BCA=30°．
∴∠CMB=∠CAB+∠ACM=75°．
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵∠BDC=∠DCM+∠BMC．
∴∠MCD=∠BDC-∠BMC=90°-75°=15°．
故答案为：A
【分析】先根据三角形内角和定理得到∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得到∠MCA=∠BCA=30°．从而得到∠CMB的度数，再根据三角形的高得到∠ADC=∠BDC=90°，从而进行角的运算即可求解.
10．（2023七下·禅城期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，则MQ=M'Q，
∴MQ+NQ=M'Q+NQ=M'N，
根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短；
故答案为：B.
【分析】作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，连接MQ，根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短，最短值为M'N的长.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七下·福田期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点F，平分，已知，，的面积，求的面积　 　．
【答案】4
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点F作于点N，于点M，
，，分别为的角平分线，
，，
∴，
，
∵平分，
，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵的面积，
，
∴，
∴，
，
∴的面积，
故答案为：4．
【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形全等的判定和性质，以及角平分线的性质，三角形内角和定理应用，过点F作于点N，于点M，由，分别为的角平分线，求得，得到，再由平分，得到，
利用ASA，证得，得出，同理证得，得出，结合，得出，根据的面积，列出方程，求得，结合，即可得出答案．
12．（2024七下·成都期末）如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接与交于点，若，则的长度为　 　．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹知MN为线段AC的垂直平分线，故E为AC的中点，AC=2EC=4，而AB=AC=4；
故答案为：4.
【分析】由作图痕迹知E为AC的中点，即可得AC的长度，即可得AB的长.
13．（2024七下·金沙期末）如图，在中，是的平分线，于点，于点，，，则的面积为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
所以DF=DE=2，
则△ADC的面积=AC×DE=×4×2=4．
故答案为：4．
【分析】由角平分线上的点到角的两边距离相等，得DF=DE=2，再根据面积公式进行列式，即可作答。
14．（2024七下·顺德期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知是线段的垂直平分线，
，
∵与的周长之差为4，
即AC+BC+AB-(AE+BE+AB)=4
∴，即CA-EA=2
∵，
∴5-AE=2，
∴，
【分析】根据作图，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解．
15．（2024七下·顺德月考）如图，在中，和的平分线相交于点P，若，则的度数为　 　．
【答案】116°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BPC=148°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=32°，
∵CP、BP分别是∠ACB与∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2（∠PBC+∠PCB）=64°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=116°.
故答案为：116°.
【分析】由三角形的内角和定理得∠PBC+∠PCB=32°，由角平分线的定义可推出∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=64°，最后再根据三角形的内角和定理即可算出∠A的度数.
16．（2019七下·普宁期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为　 　．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝ EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到PF=PH，根据点到直线的距离公式求出答案即可。
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024七下·湛江期末）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，．求和的度数．
【答案】解：∵为的高，∴，
∵，
∴，
∵，
∵为的角平分线，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，利用三角形内角和定理，求出的度数，再由为的角平分线，得到，进而求得的度数，得到答案.
18．（2025七下·潮阳月考）已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，．
（1）求证：；
（2）试探究与的数量关系．
【答案】（1）证明：（1）、平分、，
，；
，
；
同旁内角互补，两直线平行）
（2）解：（2），
，
平分，
，
．
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；余角
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的定义，，；再结合，可得，进一步得出；
（2）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据角平分线的定义的出，等量代换为，最后根据∠1和∠2互余，可得出∠2和∠3互余；
（1）证明：、平分、，
，；
，
；
同旁内角互补，两直线平行
（2）解：，
，
平分，
，
．
．
19．（2024七下·朝阳期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
（1）如图1，作出关于直线对称的图形；
（2）如图2，在直线上求作点P，使得．
【答案】（1）如图，即为所作；
（2）如图，点P即为所作；
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）分别作出点A、B关于直线对称点，顺次连接，即可得到答案；
（2）作出点A关于直线的对称点D，连接交直线于点P，连接，得到．
20．（2024七下·长春期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）
（1）当时，_____；当时，______．
（2）在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值．
（3）如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结
①当最短时，直接写出此时四边形的面积；
②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值．
【答案】（1）2
（2）解：∵长方形中，∴等于的面积，
即，
∵平分的面积，
∴，
即，
解得．
∵平分的面积，
∴，
即，
解得．
∴或
（3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结∴最短时，即最短
此时（垂线段最短），即点与点重合
∴
②∵边形的面积是长方形的面积
∴
∵
∴
当点P在上时
∴
解出；
当点P在上时
∴
解出；
综上：或．
【知识点】轴对称的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，
∴当时，则
∵
∴
∴当时，则
∴
故答案为：2；2.
【分析】（1）根据运动速度和时间，列式求得，由，结合线段的和差运算，列式计算，即可求解；
（2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算，即可得到答案．
（3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答．
②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可得到答案．
21．（2025七下·高州月考）以直线上一点为端点作射线，使．将一个直角三角板（其中）的直角顶点放在点处．
（1）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则____；
（2）如图②，将直角三角板绕点逆时针转动到某个位置，若恰好平分，则所在的射线是否为的平分线？请说明理由；
（3）如图③，将含角的直角三角板从图①的位置开始绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转角为，旋转的时间为秒，在旋转过程中是否存在三角板的一条边与垂直？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）30
（2）所在的射线是的平分线
理由如下：
平分
所在的射线平分；
（3）或
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠COB=60°，
∴∠COE=30°，
故答案为：30；
（3）①当DE⊥OC于点M时
由题意可知，直角三角板中∠D=60°
∴此时∠COD=30°，∠BOD=∠BOC-∠COD=30°
10t=30，解得t=3；
②当OE⊥OC时
此时点D在OC上，∠BOC=60°
10t=60，解得t=6；
③当OD⊥OC时，
此时∠BOD=60°+90°=150°
10t=150，解得t=15
综上所述，或时，三角板的一条边与垂直．
故答案为：或
【分析】（1）由∠BOE=∠COE+∠COB，代入求得∠COE=30°，即可得到答案；
（2）由平分，求出，根据，得到，从而推出∠COD=∠DOB，即可得出结论；
（3）分DE⊥OC于点M，OE⊥OC时，OD⊥OC时，三种情况分类讨论，分别列出方程，即可求解．
22．（2025七下·蓬江月考）如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，．
（1）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
（2）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角；
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
又，
，
.
（2）9或27，12或30；
（3）解：.
理由如下：∵在的内部，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（2）解：，
，，
当在直线上时，，此时旋转角为或，
每秒顺时针旋转，
时间为或，
当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，
∵每秒顺时针旋转，
∴时间为或，
故答案为：9或27；或.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）分类讨论：①当在直线上时，，此时旋转角为或，②当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，再分别求解即可；
（3）先利用角的运算求出，，再求出即可．
（1）解：，
，
又，
，
；
（2）解：，
，，
当在直线上时，，此时旋转角为或，
每秒顺时针旋转，
时间为或，
当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，
∵每秒顺时针旋转，
∴时间为或，
故答案为：9或27；或；
（3）解：，理由如下：
∵在的内部，
∴，，
∴，
∴．
23．（2024七下·龙岗期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴　 　，　 　，
∴　 　．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　 　．
（3）【拓展应用】
“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．
【答案】解：（1），，；（2）5；（3）到的距离和最小的点在线段上，∵点A与点C关于对称，∴到的距离和最小的点是线段和的交点，∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，故连接交于点G，点G即为所求作的点，
（1）；；
（2）5
（3）解：到的距离和最小的点在线段上，
∵点A与点C关于对称，
∴到的距离和最小的点是线段和的交点，
∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，
故连接交于点G，点G即为所求作的点，

【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
故答案为：，，；
（2）∵是的平分线，
∴可在上找到点E关于直线对称的对称点，
作出点，连接，则，
过点B作，
由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值，
即的最小值是的长度，
∵等边三角形每条边上的高相等，
∴的最小值为：，
故答案为：5；
【分析】（1）根据题意及几何图形逐步推演其证明过程填空即可；
（2）根据轴对称最值分析和垂线段最短原理，先作出对称点分析最值，后利用等边三角形每条边上的高相等求解该最值；
（3）同理，根据轴对称及两点间线段最短，分析并找出符合题意的点，即连接交于点G，分析可得．
1 / 1第五章 《图形的轴对称》—北师大版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·康平期末）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·崂山期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，则的周长为（　　）
A．14 B．20 C．28 D．32
3．（2024七下·荣成期中）如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
4．（2023七下·甘州期末）如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
5．（2020七下·安丘期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
6．（2024七下·榕城期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
7．（2024七下·揭西期末）如图，的面积是6，，，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·织金期末） 如图， 在△ABC中， BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， 若DE=3cm， 则点 D到BC的距离为(　　)
A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．（2024七下·花溪月考）如图， 在 中， 是 边上的高， 是 的平分线， 若 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．30°
10．（2023七下·禅城期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七下·福田期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点F，平分，已知，，的面积，求的面积　 　．
12．（2024七下·成都期末）如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接与交于点，若，则的长度为　 　．
13．（2024七下·金沙期末）如图，在中，是的平分线，于点，于点，，，则的面积为　 　．
14．（2024七下·顺德期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为　 　．
15．（2024七下·顺德月考）如图，在中，和的平分线相交于点P，若，则的度数为　 　．
16．（2019七下·普宁期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为　 　．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024七下·湛江期末）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，．求和的度数．
18．（2025七下·潮阳月考）已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，．
（1）求证：；
（2）试探究与的数量关系．
19．（2024七下·朝阳期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
（1）如图1，作出关于直线对称的图形；
（2）如图2，在直线上求作点P，使得．
20．（2024七下·长春期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）
（1）当时，_____；当时，______．
（2）在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值．
（3）如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结
①当最短时，直接写出此时四边形的面积；
②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值．
21．（2025七下·高州月考）以直线上一点为端点作射线，使．将一个直角三角板（其中）的直角顶点放在点处．
（1）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则____；
（2）如图②，将直角三角板绕点逆时针转动到某个位置，若恰好平分，则所在的射线是否为的平分线？请说明理由；
（3）如图③，将含角的直角三角板从图①的位置开始绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转角为，旋转的时间为秒，在旋转过程中是否存在三角板的一条边与垂直？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
22．（2025七下·蓬江月考）如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，．
（1）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
（2）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角；
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
23．（2024七下·龙岗期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴　 　，　 　，
∴　 　．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　 　．
（3）【拓展应用】
“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可．
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于点，交于点，
，
的周长，
故答案为：B．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，然后利用三角形周长公式解答即可．
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵小学到三个村庄的距离相等，
∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形三边线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作答，即可的对答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：若腰长为3时，三边长为3，3，6，
此时，无法构成三角形，不符合题意；
若腰长为6时，三边长为3，6，6，
此时；
综上所述，它的周长为15．
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论，结合三角形三边关系即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，
∴∠BPC=115°．
故答案为：C．
【分析】首先根据角平分线的定义求出∠PBC、∠PCB的度数，再在△PBC中利用三角形内角和定理求解.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线交AB于点D，
∴DA=DC，
∵∠A=50°，
∴∠DCA=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA=100°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=30°.
故答案为：B.
【分析】本题先运用垂直平分线性质求得∠DCA，再运用角平分线性质求得∠ACB，最后根据三角形内角和180°求得∠B.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，如图：
则AD=A'D，
∴AD+DE=A'D+DE≥A'E，
即AD+DE的最小值为A'E，
∵，
∴，
即AD+DE的最小值为.
故答案为：C.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，则AD=A'D，所以AD+DE=A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E，根据三角形的面积公式即可求解.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∴点 D到的距离为；
故答案为：C
【分析】过作于，根据角平分线的性质得到，进而即可求解.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠CAB=45°，∠CBA=75°，
∴∠ACB=180°-∠CBA-∠CAB=60°．
∵CM是∠ACB的角平分线，
∴∠MCA=∠BCA=30°．
∴∠CMB=∠CAB+∠ACM=75°．
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵∠BDC=∠DCM+∠BMC．
∴∠MCD=∠BDC-∠BMC=90°-75°=15°．
故答案为：A
【分析】先根据三角形内角和定理得到∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得到∠MCA=∠BCA=30°．从而得到∠CMB的度数，再根据三角形的高得到∠ADC=∠BDC=90°，从而进行角的运算即可求解.
10．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，则MQ=M'Q，
∴MQ+NQ=M'Q+NQ=M'N，
根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短；
故答案为：B.
【分析】作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，连接MQ，根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短，最短值为M'N的长.
11．【答案】4
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点F作于点N，于点M，
，，分别为的角平分线，
，，
∴，
，
∵平分，
，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵的面积，
，
∴，
∴，
，
∴的面积，
故答案为：4．
【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形全等的判定和性质，以及角平分线的性质，三角形内角和定理应用，过点F作于点N，于点M，由，分别为的角平分线，求得，得到，再由平分，得到，
利用ASA，证得，得出，同理证得，得出，结合，得出，根据的面积，列出方程，求得，结合，即可得出答案．
12．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹知MN为线段AC的垂直平分线，故E为AC的中点，AC=2EC=4，而AB=AC=4；
故答案为：4.
【分析】由作图痕迹知E为AC的中点，即可得AC的长度，即可得AB的长.
13．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
所以DF=DE=2，
则△ADC的面积=AC×DE=×4×2=4．
故答案为：4．
【分析】由角平分线上的点到角的两边距离相等，得DF=DE=2，再根据面积公式进行列式，即可作答。
14．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知是线段的垂直平分线，
，
∵与的周长之差为4，
即AC+BC+AB-(AE+BE+AB)=4
∴，即CA-EA=2
∵，
∴5-AE=2，
∴，
【分析】根据作图，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解．
15．【答案】116°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BPC=148°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=32°，
∵CP、BP分别是∠ACB与∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2（∠PBC+∠PCB）=64°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=116°.
故答案为：116°.
【分析】由三角形的内角和定理得∠PBC+∠PCB=32°，由角平分线的定义可推出∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=64°，最后再根据三角形的内角和定理即可算出∠A的度数.
16．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝ EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到PF=PH，根据点到直线的距离公式求出答案即可。
17．【答案】解：∵为的高，∴，
∵，
∴，
∵，
∵为的角平分线，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，利用三角形内角和定理，求出的度数，再由为的角平分线，得到，进而求得的度数，得到答案.
18．【答案】（1）证明：（1）、平分、，
，；
，
；
同旁内角互补，两直线平行）
（2）解：（2），
，
平分，
，
．
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；余角
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的定义，，；再结合，可得，进一步得出；
（2）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据角平分线的定义的出，等量代换为，最后根据∠1和∠2互余，可得出∠2和∠3互余；
（1）证明：、平分、，
，；
，
；
同旁内角互补，两直线平行
（2）解：，
，
平分，
，
．
．
19．【答案】（1）如图，即为所作；
（2）如图，点P即为所作；
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）分别作出点A、B关于直线对称点，顺次连接，即可得到答案；
（2）作出点A关于直线的对称点D，连接交直线于点P，连接，得到．
20．【答案】（1）2
（2）解：∵长方形中，∴等于的面积，
即，
∵平分的面积，
∴，
即，
解得．
∵平分的面积，
∴，
即，
解得．
∴或
（3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结∴最短时，即最短
此时（垂线段最短），即点与点重合
∴
②∵边形的面积是长方形的面积
∴
∵
∴
当点P在上时
∴
解出；
当点P在上时
∴
解出；
综上：或．
【知识点】轴对称的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，
∴当时，则
∵
∴
∴当时，则
∴
故答案为：2；2.
【分析】（1）根据运动速度和时间，列式求得，由，结合线段的和差运算，列式计算，即可求解；
（2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算，即可得到答案．
（3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答．
②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可得到答案．
21．【答案】解：（1）30
（2）所在的射线是的平分线
理由如下：
平分
所在的射线平分；
（3）或
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠COB=60°，
∴∠COE=30°，
故答案为：30；
（3）①当DE⊥OC于点M时
由题意可知，直角三角板中∠D=60°
∴此时∠COD=30°，∠BOD=∠BOC-∠COD=30°
10t=30，解得t=3；
②当OE⊥OC时
此时点D在OC上，∠BOC=60°
10t=60，解得t=6；
③当OD⊥OC时，
此时∠BOD=60°+90°=150°
10t=150，解得t=15
综上所述，或时，三角板的一条边与垂直．
故答案为：或
【分析】（1）由∠BOE=∠COE+∠COB，代入求得∠COE=30°，即可得到答案；
（2）由平分，求出，根据，得到，从而推出∠COD=∠DOB，即可得出结论；
（3）分DE⊥OC于点M，OE⊥OC时，OD⊥OC时，三种情况分类讨论，分别列出方程，即可求解．
22．【答案】（1）解：，
，
又，
，
.
（2）9或27，12或30；
（3）解：.
理由如下：∵在的内部，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（2）解：，
，，
当在直线上时，，此时旋转角为或，
每秒顺时针旋转，
时间为或，
当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，
∵每秒顺时针旋转，
∴时间为或，
故答案为：9或27；或.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）分类讨论：①当在直线上时，，此时旋转角为或，②当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，再分别求解即可；
（3）先利用角的运算求出，，再求出即可．
（1）解：，
，
又，
，
；
（2）解：，
，，
当在直线上时，，此时旋转角为或，
每秒顺时针旋转，
时间为或，
当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，
∵每秒顺时针旋转，
∴时间为或，
故答案为：9或27；或；
（3）解：，理由如下：
∵在的内部，
∴，，
∴，
∴．
23．【答案】解：（1），，；（2）5；（3）到的距离和最小的点在线段上，∵点A与点C关于对称，∴到的距离和最小的点是线段和的交点，∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，故连接交于点G，点G即为所求作的点，
（1）；；
（2）5
（3）解：到的距离和最小的点在线段上，
∵点A与点C关于对称，
∴到的距离和最小的点是线段和的交点，
∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，
故连接交于点G，点G即为所求作的点，

【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
故答案为：，，；
（2）∵是的平分线，
∴可在上找到点E关于直线对称的对称点，
作出点，连接，则，
过点B作，
由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值，
即的最小值是的长度，
∵等边三角形每条边上的高相等，
∴的最小值为：，
故答案为：5；
【分析】（1）根据题意及几何图形逐步推演其证明过程填空即可；
（2）根据轴对称最值分析和垂线段最短原理，先作出对称点分析最值，后利用等边三角形每条边上的高相等求解该最值；
（3）同理，根据轴对称及两点间线段最短，分析并找出符合题意的点，即连接交于点G，分析可得．
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